Θεωρία Μεθόδου Simplex

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Μεθόδου Simplex"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. 2

3 Βασικές Αρχές Επίλυσης Για την εφαρμογή της μεθόδου Simplex πρέπει το πρόβλημα ΓΠ να βρίσκεται στην πρότυπη μορφή. Υπενθυμίζονται τα χαρακτηριστικά της γενικής (αρχικής) μορφής: Max (ή Min) Ζ = c 1 x 1 + c 2 x c r x r a 11 x 1 + a 12 x a 1r x r = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2r x r = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mr x r = b m x j 0 (j =1, 2,, r)

4 Κανονική Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΓΠ Η αρχική μορφή ισοδύναμα σε μορφή Πινάκων έχει ως εξής: Max (ή Min) Ζ = c x Α x = b (1xr) x 0 (rx1) με c = c 1 c 2 c 3.. c r και x = x 1 x 2 x 3.. x r T T (mxr) και b = b 1 b 2 b 3.. b m a 11 a 12. a 1r (mx1) και Α = a 21 a 22 a 2r... a m1 a m2 a mr

5 Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΓΠ Ένα πρόβλημα ΓΠ στην πρότυπη του μορφή ικανοποιεί τις ακόλουθες προυποθέσεις: Ισχύουν οι περιορισμοί μη αρνητικότητας όλων των μεταβλητών è x j 0 για κάθε j. Οι σταθεροί όροι των περιορισμών είναι μη αρνητικοί αριθμοί (b i 0, για κάθε i. Οι περιορισμοί είναι όλοι ισότητες. Κάθε πρόβλημα μπορεί να τεθεί στην πρότυπη του μορφή με απλούς μετασχηματισμούς.

6 Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΓΠ Το πρότυπο πρόβλημα ΓΠ που αντιστοιχεί στην αρχική μορφή που περιγράφηκε προηγούμενα είναι το ακόλουθο: Max (ή Min) Ζ = c x Α x = b, b 0 (ΙΙ) (Ι) (1xn) x 0 (ΙΙΙ) (nx1) με c = c 1 c 2 c 3.. c n και x = x 1 x 2 x 3.. x n T T (mxn) και b = b 1 b 2 b 3.. b m a 11 a 12. a 1n (mx1) και Α = a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn

7 Λύσεις του Προβλήματος ΓΠ 1. Όπως ήδη έχει εξηγηθεί κατά τη γραφική επίλυση προβλημάτων ΓΠ, αν υπάρχει μοναδική βέλτιστη λύση αυτή θα βρίσκεται σε ακραίο σημείο της περιοχής των δυνατών λύσεων, δηλαδή σε μια κορυφή της υπερπολυεδρικής επιφάνειας. 2. Το πρόβλημα μπορεί να έχει άπειρες βέλτιστες λύσεις με πεπερασμένη όμως βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. 3. Το πρόβλημα δεν έχει πεπερασμένη λύση (η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης δεν είναι φραγμένη, Ζ è ). 4. Το πρόβλημα δεν έχει καμία λύση άρα είναι αδύνατο. Δεν υπάρχει κοινός τόπος δυνατών λύσεων.

