Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 4

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 4 Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης Τμήμα: Φυσικής

2 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις για το μάθημα "Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές" Κεφάλαιο 3ο Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 4ο Α. Δούβαλης Α. Πολύμερος Ιωάννινα 2014

3 Στα προηγούμενα μέρη των σημειώσεων που αφορούν την ύλη των υπολογιστικών φύλλων εργασίας, περιγράψαμε τις διαδικασίες που ακολουθούμε για να αναγνωρίσουμε αν η αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει δύο μεταβλητές ή φυσικά μεγέθη π.χ. y και x, τα οποία παριστάνουμε σε μία γραφική παράσταση της μορφής y=f(x), εμπίπτουν στις περιπτώσεις της γραμμικής σχέσης (y=b x+a), ή της σχέσης δύναμης (y=a x b ). Επίσης περιγράψαμε τις διαδικασίες μέσω των οποίων μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές των παραμέτρων a και b σε κάθε επιμέρους περίπτωση με την βοήθεια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Στο παρόν μέρος θα συνεχίσουμε με ανάλογο τρόπο την περιγραφή της αναγνώρισης των αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων και του υπολογισμού των τιμών των παραμέτρων που αντιστοιχούν στην εκθετική σχέση (y=a e b x ) και στην (αντίστροφή της) λογαριθμική σχέση [y=b ln(x)+a]. Εκθετική σχέση ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε τώρα με την δημιουργία της γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες των φυσικών μεγεθών η και Τ που παρουσιάζονται στον Πίνακα 1 του 3ου μέρους των σημειώσεων. Ακολουθώντας τυπικές πλέον διαδικασίες παίρνουμε το αποτέλεσμα της Εικόνας η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 1. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων η και Τ του Πίνακα 1. Από την εικόνα αυτή φαίνεται ξεκάθαρα ότι τα φυσικά μεγέθη η και Τ δεν ακολουθούν γραμμική σχέση. Μιας και η πρώτη μας κίνηση είναι να αναγνωρίσουμε την γενική μορφή της αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δύο αυτά μεγέθη, εργαζόμαστε όπως και στις αντίστοιχες παραγράφους του μέρους 2 του παρόντος κεφαλαίου. Αλλάζοντας την βαθμονόμηση μόνο του κατακόρυφου άξονα της γραφικής παράστασης της Εικόνας 1, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που εμφανίζεται στην Εικόνα 2. Από αυτή παρατηρούμε ότι σε λογαριθμική κλιμάκωση μόνο του κάθετου άξονα και γραμμική βαθμονόμηση του 2

4 οριζόντιου άξονα, η οποία αποκαλείται και ημιλογαριθμική βαθμονόμηση και αντιστοιχεί σ' αυτή το ημιλογαριθμικό χαρτί, τα σημεία της γραφικής παράστασης των η και Τ τείνουν να σχηματίσουν ευθεία γραμμή η (mpa s) Εικόνα 2. Γραφική παράσταση των δεδομένων η και Τ του Πίνακα 1 σε ημιλογαριθμικούς άξονες με λογαριθμική βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι τα μεγέθη αυτά συνδέονται μεταξύ τους με μία μαθηματική εκθετική σχέση της γενικής μορφής η=a e b T. Κατά συνέπεια η επόμενη κίνησή μας είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις παραμέτρους a και b. Αυτό θα μπορούσε να γίνει με την χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, όμως τα μεγέθη η και Τ, δεν συνδέονται με γραμμική σχέση, άρα δεν μπορούμε απ' ευθείας για τα μεγέθη αυτά να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Όμως, όπως έχουμε δει σε προηγούμενες παραγράφους, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την σχέση η=a e b T σε γραμμική σχέση κάνοντας αλλαγή μεταβλητών και θέτοντας διαφορετικές παραμέτρους. Εργαζόμενοι λοιπόν ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι η σχέση ln(η)=ln(a)+β T αποτελεί μία γραμμική σχέση για τις μεταβλητές Υ=ln(η) και T, με παραμέτρους τις Α=ln(a) και Β=b. Έτσι αυτό που θα πρέπει να κάνουμε στην συνέχεια είναι να προσδιορίσουμε την νέα μεταβλητή Υ από την μεταβλητή η και κατ' αρχάς να δούμε αν οι Υ και Τ διαθέτουν όπως αναμένουμε μεταξύ τους γραμμική σχέση. Η διαδικασία παρουσιάζεται στην Εικόνα 3, για την οποία υπολογίσαμε τις τιμές των Υ=ln(η) στα κελιά της στήλης C από τις τιμές των κελιών της στήλης Β, ξεκινώντας από το κελί C2 με την χρήση της σχέσης =LΝ(Β2) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί C9. Το αποτέλεσμα της γραφικής παράστασης ln(η)=f(τ) εμφανίζεται στην Εικόνα 4. Τ ( C) 3

