ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

Transcript

1 Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Π Ε Ι Ρ Α Ι Ω Σ ΤΜΗΜΑ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Η Σ Μ Ε Τ Α Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Ο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Η Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Ηλίας Θ. Κυρίος Διπλωματική Εργασία υποβληθείσα στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Πειραιάς Δεκέμβριος 2010

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ... συνεδρίαση του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Εφαρμοσμένη Στατιστική. Τα μέλη της Επιτροπής ήταν: - Καθ. Αγιακλόγλου Χρήστος (Επιβλέπων) - Καθ. Κούτρας Μάρκος - Επικ. Καθ. Πιτσέλης Γεώργιος Η έγκριση της Διπλωματική Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα.

3 U N I V E R S I T Y O F P I R A E U S DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN APPLIED STATISTICS STUDY AND ESTIMATION MULTIVARIATE MODELS ON TIME SERIES ANALYSIS By Ιlias T. Kyrios MSc Dissertation submitted to the Department of Statistics and Insurance Science of the University of Piraeus in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Science in Applied Statistics Piraeus, Greece December 2010

4

5 Ευχαριστίες Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ. Χρήστο Αγιακλόγλου Καθηγητή του Τμήματος Οικονομικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς για την αμέριστη βοήθεια του και καθοδήγηση του, καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της Διπλωματικής Εργασίας. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω και όλους τους Καθηγητές του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Εφαρμοσμένης Στατιστικής καθώς και την οικογένεια μου.

6

7 Περίληψη Η εργασία αυτή έχει ως αντικείμενο μελέτης την σχέση μεταξύ του πληθωρισμού και της τιμής του πετρελαίου σε επιλεγμένες χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Αρχικά, πραγματοποιείται ο έλεγχος ύπαρξης αιτιότητας μεταξύ των μεταβλητών. Για τον προσδιορισμό της αιτιώδους σχέσης εφαρμόζεται το κριτήριο αιτιότητας κατά Granger. Στη μοντελοποίηση της επίδρασης της τιμής του πετρελαίου στον Δείκτη Τιμών Καταναλωτή (Δ.Τ.Κ), χρησιμοποιούνται τα υποδείγματα διανυσματικών αυτοπαλινδρομήσεων (VAR). Τα αποτελέσματα λαμβάνονται με τη βοήθεια των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων (Impulse Response Functions) που δείχνουν ότι ο Δ.Τ.Κ αντιδρά στις διαταραχές της τιμής του πετρελαίου. Χρησιμοποιώντας, μηνιαίες παρατηρήσεις του Δ.Τ.Κ για τις χώρες Ελλάδα, Γερμανία, Γαλλία, Ιταλία, Ισπανία, Πορτογαλία, Αγγλία και Ολλανδία και της τιμής του πετρελαίου (τύπος Brent), για το χρονικό διάστημα , προέκυψε ότι η τιμή του πετρελαίου επηρεάζει τον Δ.Τ.Κ για όλες τις χώρες πλην της Ολλανδίας.

8

9 Abstract The study examines the relationship between inflation and oil prices in selected countries of European Union. Firstly, the causality test between these two variables is taking place. For the determination of causal relationships is applied the Granger causality test. Modeling the impact of oil prices in Consumer Price Index (CPI) obtained with the help of Impulse Response Function, showing that CPI react to shocks in oil price. Using monthly observations of CPI for Greece, German, Italy, Spain, Portugal, France, United Kingdom, Netherland and oil price (Brent), for the period , this study concludes that the price of oil affects the CPI, all major countries except the Netherlands.

10

11 Περιεχόμενα Κατάλογος Πινάκων..xiv Κατάλογος Διαγραμμάτων xvi Κατάλογος Συντομογραφιών xix 1. Βασικές έννοιες στην ανάλυση χρονοσειρών 1.1 Εισαγωγή Στασιμότητα Στοχαστικά υποδείγματα χρονοσειρών Έλεγχος μοναδιαίας ρίζας Ανάλυση συνολοκλήρωσης Διανυσματικό υπόδειγμα διόρθωσης λαθών Αιτιότητα κατά Granger Ανακεφαλαίωση Δυναμικά πολυμεταβλητά υποδείγματα 2.1 Εισαγωγή Διάνυσμα αυτοπαλινδρομήσεων Συνάρτηση αιφνίδιων αντιδράσεων Ανακεφαλαίωση Σχέση πληθωρισμού και τιμής πετρελαίου 3.1 Εισαγωγή Θεωρητική προσέγγιση της σχέσης πληθωρισμού-τιμής πετρελαίου Πληθωρισμός Εξέλιξη του πληθωρισμού την περίοδο σε επιλεγμένες χώρες της Ε.Ε Πετρέλαιο Ανακεφαλαίωση xi

