Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Πολυστοχαστικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητές με παραδείγματα οι Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων 5

6 Αναφορές - Βιβλιογραφία Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Μ. Zeleny, Linear MultiObjective Programming, Springer Verlag,

7 Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (α) Ένα πολυκριτήριο πρόγραμμα μεγιστοποίησης γράφεται: Να Βελτιστοποιηθούν (max, min) οι αντικειμενικές συναρτήσεις: g1 ( x ) = c11x1 + c12x2 + + c1lxl g2 ( x ) = c21x1 + c22x2 + + c2lxl.. gn ( x ) = cn1x1 + cn2x2 + + cnlxl υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις που θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε Τα περισσότερα προβλήματα είναι πολυκριτήρια (Μεγιστοποίηση Κέρδους και Ελαχιστοποίηση Κόστους) 7

8 Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (β) ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΛΥΣΗ Οι αντικειμενικές συναρτήσεις λειτουργούν ανταγωνιστικά. Ελαχιστοποίηση του κόστους προκαλεί και μείωση των κερδών. Δεν υπάρχει ποτέ σχεδόν μια λύση που να είναι βέλτιστη με όλες τις αντικειμενικές συναρτήσεις ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΛΗ ΛΥΣΗ που προκύπτει μέσα από διαλόγους με τον αποφασίζοντα. Στόχος η προσέγγιση λύσης που να εναρμονίζεται με τις συνθήκες του προβλήματος ή τις προτιμήσεις του αποφασίζοντος 8

9 Βήματα Πολυστοχικός Γρ. Πρ/σμός Μοντελοποίηση του Προβλήματος Επίλυση Γρ. Προβλημάτων Αντικειμενικές Συναρτήσεις (Βελτιστοποίηση ) Περιορισμοί Λύνουμε τόσα Γρ. Πρ. Όσα και οι αντ. Συναρτήσεις. Σε κάθε Γρ. Πρ. Έχουμε και μια από τις αντ. συν. Α) Επιπεδα Ικανοποίησης στις Αντικειμενικές. Συν/σεις Β) ιεράρχηση αντ. Συν. Ως προς την ικανοποίηση Κατασκευάζουμε Πίνακα Πληρωμών Ορισμός των επιπέδων ικανοποποίησης στις αντ. συνάρτήσεις Περιλαμβάνει α) τιμές των μεταβλητώναπό τις λύσεις του πρ. Βήματος και β) τις αντίστοιχες τιμές των αντ. συναρτήσεων. Περιλαμβάνει Διαδραστικές διαδικασίες που κάθε φορά ορίζει ο Αποφασίζων τιμές που μπορεί να παραχωρήσει σε μια αντ. Συν. για βελτίωση σε άλλη. Επίλυση Γρ. Πρ. Βελτ/σης κριτηρίου με την μικρότερη ικανοποίηση Ανάλυση Παραχωρήσεων 9

10 Βήματα του Π.Π. Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών 1. Λύνουμε τόσα Γραμμικά Προβλήματα όσες και οι αντικειμενικές συναρτήσεις με τη μέθοδο SIMPLEX Σε κάθε γραμμμικό πρόβλημα εχουμε και μια από τις αντικειμενικές συναρτήσεις και τους περιορισμούς. Γ.Π. 1 Max (Min) (g 1 ( x ) = c 11 x 1 + c 12 x c 1l x l ) υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Γ.Π.2 Max (Min) (g 2 ( x ) = c 21 x 1 + c 22 x c 2l x l ) υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Γ.Π.Ν. Max (Min) (g n ( x ) = c n1 x 1 + c n2 x c nl x l ) υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} 10

11 Βήμα 2: Πίνακας Πληρωμών Βήμα 2: Κατασκευάζουμε τον Πίνακα Πληρωμών Οι τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων gi για τη λύση που μεγιστοποιεί την συνάρτηση gi, gii* βέλτιστη τιμή Οι τιμές των μεταβλητών για κάθε μαι από τις λύσεις που μεγιστοποιούν και μια από τις αντ. Συναρτ. Λύση g1 g2 gn x1 x2 xk Maxg1 g11* g12 g1n X11 x12.. x1k maxg1 g21 g12* g2n X21 x22.. x2k maxgn gn1 gn2* gnn* Xn1 x2n.. xnk 11