5 Εικόνα 3. Προσδιορισμός των μεταβλητών ln(η) από το η με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας ln(η) Τ ( C) Εικόνα 4. Γραφική παράσταση των μεταβλητών ln(η)=f(t) σε γραμμικούς άξονες. Από αυτή μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι όντως οι μεταβλητές ln(η) και Τ διαθέτουν μεταξύ τους γραμμική σχέση. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε γι' αυτές την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για την εφαρμογή της πρέπει να υπολογίσουμε τα Τ 2 και το γινόμενο [ln(η)] T καθώς και τα αντίστοιχα αθροίσματα των σχέσεων (7 8) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου. Κατόπιν από την σχέση (9) υπολογίζουμε την τιμή του Δ στο κελί F2 και από αυτή σε συνδυασμό με όλες τις απαραίτητες υπόλοιπες τιμές καταλήγουμε στον υπολογισμό των παραμέτρων A και Β, στα κελιά F4 και F10 αντίστοιχα όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. 4

6 Εικόνα 5. Εύρεση των παραμέτρων Α και Β της σχέσης ln(η)=α+β T, και από αυτές των παραμέτρων a και b της σχέσης η=a e b T, του εύρους των αβεβαιοτήτων τους, καθώς και του συντελεστή R 2 με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Από τις παραμέτρους αυτές μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους a και b από τις σχέσεις a=e A και b=b, πράξεις που γίνονται στα κελιά G4 και G10 αντίστοιχα. Για τον υπολογισμό των αβεβαιοτήτων σ Α και σ Β =σ b σε πρώτη προσέγγιση εφαρμόζουμε τις σχέσεις (10) και (11) (μέρος 3ο) ανάλογα, με σ y 2 το δεδομένο σ η 2 στα κελιά Η4 και Η10 1. Από αυτές υπολογίζουμε το εύρος της αβεβαιότητας για το a, παίρνοντας τις δύο ακραίες τιμές για το Α, δηλαδή a max =e Amax =e (A+σA) και a min =e Amin =e (A σa) στα κελιά G6 και G8 αντίστοιχα. Στην συνέχεια υπολογίζουμε τις τιμές η theory στην στήλη Ι σύμφωνα με το μοντέλο μας από την σχέση η=a e b T χρησιμοποιώντας τις ευρεθείσες τιμές των παραμέτρων a και b στα κελιά G4 και G10 αντίστοιχα (Εικόνα 6). Εικόνα 6. Υπολογισμός των η theory και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R 2. 1 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

7 Χρησιμοποιούμε τις τιμές η theory και Τ για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 1 και 2, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 7 και 8, από τις οποίες φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα η και Τ είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 7. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theory =a e b Τ (κόκκινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 8. Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theory =a e b Τ (κόκκινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Αν θέλουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης η theory =a e b Τ (κόκκινη γραμμή) να συνδέονται όχι με απλά ευθύγραμμα τμήματα αλλά με πιο "ομαλές" γραμμές για 6

8 να δίνουν καλύτερη εντύπωση περιγραφής των ενδιάμεσων τιμών, μπορούμε στην γραφική παράσταση των δεδομένων της γραμμής χωρίς δείκτες η theory =f(t) να επιλέξουμε από την μορφοποίηση της σειράς δεδομένων στο στυλ της γραμμής "Ομαλή γραμμή", οπότε προκύπτει η αντίστοιχη Εικόνα η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 9. Γραφική παράσταση όμοια με αυτή της Εικόνας 7, με επιλογή "Ομαλής γραμμής" σύνδεσης των σημείων η theory =f(t) (κόκκινη γραμμή). Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας μέσω της τιμής του συντελεστή R 2, αν υπολογίσουμε το <η> όπως γίνεται στο κελί Β11 (Εικόνα 5) και τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot όπως φαίνεται στην Εικόνα 6 στα κελιά J10 και K10 αντίστοιχα. Από τις τιμές των κελιών αυτών καταλήγουμε σε μία τιμή για το R 2 όπως φαίνεται στην Εικόνα 5, τιμή η οποία είναι πάρα πολύ κοντά στην τιμή 1. Όπως έχουμε δει και στο προηγούμενο μέρος για την σχέση δύναμης, όταν το σφάλμα των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής δεν είναι σταθερό για όλες τις τιμές της, τότε για ακριβέστερα αποτελέσματα η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να εφαρμοστεί λαμβάνοντας υπόψη την "αξία" ή αλλιώς το "βάρος" κάθε τιμής της μεταβλητής μέσω μίας συνάρτησης βάρους W. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που ακολουθούμε το φυσικό μέγεθος η έχει σταθερή αβεβαιότητα για όλες τις τιμές του, η οποία όπως δίνεται στον Πίνακα 1 είναι της τάξης των σ η ~1 mpa s. Όμως μετά την αλλαγή μεταβλητών κάθε τιμή του ln(η) έχει όπως γίνεται κατανοητό διαφορετική αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα αυτή μπορεί να προσδιοριστεί με την διάδοση αβεβαιοτήτων μέσω της σχέσης: 2 σ Y =σ ln(η) ={ [ln(η)]/ η}σ η =σ η /η (1) 2 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

