Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Transcript

1 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου 2016

2 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις ΕΕ Κλάδοι Ιστορία Μάθημα Επιχειρησιακή Ερευνα Επιχειρησιακή Ερευνα= Τα μαθηματικά της βελτιστοποίησης, Μαθηματικά μοντέλα μελέτης - βελτιστ. διαδικασιών, Μαθηματική θεωρία λήψης αποφάσεων.

3 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις ΕΕ Κλάδοι Ιστορία Μάθημα Κλάδοι της Επιχειρησιακής Ερευνας Γραμμικός Προγραμματισμός. Μη-Γραμμικός Προγραμματισμός. Ακέραιος Προγραμματισμός - Συνδυαστική Βελτιστοποίηση. Δυναμικός Προγραμματισμός. Θεωρία Παιγνίων. Θεωρία Ελέγχου Αποθεμάτων. Θεωρία Ουρών Αναμονής....

4 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις ΕΕ Κλάδοι Ιστορία Μάθημα Ιστορική αναδρομή στη Βελτιστοποίηση Ι Fermat, 1638, Newton 1670 Euler, 1755 Lagrange, 1807 min f(x), x R Λύνουμε df(x) dx = 0 κλπ. min f(x 1, x 2,..., x n ) Λύνουμε f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 κλπ. min f(x 1, x 2,..., x n ) υπό g k (x 1, x 2,..., x n ) = 0, k = 1, 2,..., m

5 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις ΕΕ Κλάδοι Ιστορία Μάθημα Ιστορική αναδρομή στη Βελτιστοποίηση ΙΙ Fourier, 1826: Λύση συστήματος γραμμικών ανισοτήτων. Farkas, Minkowski, Καραθεοδωρή, : Θεμελίωση Κυρτής Ανάλυσης, Θεωρίας πολυέδρων κλπ. Von Neumann, 1928: Θεωρία παιγνίων, δυϊκότητα. Kantorovich, Koopmans, 1930: Λύση προβλ. γρ. προγρ. Dantzig, 1947: Μέθοδος Simplex. Karmarkar, 1981: Αλγόριθμος εσωτερικού σημείου : Ημιορισμένος και κωνικός προγραμματισμός : Εύρωστος (robust) προγραμματισμός.

6 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις ΕΕ Κλάδοι Ιστορία Μάθημα Ιστορική αναδρομή στη Βελτιστοποίηση ΙΙΙ Βραβεία Νόμπελ στα Οικονομικά Leonid Kantorovich, Tjalling Koopmans 1975: Θεωρία Βέλτιστης Κατανομής των Πόρων. Harry Markowich, 1990: Χρηματοοικονομικά - Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. John Harsanyi, John Nash, Reinhard Selten, 1994: Θεωρία Παιγνίων. Robert Aumann, Thomas Schelling, 2005: Θεωρία Παιγνίων. Robert Myerson, 2007: Θεωρία Παιγνίων - Θεωρία σχεδιασμού μηχανισμών. Lloyd Shapley, 2012: Θεωρία Παιγνίων.

7 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις ΕΕ Κλάδοι Ιστορία Μάθημα Στόχοι του μαθήματος Κατηγορίες προβλημάτων βελτιστοποίησης. Μοντελοποίηση προβλημάτων βελτιστοποίησης. Κλασικά προβλήματα βελτιστοποίησης. Διάκριση δυσκολίας προβλημάτων βελτιστοποίησης. Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης στον ΗΥ. Βασικές υπολογιστικές μέθοδοι για προβλήματα Γραμμικού Προγραμματισμού. Επεκτάσεις σε προβλήματα Ακέραιου και μη-γραμμικού Προγραμματισμού.

8 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις ΕΕ Κλάδοι Ιστορία Μάθημα Δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα - πλαίσιο. Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό. Κλασικά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης σε ΗΥ (AMPL). Μέθοδος επίλυσης Simplex. Δυϊκή θεωρία γραμμικού προγραμματισμού. Ανάλυση ευαισθησίας γραμμικού προγραμματισμού. Μέθοδοι επίλυσης εσωτερικού σημείου. Εισαγωγή στον ακέραιο προγραμματισμό. Μέθοδοι επίλυσης ακέραιου προγραμματισμού. Εισαγωγή στο μη-γραμμικό προγραμματισμό.