8 Θεωρία Απλό Πρόβλημα Προμηθευτής τρίτου επιπέδου (third tier supplier) μεγάλης αυτοκινητοβιομηχανίας κατασκευάζει δύο ειδών χειροποίητους λεβιέδες ταχυτήτων (Coupe, Speedster) από αλουμίνιο οι οποίοι ενσωματώνονται στα αυτοκίνητα που παράγει η επιχείρηση. Για την παραγωγή χρησιμοποιούνται εξειδικευμένοι τεχνίτες που χρησιμοποιούν ως πρώτη ύλη το αλουμίνιο. Η επιχείρηση θέλει να προγραμματίσει τους δύο αυτούς πόρους (εργασία τεχνιτών και πρώτη ύλη) με στόχο τη μεγιστοποίηση του κέρδους της. Σε ημερήσια βάση υπάρχει διαθεσιμότητα 45 ωρών εργασίας και 1,1 κιλών αλουμινίου και η τιμή πώλησης για κάθε λεβιέ τύπου Coupe είναι 30 ενώ για κάθε λεβιέ τύπου Speedster 50. Οι απαιτήσεις σε πόρους για την παραγωγή των δύο προϊόντων δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Απαιτήσεις σε Πόρους Εργασία σε ώρες / τεµάχιο Αλουµίνιο σε γραµ. / τεµάχιο Λεβιές τύπου Coupe 1 40 Λεβιές τύπου Speedster 2 30 Ζητείται να βρεθεί το πρόγραμμα παραγωγής που μεγιστοποιεί τα έσοδα της επιχείρησης.

9 Μετατροπή σε Πρότυπη Μορφή Αρχική Μορφή ΠΓΠ με περιορισμούς Max Ζ = 30x1 + 50x2 x1 + 2x2 45 4x1 + 3x2 110 και x1, x2 0 Πρότυπη Μορφή ΠΓΠ με περιορισμούς Max Ζ = 30x1 + 50x2 + 0S1 + 0S2 x1 + 2x2 + S1 = 45 4x1 + 3x2 + S2 = 110 και x1, x2, S1,S2 0

10 Ισοδύναμη Μορφή Πινάκων x1 Max c*x = x2 S1 S1 x1 με περιορισμούς Α*x = b, (b 0) è x2 S1 = και S 2 x 0 è x1 x2 S1 S

11 Φυσική Σημασία Μεταβλητών Το πρόβλημα στην Πρότυπη Μορφή του έχει 4 μεταβλητές (2 απόφασης, τις x1 και x2 και 2 απόκλισης, τις S1 και S2) και 2 γραμμικώς ανεξάρτητους περιορισμούς. Άρα το πρόβλημα έχει τουλάχιστον μια λύση. Οι μεταβλητές απόφασης x1 και x2 εκφράζουν τη στάθμη των δραστηριοτήτων. Αναλυτικά: x1 : πλήθος λεβιέδων τύπου Coupe που παράγονται x2 : πλήθος λεβιέδων τύπου speedster που παράγονται Οι μεταβλητές απόκλισης S1 και S2, κατά τα γνωστά, εκφράζουν την ποσότητα των μη-διαθέσιμων πόρων. Αναλυτικά: S1 : πλήθος ωρών εργασίας που περισσεύουν S2 : πλήθος γραμμαρίων αλουμινίου που περισσέυουν

12 Εύρεση Βασικής Δυνατής Λύσης Θεωρούμε ότι για τις εξισώσεις (ΙΙ) βλ. διαφάνεια 5, ισχύει r(a) = r(a,b)=m, δηλαδή ο βαθμός του Πίνακα Α, είναι ίσος με τον βαθμό του επαυξημένου πίνακα (Α,b). Υπενθυμίζεται πως βαθμός Πίνακα είναι ο αριθµός των ανεξάρτητων γραµµικά στηλών και γραµµών του και συµβολίζεται µε r (A). Αυτό σημαίνει πως: Α) οι πλεονάζουσες εξισώσεις έχουν απαλειφθεί [r(a)=m] και Β) υπάρχει τουλάχιστον μία λύση [r(a) = r(a,b)] Υπενθυμίζεται επίσης πως Βάση (Β) ενός (τυχαίου) συστήματος A*x = b είναι: Κάθε τετραγωνικός m x m Πίνακας, έστω Β = [α1, α2,..., αm], που προκύπτει από m γραμμικώς ανεξάρτητες στήλες του Πίνακα Α. Επομένως ισχύει πως η ορίζουσα της βάσης Β = det(b) 0 και υπάρχει ο B -1.