9 Όπως και στην περίπτωση της σχέσης δύναμης, μία καλή και ευρέως αποδεκτή επιλογή συνάρτησης βάρους είναι η: 3 1 W Y = (2) σ 2 Y η οποία εφαρμοζόμενη στην περίπτωση της Υ=ln(η) δίνει W=(1/σ Y 2 )=η 2 /σ η 2 (3) Λαμβάνοντας υπόψη τις (2) και (3) και εργαζόμενοι όπως στην περίπτωση της σχέσης δύναμης με την αντίστοιχη συνάρτηση βάρους στα δεδομένα η, Τ, ln(η) και σ η, υπολογίζουμε τα αθροίσματα των σχέσεων (19 21) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου και τις νέες παραμέτρους κατ' αρχάς Α, Β και τις αβεβαιότητές τους (σχέσεις 22 23) και από αυτές τις a και b, και το εύρος των αβεβαιοτήτων τους όπως φαίνεται στην Εικόνα 10. Εικόνα 10. Εύρεση των παραμέτρων Α και Β της σχέσης ln(η)=α+β Τ, και από αυτές των παραμέτρων a και b της σχέσης η=a e b T και του εύρους των αβεβαιοτήτων τους εφαρμόζοντας την θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους W. Παρατηρούμε ότι οι αβεβαιότητες των Α και Β είναι μικρότερες από αυτές που βρέθηκαν χωρίς την χρήση της συνάρτησης βάρους W, γεγονός που όπως είναι αναμενόμενο επηρεάζει με ανάλογο τρόπο και τις αβεβαιότητες των a και b οι οποίες είναι επίσης μικρότερες σε εύρος από τις αντίστοιχες προηγούμενες. Η τιμή του a διαφοροποιείται περισσότερο στον τρέχον υπολογισμό με την συνάρτηση βάρους απ' ότι η τιμή του b σε σχέση με τις προηγούμενες τιμές χωρίς την χρήση της συνάρτησης βάρους. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση βάρους W βοήθησε και στον πιο αξιόπιστο προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων της προτεινόμενης συνάρτησης αλλά και στον περιορισμό των αβεβαιοτήτων τους. Εργαζόμενοι ανάλογα, υπολογίζουμε τις τιμές των η theory από τις τιμές των νέων παραμέτρων (Εικόνα 10) της σχέσης η theory =a e b T καθώς και τα αντίστοιχα S res και S tot (Εικόνα 11). 3 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

10 Εικόνα 11. Υπολογισμός των η theory και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R 2 με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Χρησιμοποιούμε τις τιμές η theory και Τ για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 1 και 2, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 12 και η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 12. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theory =a e b Τ (πράσινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Η σύνδεση των σημείων η theory =f(τ) στην γραφική παράσταση έγινε χρησιμοποιώντας την επιλογή "Ομαλή γραμμή". 9

11 η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 13. Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theory =a e b Τ (πράσινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Από αυτές φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα η και Τ είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική. Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας με την χρήση της συνάρτησης βάρους μέσω της τιμής του συντελεστή R 2 που εξαρτάται από τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot της Εικόνας 11 στα κελιά U10 και V10 αντίστοιχα. Από τις τιμές των κελιών αυτών καταλήγουμε σε μία τιμή για το R 2 όπως φαίνεται στην Εικόνα 11, τιμή η οποία είναι ακόμη πιο κοντά στην τιμή 1. 10

12 Λογαριθμική σχέση ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε τώρα με την δημιουργία της γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες των φυσικών μεγεθών t και q που παρουσιάζονται στον Πίνακα 1 του 3ου μέρους των σημειώσεων. Ακολουθώντας τυπικές πλέον διαδικασίες παίρνουμε το αποτέλεσμα της Εικόνας t (s) Εικόνα 14. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων t και q του Πίνακα 1. Από την εικόνα αυτή φαίνεται ξεκάθαρα ότι τα φυσικά μεγέθη t και q δεν ακολουθούν γραμμική σχέση της μορφής t=a+b q. Για να αναγνωρίσουμε την γενική μορφή της αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δύο αυτά μεγέθη, εργαζόμαστε όπως και στα προηγούμενα. Αλλάζοντας την βαθμονόμηση μόνο του κατακόρυφου άξονα της γραφικής παράστασης της Εικόνας 1, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που εμφανίζεται στην Εικόνα 15α. q (C) t (s) t (s) q (C) q (C) 0.10 (α) (β) Εικόνα 15. Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες με λογαριθμική βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα (α) και σε λογαριθμικούς άξονες (β) των δεδομένων t και q του Πίνακα 1. 11