12 4. Εμπειρικά αποτελέσματα 4.1 Εισαγωγή Παρουσίαση δεδομένων Έλεγχος μοναδιαίας ρίζας Έλεγχος συνολοκλήρωσης Έλεγχος αιτιότητας κατά Granger Συναρτήσεις αιφνίδιων αντιδράσεων Συμπεράσματα Aνακεφαλαίωση Παραρτήματα Παράρτημα Α: Αποτελέσματα ελέγχου μοναδιαίας ρίζας της μεταβλητής LOGCPI (Level) Παράρτημα Β: Αποτελέσματα ελέγχου μοναδιαίας ρίζας της μεταβλητής LOGCPI (1 st Differences) Παράρτημα Γ: Αποτελέσματα ελέγχου μοναδιαίας ρίζας της μεταβλητής LOGBRENT (Level & 1 st Differences) Παράρτημα Δ: Αποτελέσματα ελέγχου συνολοκλήρωσης Παράρτημα Ε: Αποτελέσματα ελέγχου αιτιότητας κατά Granger Παράρτημα ΣΤ: Αποτελέσματα συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων Βιβλιογραφία xii

13 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 3.1: Συγκεντρωτικός πίνακας του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού από το 1997 έως το Πίνακας 4.1: Αποτελέσματα ελέγχου μοναδιαίας ρίζας της μεταβλητής LOCPI (Level) Πίνακας 4.2: Αποτελέσματα ελέγχου μοναδιαίας ρίζας της μεταβλητής LOCPI (1 st Differences)...81 Πίνακας 4.3: Αποτελέσματα ελέγχου μοναδιαίας ρίζας της μεταβλητής LOGBRENT Πίνακας 4.4: Αποτελέσματα ελέγχου συνολοκλήρωσης...85 Πίνακας 4.5: Αποτελέσματα ελέγχου αιτιότητας κατά Granger. 89 xiii

14 xiv

15 Κατάλογος Διαγραμμάτων Διάγραμμα 3.1: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Ελλάδα για τα έτη Διάγραμμα 3.2: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Γερμανία για τα έτη Διάγραμμα 3.3: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Γαλλία για τα έτη Διάγραμμα 3.4: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Αγγλία για τα έτη Διάγραμμα 3.5: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Ισπανία για τα έτη Διάγραμμα 3.6: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Πορτογαλία για τα έτη Διάγραμμα 3.7: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Ιταλία για τα έτη Διάγραμμα 3.8: Εξέλιξη του ετήσιου ρυθμού πληθωρισμού στην Ολλανδία για τα έτη Διάγραμμα 3.9: Παγκόσμια γεγονότα και εξέλιξη της τιμής του πετρελαίου από το 1947 έως το Διάγραμμα 3.10: Παγκόσμια αποθέματα αργού πετρελαίου. 66 Διάγραμμα 3.11: Παγκόσμια γεγονότα και εξέλιξη της τιμής του πετρελαίου από το 1973 έως Διάγραμμα 3.12: Παγκόσμια γεγονότα και εξέλιξη της τιμής του πετρελαίου από το 1981 έως Διάγραμμα 3.13: Παγκόσμια γεγονότα και εξέλιξη της τιμής του πετρελαίου από το 1997 έως Διάγραμμα 3.14: Παγκόσμια γεγονότα και εξέλιξη της τιμής του πετρελαίου από το 2004 έως Διάγραμμα 3.15: Εξέλιξη της τιμής του πετρελαίου από το 1947 έως Διάγραμμα 4.1: Εξέλιξη της τιμής του πετρελαίου στο διάστημα 2005 έως xv

16 Διάγραμμα 4.2: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Γαλλίας. 94 Διάγραμμα 4.3: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Γερμανίας. 95 Διάγραμμα 4.4: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Ελλάδας...96 Διάγραμμα 4.5: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Ιταλίας..98 Διάγραμμα 4.6: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Ολλανδίας. 99 Διάγραμμα 4.7: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Πορτογαλίας Διάγραμμα 4.8: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Ισπανίας Διάγραμμα 4.9: Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων αιφνίδιων αντιδράσεων της Αγγλίας xvi

17 Κατάλογος Συντομογραφιών Α.Ε.Π Δ.Τ.Κ Δ.Τ.Π Ε.Ε. Εν. Δ.Τ.Κ Η.Π.Α ΟΗΕ ΟΠΕΚ ADF AIC AR ARIMA ARMA DF MA OLS SC VAR VEC VMA Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν Δείκτης Τιμών Καταναλωτή Δείκτης Τιμών Παραγωγού Ευρωπαϊκή Ένωση Εναρμονισμένος Δείκτης Τιμών Καταναλωτή Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής Οργανισμός Ηνωμένων Εθνών Οργανισμός Πετρελαιο-Εξαγωγών Κρατών Augment Dickey-Fuller Akaike Information Criterion Autoregressive Autoregressive Integrated Moving Average Autoregressive Moving Average Dickey-Fuller Moving Average Ordinary Least Squares Schwartz Vector Autoregressive Vector Error Correction Vector Moving Average xvii