12 Παράδειγμα (Σίσκος 1998) Αναζητείται το μενού ενός ανθρώπου από 6 τροφές (γάλα, βοδινό κρέας, αυγά, ψωμί, μαρουλοσαλάτα και χυμός πορτοκαλιού) ώστε να πληρείται η συνταγή γιατρού, να πάρει δηλαδή ημερησίως τουλάχιστον βιταμίνες Α, τουλάχιστον θερμίδες, τουλάχιστον 63 gr πρωτεΐνης και τουλάχιστον 12,5 mg σι δήρου, με τριπλό στόχο: 1) την ελαχιστοποίηση της ποσότητας χοληστερόλης, 2) την ελαχιστοποίηση της ποσότητας υδατανθράκων και 3) την ελαχιστοποίηση του ημερήσιου κόστους διατροφής. Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι περιεκτικότητες σε θρεπτικά συστατικά των 6 τροφών όπως επίσης και πληροφορίες που αφορούν τους τρεις στόχους (περιεκτικότητες σε βλαβερές ουσίες και μοναδιαία κόστη). Το παράδειγμα περιλαμβάνεται στο βιβλίο Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών,

13 Δεδομένα παραδείγματος Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδε ς) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσα λάτα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 Ελάχιστη ημερήσια ποσότη τα ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μέγιστες Επιτρεπετές Ποσότητες 3,4 0,454 0,25 0,284 0,284 2,3 ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Βιταμίνες Α θερμίδες Πρωτεΐνες (gr) Σίδηρος (mg) 0,4 22,3 13,2 26,5 5 2,1 12,5 ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Κόστος (δρχ.) 1,5 15,0 3,0 10,0 5,0 1,5 Χοληστερόλη (μονάδες) 18,0 44,0 120,0 0,0 0,0 0,0 Υδατάνθρακες 42,0 60,0 0,0 529,0 39,0 92,0 13

14 Μοντελοποίηση (α) Άγνωστες Μεταβλητές: x1, x2, x6 : οι ποσότητες που πρέπει να λάβει ημερήσια από τις 6 τροφές. Αντικειμενικές συναρτήσεις Ελαχιστοποίηση Κόστους g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6 Ελαχιστοποίηση χοληστερόλης g2 ( x ) = 18x1 + 44x x3 Ελαχιστοποίηση υδατανθράκων g3 ( x ) = 42x1 + 60x x4 + 39x5 + 92x6 14

15 Συνθήκες Μοντελοποίηση (β) 1268x x x x x (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x x x x x x (θερμίδες) 32x x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 15

16 Επίλυση 1ου Γ.Π Ελαχιστοποίηση Κόστους Min(g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6) Με Συνθήκες 1268x x x x x (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x x x x x x (θερμίδες) 32x x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Γάλα (lt) Βοδινό κρέας (kg) Αυγά (12δες) Ψωμί (kg) Μαρουλοσαλάτα Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 Χυμός πορτοκάλι (πίντες) 2, ,25 0, , Η Λύση Κριτήριο Τιμή Κόστος 7, Χοληστερόλη 69,44247 Υδατάνθρακες 277,

17 Επίλυση 2ου Γ.Π Ελαχιστοποίηση χοληστερόλης g2 ( x ) = 18x1 + 44x x3 Με Συνθήκες 1268x x x x x (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x x x x x x (θερμίδες) 32x x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Η Λύση Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδες) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσαλάτ α Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 0, ,284 0,284 2,3 Κριτήριο Τιμή Κόστος 9, Χοληστερόλη 17,85921 Υδατάνθρακες 414,5835

18 Επίλυση 3ου Γ.Π Ελαχιστοποίηση υδατανθράκων g3 ( x ) = 42x1 + 60x x4 + 39x5 + 92x6 Με Συνθήκες 1268x x x x x (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x x x x x x (θερμίδες) 32x x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Η Λύση Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδες ) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσαλά τα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Κριτήριο Τιμή Κόστος 12,95344 Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 2, ,454 0,25 0 0,284 0 Χοληστερόλη 97,65723 Υδατάνθρακες 149,5722