13 Από αυτή παρατηρούμε ότι σε λογαριθμική κλιμάκωση μόνο του κάθετου άξονα και γραμμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα, τα σημεία της γραφικής παράστασης t=f(q) δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Άρα η σχέση που συνδέει τα t και q δεν είναι ούτε της μορφής t=a e b q (εκθετική). Αλλάζοντας ακολούθως και την βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα από γραμμική σε λογαριθμική προκύπτει η Εικόνα 15β, από την οποία παρατηρούμε ότι πάλι τα σημεία της γραφικής παράστασης t=f(q) σε λογαριθμική βαθμονόμηση και των δύο αξόνων δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Επομένως η σχέση που συνδέει τα t και q δεν είναι ούτε της μορφής t=a q b (δύναμης). Η μόνη περίπτωση που δεν εξετάσαμε είναι να αφήσουμε την βαθμονόμηση στον οριζόντιο άξονα ως λογαριθμική και να αλλάξουμε την βαθμονόμηση του κάθετου άξονα από λογαριθμική σε γραμμική. Αν το κάνουμε αυτό προκύπτει η γραφική παράσταση της Εικόνας t (s) Εικόνα 16. Γραφική παράσταση των δεδομένων t και q του Πίνακα 1 σε ημιλογαριθμικούς άξονες με λογαριθμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα. q (C) 0.00 Από αυτή παρατηρούμε ότι σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον οριζόντιο άξονα να είναι βαθμονομημένος σε λογαριθμική κλίμακα τα σημεία t και q έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Έτσι συμπεραίνουμε ότι η σχέση που συνδέει τα t και q είναι μία λογαριθμική σχέση της μορφής t=b ln(q)+a. Κατά συνέπεια η επόμενη κίνησή μας είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις παραμέτρους a και b. Αυτό θα μπορούσε να γίνει με την χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, όμως τα μεγέθη t και q, δεν συνδέονται με γραμμική σχέση, άρα δεν μπορούμε απ' ευθείας για τα μεγέθη αυτά να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Όμως, όπως έχουμε δει σε προηγούμενες παραγράφους, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την σχέση t=b ln(q)+a σε γραμμική σχέση κάνοντας αλλαγή μεταβλητών και θέτοντας διαφορετικές παραμέτρους. Εργαζόμενοι λοιπόν ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι η σχέση t=b X+A αποτελεί μία γραμμική σχέση για τις 12

14 μεταβλητές t και X=ln(q), με παραμέτρους τις Α=a και Β=b. Έτσι αυτό που θα πρέπει να κάνουμε στην συνέχεια είναι να προσδιορίσουμε την νέα μεταβλητή X από την μεταβλητή q και κατ' αρχάς να δούμε αν οι t και Χ διαθέτουν όπως αναμένουμε μεταξύ τους γραμμική σχέση. Η διαδικασία παρουσιάζεται στην Εικόνα 17α, για την οποία υπολογίσαμε τις τιμές των Χ=ln(q) στα κελιά της στήλης C από τις τιμές των κελιών της στήλης A, ξεκινώντας από το κελί C2 με την χρήση της σχέσης =LΝ(A2) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί C20. Το αποτέλεσμα της γραφικής παράστασης t=f[x=ln(q)] εμφανίζεται στην Εικόνα 17β t (s) X=ln(q) [ln(c)] (α) (β) Εικόνα 17. Προσδιορισμός των μεταβλητών ln(q) από το q με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας (α) και η γραφική παράσταση t=f[x=ln(q)] σε γραμμικούς άξονες (β) Από αυτή μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι όντως οι μεταβλητές t και ln(q) διαθέτουν μεταξύ τους γραμμική σχέση. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε γι' αυτές την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για την εφαρμογή της πρέπει να υπολογίσουμε τα [ln(q)] 2 και το γινόμενο [ln(q)] T καθώς και τα αντίστοιχα αθροίσματα των σχέσεων (7 8) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου. Κατόπιν από την σχέση (9) υπολογίζουμε την τιμή του Δ στο κελί F2 και από αυτή σε συνδυασμό με όλες τις απαραίτητες υπόλοιπες τιμές καταλήγουμε στον υπολογισμό των παραμέτρων A=a και Β=b, στα κελιά F4 και F6 αντίστοιχα όπως φαίνεται στην Εικόνα

