ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ. Ασχολείται με: Κίνηση των ατόμων (ιόντων) μέσα στο πλέγμα. Προσέγγιση: Born Oppenheimer. (Αδιαβατική προσέγγιση)

Transcript

1 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Ασχολείται με: Κίνηση των ατόμων (ιόντων) μέσα στο πλέγμα. Προσέγγιση: Bor Oppeheimer. (Αδιαβατική προσέγγιση) Η συνολική ενέργεια των ατόμων παίζει το ρόλο δυναμικού, εντός του οποίου κινούνται τα επιμέρους άτομα. H ( R,... R ) H ( R,... R ) H ( R,... R ) ' ios Μικρή αλληλεπίδραση δυναμικής ενέργειας των ατόμων και της ενέργειας των ηλεκτρονίων. Ειδική θερμότητα, θερμική διαστολή, θερμική αγωγιμότητα Αλληλεπίδραση με ακτινοβολία. Φαινόμενα μεταφοράς

2 Αδιαβατική Προσέγγιση (Bor Oppeheimer ) Συνολική Ενέργεια = Ενέργεια Ιόντων + Ενέργεια ηλεκτρονίων + ενέργεια αλληλεπίδρασης ιόντος ηλεκτρονίου H H ( R ) H ( r, R ) H ( r, R ) ios e i eio i Προσέγγιση Bor Oppeheimer H P Z Z e Z e P (,... ) (,... ) i ios R R Ee R R i,, i 4 R i, 4 R ri R Προσέγγιση Αδιαβατική H ( r, R ) e i, pi e Ze m 4 r r 4 r R i i i,, i i i, i Προσέγγιση Παγωμένων φωνονίων H H ( r, R ) Z e e eio i i, ri R r i R R R R Φαινόμενα μεταφοράς Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

3 ΔΥΝΑΜΙΚΟ Συμβολισμός: Απομάκρυνση από θέση ισορροπίας r a a a r r r a u i 3 3 a Άτομο α -οστή στοιχειώδης κυψελίδα Σταθερός όρος ισορροπίας ( r ai ) ( r ai u ai ) ( r ai ) u r 6 r r i i i m Αρμονικός όρος Μηδενίζεται η παράγωγος λόγω ακροτάτου στη θέση ισορροπίας u ai ai m ai 3 u ium ' uo k i r irm ro k m o k u Αναρμονικοί όροι... Αρμονική προσέγγιση Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 3

4 Σταθερές σύζευξης mi Σταθερές σύζευξης (Μεταξύ r irm οιονδήποτε ατόμων) i Δύναμη (ελκτική) στο α-άτομο της -στής / / κυψελίδας στην -κατεύθυνση, αν το β- άτομο της m-στής κυψελίδας στην i-κατεύθυνση U kx U x k Ιδιότητες σταθερών σύζευξης: mi ( m ) i mi mi Συμμετρία μετατόπισης Δράση- Αντίδραση i m m i mk R k R i Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε απειροστή μετατόπιση Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε απειροστή στροφή Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 4

5 Εξίσωση κίνησης mu i m i um m u i ui( q) e a i( qr t) Νόμος Νεύτωνα Λύση - Απαίτηση!!! Ανηγμένα Πλάτη [L] [] -/ q q Εξίσωση κινήσεως m iq( r r ) ui( ) i e u ( ) m a D i m D i m iq( rmr ) i e m a ( q) ό ί 3r 3r u Dt e i D ( q) D u ( ) i u i q Εξίσωση κινήσεως Μη τετριμμένες λύσεις Σχέση διασποράς ( q) ( q) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 5

6 Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα Εξίσωση κινήσεως (γενική): Αλληλεπιδρούν μόνο γειτονικά άτομα με την ίδια "σταθερά f " Συνολική δύναμη σε κάθε άτομο μηδενική. Δείκτες α, β ={,}, {i,,k} ={x} Δείκτης m ={-,,+) u u u u,,,, u u u u,,,, f, m i,,, f m, i u f ( u u u ) u f ( u u u ) Δύναμη που ασκεί στον "εαυτό" (f) του ένα άτομο όταν εκτρέπεται κατά u με το σύνολο των δυνάμεων που ασκούν τα άλλα άτομα σε αυτό όταν αυτά κινούνται κατά - u. (f) Εξίσωση κινήσεως: Παρατηρείστε Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 6