13 Εύρεση Βασικής Δυνατής Λύσης Άρα υπάρχουν m βασικά διανύσματα που αντιστοιχούν σε m βασικές μεταβλητές και n-m μη βασικά που αντιστοιχούν σε n-m μη βασικές μεταβλητές B = [a1, a2,..., am] αντιστοιχούν σε XB = [x 1, x 2,..., x m] Βασικά διανύσματα Μη-Βασικά διανύσματα Βασικές μεταβλητές Μη-Βασικές μεταβλητές Α = [a!!!, a!!!,, a! ]! X! = [x!!!!, x!!!!,, x!!]! Άρα: Α x = b (B, A,-. x B x N 0 = b x B = B 1 b B 1 A, x N (ΙV) Κατά συνέπεια, δίνοντας αυθαίρετες τιμές στα στοιχεία του x N μπορούμε να προσδιορίσουμε τα στοιχεία του x B.

14 Λύσεις Προβλήματος - Ορισμοί x B = B 1 b Βασική λύση που αντιστοιχεί στη βάση Β :, προκύπτει από την (IV) από τον μηδενισμό των μη-βασικών μεταβλητών, δηλ. xn = 0. Βασική δυνατή λύση που αντιστοιχεί στη Βάση Β: Κάθε βασική λύση που ικανοποιεί την (ΙΙΙ), δηλαδή πρέπει xb 0 (αφού xn = 0) Εκφυλισμένη Βασική (δυνατή) Λύση: Κάθε βασική δυνατή λύση στην οποία τουλάχιστον μία βασική μεταβλητή έχει την τιμή μηδέν. Για την εύρεση μιας βασικής δυνατής λύσης επιλέγουμε μια βασική λύση και εξετάζουμε εάν ικανοποιείται η (ΙΙΙ). Οι βασικές λύσεις μπορεί να είναι κατά το μέγιστο: n m n! = m!( n m)! - το πλήθος

15 Σημαντικά Θεωρήματα 1. Κάθε βασική δυνατή λύση του ΠΓΠ είναι ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου (κορυφή του πολυέδρου) των δυνατών λύσεων και κάθε ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων είναι μια βασική δυνατή λύση του συστήματος των περιορισμών. 2. Αν υπάρχει μια (πεπερασμένη) βέλτιστη δυνατή λύση του ΠΓΠ, τότε η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή της σε ένα τουλάχιστον ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων. 3. Υπενθυμίζεται πως για το Σύνολο Δυνατών Λύσεων του ΠΓΠ, έστω F, ισχύουν τα ακόλουθα : - Το F είναι κλειστό και κυρτό. - Το F περικλείεται από μια υπερπολυεδρική επιφάνεια - Το F μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο, είτε μη-πεπερασμένο - Το F μπορεί να είναι και το κενό σύνολο (F= )

16 Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα Στο παράδειγμα μας ο Πίνακας Α και ο επαυξημένος Πίνακας [Α,b] είναι: Α = και [Α,b] = Με την παραδοχή πως r(a)=r(a, b)= 2. Άρα για να βρούμε τις Βάσεις του συστήματος πρέπει να βρούμε τους T τετραγωνικούς 2x2 Πίνακες που προκύπτουν x 1 από 2 γραμμικώς ανεξάρτητες στήλες του Πίνακα Α. Διανύσματα στήλης που αντιστοιχούν σε κάθε μεταβλητή: x1 a1 =, x 2 a 2 =,S1 s1 =,S2 s Πιθανές βάσεις: 4 = 2 4! 2!2! = 6 -το πλήθος 0 = 1