15 Εικόνα 18. Εύρεση των παραμέτρων Α=a και Β=b της σχέσης t=β ln(q)+a, του εύρους των αβεβαιοτήτων τους, καθώς και του συντελεστή προσδιορισμού R 2 με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Μιας και οι παράμετροι της σχέσης t=b ln(q)+a είναι οι ίδιες με αυτές της σχέσης t=b Χ+A, δηλαδή a=a και b=b, οι αβεβαιότητές τους θα είναι αντίστοιχα ίδιες (σ a =σ A και σ b =σ B ). Παίρνοντας ως αβεβαιότητα για το t το σφάλμα ανάγνωσης (ακρίβεια μετρήσεων t) δηλαδή σ Υ =σ t =0.01 s και εφαρμόζοντας τις αντίστοιχες σχέσεις της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων [σχέσεις (10 11) του 3ου μέρους του παρόντος κεφαλαίου], καταλήγουμε στις αντίστοιχες αβεβαιότητες για τα a και b όπως φαίνεται στην Εικόνα 18. Από τις τιμές των a και b μπορούμε να προσδιορίσουμε τα αντίστοιχα t heory, όπως φαίνεται στην Εικόνα 19 και να τις παραστήσουμε ως t heory =f(q) με μορφή γραμμών (χωρίς σημεία) στα ίδια γραφήματα με τις αντίστοιχες τιμές t και q του Πίνακα 1, όπως φαίνεται στην εικόνα 20. Προσδιορίζοντας τις αντίστοιχες τιμές των R res και R tot, όπως φαίνεται στην Εικόνα 19, βρίσκουμε για το R 2 την τιμή , η οποία βρίσκεται εξαιρετικά κοντά στην τιμή 1. 14

16 Εικόνα 19. Υπολογισμός των t theory και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R t (s) t (s) q (C) q (C) 0.00 (α) (β) Εικόνα 20. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς (α) και ημιλογαριθμικούς (β) άξονες των δεδομένων t=f(q) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών t theory =f(q) (κόκκινες γραμμές) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης λογαριθμικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η σύνδεση των σημείων t theory =f(q) στην γραφική παράσταση (α) έγινε χρησιμοποιώντας την επιλογή "Ομαλή γραμμή". 15

17 Εύρεση των τιμών των παραμέτρων αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων μέσω της διαδικασίας προσαρμογής θεωρητικών σχέσεων σε δεδομένα γραφικών παραστάσεων Η εφαρμογή των επιλογών της "γραμμής τάσης" με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας σε δεδομένα που συνδέονται με γραμμική σχέση, σχέση δύναμης, εκθετική και λογαριθμική σχέση. Όπως έχουμε πει και στα προηγούμενα, ένας από τους βασικούς σκοπούς της απεικόνισης των δεδομένων σε μία γραφική παράσταση είναι ο προσδιορισμός της αναλυτικής μαθηματικής σχέσεις που συνδέει τις μεταβλητές ή τα φυσικά μεγέθη που έχουμε παρατήσει στο γράφημα. Ο τρόπος επιλογής της κατάλληλης κατηγορίας μαθηματικών σχέσεων για την προσαρμογή των δεδομένων της γραφικής παράστασης έχει περιγραφεί αναλυτικά σε προηγούμενες παραγράφους, ενώ ο προσδιορισμός των αριθμητικών τιμών των παραμέτρων έχει γίνει έως τώρα χρησιμοποιώντας την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ), είτε απ' ευθείας στα δεδομένα μας, όταν αυτά φαίνεται από την γραφική παράσταση ότι ακολουθούν γραμμική σχέση είτε μετά από κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών. Στα επόμενα θα δούμε μία μέθοδο, η οποία είναι ενσωματωμένη στα προγράμματα υπολογιστικών φύλλων δεδομένων, με την οποία μπορούμε να προσαρμόσουμε συγκεκριμένες θεωρητικές μαθηματικές σχέσεις στα δεδομένα γραφικών παραστάσεων και ταυτόχρονα να πάρουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα των τιμών των παραμέτρων των σχέσεων αυτών. Η μέθοδος που ακολουθούμε λέγεται εφαρμογή "γραμμής τάσης" στα δεδομένα της γραφικής παράστασης. Είναι πολύ απλή στην διαδικασία εφαρμογής της, αλλά η σωστή χρήση και επιτυχία της απαιτεί να προσδιορίσουμε την γενική μορφή της μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δεδομένα μας στην γραφική παράσταση, όπως κάναμε και στην εφαρμογή της ΜΕΤ. Από την άλλη μεριά δεν χρειάζεται να προβούμε σε καμία διαδικασία αλλαγής μεταβλητών για να εφαρμόσουμε την συγκεκριμένη μέθοδο. Όπως και στην ΜΕΤ έτσι κι εδώ, από την τάση σχηματισμού ευθείας γραμμής των δεδομένων μας στην γραφική παράσταση, πρέπει να έχουμε αποφασίσει αν τα δεδομένα μας ακολουθούν μία από τις τέσσερις γενικές αναλυτικές μαθηματικές σχέσεις που μπορεί κάποιος να αναγνωρίσει έχοντας τα δεδομένα του είτε σε γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες, είτε μεταβάλλοντας κατάλληλα την βαθμονόμηση των αξόνων από γραμμική σε λογαριθμική. Οι τέσσερις αυτές μαθηματικές σχέσεις είναι η γραμμική σχέση y=b x+a, η σχέση δύναμης y=a x b, η εκθετική σχέση y=a e b x και η λογαριθμική σχέση y=b ln(x)+a. Η εφαρμογή της γραμμής τάσης από τα αντίστοιχα λογισμικά των υπολογιστικών φύλλων ενεργοποιεί κάποιους αλγόριθμους υπολογισμών παρόμοιους με αυτούς που ακολουθούνται στην ΜΕΤ, με την διαφορά ότι στην περίπτωση της γραμμής τάσης όλες οι διαδικασίες γίνονται εσωτερικά από το 16