7 Τετραγωνικό πλέγμα Τα άτομα πρώτης αλληλεπιδρούν με σταθερά δύναμης f, ενώ τα δεύτερης με f. Η θεώρηση και της αλληλεπίδρασης ατόμων δευτέρας γειτονίας είναι απαραίτητος γιατί, διαφορετικά το πλέγμα καθίσταται ασταθές σε διατμητικές τάσεις Θεωρούμε το άτομο. Αν θεωρήσουμε ότι το -στο άτομο μετατοπίζεται κατά το διάνυσμα i από τη θέση ισορροπίας του, τότε η δύναμη που ασκείται στο άτομο = κατά τη διεύθυνση θα ισούται: f (,) (, f (,) (, 5x x 5x 5x 5 y 5 y 6x 6x 6 y 6 y f x y x y x y x y 7 x 7 y 8x 8 y f x x x 3x 4 x 5x 6x 7 x 8x x y x y x x x x x x x x x x f f f f 7 x 7 y 8x 8 y f x f f y x y x x x ( f f) f x x 3 y 4 y x x y y ( i, i ' x, y; ',...,8) i '' i ' ' i ' ' i ' i i R R R R i i f R R R R Ο πρώτος παράγοντας περιγράφει την προβολή του i στην διεύθυνση R m -R, το οποίο μαζί με το f δίδει την δύναμη (ανά μονάδα μηκους). Ο τελευταίος παράγοντας τέλος δίδει την προβολή της δύναμης στη διεύθυνση Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 7

8 Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα Λύση ( όχι γενική!, επιθυμητή!!): u ( ) i a t a ua q e a ( ) iqa f f ( e ) x Dai ( q) Dax ( q) iqa f ( e ) f iqa f f ( e ) u iqa f ( e ) f u ui q D i u q ( ) ( ) D x x m iq( r r ) i e a m m Σχέση διασποράς D x ax iqa f f ( e ) iqa f ( e ) f 4 ( q) f ( ) f si ( qa / ) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 8

9 Σχέσεις διασποράς: ιδιότητες 4 ( q) f ( ) f si ( qa / ) (q) = (-q) (q) = (q+π/a) Γενίκευση D ai ( q) m iq( rmr ) i m a e D ( q) D ( q G) G r m D ai ai ai ( q) D ( q) ai ( t t Newto ί ) ( q) ( q G) ( q) ( q) = (q) όπου =,, 3(a+b), 3ρ Καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό Την αλληλεπίδραση με την ακτινοβολία (ταχύτητα διαδόσεως, διασπορά, μήκος κύματος κλπ) Θερμικές ιδιότητες (Ειδική θερμότητα, αγωγιμότητα, αναρμονικότητα) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 9

10 Αντίστροφο πλέγμα g /a Brilloui zoe a a g a a /a g i α α (α α k α 3 ) a g a a a g g Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

11 Ζώνες Brilloui BCC FCC z Ευθύς χώρος Στοιχειώδης κυψελίδα k z Wiger Seitz Brilloui α α α a a a xˆ ŷ xˆ ŷ xˆ ŷ 3 ẑ ẑ ẑ Ευθύς Χώρος x g a g 3 g Αντίστροφο πλέγμα. Στοιχειώδης κυψελίδα Brilloui Wiger Seitz g yˆ zˆ g ẑ xˆ y g3 ẑ xˆ Αντίστροφος Χώρος Z Z Z Z a H P G L S N [] [] k y Z Z S Z Z S S Z Z Z S Z Z k x Z Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