18 xviii

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος Χρονοσειρά σημαίνει μια σειρά από παρατηρήσεις που λαμβάνονται σε ορισμένες χρονικές στιγμές ή περιόδους και ισαπέχουν μεταξύ τους. Αν με Υ συμβολίζεται η μεταβλητή που μελετάται και χρησιμοποιηθεί ο δείκτης t για να δηλώσει την χρονική περίοδο που ελήφθη η τιμή αυτή, τότε η ακολουθία των τιμών αυτών αποτελεί ένα δείγμα Ν παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς. Βασικό χαρακτηριστικό κάθε χρονολογικής σειράς είναι η εξάρτηση μεταξύ των διαδοχικών τιμών της. Η φύση της αλληλεξάρτησης που υπάρχει μεταξύ των παρατηρήσεων μιας σειράς είναι το αντικείμενο μελέτης και ανάλυσης του κλάδου των χρονολογικών σειρών. Τα τρία κυριότερα στοιχεία της ανάλυσης χρονοσειρών είναι η περιγραφή, η επεξήγηση και η πρόβλεψη των εξαρτημένων μεταβλητών. Η περιγραφή επιτυγχάνεται με τη βοήθεια διαφόρων γραφημάτων, η επεξήγηση χρησιμοποιώντας κάποιας μορφής μοντέλα για να ερευνηθούν οι μηχανισμοί δημιουργίας της χρονοσειράς και η πρόβλεψη περιλαμβάνει τη χρησιμοποίηση ενός μοντέλου για να προβλεφθούν οι μελλοντικές τιμές της σειράς. Τέλος, η ανάλυση χρονοσειρών χωρίζεται σε τρεις κύριες κατηγορίες όπως φαίνονται παρακάτω: Στις μεθόδους εξομάλυνσης Στις μεθόδους διάσπασης των χρονοσειρών Στην ανάλυση κατά Box-Jenkins ή ανάλυση ARIMA Οι δύο πρώτες μέθοδοι είναι αιτιοκρατικές σε αντίθεση με την τελευταία η οποία είναι στοχαστική. Στο κεφάλαιο αυτό θα εξεταστούν κάποιες βασικές έννοιες που χρειάζονται στην ανάλυση των χρονολογικών σειρών. Πρώτα, θα οριστεί η έννοια της στασιμότητας στις χρονολογικές σειρές και θα ακολουθήσει ο έλεγχος μοναδιαίας ρίζας (έλεγχος στασιμότητας). Έπειτα, παρουσιάζονται τα σημαντικότερα στοχαστικά υποδείγματα χρονοσειρών (υποδείγματα ARMA) καθώς και η μεθοδολογία των Box-Jenkins που χρησιμοποιείται όταν - 1 -

20 οι σειρές δεν είναι στάσιμες. Κατόπιν, θα αναλυθεί η έννοια της συνολοκλήρωσης την οποία επίσης συνοδεύει και η μεθοδολογία της (έλεγχος συνολοκλήρωσης). Τέλος, θα γίνει αναφορά στο υπόδειγμα διόρθωσης λαθών και στην θεωρία της αιτιότητας κατά Granger όπως την ανέπτυξαν οι Engle και Granger (1969). 1.2 ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ Οι χρονολογικές σειρές διακρίνονται σε στάσιμες (stationary) και μη στάσιμες (nonstationary) σειρές. Αν τα χαρακτηριστικά της στοχαστικής διαδικασίας μεταβάλλονται διαχρονικά, τότε η διαδικασία αυτή είναι μη στάσιμη και είναι πολύ δύσκολο να παρατηρηθεί η χρονολογική σειρά με κάποιο αλγεβρικό υπόδειγμα. Αν όμως η στοχαστική διαδικασία παραμένει σε ισορροπία γύρω από ένα σταθερό μέσο επίπεδο, τότε μπορεί η διαδικασία να αναλυθεί μέσω ενός υποδείγματος με σταθερούς συντελεστές που μπορούν να εκτιμηθούν με βάση τα ιστορικά δεδομένα. Μια στοχαστική διαδικασία είναι αυστηρώς στάσιμη (strictly stationary) όταν οι ιδιότητες της δεν επηρεάζονται από μια αλλαγή στην αρχή μέτρησης του χρόνου. Αυτό σημαίνει ότι η συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας με αρχή το χρονικό σημείο t, δηλαδή η f y y ( t, t + 1,..., yt + T) είναι ακριβώς η ίδια με τη συνδυασμένη συνάρτηση πιθανότητας με αρχή το χρονικό σημείο t+k, την f( yt + k, yt k,..., yt + T + k). Το k παριστάνει μια αυθαίρετη μετακίνηση κατά μήκος του άξονα του χρόνου είτε προς τα εμπρός είτε προς τα πίσω, δηλαδή μπορεί να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό. Οπότε, από τη στιγμή που δεν μεταβάλλεται η συνάρτηση πιθανότητας με το χρόνο, δεν θα μεταβάλλεται ούτε η περιθωριακή συνάρτηση πιθανότητας και το ίδιο θα ισχύει και για όλες τις διμεταβλητές συναρτήσεις πιθανότητας. Όλα αυτά συνεπάγονται ότι ο μέσος και η διακύμανση του δεν μεταβάλλονται με μια αλλαγή του χρόνου, ενώ οι συνδιακυμάνσεις θα είναι συναρτήσεις μόνο της υστέρησης k. Eπομένως, θα δίνονται από τους τύπους: Ε ( 1) =Ε ( 2) =... =Ε ( T) =Ε ( t) = Y Y Y Y μ 2 VY ( 1) = VY ( 2) =... = VY ( T) = VY ( t) = σ Cov( Y 1, Y 1 + k) = Cov( Y 2, Y 2 + k) =... = Cov( YT, YT + k) = γ k - 2 -