18 λογισμικό, το οποίο και επιστρέφει την συγκεκριμένη γραμμή προσαρμογής των δεδομένων στην γραφική παράσταση, καθώς και τις τιμές των παραμέτρων της μαθηματικής σχέσης που έχει επιλεγεί από τον χρήστη. Γραμμική σχέση Ξεκινώντας το πρώτο παράδειγμα από τα δεδομένα v και t του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) παρατηρούμε στην Εικόνα 21α ότι τα σημεία των ζευγών τιμών αυτών στην γραφική παράσταση v=f(t) σε γραμμικούς άξονες τείνουν να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Άρα η σχέση που συνδέει τα v και t είναι της μορφής y=b x+a όπου y=v, x=t και a, b οι παράμετροι. Έχοντας λοιπόν αποφασίσει για την γενική μορφή της σχέσης που συνδέει τα v και t μπορούμε να πάμε απ' ευθείας στην προσαρμογή των σημείων της γραφικής παράστασης της Εικόνας 21α με εφαρμογή της γραμμής τάσης v (cm/s) t (s) (α) (β) Εικόνα 21. Γραφική παράσταση των δεδομένων v=f(t) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) (α) και επιλογή των δεδομένων της σειράς (β) για την προσαρμογή σε αυτά της γραμμής τάσης. Επειδή η εφαρμογή της γραμμής τάσης μπορεί να αφορά διαφορετικές "σειρές δεδομένων" που έχουμε παραστήσει στο γράφημά μας είναι καλό να επιλέγουμε τα δεδομένα στα οποία θέλουμε να προσαρμόσουμε μία γραμμή τάσης. Αν έχουμε μόνο μία σειρά δεδομένων όπως αυτή στην Εικόνα 21 δεν υπάρχει ζήτημα για το ποια δεδομένα θα προσαρμοστούν με την προτεινόμενη γραμμή τάσης, όμως όταν έχουμε περισσότερες από μία σειρές δεδομένων στο ίδιο γράφημα θα πρέπει να προσδιορίζουμε σε ποια δεδομένα θα προσαρμόσουμε την γραμμή τάσης που θα επιλέξουμε. Η επιλογή γίνεται κάνοντας κλικ σε ένα από τα σημεία της σειράς δεδομένων που επιθυμούμε να προσαρμόσουμε την γραμμή τάσης, οπότε όλα τα σημεία της σειράς επιλέγονται με ένα γραμμοσκιασμένο τετράγωνο γύρω από το καθένα όπως φαίνεται στην Εικόνα 21β. Μετά την επιλογή των δεδομένων και για την εφαρμογή μίας γραμμής τάσης σε αυτά επιλέγουμε: Μενού Διάταξη (Εργαλειοθήκη) Ανάλυση Γραμμή τάσης 17

19 Περισσότερες γραμμές τάσης, όπως φαίνεται στην Εικόνα 22, οπότε εμφανίζεται το παράθυρο της Εικόνας 23. Εικόνα 22. Διαδικασία επιλογής γραμμής τάσης μετά την επιλογή των δεδομένων της γραφικής παράστασης τα οποία και θα προσαρμόσει. Εικόνα 23. Παράθυρο καθορισμού και επεξεργασίας της γραμμής τάσης. 18

20 Η προκαθορισμένη επιλογή μαθηματικής σχέσης για την γραμμή τάσης έχει καθοριστεί από το λογισμικό να είναι η "Γραμμική" σχέση, την οποία και επιλέγουμε στο αντίστοιχο κουμπάκι του παραθύρου. Παρατηρούμε ότι ήδη μία γραμμή τάσης έχει προστεθεί στα δεδομένα της γραφικής μας παράστασης τα οποία και περιγράφει (Εικόνα 24). Για να δώσουμε στο λογισμικό την εντολή να μας παρουσιάσει και τις παραμέτρους της μαθηματικής εξίσωσης (y=bx+a) με την οποία έχει προσαρμόσει τα δεδομένα μας πρέπει να πατήσουμε κλικ στην επιλογή "Προβολή εξίσωσης στο γράφημα" (Εικόνες 23 25). Παρατηρείστε ότι η εξίσωση δίνεται στην μορφή y=bx+a, με το y να αντιστοιχεί σε όποιες τιμές έχουμε παραστήσει στον κατακόρυφο άξονα και το x στον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα. Αν θέλουμε να πάρουμε και την τιμή του R 2 κάνουμε κλικ στην πιο κάτω επιλογή "Εμφάνιση τιμής R τετράγωνο στο γράφημα" (Εικόνες 23 25). Εικόνα 24. Εμφάνιση της γραμμής τάσης γραμμικής σχέσης στην γραφική παράσταση των δεδομένων και επιλογές προβολής της εξίσωσης και της τιμής του R 2 στο γράφημα. Εικόνα 25. Επιλογές μορφοποίησης του πλαισίου της εξίσωσης (ετικέτας) της μαθηματικής σχέσης που της αντιστοιχεί. 19