17 Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα B B B B B B 1 = [ a1 2] = 4 1 a 1 = [ a1 1] = 4 2 σ 1 = [ a1 2] = 4 2 = [ a2 1] = 3 2 = [ a2 2] = 3 1 = [ σ1 2] = 0 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ , με βασικές μεταβλητές x1 και x2 και μη-βασικές μεταβλητές S1 = S2 = 0, με βασικές μεταβλητές x1 και S1 και μη-βασικές μεταβλητές x2 = S2 = 0, με βασικές μεταβλητές x1 και S2 και μη-βασικές μεταβλητές x2 = S1 = 0, με βασικές μεταβλητές x2 και S1 και μη-βασικές μεταβλητές x1 = S2 = 0, με βασικές μεταβλητές x2 και S2 και μη-βασικές μεταβλητές x1 = S1 = 0, με βασικές μεταβλητές S1 και S2 και μη-βασικές μεταβλητές x1 = x2 = 0 Παρατηρούμε ότι και οι 6 είναι Βάσεις διότι για κάθε i=1,2,..,6 ισχύει : B 0, (δηλαδή τα διανύσματα είναι ανά δύο γραμμικώς ανεξάρτητα)

18 Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα B1 Με βάση την (IV), η Βασική λύση x1 (που αντιστοιχεί στη Β1) είναι: x 1 B 1 T 1 ( x x ) = B b B1 = 1, 1 = 4 = b = = 3/ 5 4 / 5 2 / 5 1/ 5 Όμοια και πάλι με βάση την (IV), η Βασική λύση x 2 (που αντιστοιχεί στη Β2) υπολογίζεται, για λόγους επίδειξης, λίγο διαφορετικά πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με τον Πίνακα Β: x B2 1 4 x B2 = ( x, S ) 1 1 x = S = ( x = 27,5 S 1 1 T = B b B 2 x B2 = b x1 + S1 = 45 4x1 = 110 = 17,5). x B1 = 3/ 5 4 / 5 x 1 T 2 / = 1/ Επομένως = [ ], Βασική δυνατή λύση και Ζ B1 = 30 x x 14 = 1210 x 2 T Επομένως = [ 27,5 0 17,5 0 ], Βασική δυνατή λύση και Ζ B2 = 30 x 27,5 = 825

19 Εφαρμογή Θεωρίας στο Παράδειγμα Βασική λύση x 3 (που αντιστοιχεί στη Β3) τρίτος τρόπος υπολογισμού Στη Β3 έχουμε μη-βασικές μεταβλητές τις x 2 = S 1 = 0. Άρα αντικαθιστώντας στους περιορισμούς της πρότυπης μορφής έχουμε: T x 3 1 xb3 = ( x1 = 45, S2 = 4x1 + S2 = 110 Ομοίως βρίσκουμε: x x x T 4 T 5 T 6 x = 45 70). Επομένως = [ ] Βασική μη-δυνατή λύση = [0 36,66-28,33 0] Βασική μη-δυνατή λύση = [0 22,5 0 67,5] Βασική δυνατή λύση με zb5 = 1130 = [ ] Βασική δυνατή λύση με zb6 = 0 x 1 T Άρα βέλτιστη δυνατή λύση: = [ ] με zb1 = 1210 x 3 T

20 Άσκηση Γραφική Επαλήθευση Λύστε γραφικά το πρόβλημα και παρατηρήστε τα ακόλουθα: 1. Σε κάθε Βάση αντιστοιχεί μια Βασική Λύση (δυνατή ή μη) η οποία είναι ένα σημείο του επιπέδου. 2. Ειδικότερα, κάθε Βασική Δυνατή Λύση είναι ένα ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων. 3. Η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη βέλτιστη τιμή της στο ακραίο σημείο του κυρτού συνόλου των δυνατών λύσεων δηλ. η βέλτιστη δυνατή λύση του ΠΓΠ είναι η βασική δυνατή λύση = [17, 14, 0, 0] x 1 T

