ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ"

Ἰωήλ Λαιμός
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης

2 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο, όταν γνωρίζουμε ΜΟΝΟΝ μια σειρά από πειραματικές τιμές των μεγεθών που το περιγράφουν και ΟΧΙ την ακριβή μαθηματική σχέση τους (τύπο). Στην πραγματικότητα, κατά τη μελέτη ενός φαινομένου, προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη μορφή της άγνωστης μαθηματικής σχέσης, στην οποία ταιριάζουν καλύτερα τα πειραματικά μας δεδομένα, ελέγχοντας μια σειρά γνωστών σχέσεων. Στο εκπαιδευτικό εργαστήριο επαληθεύουμε μια ήδη γνωστή μαθηματική σχέση χρησιμοποιώντας μόνον τα πειραματικά μας δεδομένα. Πότε χρησιμοποιείται; (1)

Τα φυσικά φαινόμενα μπορούν να περιγράφονται με μια μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη που τα επηρεάζουν, π.χ.: κίνηση: χρόνος απόσταση ηλεκτρικό ρεύμα: τάση ένταση κλπ.

3 Τα φυσικά φαινόμενα μπορούν να περιγράφονται με μια μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη που τα επηρεάζουν, π.χ.: κίνηση: χρόνος απόσταση ηλεκτρικό ρεύμα: τάση ένταση κλπ. Τα μεγέθη που μεταβάλλονται ανεξάρτητα από την πορεία του φαινομένου είναι οι ανεξάρτητες μεταβλητές ενώ εκείνα που μεταβάλλονται συναρτήσει αυτών και περιγράφουν το φαινόμενο είναι οι εξαρτημένες μεταβλητές. Στην περίπτωση της κίνησης, ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και η απόσταση είναι η εξαρτημένη. Πότε χρησιμοποιείται; (2)

4 Οι κυριότερες σχέσεις που εξετάζονται είναι οι: Γραμμική: Πολυωνυμική: Σχέση δύναμης: Εκθετική: Λογαριθμική: Στόχος της ΜΕΤ (1) y = a + bx (ευθεία γραμμή) y = c 0 + c 1 x + c 2 x c x y = ax b y = ae bx y = a + blx όπου x: ανεξάρτητη μεταβλητή, y: εξαρτημένη μεταβλητή a, b, c k : σταθερές που μπορούν να είναι είτε απλές είτε σύνθετες Στόχος της ΜΕΤ είναι ο προσδιορισμός των σταθερών συντελεστών a, b, c k της σχέσης που επιλέξαμε για να περιγράψουμε το φαινόμενο.

5 Αρχικά, γνωρίζοντας τις πειραματικές τιμές, σχεδιάζουμε πρόχειρα και παρατηρούμε τη μορφή του διαγράμματος, προσπαθώντας να μαντέψουμε το είδος της καμπύλης που μπορεί να ταιριάζει καλύτερα σε αυτά. Για παράδειγμα: Y Y Γραμμική Εκθετική X X Στόχος της ΜΕΤ (2)

6 Η σχέση για την οποία τα πειραματικά δεδομένα προσαρμόζονται καλύτερα πάνω στη γραφική της παράσταση είναι και η ζητούμενη. Αν και γενικά η γραφική παράσταση δεν είναι απαραίτητο να είναι ευθεία γραμμή, στα πλαίσια του εργαστηρίου θα ασχοληθούμε μόνο με γραμμικές σχέσεις της μορφής: y = a + bx Σε περίπτωση που δεν έχουμε γραμμική σχέση, μπορούμε να την μετατρέψουμε σε τέτοια, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Στόχος της ΜΕΤ (3)

Έστω ότι για κάποιο φυσικό φαινόμενο υπάρχουν οι μετρήσεις για τις x και y μεταβλητές που το περιγράφουν ως εξής: x y x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 Αποδεικνύεται για τη γραμμική σχέση y = a + bx ότι οι