21 Η μορφή της γραμμής τάσης μπορεί να καθοριστεί από τους αντίστοιχους τίτλους "Χρώμα γραμμής" και "Στυλ γραμμής" στο αριστερό μέρος του παραθύρου "Μορφοποίηση γραμμής τάσης", όπως φαίνεται στην Εικόνα 24. Η μορφή του πλαισίου της εξίσωσης και του R 2 (ετικέτας) μπορεί επίσης να καθοριστεί από τους αντίστοιχους τίτλους "Γέμισμα", "Χρώμα περιγράμματος", "Στυλ περιγράμματος" κτλ του παραθύρου "Μορφοποίηση ετικέτας γραμμής τάσης" μετά την επιλογή του πλαισίου αυτού στην γραφική παράσταση. Η γραμματοσειρά, το χρώμα και το μέγεθος των χαρακτήρων του πλαισίου καθορίζεται από την αντίστοιχη εργαλειοθήκη στο μενού Κεντρική. Τέλος, η ακρίβεια των τιμών των παραμέτρων a και b της μαθηματικής σχέσης που αντιστοιχεί στην γραμμή τάσης και του R 2 μπορεί να καθοριστεί από τον τίτλο "Αριθμός" του παραθύρου "Μορφοποίηση ετικέτας γραμμής τάσης", όπως φαίνεται στην Εικόνα 25. Παρατηρείστε ότι τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραμέτρων και του R 2 που μας δίνει η γραμμή τάσης βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία με τις τιμές που προέκυψαν από την ΜΕΤ (μέρος 3ο) στα όρια της αβεβαιότητας που καθορίστηκε για τις τιμές αυτές. Σχέση δύναμης Εργαζόμενοι ανάλογα για την δημιουργία των γραφικών παραστάσεων των δεδομένων υ ορ και r του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς και λογαριθμικούς άξονες παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας υορ (cm/s) υορ (cm/s) r (mm) (α) (β) Εικόνα 26. Γραφικές παραστάσεις των δεδομένων υ ορ =f(r) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς (α) και λογαριθμικούς (β) άξονες. Όπως έχουμε δει, η τάση των σημείων της γραφικής παράστασης υ ορ =f(r) σε γραμμικούς άξονες δεν φαίνεται να παριστάνει ευθεία γραμμή, ενώ αντίθετα σε λογαριθμικούς άξονες η τάση αυτή δίνει ευθεία γραμμή. Έτσι, όπως έχουμε δει, η σχέση που συνδέει τα υ ορ και r είναι μία σχέση δύναμης της μορφής y=ax b, με y=υ ορ, x=r και a, b τις παραμέτρους της εξίσωσης. Εφαρμόζοντας την διαδικασία προσαρμογής της γραμμής τάσης στα δεδομένα των γραφικών παραστάσεων της 0.10 r (mm) 20

22 Εικόνας 26, όπως κάναμε παραπάνω για τα δεδομένα v t, με την επιλογή "Δύναμη" όμως από το αντίστοιχο παράθυρο καθορισμού των μαθηματικών σχέσεων παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας 27. Παρατηρείστε ξανά, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ότι τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραμέτρων και του R 2 που μας δίνει η γραμμή τάσης βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία με τις τιμές που προέκυψαν από την ΜΕΤ (μέρος 3ο) στα όρια της αβεβαιότητας που καθορίστηκε για τις τιμές αυτές υορ (cm/s) y = x R² = υορ (cm/s) y = x R² = r (mm) (α) (β) Εικόνα 27. Γραφικές παραστάσεις των δεδομένων υ ορ =f(r) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο), των γραμμών τάσεων σχέσης δύναμης (κόκκινες γραμμές) και των αναλυτικών εξισώσεων αυτών σε γραμμικούς (α) και λογαριθμικούς (β) άξονες. Εδώ θα πρέπει να αναφερθεί ότι δεν υπάρχει (δυστυχώς;) ανάλογος αλγόριθμος (όπως αυτός της γραμμής τάσης) για τον υπολογισμό των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων των εξισώσεων στις τρέχουσες εκδόσεις των λογισμικά υπολογιστικών φύλλων εργασίας r (mm) 21