19 Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών Τύπος Λύσης Κόστος ( ) Χοληστερόλη (μονάδες) Υδατάνθρ. (γραμ μ.) x1 x2 x3 x4 x5 x6 [min] g1 7,45 69,44 277,21 0,99 0,00 0,00 0,28 0,28 2,30 [min] g2 9,20 17,86 414,58 2,65 0,45 0,25 0,00 0,28 0,00 [min] g3 12,95 97,66 149,57 2,19 0,00 0,25 0,28 0,00 0,38 Ανταγωνιστικές οι τιμές των αντ. συναρτήσεων Οι τιμές των αγνώστων από την επίλυση των γρ. Προβλημάτων 19

20 Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 1 Συνεχίζουμε με τον Πίνακα Πληρωμών Ζητάμε από τον αποφασίζοντα να θέσει πάνω ή κάτω όρια (ανάλογα) στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων. O αποφασίζων θεωρεί ως ανεκτούς στόχους για το κόστος διατροφής και τις δόσεις χοληστερόλης και υδατανθράκων αντίστοιχα, τις τιμές: 10., 60 μονάδες και 300 gr, δηλαδή L1=(10, 60, 300)t και q= μον. 300γρ Τύπος Λύσης Κόστος ( ) Χοληστερόλη (μονάδες) Υδατάνθρ. (γραμμ.) x1 x2 x3 x4 x5 x6 [min] g1 7,45 69,44 277,21 0,99 0,00 0,00 0,28 0,28 2,30 [min] g2 9,20 17,86 414,58 2,65 0,45 0,25 0,00 0,28 0,00 [min] g3 12,95 97,66 149,57 2,19 0,00 0,25 0,28 0,00 0,38 20

21 Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 2 (1) Ζητάμε από τον αποφασίζοντα να προσδιορίσει την αντικειμενική συνάρτηση στην οποία είναι λιγότερο ικανοποιημένος από την τιμή της. Λύνουμε το Γραμμικό Πρόβλημα το οποιο ικανοποιεί του στόχους (πάνω ή κάτω όρια) και μεγιστοποιεί την τιμη της αντικειμενικής συνάρτησης που είμαστε λιγότερο ικανοποιημένοι. 21

22 Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Στο παράδειγμα μας ο αποφασίζων ορίζει ως λιγότερο ικανοποιηθέν το κριτήριο κόστους: g1. Κατασκευάζουμε το Γ.Π. min(g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6) g2 ( x ) = 18x1 + 44x x3 60 g3 ( x ) = 42x1 + 60x x4 + 39x5 + 92x x x x x x (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x x x x x x (θερμίδες) 32x x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Βήμα 2 (2) Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδες ) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσαλά τα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) 297 Τιμή Αντικ. Συνάρτηση 1 7,82 Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 2,12 0,02 0,17 0,28 0,00 0,61 Αντικ. Συνάρτηση 2 60 Αντικ. Συνάρτηση 3 297,18

23 Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 2 (3) Ακολουθεί διάλογος με τον αποφασίζοντα όσον αφορά την ικανοποίηση ή οχι των αντικειμειμενικών συναρτήσεων. Σε περίπτωση μη ικανοποίησης του αποφασίζοντα τότε εφαρμόζουμε την ανάλυση παραχωρήσεων. Προσπαθούμε να προσεγγίσουμε μια τιμή (μεγαλύτερη ή μικρότερη από την εκτιμημένη ανάλογα) στην αντικειμενική συνάρτηση που βελτιστοποιήσαμε (παραχώρηση) έτσι να βελτιωθούν οι τιμές στις άλλες αντικειμενικές συναρτήσεις. Στην περίπτωση αυτή λύνουμε το Γρ. Πρόβλημα που ακολουθεί. 23

24 Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Ο Αποφασίζων κρίνει ότι η τιμή 7,68 για το κόστος είναι πολύ ικανοποιητική και θα μπορούσε να δώσει ακόμη 1 προκειμένου να βελτιώσει τις τιμές όσον αφορά στους υδατάνθρακες. Συνεπώς έχουμε: Min(g3 ( x ) = 42x1 + 60x x4 + 39x5 + 92x6) g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6 8,68 g2 ( x ) = 18x1 + 44x x x x x x x (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x x x x x x (θερμίδες) 32x x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Βήμα 2 (4) Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδ ες) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσα λάτα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 2,33 0,05 0,13 0,27 0,28 0,00 Κριτήριο Τιμή Αντικ. Συνάρτηση 1 8,82 Αντικ. Συνάρτηση 2 60 Αντικ. Συνάρτηση 3 256,94

25 Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 2 (5) Συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να φτάσουμε στην ικανοποιητική για τον αποφασίζοντα λύση.. 25