7 Έστω ότι για κάποιο φυσικό φαινόμενο υπάρχουν οι μετρήσεις για τις x και y μεταβλητές που το περιγράφουν ως εξής: x y x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 Αποδεικνύεται για τη γραμμική σχέση y = a + bx ότι οι τύποι υπολογισμού των συντελεστών a και b είναι αντίστοιχα: a = b = 2 i=1 x i y i i=1 i=1 x i i=1 x i y i D i=1 x iy i x i D =1 y i x2 i=1, δa = σ i y, δb = σ y D D x -2 y -2 x -1 y -1 x y 2 D = x x 2 και σ y = i=1 y i a bx i 2 2 όπου : πλήθος των μετρήσεων και δa, δb τα σφάλματα των a και b., Μελέτη γραμμικών σχέσεων με τη ΜΕΤ

8 Παράδειγμα: Επιθυμούμε να διαπιστώσουμε αν επαληθεύεται η γραμμική σχέση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης s = s 0 + υt η οποία έχει την ίδια μορφή με τη γενική γραμμική y = a + bx αν κάνουμε τις αντιστοιχήσεις t x s y υ b s 0 a (ανεξάρτητη μεταβλητή) (εξαρτημένη μεταβλητή) Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

Παράδειγμα (συνέχεια): Από την παρατήρηση μιας κίνησης, προέκυψαν τα πειραματικά δεδομένα του πίνακα (οι αποστάσεις μετρώνται από σταθερό σημείο): t (s) s (m) 1,0 4,1 2,0 6,4 3,0 7,1 4,0 9,6 5,0 11,0

9 Παράδειγμα (συνέχεια): Από την παρατήρηση μιας κίνησης, προέκυψαν τα πειραματικά δεδομένα του πίνακα (οι αποστάσεις μετρώνται από σταθερό σημείο): t (s) s (m) 1,0 4,1 2,0 6,4 3,0 7,1 4,0 9,6 5,0 11,0 6,0 11,8 7,0 14,1 8,0 15,0 9,0 16,9 10,0 17,8 Κοιτώντας απλά τα δεδομένα αυτά, δεν μπορούμε να διαπιστώσουμε τη γραμμικότητα της κίνησης. Για να μπορέσουμε να το κάνουμε, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη ΜΕΤ. Για τη μελέτη μας, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε κάποια αθροίσματα που συμμετέχουν στους τύπους που προαναφέρθηκαν: i=1 x i 2, x, y τα οποία μεταφράζονται στα: i=1 t i 2, t, s, x i y, t i s i i=1 Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

10 Παράδειγμα (συνέχεια): t (s) s (m) t 2 t s 1 1,0 4,1 1,0 4,1 2 2,0 6,4 4,0 12,8 3 3,0 7,1 9,0 21,3 4 4,0 9,6 16,0 38,4 5 5,0 11,0 25,0 55,0 6 6,0 11,8 36,0 70,8 7 7,0 14,1 49,0 98,7 8 8,0 15,0 64,0 120,0 9 9,0 16,9 81,0 152,1 Για τον υπολογισμό των αθροισμάτων t s 2 t i=1 t i s i, συμπληρώνουμε τον αρχικό πίνακα μετρήσεων με τις στήλες που βλέπουμε δίπλα. Πλήθος μετρήσεων: = ,0 17,8 100,0 178,0 55,0 113,8 385,0 751,2 Αθροίσματα στηλών Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

11 Παράδειγμα (συνέχεια): Οι ποσότητες υπολογίζονται από τις σχέσεις που αναφέρθηκαν προηγουμένως: a = b = 2 D = t i 2 i=1 t i s i i=1 t i i=1 i=1 i=1 t i i=1 t i s i D i=1 t is i t i D =1 s i 2 = = 825 = = 3, ,0 = = 1, = 1,5 Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

12 Παράδειγμα (συνέχεια): Θυμηθείτε ότι, χρησιμοποιώντας τα πειραματικά δεδομένα μας, προσπαθούμε να επαληθεύσουμε ότι το διάστημα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση έχει γραμμική σχέση με το χρόνο της κίνησης. Οι αντιστοιχήσεις υ b, s 0 a δείχνουν ότι, για την κίνηση που μελετάμε, ισχύουν τα εξής: υ = 1, 5 m/s και s 0 = 3, 0 m όπου η υ αντιστοιχεί στη σταθερή ταχύτητα της κίνησης, ενώ η s 0 αντιστοιχεί στην αρχική απόσταση για χρόνο t=0. Η σχέση μας τώρα μπορεί να γραφεί ως: s = s 0 + υt και αντικαθιστώντας τις υπολογισμένες τιμές και τις μεταβλητές x και y με τις t και s έχουμε: s = 3, 0 + 1, 5t Έτσι επαληθεύσαμε τη γραμμική μορφή της σχέσης χρόνου διαστήματος στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