21 Βελτίωση μιας Βασικής Δυνατής Λύσης [β 1,β 2,...,β m ] Έστω Βάση Β = και - η βασική λύση x B = [x β1,x β2,...,x βm ] = B 1 b που της αντιστοιχεί. - το αντίστοιχο διάνυσμα συντελεστών στην αντικειμενική συνάρτηση z, c B = [c β1,c β2,...c βm ] Τότε ισχύουν: Α) Η αντικειμενική συνάρτηση z παίρνει την τιμή z = cbxb Β) Κάθε μη-βασικό διάνυσμα aj γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της Βάσης Β, δηλαδή = By Γ) Το yij εκφράζει την (αλγεβρική) μείωση της τιμής της βασικής μεταβλητής xβi εάν η μη-βασική μεταβλητη xj πάρει την τιμή 1 (αντί για 0 που έχει στη βασική λύση). a j j m ( = β y i= 1 i ij ) y j = B 1 a j

22 Βελτίωση μιας Βασικής Δυνατής Λύσης Δ) Το διάνυσμα yj εκφράζει την (αλγεβρική) μείωση της τιμής κάθε βασικής μεταβλητής xβi, i=1,2,,m εάν η μη-βασική μεταβλητη xj πάρει την τιμή 1 Ε) Με βάση το (Δ) λοιπόν, η ποσότητα zj = cbyj εκφράζει την (αλγεβρική) μείωση της τιμής z όταν η μη-βασική μεταβλητή xj πάρει την τιμή 1 ΣΤ) Κατά συνέπεια η ποσότητα cj zj = cj - cbyj εκφράζει την καθαρή μεταβολή της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης όταν η μη-βασική μεταβλητή xj πάρει την τιμή 1 και ονομάζεται καθαρό οριακό εισόδημα της μη-βασικής δραστηριότητας j Επιθυμούμε να βρούμε μια νέα βασική δυνατή λύση που να βελτιώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Η SIMPLEX εξετάζει μόνο τις βασικές δυνατές λύσεις που προκύπτουν από την υπάρχουσα εάν αντικαταστήσουμε μία και μόνο μια- από τις βασικές μεταβλητές της με μία μη-βασική.

23 Γενικός Πίνακας Simplex & Αρχικό Ταμπλό!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Βασικές Ποσότητα µεταβλητές (x! ) x!!! x!!! x!!!!"! β!! x!"! y!!!! y!"!! y!"!!!"! β!! x!"! y!"!! y!"!! y!"!!!!!!!!!!!"! β!! x!"! y!"!! y!"!! y!"!!!! Z!!!!!!!!!!!! c! z!!! c! z!!! c! z!!! c!!! z!!!! C n - Z n c j c 1 c j c j+1 c n c B Βασικές Ποσότητα μεταβλητές (x B ) x 1 x j β 1 = x j+1 β m = x j+m c B1 β 1 x B1 a 11 a 1j 1 0 c B2 β 2 x B2 a 21 a 2j 0 0 c Bm β m x Bm a m1 a mj 0 1 z j Z z 1 z j z j +1 z n c j z j c 1 z 1 c j z j c j+1 z j+1 c j+m z j+m Αρχικός Πίνακας Βάσης Β 1 Διάνυσμα b Πίνακας Α

24 Ενδιάμεσος (κ-στος) Πίνακας Simplex X BK = B k 1 b y j = B k 1 a j B k 1 Z K z = c BK x Bk = c BK B k 1 b c j z j = c j c B 1 BK a k j z j = c BK y j = c BK B 1 k a j

25 Τελικός και Βέλτιστος Πίνακας Simplex X B* = (B*) 1 b y j = (B*) 1 a j (B*) 1 Z * z* = c B* x B* = c B* (B*) 1 b c j z j = c j c B* (B*) 1 a j z j = c B* y j = c B* (B*) 1 a j

26 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Υπενθυμίζεται η μαθηματική διατύπωση του αρχικού παραδείγματος των σημειώσεων Simplex (παραγωγή αμφορέων & αγαλματιδίων). Max Z = 40x x s s 2 ( Εξ. 0) x x 2 + s 1 = 40 ( Εξ. 1) Α = b = T 4x 1 + 3x 2 + s 2 = 120 ( Εξ. 2) x 1, x 2, s 1, s 2 0 x = x 1 x 2 s 1 s 2 T C = Στην επόμενη διαφάνεια παρατίθενται τα ταμπλό Simplex όπως x 6 T προκύπτουν από την πινακοποιημένη επίλυση του προβλήματος.