26 Ασκήσεις Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, και και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4 έως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 26

27 Μοντελοποίηση ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x x x 3 ) Min(15000x x x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 +90x x

28 Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (ελ. Κόστους) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Min(15000x x x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 +90x x

29 ΒΗΜΑ 2 ελαχ. κόστους ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x1+70x2+160x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,= <=

30 Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (Μεγιστ. Φοιτητών) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Max(40x x x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 +90x x

31 ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x1+70x2+160x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ3 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 6 >= 4 χ3<=5 6 <= 8 Επιφάνεια,= <=

32 Πίνακας Πληρωμών Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ

33 ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ 40*x1+70x2+160 x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ ΜΙΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 6 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,= <= 1950 Επιπρόσθετη Συνθ 1530 >=

34 ΒΗΜΑ 3 Ανάδραση 1 ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x1+70x2+160x ΜΑΧ Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,= <= 1950 Επιπρ. Συνθ <=

35 Πολυστοχικός Προγραμματισμός Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων

36 Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων Να Βελτιστοποιηθούν (max, min) οι αντικειμενικές συναρτήσεις: g1 ( x ) = c11x1 + c12x2 + + c1lxl g2 ( x ) = c21x1 + c22x2 + + c2lxl.. gn ( x ) = cn1x1 + cn2x2 + + cnlxl υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Βασική Ιδέα: Μετατροπή του Πολυκριτήριου Προβλήματος σε Μονοκριτήριο Τεχνική που εξασφαλίζει αποτελεσματικά την λύση του προβλήματος 36

37 Βήματα Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Εστω Κ 1, Κ 2, Κ n τα όρια των επιθυμητών τιμών (Αυτό μπορεί να γίνει και μετά την εκτίμηση του Πίνακα Πληρωμών) B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1+, d 1-, d 2+, d 2-, d n+, d n- ώστε c11x1 + c12x2 + + c1lxl + d d 1 - = Κ1 c21x1 + c22x2 + + c2lxl + d d 2 - = Κ2... cn1x1 + cn2x2 + + cnlxl + d n + - d n - = Κ1 Κανονικοποιούμε στο διάστημα [0,1] Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d d d d d n + - d n - 37

38 Μοντελοποίηση Προβλήματος Το Γραμμικό Πρόβλημα γίνεται: n Min (Σ( d i + + d i - ) ι=1 Υπό περιορισμούς n Σc ij x j + d i + - d i - = K i, j=1 l i=1 x A = {x Rl / Ax b, x 0} 38

39 Παράδειγμα (Προηγούμενη Άσκηση) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x1 + 70x x3) Min(15000x x x3) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ1 5 Χ2 7 Χ3 4 Χ3 8 60*x1+90x2+150x Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, και και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4έ ως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 39

40 Βήμα 1 Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ Ο Αποφασίζων εκφράζει τα επιθυμητά επίπεδα στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων (κριτήρια). Ό Πίνακας Πληρωμών δίνει ένδειξη των τιμών (ρεαλιστικών) στις αντικειμενικές συναρτήσεις. Στη περίπτωση ο Αποφασίζων δίνει τις επιθυμητές τιμές 1500 και για τα κριτήρια επιφάνεια και κόστος. 40

41 Βήματα 1 & 2 Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Ο Αποφασίζων δίνει 1500 τ.μ.για την επιφάνεια και για το κόστος B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1+, d 1-, d 2+, d 2- ώστε οι αντικειμενικές συναρτήσεις να μορφοποιηθούν σε : 40x x x 3 + d d 1 - = x x x 3 + d d 2 - = Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d d d d d n + - d n - 41

42 Κατασκευάζουμε το Γραμμικό Πρόβλημα ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 Τεχνητές Μεταβήτές: d1+, d1-, d2+, d2- (ένα ζεύγος για κάθε αντικειμενική) Αντικειμενική Συνάρτηση 2 Min (Σ( d i + + d i - ) ι=1 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ 40x x x 3 + d d 1 - = x x x 3 + d d 2 - = Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ *x 1 +90x x

43 ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια Κόστος Ελ. Αριθμ. Αιθουσών Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ ΝΕΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Αγνωστοι D+ Αγνωστοι D- Επίλυση Νέα Συνθήκης Τιμές Στόχου 40*x1+70x2+ 160x Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ Αθροισμα D+, D ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 8 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,= <=

44 Τέλος Ενότητας