9 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Μαθ Προγρ Γραμ Προγρ Γενικό πρόβλημα μαθηματικού προγραμματισμού x j, j = 1, 2,..., n: μεταβλητές απόφασης. ζ: η αντικειμενική συνάρτηση. Αντικειμενική συνάρτηση: ζ = f(x 1, x 2,..., x n ). Τυπικός συναρτησιακός περιορισμός: g(x 1, x 2,..., x n ) ή = ή b. Τυπικός περιορισμός μεταβλητών: x j A j.

10 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Μαθ Προγρ Γραμ Προγρ Γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού x j, j = 1, 2,..., n: μεταβλητές απόφασης. ζ: η αντικειμενική συνάρτηση. Γραμμική αντικειμενική συνάρτηση: ζ = c 1 x 1 + c 2 x c n x n. Τυπικός γραμμικός περιορισμός: a 1 x 1 + a 2 x a n x n ή = ή b. Τυπικός περιορισμός μεταβλητών: x j 0 ή 0 ή R.

11 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Μαθ Προγρ Γραμ Προγρ Προϋποθέσεις γραμμικού προγραμματισμού Αναλογικότητα: Η συνεισφορά μιας μεταβλητής στην αντικειμενική και στους περιορισμούς είναι ανάλογη της τιμής της. Προσθετικότητα: Η συνεισφορά μιας μεταβλητής στην αντικειμενική και στους περιορισμούς δεν εξαρτάται από άλλες μεταβλητές. Η συνολική συνεισφορά των μεταβλητών αποφάσεων ισούται με το άθροισμα των επιμέρους συνεισφορών τους. Διαιρετότητα: Κάθε μεταβλητή παίρνει πραγματικές τιμές. Βεβαιότητα - Ντετερμινισμός: Οι παράμετροι είναι απόλυτα γνωστές. Δεν υπεισέρχεται τυχαιότητα.

12 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Μαθ Προγρ Γραμ Προγρ Κεντρική θέση του Γραμμικού Προγραμματισμού Πληθώρα εφαρμογών. Κομψή και πλήρης μαθηματική θεωρία. Υπαρξη αποτελεσματικών αλγορίθμων. Υπόβαθρο για τον ακέραιο προγραμματισμό. Υπόβαθρο για το μη-γραμμικό προγραμματισμό.

13 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Μαθ Προγρ Γραμ Προγρ Κλασική βελτιστ. / Γραμμικός Προγραμματισμός Κλασική βελτιστοποίηση με απειροστικό λογισμό: Μια μεταβλητή, Μη-γραμμική αντικειμενική συνάρτηση, Περιορισμός της μεταβλητής σε διάστημα. Γραμμικός προγραμματισμός: Μεγάλο πλήθος μεταβλητών, Γραμμική αντικειμενική συνάρτηση, Μεγάλο πλήθος γραμμικών περιορισμών.

14 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Κλασικά προβλήματα Το πρόβλημα της μίξης των υλικών. Το πρόβλημα της αποτίμησης των υλικών. Το πρόβλημα της δίαιτας. Το πρόβλημα της μεταφοράς. Προγραμματισμός παραγωγής.

15 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της μίξης των υλικών n τύποι προϊόντων προς παραγωγή. m τύποι πρώτων υλών. a ij : ποσότητα από την πρώτη ύλη i που απαιτείται για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος τύπου j. b i : διαθέσιμη ποσότητα πρώτης ύλης i. c j : καθαρό κέρδος από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος τύπου j. Στόχος: Μεγιστοποίηση συνολικού καθαρού κέρδους από την πώληση των προϊόντων.

16 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της μίξης - Μοντελοποίηση x j : ποσότητα προϊόντος j που θα παραχθεί. Π.γ.π.: max υπό n j=1 c jx j n j=1 a ijx j b i, i = 1, 2,..., m x j 0, j = 1, 2,..., n.