27 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων 1 ο Αρχικό Ταμπλό 2 ο Ενδιάμεσο Ταμπλό 3 ο Τελικό / Βέλτιστο Ταμπλό

28 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων 1 ο Βήμα Αρχικά το σύστημα είναι αδρανές. Αυτό σημαίνει ότι: x 1 = 0 (δεν παράγονται αμφορείς) x 2 = 0 (δεν παράγονται αγαλματίδια) S 1 = 0 (όλες οι ώρες εργασίας παραμένουν αχρησιμοποίητες) S 2 = 0 (όλα τα κιλά πηλού παραμένουν αχρησιμοποίητα) Επομένως η διαδικασία ξεκινά από την βασική δυνατή λύση T x 6 = [ ] ή ισοδύναμα στην κορυφή V 0

29 2 ο Βήμα - H λύση αυτή προφανώς δεν είναι η βέλτιστη (η αντικειμενική συνάρτηση έχει μηδενική τιμή). Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Στο επόμενο (2 ο ) βήμα, θα μετακινηθούμε σε μία γειτονική κορυφή της V0, δηλ είτε στη V1 είτε στην V3. Η επιλογή της κορυφής μπορείνα γίνει με δύο εναλλακτικά κριτήρια, δηλαδή: - Είτε με βάση τη μεγαλύτερη δυνατή συνολική μεταβολή (αύξηση) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης (1 ο Κριτήριο). - Είτε με βάση τη μεγαλύτερη δυνατή μεταβολή (αύξηση) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης που προκαλεί η μοναδιαία αύξηση κάθε πιθανής μεταβλητής (2 ο Κριτήριο).

30 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Συγκεκριμένα, στο 2 ο Βήμα θα πρέπει να γίνει μη-βασική μία μόνον από τις S1 ή S2 και στη θέση της να εισέλθει στη νέα Βάση μία μόνον από τις x1 ή x2. i. Εάν γίνει βασική η x1 (δηλ. εάν αποφασιστεί η παραγωγή αμφορέων), τότε βάσει των περιορισμών: Μπορεί να έχει μέγιστη τιμή x1 = 30 (δηλ. να παραχθούν το πολύ 30 αμφορείς) S1 = 10 (περισσεύουν 10 ώρες εργασίας) S2 = 0 (εξαντλείται όλη η ποσότητα πηλού) Άρα, όντως οδηγούμαστε στην κορυφή V1. Μεταβολή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z Αύξηση της x1 κατά μία μονάδα è αύξηση της z κατά 40 Αύξηση της x1 κατά 30 μονάδες è αύξηση της z κατά 1200

31 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων ii. Εάν γίνει βασική η x2 (δηλ. εάν αποφασιστεί η παραγωγή αγαλματιδίων), τότε βάσει των περιορισμών: Μπορεί να έχει μέγιστη τιμή x2 = 20 (δηλ. να παραχθούν το πολύ 20 αγαλματίδια) S1 = 0 (εξαντλούνται όλες οι ώρες εργασίας) S2 = 60 (περισσεύουν 60 κιλά πηλού) Άρα, όντως οδηγούμαστε στην κορυφή V3. Μεταβολή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z Αύξηση της x2 κατά μία μονάδα è αύξηση της z κατά 50 Αύξηση της x2 κατά 20 μονάδες è αύξηση της z κατά 1000 Επομένως Με βάση το 1 ο Κριτήριο επιλέγεται η κορυφή V1 ενώ Με βάση το 2 ο Κριτήριο επιλέγεται η κορυφή V3