21 Ο αυστηρός ορισμός της στασιμότητας αναφέρεται σε όλες τις ιδιότητες μιας στοχαστικής διαδικασίας, γι αυτό όταν ικανοποιούνται μόνο οι παραπάνω συνθήκες, η στοχαστική διαδικασία χαρακτηρίζεται ως ασθενώς στάσιμη (weakly stationary). Για την περαιτέρω ανάλυση, θα είναι αρκετό μια χρονολογική σειρά να είναι ασθενώς στάσιμη. Δηλαδή, αρκεί να ισχύουν τα εξής: Ε ( Yt) = μ, ανεξάρτητη από το t VY ά ό 2 ( t) = σ, ανεξ ρτητη απ το t Cov( Yt, Yt + k) = Cov( Yt + m, Yt + m + k) = γ k, ανεξά ρτητη από το t Αν μια χρονολογική σειρά είναι στάσιμη, τότε έχει σταθερή κατανομή πυκνότητας πιθανότητας f(y t ) για κάθε t και επομένως μια εκτίμηση του μέσου μ y και της διακύμανσης σ 2 y μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας το μέσο και τη διακύμανση αντίστοιχα του δείγματος των παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς, δηλαδή: Ν 1 y = t Ν y και t= 1 σ 1 = ( y y) N Ν 2 2 y t t= 1 Tέλος, ο καθορισμός της χρονοσειράς ως στάσιμης ή ως μη-στάσιμης έχει καθοριστικό ρόλο ακόμα και σε προβλήματα που αφορούν την ανάλυση της παλινδρόμησης. Για τις στάσιμες χρονοσειρές, δηλαδή για τις χρονοσειρές που τα χαρακτηριστικά τους παραμένουν αμετάβλητα διαχρονικώς, τα πράγματα είναι σχετικώς εύκολα ως προς την ανάλυση τους, ενώ αντίθετα για τις μη-στάσιμες χρονοσειρές, οι οποίες δεν συγκλίνουν σε μία σταθερή τιμή, τα πράγματα δυσκολεύουν αρκετά, αφού δεν μπορούν εύκολα να αναλυθούν και να προσδιοριστεί ο τρόπος δημιουργίας των τιμών τους. 1.3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Στα στοχαστικά υποδείγματα χρονοσειρών ο τυχαίος παράγοντας αποτελεί το μηχανισμό μέσα από τον οποίο δημιουργείται η χρονολογική σειρά. Το απλούστερο δυνατό - 3 -

22 σχήμα χρονολογικής σειράς είναι αυτό της τυχαίας μεταβλητής ή αλλιώς του ονομαζόμενου λευκού θορύβου (white noise). Λευκός θόρυβος Μια σειρά χαρακτηρίζεται ως λευκός θόρυβος αν στην ουσία δεν έχει κανένα ευκρινές σχήμα ή πρότυπο. Αν μια σειρά, έστω ε t, λέγεται ότι είναι λευκός θόρυβος αν έχει σταθερό μέσο όρο (συνήθως μηδέν), σταθερή διακύμανση και οι τιμές της δεν αυτοσυσχετίζονται. Πιο συγκεκριμένα, η υπόθεση του λευκού θορύβου συνεπάγεται για όλα τα t τα εξής: Ε ( ε t) = 0 2 Vαr( εt) = σ Cov( ε t, ε t k) = 0 για k 0 Μια τέτοια σειρά είναι πάντα στάσιμη και επιπλέον έχει μηδενικούς συντελεστές αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. Βασικές κατηγορίες στοχαστικών υποδειγμάτων Γενικά, υπάρχουν τρεις βασικές κατηγορίες στοχαστικών υποδειγμάτων χρονοσειρών. Αυτές είναι: Τα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα ή Υποδείγματα AR (Autoregressive Models) Τα Υποδείγματα Κινητών Μέσων ή Υποδείγματα MA (Moving Average Models) Τα Μεικτά Υποδείγματα ή Υποδείγματα ARMA (Autoregressive Moving Average Models) που είναι συνδυασμός των δύο προηγούμενων. Στη συνέχεια, θα εξεταστούν κάθε μία από αυτές τις τρεις κατηγορίες υποδειγμάτων χρονολογικών σειρών