17 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της αποτίμησης των υλικών n τύποι προϊόντων προς παραγωγή. m τύποι πρώτων υλών. a ij : ποσότητα από την πρώτη ύλη i που απαιτείται για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος τύπου j. b i : διαθέσιμη ποσότητα πρώτης ύλης i. c j : καθαρό κέρδος από την πώληση μιας μονάδας προϊόντος τύπου j. Στόχος: Καθορισμός τιμών ανά μονάδα πρώτης ύλης ώστε να ελαχιστοποιείται η συνολική αξία των πρώτων υλών στην οποία είναι πρόθυμη η επιχείρηση να τις πουλήσει αντί να παραγάγει προϊόντα.

18 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της αποτίμησης - Μοντελοποίηση y i : τιμή ανά μονάδα πρώτης ύλης i που θα πωληθεί. Π.γ.π.: min υπό m m i=1 b iy i i=1 a ijy i c j, j = 1, 2,..., n y i 0, i = 1, 2,..., m.

19 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της δίαιτας n τύποι φαγητών προς κατανάλωση. m είδη θρεπτικών συστατικών. a ij : η ποσότητα θρεπτικού συστατικού i που περιέχεται σε μια μερίδα φαγητού j. b i : η ελάχιστη ημερήσια ποσότητα θρεπτικού συστατικού i που επιβάλλεται να προσληφθεί. d i : η μέγιστη ημερήσια ποσότητα θρεπτικού συστατικού i που επιτρέπεται να προσληφθεί. c j : κόστος μιας μερίδας φαγητού j. Στόχος: Καθορισμός της δίαιτας ελάχιστου κόστους που σέβεται τους διατροφικούς περιορισμούς.

20 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της δίαιτας - Μοντελοποίηση x j : μερίδες φαγητού j που θα αγοραστούν. Π.γ.π.: min υπό n n j=1 c jx j j=1 a ijx j b i, i = 1, 2,..., m n j=1 a ijx j d i, i = 1, 2,..., m x j 0, j = 1, 2,..., n.

21 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της μεταφοράς m σημεία παραγωγής, n σημεία κατανάλωσης. s i : η προσφορά του σημείου i. d j : η ζήτηση του σημείου j. c ij : κόστος μεταφοράς μιας μονάδας προϊόντος από το i στο j. Στόχος: Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς από τα σημεία παραγωγής στα σημεία κατανάλωσης.

22 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Το πρόβλημα της μεταφοράς - Μοντελοποίηση x ij : ποσότητα προς μεταφορά από το i στο j. Π.γ.π.: min υπό m m n i=1 j=1 c ijx ij i=1 x ij = d j, j = 1, 2,..., n n j=1 x ij = s i, i = 1, 2,..., m x ij 0, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n.

23 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Προγραμματισμός παραγωγής Εταιρεία προγραμματίζει την παραγωγή προϊόντος. t: Αριθμός περιόδων παραγωγής. i initial : Αρχικό απόθεμα προϊόντος. Στην αρχή κάθε περιόδου, η εταιρεία παράγει νέα προϊόντα και αμέσως μετά ικανοποιεί την τρέχουσα ζήτηση. d n : Ζήτηση προϊόντος την περίοδο n, n = 1, 2,..., t. i final : Τελικό απαιτητό απόθεμα προϊόντος. c n : Κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος την περίοδο n, n = 1, 2,..., t. h n : Κόστος αποθήκευσης υπερβάλλοντος προϊόντος ανά μονάδα προϊόντος την περίοδο n, n = 1, 2,..., t. Η ζήτηση κάθε περιόδου πρέπει να ικανοποιείται άμεσα (no backlogging). Στόχος: Ελαχιστοποίηση κόστους αποθήκευσης.

24 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Παρ1 Παρ2 Παρ3 Παρ4 Παρ5 Προγραμματισμός παραγωγής - Μοντελοποίηση x n : ποσότητα παραγωγής προϊόντος την περίοδο n, n = 1, 2,..., t. y n : απόθεμα προϊόντος την περίοδο n, n = 1, 2,..., t (αμέσως μετά την ικανοποίηση της ζήτησης). Π.γ.π.: min t n=1 (c nx n + h n y n ) υπό i initial + x 1 = d 1 + y 1 y n 1 + x n = d n + y n, n = 2, 3,..., t y t = i final x n, y n 0, n = 1, 2,..., t.