13 Για τη χάραξη της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων: 1. Επιλέγουμε χιλιοστομετρικό χαρτί, s (m) εφόσον η σχέση είναι γραμμική. Υπάρχουν και άλλα είδη χαρτιών (λογαριθμικό, ημιλογαριθμικό) τα οποία χρησιμοποιούνται για τις εκθετικές σχέσεις. 2. Χαράζουμε τους ορθογώνιους άξονες και αντιστοιχίζουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή (t) στον οριζόντιο και την εξαρτημένη (s) στον κατακόρυφο άξονα. 3. Υποδιαιρούμε τους άξονες σημειώνοντας πάνω στον καθένα το μέγεθος που αντιπροσωπεύει και τις μονάδες που χρησιμοποιούνται. Προσέχουμε ώστε οι πειραματικές τιμές να καταλαμβάνουν όλο το διαθέσιμο χώρο του χαρτιού, διαμορφώνοντας κατάλληλα τους άξονες t (s) Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

14 Για τη χάραξη της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων: 4. Σημειώνουμε τα πειραματικά σημεία πάνω στο διάγραμμα χωρίς να τα ενώνουμε με διακεκομμένες γραμμές με τους άξονες. 5. Επιλέγουμε δυο τυχαίες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (t) (όχι κατ ανάγκη κάποιες από τις πειραματικές) και χρησιμοποιούμε τη σχέση s = 3, 0 + 1, 5t για να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες τιμές της εξαρτημένης (s). Για παράδειγμα: t = 1,5 s = 5,25 5,2 t = 7,5 s = 14,25 14,2 4. Στη συνέχεια αποτυπώνουμε τα παραγόμενα σημεία στο διάγραμμα με διαφορετικό σημάδι. Εφόσον από δυο σημεία περνάει μόνο μια ευθεία, η ευθεία που καθορίζουν τα δυο σημεία που υπολογίστηκαν θα είναι και η ζητούμενη ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. s (m) Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ * * t (s)

15 Για τη χάραξη της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων: 4. Χαράζουμε την ευθεία. Προσοχή: ΔΕΝ ενώνουμε ΠΟΤΕ τα πειραματικά σημεία μεταξύ τους. s (m) Διάγραμμα s - t 5. Ολοκληρώνουμε τη γραφική παράσταση δίνοντάς της τον απαιτούμενο τίτλο * * t (s) Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

16 Παρατηρήσεις: s (m) Διάγραμμα s - t Η σταθερά b παριστάνει την κλίση της ευθείας ελαχίστων τετραγώνων αφού b = s a t 0. Η σταθερά a είναι η διατομή της ευθείας με τον κατακόρυφο άξονα, αφού για t = 0 η σχέση γίνεται s = a + b 0 s = a * Στην προκειμένη περίπτωση, η ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στην τιμή 3,0 που σημαίνει ότι κατά την έναρξη του χρόνου, το κινητό απείχε από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων κατά 3,0 m * s a t t (s) Παράδειγμα μελέτης με τη ΜΕΤ

17 Ένα βήμα ακόμη: Η εκθετική εξίσωση: y = ae bx Την εκθετική σχέση τη «ζωγραφίζουμε» κανονικά σε ημιλογαριθμικό χαρτί. Για να τη σχεδιάσουμε σε χιλιοστομετρικό χαρτί τη μετασχηματίζουμε σε γραμμική λογαριθμίζοντάς την ως εξής: y = ae bx ly = la + bx z = κ + λx όπου θέσαμε z = ly, κ = la και λ = b. Η τελευταία είναι γραμμική και μπορεί να μελετηθεί όπως είδαμε προηγουμένως. Τέλος, για τη φυσική ερμηνεία των αποτελεσμάτων, επαναφέρουμε τις αρχικές μεταβλητές με τους αντίστροφους μετασχηματισμούς. Μελέτη εκθετικών σχέσεων με τη ΜΕΤ

18 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Δημήτρης Στεφανάκης

Σχετικά έγγραφα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,