2. και 3. Βλέπε τα παρακάτω γραφήματα του G vs. T για διάφορες πιέσεις και για

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦ.. και. Βλέπε τα παρακάτω γραφματα του G vs. για διάφορες πιέσεις και για στερεά (σ), υγρ(υ) και αέρια(α) φάση

2 Σε οποιοδποτε σηµείο P, της διαχωριστικς γραµµς µεταξύ της φάσης και της φάσης ισχύει G( P, ) = G( P, ) () Σ ένα διπλανό σηµείο P+ δp, + δ της ίδιας διαχωριστικς γραµµς ισχύει προφανώς G( P+ δp, + δ) = G( P+ δp, + δ) () Αναπτύσσοντας την () σε δυνάµεις του δ P και δ (µέχρι πρώτου βαθµού) και λαµβάνοντας υπόψη την () έχουµε ( G/ P) δp+ ( G/ ) δ = ( G / P) δp+ ( G / ) δ δp Sδ = δp Sδ dp S S ΔS Qλ = = = d Δ Δ όπου Q λ είναι η λανθάνουσα θερµότητα για την αλλαγ φάσης από, θεωρώντας ότι S S Δ S > Επειδ η στερεά και η υγρ φάση της ύλης µένουν σχεδόν ανεπηρέαστες από τη µεταβολ της πίεσης, δηλ. Δ, έπεται ότι d / dp. Άρα η θερµοκρασία κατά µκος της διαχωριστικς γραµµς στερεάς/υγρς φάσης παραµένει περίπου η ίδια καθώς η πίεση µεταβάλλεται. Άρα η διαχωριστικ αυτ γραµµ είναι σχεδόν κατακόρυφη µε κλίση ελαφρώς θετικ όταν > και κλίση ελαφρώς αρνητικ όταν < όπως στην περίπτωση πάγου/νερού. Το συµπέρασµα είναι ότι η θερµοκρασία του τριπλού σηµείου του HO είναι κατά τι µεγαλύτερη από τη θερµοκρασία τξεώς του υπό πίεση µιας ατµόσφαιρας. Πράγµατι η θερµοκρασία του o τριπλού σηµείου του HO είναι ίση µε, C = 7,6K Θεωρώντας τώρα τη διαχωριστικ γραµµ µεταξύ νερού και ατµού έχουµε από την () dp Qλ J/mol = = d Δ R / P όπου R = 8,J/K είναι η σταθερά των ιδανικών αερίων (θεώρησα ότι Δ = R / P και ότι το Q λ µένει περίπου σταθερό). Εποµένως ατµ νερ ατµ dp = 5,7 d dp = 5,7 P P d P = exp[ 57( )] P

3 όπου = C = 7,5K είναι το σηµείο ζέσεως του νερού υπό πίεση P = bar. Αντικαθιστώντας τις τιµές = 7,6, = 7,5 και P = bar βρίσκουµε για την πίεση του τριπλού σηµείου του HO P =,67 bar έναντι,6bar που είναι η πειραµατικ τιµ.. Από τη σχέση ( ) έχουµε S/ C / και τo ότι το C θεωρείται ανεξάρτητο του Τ, C S ( ) = S + d= S + C ln, S S ( ), Η άντληση έργου απαιτεί ένα τρίτο σώµα που εκτελεί κυκλικές µεταβολές. Λαµβάνει Q από Α και Q από Β και δίνει W = Q + Q. Mέγιστο έργο όταν Sαρχ = Sτελ S + C ln + C ln = S + C ln () ln = = ln Το στο δεξιό µέλος της () λόγω του ότι το C είναι εκτατικ ποσότητα. Ο συντελεστς απόδοσης η ισούται µε το έργο που αντλθηκε Δ U+Δ U = C( ) + C( ) = C( + ) δια του Q ( ) η = =. Βλέπε το βιβλίο Στατιστικ Φυσικ του Ε Ν, Οικονόµου, σελ Στο παρακάτω γράφηµα εικονίζεται η S vs. U

4 Η καµπύλη είναι αύξουσα (αφού ( S/ U) = / > ) και µε τα κοίλα προς τα κάτω (αφού S U U U C = = = < ). Οποιαδποτε αρχικ κατάσταση µη ισορροπίας του θερµικά µονωµένου συστµατός µας οφείλει να αντιστοιχεί σ ένα σηµείο κάτω από την καµπύλη ισορροπίας προκειµένου να ικανοποιηθεί ο ος νόµος, που λέει ότι υπό συνθκες dq = η εντροπία ουδέποτε µειώνεται κατά την πορεία προς την ισορροπία. Ακριβώς λόγω του ου νόµου η όποια τελικ κατάσταση ισορροπίας οφείλει να έχει υψηλότερη ( στην ακραία περίπτωση ίση) εντροπία από την αρχικ, δηλαδ να κείται άνω ( στην ακραία περίπτωση επί) της οριζόντιας γραµµς ΑΕ (η οποία αντιστοιχεί σε Δ S = ). Από τον ο νόµο, W = U U, είναι προφανές ότι, προκειµένου να αντλσουµε το µέγιστο έργο, η τελικ ενέργεια U τελ πρέπει να είναι όσο το δυνατόν µικρότερη. Δεν µπορεί όµως να είναι µικρότερη από αυτν που αντιστοιχεί στο σηµείο Ε γιατί αλλιώς θα παραβίαζε τον ο νόµο. Άρα το µέγιστο έργο είναι αυτό που αντιστοιχεί στο ευθύγραµµο τµµα ΕΑ και επιτυγχάνεται υπό ισεντροπικές συνθκες. Κάθε αύξηση της εντροπίας αναγκαστικά οδηγεί σε µείωση του µέγιστου διαθέσιµου έργου. αρχ τελ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Η παροχ Π εξαρτάται από τη διατοµ του σωλνα, S, και από το ιξώδες η που προκαλεί τριβές καθ όλο το µκος του σωλνα. Για να υπερνικηθούν αυτές οι τριβές θα πρέπει να επιβληθεί µια διαφορά πίεσης ανάλογη του µκους του σωλνα, Δp: Δx. Άρα η ζητούµενη παροχ είναι Π=C( Δp/ Δ x) µ η ν S τ µε µ =, ν =, τ =. Για κυκλικ διατοµ S = πr, C = /8π. Θεωρώ κυκλικ τροχιά για απλότητα. Απουσία ακτινοβολίας για t =, e mυ =, r = a r e e mω r = ω = (α) r ma / π ma 6 = π,5 s = ω e 6 αφού ω =, rad/s (β) Η ακτινοβολία ενός επιταχυνόµενου σωµατίου ισούται µε