25 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Απόλυτες τιμές max-min/min-max Προβλήματα που ανάγονται σε π.γ.π. Προβλήματα με απόλυτες τιμές μεταβλητών. Προβλήματα max min και min max: Μεγ. κατά τμήματα γραμμικών κοίλων συναρτήσεων, Ελαχ. κατά τμήματα γραμμικών κυρτών συναρτήσεων.

26 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Απόλυτες τιμές max-min/min-max Αντικειμενική συνάρτηση με απόλυτες τιμές Πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Στην αντικειμενική συνάρτηση υπάρχει όρος c j x j με c j > 0 και x j R. Θέτουμε: x j = x + j x j, x j = x + j + x j, x + j 0, x j 0. Στη βέλτιστη λύση θα είναι σίγουρα x + j x j = 0 (λόγω ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής και c j > 0).

27 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Απόλυτες τιμές max-min/min-max Παράδειγμα Το πρόβλημα μη-γραμμικού προγραμματισμού min 2 x + y υπό 3x + 4y 12 5x + 2y 10 γράφεται ισοδύναμα (x = x + x, y = y + y ) min 2x + + 2x + y + + y υπό 3x + 3x + 4y + 4y 12 5x + 5x + 2y + 2y 10 x +, x, y +, y 0.

28 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Απόλυτες τιμές max-min/min-max Προβλήματα max min και min max (α) Κατά τμήματα γραμμική κυρτή συνάρτηση. (β) Προσέγγιση κυρτής συνάρτησης από κατά τμήματα γραμμική. Κατά τμήματα γραμμική κυρτή συνάρτηση = Μέγιστο γραμμικών συναρτήσεων Π.χ. max(c 1 x + d 1, c 2 x + d 2, c 3 x + d 3 ).

29 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Απόλυτες τιμές max-min/min-max Προβλήματα max min και min max Πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Η αντικειμενική συνάρτηση είναι κατά τμήματα γραμμική κυρτή συνάρτηση. Την εκφράζουμε ως max i=1,2,...,m (c T i x + d i ). Την αντικαθιστούμε με μια νέα μεταβλητή z. Προσθέτουμε τους περιορισμούς z c T i x + d i, i = 1, 2,..., m. Στη βέλτιστη λύση θα είναι z = c T i x + d i για κάποιο i = 1, 2,..., m (λόγω ελαχιστοποίησης της αντικειμενικής). Οπότε πράγματι θα είναι z = max i=1,2,...,m (c T i x + d i ) στη βέλτιστη λύση.

30 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Απόλυτες τιμές max-min/min-max Παράδειγμα Το πρόβλημα μη-γραμμικού προγραμματισμού min max i=1,2,...,m (c T i x + d i ) υπό Ax b γράφεται ισοδύναμα (z = max i=1,2,...,m (c T i x + d i )) min υπό z z c T i x + d i, i = 1, 2,..., m Ax b.

31 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Απόλυτες τιμές max-min/min-max Προβλήματα max min και min max Αν έχουμε ελαχιστοποίηση κυρτής συνάρτησης, μπορούμε να την προσεγγίσουμε από κατά τμήματα γραμμική κυρτή συνάρτηση και να ανάγουμε σε προσεγγιστικό π.γ.π. Αν έχουμε μεγιστοποίηση κατά τμήματα γραμμικής κοίλης συνάρτησης, η μέθοδος προσαρμόζεται και ανάγουμε σε π.γ.π. Περιορισμός f(x) b με f(x) = max i=1,2,...,m (c T i x + d i ) μπορεί να αντικατασταθεί από τους γραμμικούς περιορισμούς c T i x + d i b, i = 1, 2,..., m. x = max(x, x). Επομένως η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί όταν εμφανίζονται απόλυτες τιμές μεταβλητών.