32 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Έστω ότι η επιλογή μας γίνεται με βάση το 2 ο Κριτήριο, τότε στο 2 ο Βήμα θα μετακινηθούμε στην V3, δηλ στη βασική λύση T x 5 = [ ]. Τούτο σημαίνει ότι {x1=0, x2=20, S1=0, S2=60}, δηλ δεν παράγονται αμφορείς, αλλά παράγονται 20 αγαλματίδια. 3 ο Βήμα Σε κάθε βήμα, αρχικά ελέγχουμε εάν η λύση που έχουμε είναι η βέλτιστη. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα βεβαίως, γνωρίζουμε (από τη γραφική επίλυση και τη θεωρία των βασικών λύσεων) ότι η βέλτιστη λύση επιτυγχάνεται στην κορυφή V2, δηλ για x1=24, x2=8. Θα συνεχίσουμε όμως χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πληροφορία.

33 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Θα πρέπει επομένως να εξετάσουμε εάν συμφέρει η παραγωγή αμφορέων, δηλαδή εάν με την παραγωγή αμφορέων βελτιώνεται (αυξάνει) η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (κέρδος). - Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η στάθμη της μη-βασικής μεταβλητής x1 αυξάνεται κατά μία μονάδα, ενώ η στάθμη της άλλης μη-βασικής μεταβλητής S1 παραμένει μηδέν. Τούτο σημαίνει ότι ενώ στην προηγούμενη βασική δυνατή λύση δεν παραγόταν κανένας αμφορέας, τώρα παράγεται ένα τεμάχιο αμφορέα με την προϋπόθεση όμως ότι εξαντλούνται όλες οι ώρες εργασίας. - Για να εξακολουθούν να ικανοποιούνται οι περιορισμοί, να καταναλίσκονται δηλαδή ποσότητες πόρων όχι μεγαλύτερες από αυτές που διατίθενται, πρέπει να τροποποιηθεί το πρόγραμμα παραγωγής, δηλ να μεταβληθούν «κατάλληλα» (κατά κανόνα να μειωθούν) οι στάθμες των βασικών μεταβλητών.

34 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Έστω ότι η στάθμη της μη-βασικής μεταβλητής x1 αυξάνεται κατά μία μονάδα, δηλαδή παράγεται ένας αμφορέας, τότε συμβολίζουμε: y21: τη μείωση της στάθμης της βασικής μεταβλητής x2 (τεμάχια αγαλματιδίων) y41: τη μείωση της στάθμης της βασικής μεταβλητής S2 (κιλά πηλού που περισσεύουν) - Βάσει των εξισώσεων των περιορισμών (και δεδομένου ότι S1=0), θα πρέπει να ισχύει το ακόλουθο σύστημα, που θα εκφράζει το γεγονός ότι «η αύξηση της στάθμης της μη-βασικής μεταβλητής x1 θα πρέπει να ισοδυναμεί με τη μείωση της στάθμης των βασικών μεταβλητών, ώστε το ολικό αποτέλεσμα να είναι μηδέν»

35 ή ισοδύναμα σε μορφή διανυσμάτων Υπενθύμιση: Διανύσματα στήλης που αντιστοιχούν σε κάθε μεταβλητή: Επιλύοντας το σύστημα παίρνουμε y21 = ½ και y41 = 5/2 a 1 = y 21 a 2 + y 41 σ 2 = = = = σ σ S S a x a x Δηλ. για να παραχθεί ένα τεμάχιο αμφορέα θα πρέπει να μειωθεί η παραγωγή αγαλματιδίων κατά ½ τεμάχιο (δηλ από 20 σε 19,5) να μειωθεί το περίσσευμα των κιλών πηλού κατά 5/2 (δηλ από 60 σε 57,7) Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων

36 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων - Μεταβολή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης θα αυξηθεί μεν κατά c1=40 (αφού θα παραχθεί ένας αμφορέας), αλλά θα μειωθεί και κατά z1 = c2y21 + c4y41 = 50x1/2 + 0x5/2 = 25 (αφού η παραγωγή των αγαλματιδίων μειώνεται κάτα ½ και το περίσσευμα κιλών πηλού μειώνεται κατά 5/2) Άρα η μεταβολή της τιμής θα είναι: c1-z1 = = +15 (Οριακό καθαρό εισόδημα της x1) Αφού με την παραγωγή ενός τεμαχίου αμφορέα αυξάνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης κατά 15, συμφέρει η παραγωγή αμφορέων Στην πράξη ελέγχουμε το οριακό καθαρό εισόδημα κάθε μή-βασικής μεταβλητής και επιλέγουμε να μπει στη νέα βάση αυτή που έχει το μεγαλύτερο.