5 I = e a / c όπου a η επιτάχυνση. Εδώ, αν υποθέσω ότι ( to / )? (όπου t o ο χρόνος ζως), τότε η επιτάχυνση είναι ουσιαστικά η κεντροµόλος επιτάχυνση υ e a = = r mr Η ενέργεια του συστµατος, e /r, µειώνεται λόγω της ακτινοβολίας. Έχουµε 6 d e e = I = dt r c m r 6 e dr e = r dt c m r dr e = dt m c r e rdr= dt mc e r = a t mc Ο χρόνος ζως του ατόµου θα τερµατισθεί όταν το ηλεκτρόνιο πέσει πάνω στο πρωτόνιο, δηλαδ όταν mca c to = = α.µ. e =,55 s (!) t o t o,55 = 6 5 =. (γ),5 Άρα η παραδοχ to /? επαληθεύεται. Αν ίσχυε η κλασικ µηχανικ το άτοµο του υδρογόνου θα κατέρρεε σε 5,5 τρισεκατοµµυριοστά του δευτερολέπτου. Ευτυχώς υπάρχει το h (!) Διαστατικ ανάλυση Το t o θα εξαρτάται από: (α) Το e (αν δεν υπρχε το e δεν θα υπρχε ακτινοβολία και η κίνηση θα συνεχιζόταν για πάντα, αν δεν υπρχαν συγκρούσεις µε άλλα συστµατα, όπως η Γη γύρω από τον Ήλιο). Επίσης το e καθορίζει την κεντροµόλο επιτάχυνση. (β) Το a (που είναι η αρχικ απόσταση αν a =, to = ) (γ) Τη µάζα m του ηλεκτρονίου (αφού το m επηρεάζει την επιτάχυνση που επηρεάζει την ακτινοβολία) (δ) Την ταχύτητα του φωτός c (αφού πρόκειται για ακτινοβολία αν το c = τότε θα είχαµε το ηλεκτροστατικό όριο και όχι ακτινοβολία).

6 Από τα τρία πρώτα φτιάχνουµε δύο µεγέθη µε διαστάσεις χρόνου, t, και ταχύτητας, υ. / / a m a t = = υ e e υ = / ( ma) Άρα / / m a e to = f / e c( ma ) όπου η συνάρτηση f( x ) είναι ακόµη άγνωστη. Όµως το c µπαίνει µόνο στην c. Εποµένως ακτινοβολία και µπαίνει ως f( x) = C x (γιατί όχι f( x) = x ; Γιατί όταν c το t ) Άρα m a c m a to = C e e mac = C e / / / /. Στο χώρο ανάμεσα στις δύο πλάκες υπάρχουν κβαντικές διακυμάνσεις του ΗΜ πεδίου, η ενέργεια των οποίων δίνεται από τη λεγόμενη κίνηση μηδενικού σημείου Eολ ( d) = h ωn. Η ενέργεια Eολ ( d) είναι προφανώς μηδέν για d = και είναι άπειρη n για d. Επομένως, αν θεωρσουμε τη διαφορά ΔE ( d) E ( d) E ( ) έχουμε ολ ολ ολ ότι ΔE ολ για d και ΔE ολ για d. Η ποσότητα Δ E ολ οφείλει να εξαρτάται από την απόσταση d και από τις παγκόσμιες σταθερές h και c (αφού πρόκειται για κβαντικό, ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο). Δεν εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά των μεταλλικών πλακών, αφού θεωρσαμε ότι είναι τέλεια μέταλλα. Προφανώς το Δ E ( d) είναι ανάλογο της επιφάνειας S των μεταλλικών πλακών (θεωρούμε ότι S? d) Άρα ΔEολ ( d) α β γ = Ch c d S [ E] = Et α α β / t γ l l l Η παραπάνω διαστατικ σχέση ικανοποιείται για α = β = και β + γ = γ =. Εποµένως ΔEολ ( d) hc = C S d ολ

7 όπου το C είναι αρνητικός αριθµός για να ικανοποιηθούν οι οριακές συνθκες. Συµβαίνει να είναι C = π /7 και εποµένως η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας (δηλ. η ελκτικ πίεση) είναι F ΔE( d) π hc = = =, 97 bar για d = nm S d S d