23 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Η γενική μορφή ενός αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος είναι η εξής: Yt = δ + α1yt 1+ α2yt 2+ K+ α pyt p+ εt όπου οι παράμετροι δ, α 1,,α p είναι σταθερές και ε t μετρά τα τυχαία σφάλματα, τα οποία θεωρούνται λευκός θόρυβος, δηλαδή ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με μέσο όρο το μηδέν και σταθερή διακύμανση. Πρόκειται για ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης, όπου η εξαρτημένη μεταβλητή Υ t δεν παλινδρομεί σε ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά στις προηγούμενες τιμές της ίδιας της μεταβλητής Υ t. Για αυτό και ονομάζεται αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα (Autoregressive model) τάξεως p και συμβολίζεται ως AR(p). Η γενική μορφή ενός αυτοπαλίνδρομου υποδείγματος μπορεί να εκφραστεί και με βάση τον τελεστή υστέρησης L ως εξής: p (1 α 1L K α pl ) yt = ε t όπου: το y t εκφράζεται σε αποκλίσεις από τους μέσους δηλαδή: y Y E Y Y Y t = t ( t) = t μ = t δ /(1 α1 α 2 K α p), ο τελεστής παλινδρόμησης L μετατοπίζει προς τα πίσω την μεταβλητή που πολλαπλασιάζει δηλαδή είναι: = LYt Yt p και Α ( L) = 1 α1l K α pl p είναι το πολυώνυμο μέσω του οποίου προκύπτουν τα συμπεράσματα για ένα AR(p) υπόδειγμα. Πιο συγκεκριμένα οι συνθήκες στασιμότητας για το AR(p) υπόδειγμα προσδιορίζονται από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης του Α(L): X p α 1Xp 1 α p 0 K = (1.1) - 5 -

24 Έτσι, για να είναι στάσιμο ένα AR(p) υπόδειγμα θα πρέπει οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (1.1) να είναι όλες μικρότερες της μονάδας σε απόλυτες τιμές ή αλλιώς να βρίσκονται όλες μέσα στον μοναδιαίο κύκλο. Υποδείγματα Kινητού Mέσου Η γενική μορφή ενός υποδείγματος κινητών μέσων είναι η εξής: Y = μ + ε θ ε K θ ε t t 1 t 1 q t q όπου τα θ είναι σταθεροί παράμετροι και ε t είναι ο λευκός θόρυβος. Στο υπόδειγμα αυτό θεωρείται ότι η χρονολογική σειρά Υ t δημιουργείται ως ένας σταθμικός μέσος των τυχαίων σφαλμάτων των q προηγούμενων περιόδων και ονομάζεται υπόδειγμα κινητών μέσων (Moving Average) τάξεως q συμβολιζόμενο ως ΜΑ(q). Κάθε υπόδειγμα ΜΑ πεπερασμένης τάξεως q είναι πάντα στάσιμο διότι πληρούνται όλες οι συνθήκες στασιμότητας που αφορούν τον σταθερό μέσο, την διακύμανση και την αυτοσυνδιακύμανση, οι οποίες είναι πεπερασμένες και ανεξάρτητες του t. Συχνά χρειάζεται να εκφραστεί μια ΜΑ διαδικασία σε αυτοπαλίνδρομη μορφή. Αυτό όμως δεν είναι πάντα εφικτό εκτός και αν πληρούνται οι αναγκαίες συνθήκες αντίστοιχες με αυτές που απαιτήθηκαν στα AR υποδείγματα προκειμένου να ικανοποιείται η υπόθεση της στασιμότητας. Αν πληρούνται αυτές οι συνθήκες τότε το ΜΑ υπόδειγμα είναι αντιστρέψιμο που σημαίνει ότι μπορεί να μετατραπεί σε AR υπόδειγμα άπειρης τάξεως. Αντίστοιχα ισχύει ότι ένα AR υπόδειγμα είναι αντιστρέψιμο αν μπορεί να λάβει τη μορφή ενός ΜΑ υποδείγματος άπειρης τάξεως. Για την αντιστρεψιμότητα ενός ΜΑ(q) υποδείγματος θα πρέπει οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης του πολυωνύμου: Θ ( ) = 1 q L θ 1L K θ ql να είναι όλες μέσα στο μοναδιαίο κύκλο ή αλλιώς οι ρίζες του Θ ( L) = 0 να βρίσκονται όλες έξω από τον μοναδιαίο κύκλο

25 Μεικτά Υποδείγματα Προηγουμένως, έγινε αναφορά σε δύο πολύ σημαντικές κατηγορίες υποδειγμάτων, τα αυτοπαλίνδρομα (AR) και τα υποδείγματα κινητών μέσων (ΜΑ). Τα υποδείγματα αυτά έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά τα οποία προσδιορίζονται εξετάζοντας τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης του στατιστικού δείγματος παρατηρήσεων της χρονολογικής σειράς. Εντούτοις, υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που τα χαρακτηριστικά αυτά δεν εμπίπτουν ούτε στην κατηγορία AR υποδειγμάτων αλλά ούτε και στα ΜΑ. Έτσι, αν τα δεδομένα μιας χρονολογικής σειράς έχουν συναρτήσεις συσχέτισης ή μερικής αυτοσυσχέτισης που δεν φαίνονται να μηδενίζονται μετά από κάποιο σημείο αλλά φθίνουν και οι δύο με αργό ρυθμό, τότε έχουμε στοιχεία και των δύο μορφών AR και ΜΑ. Στις περιπτώσεις αυτές, κατασκευάζονται υποδείγματα που περιέχουν και τα δύο παραπάνω οπότε προκύπτουν τα μεικτά υποδείγματα ARMA. Η γενική μορφή ενός ARMA (p,q) υποδείγματος ορίζεται ως εξής: Yt = δ + α1yt 1+ α2yt 2+ K+ α pyt p+ εt θ1εt 1 K θqεt q Χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα των τελεστών υστέρησης ισχύει: Α ( L) Yt = δ +Θ ( L) ε t με 2 p 2 Α ( L) = 1 α1l α2l K α pl Θ ( L) = 1 θ 1L θ 2L K θql και q όπου : L είναι ο τελεστής υστέρησης που έχει τη ιδιότητα j LYt = Yt j p, q: οι σταθερές που ορίζουν την τάξη των AR και AM αντίστοιχα Α(L): είναι το πολυώνυμο βάση του οποίου μπορούν να προκύψουν συμπεράσματα για τη στασιμότητα ενός AR υποδείγματος Θ(L): είναι το πολυώνυμο βάση του οποίου μπορούν να προκύψουν συμπεράσματα για τη αντιστρεψιμότητα ενός ΜΑ ή AR υποδείγματος πεπερασμένης τάξεως