37 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Ø Μέγιστη δυνατή παραγόμενη ποσότητα αμφορέων Αφού συμφέρει η παραγωγή αμφορέων, θα πρέπει να βρούμε το μέγιστο δυνατό πλήθος αμφορέων που μπορείνα παραχθεί. Αφού με την παραγωγή ενός αμφορέα μειώνεται η παραγωγή αγαλματιδίων κατά y21=1/2 και στην υπάρχουσα λύση παράγονται xb2=20 τεμάχια αγαλματιδίων, δεν μπορούμε να παράξουμε περισσότερους από: xb2/y21=40 αμφορείς Ομοίως, αφού με την παραγωγή ενός αμφορέα μειώνονται τα διαθέσιμα κιλά πηλού κατά y41=5/2 και στην υπάρχουσα λύση περισσεύουν xb4=60 κιλά πηλού, δεν μπορούμε να παράξουμε περισσότερους από: xb4/y41=24 αμφορείς Άρα η μέγιστη δυνατή παραγωγή αμφορέων περιορίζεται από τα διαθέσιμα κιλά πηλού σε 24 τεμάχια.

38 Εφαρμογή στο Παράδειγμα των Σημειώσεων Ø Συνεπώς, στη νέα λύση θα παραχθούν x1=24 τεμάχια αμφορέων, Η παραγωγή αγαλματιδίων θα μειωθεί κατά 24x1/2=12 τεμάχια, δηλ θα μειωθεί σε x2 = = 8 τεμάχια αγαλματιδίων, θα αξιοποιούνται πλήρως όλες οι ώρες εργασίας και όλα τα κιλά πηλού Η αντικειμενική συνάρτηση θα έχει τιμή z= x15=1360 Έτσι, φτάσαμε στην Βέλτιστη Λύση του ΠΓΠ

39 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου

Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 20: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για τη δημιουργία τυχαίων βέλτιστων Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)

Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (2o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 3: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (3 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση LU Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB

7 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 7 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 14: Τεχνικές Βελτίωσης Απόδοσης Κώδικα σε Matlab, Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την Τεχνική Κλιμάκωσης της Ισορρόπησης Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 8: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (2 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 5: Τεχνικές Κλιμάκωσης, Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ v.1.0 Τα βασικότερα εργαλεία της Οικονομικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ανάλυση ευαισθησίας. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ανάλυση ευαισθησίας Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Παράδειγμα TOYCO Η επιχείρηση TOYCO χρησιμοποιεί τρεις διαδικασίες

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ . ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 21. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 3: Παραγοντοποίηση QR Παναγιώτης Ψαρράκος Αν Καθηγητής ΔΠΜΣ Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ Η βιοτεχνία ΕΠΙΠΛΟΞΥΛ παράγει δύο βασικά προϊόντα: τραπέζια και καρέκλες υψηλής ποιότητας. Η διαδικασία παραγωγής και για τα δύο προϊόντα περιλαμβάνει την

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 4: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (4 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Τίτλος Μαθήματος: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 5: Ασκήσεις Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 10: Δυναμικός προγραμματισμός Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 10: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton minu = b 1 Π 1 + b Π + + b m Π m ΔΥΑΔΙΚΟ X 1 X X n Π 1 α 11 a 1... a 1n b 1 Π α 1 a... a n b............ Π m a m1 a m a mn b m c 1 c... c n maxz

Διαβάστε περισσότερα