12 Γραφική παράσταση σχέσεως διασποράς Οπτικός Κλάδος Ακουστικός Κλάδος A' A Χάσμα Συχνοτήτων Wavevector Παρατηρείστε και εδώ την ισοδυναμία σημείων που "απέχουν" κατά G Παρατηρείστε ότι το εύρος του ακουστικού κλάδου είναι περίπου τριπλάσιο του οπτικού. ( /m= ). f m m π G= α f m f B' B Κύρια στοιχεία:.δύο κλάδοι διασποράς i."ακουστικός" a. Μηδενίζεται για q b. Η μέγιστη συχνότητα καθορίζεται από την βαριά μάζα. c. Τα δύο είδη ατόμων κινούνται σε φάση. (Μόνο για q!!!) ii."οπτικός" a. Εμφανίζεται αν ρ (άτομα/ κυψελίδα) b. Δεν μηδενίζεται η συχνότητα c. Η ελάχιστη συχνότητα καθορίζεται από την ελαφρά μάζα m. d. Η μέγιστη συχνότητα εξαρτάται και από τις δύο μάζες..χάσμα Συχνοτήτων a. Εξαρτάται από τη "διαφορά" μαζών 3.Διαφορετική διασπορά ( Εύρος ταινίας). Δω Δω op ac ω max ac f f( m) f f m Δω m ac m m m 4 Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 3

13 Επίδραση του λόγου μαζών Οπτικός Κλάδος Ακουστικός Κλάδος ac f max ac op /m = /m = /m = Wavevector ac Παρατηρείστε την εξάρτηση του χάσματος μεταξύ του ακουστικού και του οπτικού κλάδου. Αυξάνεται όσο αυξάνει ο λόγος Μ / m. Παρατηρείστε τον μηδενισμό του χάσματος για = m Παρατηρείστε ότι το εύρος συχνοτήτων του ακουστικού και του οπτικού κλάδου μειώνονται με το λόγο Μ/m. Θυμηθείτε ότι τα εν λόγω εύρη δίδονται από τις εκφράσεις: f ( ) m f f m m op ac m m m 4 Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 4

14 Πλάτη iqa f f ( e ) u iq m A u / f ( e ) f m iqa f ( e ) f B um / m f f e m m um Με τη βοήθεια της σχέσεως διασποράς προκύπτει ότι Ειδικά σημεία: q iq ( ) A B A B f qa f m 4 f m 8 f m cos qa ( m) ( q) ac q m f m O qa op στον ακουστικό κλάδο ( εν φάσει) στον οπτικό κλάδο ( εκτός φάσεως) m A B ac Τα άτομα κινούνται εν φάσει α λ >> α Σωτήριος Δυναμική Βες πλέγματος Διαφάνεια 5

15 Πλάτη Ειδικά σημεία: q, λ α A B op m Ειδικά σημεία: q / ( λ=α) Τα άτομα κινούνται εκτός φάσεως αντιστρόφως ανάλογα προς το λόγο των μαζών των.. λ = α λ >> α B A ac Κινούνται μόνο τα βαρέα άτομα!! (Γειτονικά βαρέα κινούνται αντίθετα) λ = α α A B op Κινούνται μόνο τα ελαφρά άτομα!! (Γειτονικά ελαφρά κινούνται αντίθετα) α Σωτήριος Δυναμική Βες πλέγματος Διαφάνεια 6

16 Πλάτη ταλάντωσης διατομικής αλυσίδας 6 m α f f m - + L ight H eav y Amplitud e 4 4 ; 3; f ; f 7; m ; 7 Acoustic Optical L ight H eav y Amplitud e.5.5 ; 4; f ; f 4; m ; Acoustic Optical α -α α 6 q q Παρατηρείστε ότι θεωρούνται δύο διαφορετικές σταθερές δύναμης. Εξάρτηση του λόγου των πλατών του, "ελαφρύ" προς "βαρύ", για διάφορες τιμές των παραμέτρων. L ight H eav y Amplitud e ; 4; f ; f ; m ; 4 Acoustic Optical q L ight H eav y Amplitud e.5.5,, f, f, m, Acoustic Optical q Η πλέον γενική εμφανίζεται στο άνω αριστερό σχήμα και η πλέον συμμετρική στο κάτω δεξιό. Παρατηρείστε ότι, γενικά, ο οπτικός κλάδος παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβολή, απ ότι ο ακουστικός Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος 7