26 Αν μια διαδικασία ARMA (p,q) είναι στάσιμη, τότε το πολυώνυμο Α(L) είναι αντιστρέψιμο και άρα πολλαπλασιάζοντας με Α -1 (L) εξασφαλίζεται μια μορφή άπειρου τάξεως: 1 1 Yt =Α ( L) δ +Α ( L) Θ ( L) ε t Οι ιδιότητες των ARMA υποδειγμάτων είναι ένας συνδυασμός των ιδιοτήτων των AR και ΜΑ υποδειγμάτων. Ένα ARMA(p,q) υπόδειγμα θα είναι στάσιμο αν οι ρίζες του πολυωνύμου Α(L) είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου (συνθήκες στασιμότητας του AR τμήματος του υποδείγματος ARMA) και αντιστρέψιμο αν οι ρίζες του Θ(L) είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου (συνθήκες αντιστρεψιμότητας του ΜΑ τμήματος του υποδείγματος ARMA). Υποδείγματα ARIMA Η ανάλυση που προηγήθηκε για τα AR, MA και ARMA υποδείγματα ήταν βασισμένη στην υπόθεση ότι οι χρονολογικές σειρές είναι στάσιμες. Σε πολλές περιπτώσεις όμως ιδίως στα οικονομικά οι σειρές είναι μη στάσιμες. Για τον λόγo αυτό οι Box και Jenkins προτείνουν την μετατροπή των σειρών σε στάσιμες παίρνοντας διαφορές πρώτης, δεύτερης ή και μεγαλύτερης τάξης. Εφόσον εξασφαλιστεί η στασιμότητα με τις διαφορές, τότε ακολουθεί η γνωστή ανάλυση προσαρμογής του κατάλληλου ARMA(p,q) υποδείγματος στην μετασχηματισμένη σειρά. Έστω Y1 Y 2 K Y,,, n τιμές, τότε παίρνοντας πρώτες διαφορές ισχύει: είναι οι παρατηρήσεις μιας χρονολογικής σειράς στις αρχικές τις Δ Yt = Yt Yt 1 = (1 L) Yt Αν η μετασχηματισμένη σειρά ΔΥ t είναι στάσιμη τότε το υπόδειγμα που προσαρμόζεται στη μετασχηματισμένη σειρά ΔΥ t ονομάζεται ολοκληρωμένο πρώτης τάξεως ΑRMA(p,q) ή αλλιώς αυτοπαλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμα κινητών μέσων (Αutoregressive Integrated Moving Average) και συμβολίζεται ως ΑRIMA(p,1,q). Γενικά αν d είναι ο αριθμός των διαφορών που πρέπει να πάρει ένα ολοκληρωμένο υπόδειγμα προκειμένου να γίνει στάσιμο, - 8 -

27 τότε το υπόδειγμα που προσαρμόζεται στην αρχική σειρά Υ t ονομάζεται αυτοπαλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμα κινητών μέσων τάξεως (p,d,q) και συμβολίζεται ως ARIMA(p,d,q). 1.4 ΈΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΡΙΖΑΣ Το πρώτο και σημαντικότερο βήμα πριν την κατασκευή του οικονομετρικού υποδείγματος είναι ο έλεγχος της στασιμότητας των χρονολογικών σειρών (unit-root test), δηλαδή να εξεταστεί αν αυτές περιέχουν μοναδιαίες ρίζες. Μια χρονολογική σειρά χαρακτηρίζεται ως στάσιμη όπως ήδη έχει αναφερθεί αν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της δεν μεταβάλλονται με τον χρόνο, δηλαδή σε μια στάσιμη σειρά ο μέσος όρος, η διακύμανση και οι αυτοσυνδιακυμάνσεις των τιμών της να είναι σταθερά μεγέθη ανεξάρτητα από τον χρόνο. Αν οι χρονολογικές σειρές δεν είναι στάσιμες, οι έλεγχοι που εφαρμόζονται πολλές φορές οδηγούν σε εσφαλμένα αποτελέσματα. Για το λόγο αυτό θα εξεταστούν αν οι χρονολογικές σειρές του υποδείγματος είναι στάσιμες στα επίπεδα τους και σε περίπτωση που δεν είναι θα καθοριστεί το επίπεδο στο οποίο αυτές γίνονται στάσιμες. Η μεθοδολογία που θα χρησιμοποιηθεί είναι αυτή των Dickey Fuller {απλός έλεγχος των Dickey Fuller (DF test) και επαυξημένος έλεγχος των Dickey Fuller (ΑDF test)}. Απλός έλεγχος των Dickey-Fuller Oι έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας (unit-root test) εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά στο αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα AR(1), δηλαδή σε ένα υπόδειγμα όπου η εξαρτημένη του μεταβλητή εξαρτάται από την τιμή που είχε η μεταβλητή αυτή μια χρονική περίοδο πριν. Συγκεκριμένα, οι Dickey και Fuller (1979) χρησιμοποίησαν τρεις διαφορετικές εξισώσεις μορφής AR(1) όπως φαίνονται παρακάτω για τη διεξαγωγή των ελέγχων μοναδιαίας ρίζας. yt ayt 1 ε t = + (1.2) - 9 -