23 Εκθετική σχέση Εργαζόμενοι ανάλογα για την δημιουργία των γραφικών παραστάσεων των δεδομένων η και Τ του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς και ημιλογαριθμικούς άξονες (με λογαριθμική βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα) παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας 28 (είναι ίδια με αυτά των Εικόνων 1 και 2) η (mpa s) η (mpa s) Τ ( C) (α) (β) Εικόνα 28. Γραφικές παραστάσεις των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς (α) και ημιλογαριθμικούς (με λογαριθμική βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα) (β) άξονες. Όπως έχουμε δει, η τάση των σημείων της γραφικής παράστασης η=f(τ) σε γραμμικούς άξονες δεν φαίνεται να παριστάνει ευθεία γραμμή, ενώ αντίθετα σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον κατακόρυφο άξονα σε λογαριθμική κλιμάκωση η τάση αυτή δίνει ευθεία γραμμή. Έτσι, όπως έχουμε δει, η σχέση που συνδέει τα η και Τ είναι μία εκθετική σχέση της μορφής y=a e b x, με y=η, x=τ και a, b τις παραμέτρους της εξίσωσης Τ ( C) η (mpa s) y = 11, e x R² = η (mpa s) y = 11, e x R² = Τ ( C) (α) (β) Εικόνα 29. Γραφικές παραστάσεις των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο), των γραμμών τάσεων εκθετικής σχέσης (κόκκινες γραμμές) και των αναλυτικών εξισώσεων αυτών σε γραμμικούς (α) και ημιλογαριθμικούς (β) άξονες. Εφαρμόζοντας την διαδικασία προσαρμογής της γραμμής τάσης στα δεδομένα των γραφικών παραστάσεων της Εικόνας 28, όπως κάναμε παραπάνω για τα δεδομένα Τ ( C) 22

24 v t και υ ορ r, με την επιλογή "Εκθετικός" όμως από το αντίστοιχο παράθυρο καθορισμού των μαθηματικών σχέσεων παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας 29. Παρατηρείστε ξανά, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ότι τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραμέτρων και του R 2 που μας δίνει η γραμμή τάσης βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία με τις τιμές που προέκυψαν από την ΜΕΤ στα όρια της αβεβαιότητας που καθορίστηκε για τις τιμές αυτές. Λογαριθμική σχέση Εργαζόμενοι ανάλογα για την δημιουργία των γραφικών παραστάσεων των δεδομένων t και q του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς και ημιλογαριθμικούς άξονες (με λογαριθμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα) παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας 30 (είναι ίδια με αυτά των Εικόνων 14 και 16) t (s) t (s) q (C) q (C) (α) (β) Εικόνα 30. Γραφικές παραστάσεις των δεδομένων t=f(q) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς (α) και ημιλογαριθμικούς (με λογαριθμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα) (β) άξονες. Όπως έχουμε δει, η τάση των σημείων της γραφικής παράστασης t=f(q) σε γραμμικούς, λογαριθμικούς και ημιλογαριθμικούς άξονες με λογαριθμική βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα δεν φαίνεται να παριστάνει ευθεία γραμμή, ενώ αντίθετα σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον οριζόντιο άξονα σε λογαριθμική κλιμάκωση η τάση αυτή δίνει ευθεία γραμμή. Έτσι, όπως έχουμε δει, η σχέση που συνδέει τα t και q είναι μία λογαριθμική σχέση της μορφής y=b ln(x)+a, με y=t, x=q και a, b τις παραμέτρους της εξίσωσης. Εφαρμόζοντας την διαδικασία προσαρμογής της γραμμής τάσης στα δεδομένα των γραφικών παραστάσεων της Εικόνας 30, όπως κάναμε παραπάνω για τα δεδομένα v t, υ ορ r και η Τ, με την επιλογή "Λογαριθμικός" όμως από το αντίστοιχο παράθυρο καθορισμού των μαθηματικών σχέσεων παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας 31. Παρατηρείστε ξανά, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ότι τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραμέτρων και του R 2 που μας δίνει η γραμμή τάσης βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία με τις τιμές που προέκυψαν από την ΜΕΤ στα όρια της αβεβαιότητας που καθορίστηκε για τις τιμές αυτές

25 y = 021ln(x) R² = y = 021ln(x) R² = t (s) t (s) q (C) q (C) (α) (β) Εικόνα 29. Γραφικές παραστάσεις των δεδομένων t=f(q) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο), των γραμμών τάσεων εκθετικής σχέσης (κόκκινες γραμμές) και των αναλυτικών εξισώσεων αυτών σε γραμμικούς (α) και ημιλογαριθμικούς (β) άξονες

26 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

27 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης. «Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 4». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]