17 3 Διαστάσεις (Πραγματικά Υλικά) Si LO:? TO:? LA:? TA:? Θεωρία Πείραμα L THz = ev = 33.3 cm -. Η εμφάνιση του οπτικού κλάδου οφείλεται την παρουσία τουλάχιστον δύο ατόμων στη στοιχειώδη Αν διπλασιάσουμε την σταθερά κυψελίδας αα τότε η ζώνη Brilloui υποδιπλασιάζεται. Ότι βρίσκεται εκτός ζώνης πρέπει να αναχθεί εντός ζώνης. 3N=3 ac +3N-3 op GaAs, Si κλπ : 3 = 3+3 (TA+LA+TO+LO) Έτσι προκύπτει ο οπτικός κλάδος Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος 8

18 Προσομοίωση Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 9

19 Διαπερατότητα Εφαρμογές (Ifrared absorptio i ioic crystals) % Cl Na Cl Na Cl m Na = 3 amu = kg m Cl = 35.5 amu = kg λ = 6μm f=? ( ) f m m f m m 4 c. N / m (m) ω (cm - ) λ (μm) f (N/m) GaAs 3 33,3 95,7 Si 5 9, C-H 3 3,33 45 Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

20 Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές k k K Πλάτος στο Β i t () A ( ( )) i Kr t B e r t e d ρ(r(t)): Μιγαδική πυκνότητα σκέδασης (Φάση, πλάτος σε σχέση με το προσπίπτον) K k k r ( r, t) ( r r ( t) r( t) r u ( t) ( rr ( t)) f ( r) drf ( r) A e e e u () t A e [ ik u ( t)] e u ( t) u e ikr iku () t i t ikr i t i( qr( q) t) B B Aiel K e ik u() t e i( q) r i[ ( q)] t Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

21 Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές Aiel K e ik u() t e i( q) r i[ ( q)] t Α iel = (q) ħ -ħ ħ(q) = k k q = G ħk ħk ħq - ħg = Διατήρηση Ενέργειας Διατήρηση Ψευδο-Ορμής (Μέτρο G) Κινηματικές Εξισώσεις Μη ελαστικής Σκέδασης Σκέδαση Rama Συμμετοχή από οπτικό κλάδο Σκέδαση Brilloui Συμμετοχή από ακουστικό κλάδο Οπτική περιοχή: Συμμετέχουν ταλαντώσεις για q - qmax Å 5Å 4 4 q k qmax Å 5Å Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια

22 Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές Περιοχή ακτίνων X: Ενέργειες: 4 ev (λ =,4 Å), λ[m]=hc/e[ev]=4 [evm]/e[ev] ΔΕ: ev (Δλ =-,4-4 Å) Δλ[m] = -,4-5 [m ev] ΔΕ/Ε Ενέργειες φωνονίων: - mev ( λ =,4 7,4 5 Å) ΔΕ: mev (Δλ =-,4 3 Å) E E 4 Αν χρησιμοποιούμε ακτίνες Χ Για να επιτευχθεί αυτό E mev 4 E ev 7 d d si d si dco d ta d d ta 7 Εξαιρετικά δύσκολο να βρεθούν κρύσταλλοι αυτής της τελειότητας d Εξαιρετικά δύσκολο να επιτευχθεί τόσο μικρό γωνιακό άνοιγμα Δθ. Σύγχροτρον Λύση: Σκέδαση θερμικών νετρονίων. Ε ( mev ev ( λ =,4 5,4 4 Å) ΔΕ: mev (ΔΕ/Ε = Δλ/λ = ) Σωτήριος Βες Δυναμική πλέγματος Διαφάνεια 3 Δd