28 yt δ ayt 1 ε t = + + (1.3) yt δ γt ayt 1 t = + + +ε (1.4) όπου τα κατάλοιπα ε t είναι λευκός θόρυβος (white noise), έχουν δηλαδή μέσο όρο μηδέν, σταθερή διακύμανση και οι τιμές τους είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους. Η εξίσωση (1.2) χρησιμοποιείται όταν ο μέσος όρος της σειράς είναι μηδέν, η εξίσωση (1.3) αναφέρεται όταν ο μέσος όρος της σειράς είναι διάφορος του μηδενός και τέλος η εξίσωση (1.4) είναι για όταν ο μέσος όρος της σειράς είναι διάφορος του μηδενός και υπάρχει χρονική τάση t στη σειρά. Kαι στις τρεις εξισώσεις εξετάζεται αν η τιμή του α είναι ίση με 1 (ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας). Σαν μηδενική υπόθεση στον απλό έλεγχο των Dickey-Fuller (DF test) έχουμε ότι η τιμή της παραμέτρου α είναι ίση με 1 (ύπαρξη μοναδιαίας ρίζας, μη στάσιμη σειρά) και σαν εναλλακτική υπόθεση ότι η τιμή α είναι μικρότερη της μονάδας (στάσιμη σειρά). Επομένως, πρέπει να ελεγχθεί ο ακόλουθος στατιστικός έλεγχος: Η 0 : α = 1 Η 1 : α < 1 Για να γίνει αυτός ο έλεγχος οι Dickey-Fuller μέσω πειραμάτων Monte-Carlo βρήκαν μια κατάλληλη μη συμμετρική κατανομή που χρησιμοποίησαν για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης. Ο έλεγχος αυτός γίνεται με την βοήθεια της κατανομής t-student, αλλά η σύγκριση για την αποδοχή ή όχι της μηδενικής υπόθεσης γίνεται με τις κριτικές τιμές του MacKinnon. Για την εξίσωση (1.2) η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν το στατιστικό t-student του συντελεστή είναι μικρότερο από την κριτική τιμή τ 1 των πινάκων Dickey-Fuller. H απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης για την εξίσωση (1.3) γίνεται όταν το στατιστικό t-student του συντελεστή είναι μικρότερο από την κριτική τιμή τ 2 των πινάκων Dickey-Fuller και τέλος, έχοντας την εξίσωση (1.4) απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση όταν το στατιστικό t- Student του συντελεστή είναι μικρότερο από την κριτική τιμή τ 3 των πινάκων Dickey-Fuller

29 Ο επαυξημένος έλεγχος των Dickey-Fuller Ο απλός έλεγχος Dickey-Fuller χρησιμοποιείται στην περίπτωση όπου το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα είναι πρώτης τάξης AR(1), δεν μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί ο ίδιος έλεγχος όταν το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα είναι μεγαλύτερης τάξης. Έστω ότι το αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα είναι p τάξης AR(p) που είναι της μορφής: Yt = δ + α1yt 1+ α2yt 2+ K+ α pyt p+ εt (1.5) Αν στο παραπάνω υπόδειγμα προστεθεί και αφαιρεθεί πρώτα ο όρος ay p t p + 1 και μετά ο όρος ( ap 1+ ap) yt p + 2 και κ.λπ. τότε η εξίσωση (1.5) λαμβάνει την μορφή: Y Y Y Y Δ t = δ + β t 1+ δ1δ t δ p 1Δ t p + 1+ε t (1.6) όπου β = a + a + + ap ( ) 1 Ο έλεγχος ύπαρξης μοναδιαίας ρίζας τώρα βασίζεται στη μηδενική υπόθεση ότι η τιμή του β στην εξίσωση (1.6) είναι ίση με το μηδέν έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης ότι η τιμή του β είναι μικρότερη του μηδενός. Ο έλεγχος αυτός είναι ίδιος με τον απλό έλεγχο των Dickey-Fuller και διαφέρει μόνο στο ότι η εξίσωση παλινδρόμησης έχει τώρα επαυξηθεί με τις υστερήσεις του ΔY t, για αυτό και ο έλεγχος αυτός ονομάζεται επαυξημένος έλεγχος των Dickey-Fuller (ADF). 1.5 ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Πολλές από τις χρονοσειρές ιδίως οι οικονομικές είναι μη στάσιμες καθώς οι περισσότερες σειρές μεγεθύνονται ή μειώνονται μακροχρόνια. Επομένως, για την στατιστική ανάλυση τέτοιων μη στάσιμων σειρών απαιτείται προηγουμένως η μετατροπή τους σε στάσιμες. Με την έννοια της στασιμότητας σχετίζεται και ο βαθμός ολοκλήρωσης μιας χρονολογικής σειράς. Μια σειρά λέγεται ότι είναι ολοκληρωμένη πρώτης τάξης και συμβολίζεται ως Ι(1) αν μετατρέπεται σε στάσιμη παίρνοντας πρώτες διαφορές. Όταν μια

30 σειρά είναι στάσιμη στο επίπεδο της, δηλαδή Ι(0), δεν παρουσιάζει καμία συστηματική κίνηση αλλά χαρακτηρίζεται από σταθερές διαταραχές γύρω από μια καλά καθορισμένη μέση τιμή, είναι επομένως καλά ορισμένη. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις χρονολογικές σειρές, παρουσιάζει ο προσδιορισμός της τάξης ολοκλήρωσης ενός γραμμικού συνδυασμού δύο ή περισσότερων χρονικών σειρών. Πάνω στην ιδέα της ολοκλήρωσης βασίζεται η έννοια των συνολοκληρωμένων διαδικασιών. Ειδικότερα, την έννοια της συνολοκλήρωσης την εισήγαγε ο Granger (1981). Επομένως, αν οι χρονοσειρές είναι μη στάσιμες στα επίπεδα τους, μπορούν να ολοκληρωθούν με βαθμό ολοκλήρωσης ένα όταν οι πρώτες διαφορές τους είναι στάσιμες. Οι μεταβλητές αυτές μπορούν επίσης να συνολοκληρωθούν αν υπάρχει ένας η περισσότεροι γραμμικοί συνδυασμοί μεταξύ τους που να είναι στάσιμοι. Αν οι μεταβλητές συνολοκληρώνονται, τότε υπάρχει μια σταθερή μακροπρόθεσμη γραμμική σχέση μεταξύ τους. Ένα σύνολο μη στάσιμων χρονοσειρών λέγεται ότι είναι συνολοκληρωμένο αν υπάρχει ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των χρονοσειρών ο οποίος να είναι στάσιμος, πράγμα που σημαίνει ότι ο συνδυασμός αυτός δεν παρουσιάζει στοχαστική τάση. Ο γραμμικός αυτός συνδυασμός των χρονοσειρών ονομάζεται εξίσωση συνολοκλήρωσης. Η εξίσωση αυτή παριστά τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ των χρονολογικών σειρών. Δύο η περισσότερες σειρές είναι δυνατόν να είναι συνολοκληρωμένες όταν είναι ολοκληρωμένες ίδιας τάξης. Η εξίσωση της συνολοκλήρωσης ανάμεσα στις μεταβλητές Υt και Ζt είναι: Yt = azt+ ut ή ut = Yt azt Ο γραμμικός συνδυασμός των δύο αυτών μεταβλητών είναι στάσιμος, δηλ Ι(0). Αν δυο ή περισσότερες μεταβλητές είναι του ίδιου βαθμού ολοκληρωμένες έστω d, τότε αυτές συνολοκληρώνονται αν υπάρχει γραμμικός τους συνδυασμός ή διάνυσμα γραμμικών τους συνδυασμός που να είναι βαθμού ολοκλήρωσης b μικρότερου βαθμού ολοκλήρωσης ( b < d) των μεταβλητών αυτών. Αν Yt I(1) και Zt I (1) τότε οι σειρές αυτές είναι συνολοκληρωμένες όταν ο γραμμικός συνδυασμός τους ut είναι στάσιμος, Ι(0). Στην περίπτωση που υπάρχει ένας

31 τέτοιος γραμμικός συνδυασμός τότε μπορεί να υπάρχει και μια μακροχρόνια σχέση μεταξύ των μεταβλητών αυτών, αν και οι βραχυχρόνιες διακυμάνσεις τους μπορεί να μη σχετίζονται μεταξύ τους. Σαν μηδενική υπόθεση στον έλεγχο που γίνεται είναι ότι δεν υπάρχει συνολοκλήρωση μεταξύ των μεταβλητών Υ και Ζ και σαν εναλλακτική υπόθεση ότι υπάρχει σχέση συνολοκλήρωσης μεταξύ των μεταβλητών Υ και Ζ. Έλεγχος Συνολοκλήρωσης Για τον έλεγχο συνολοκλήρωσης μεταξύ δυο ή περισσότερων μεταβλητών υπάρχουν δυο βασικές κατηγορίες μεθόδων. Η πρώτη κατηγορία αναφέρεται στις μεθόδους της μίας εξίσωσης των Engle και Granger και η δεύτερη κατηγορία αναφέρεται σε ένα σύστημα εξισώσεων όπου βασίζεται στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Στη δεύτερη κατηγορία χρησιμοποιούνται οι έλεγχοι που στηρίζονται στη μεθοδολογία των VAR υποδειγμάτων, όπου προσδιορίζεται ο μέγιστος αριθμός των σχέσεων συνολοκλήρωσης που μπορούν να έχουν οι μεταβλητές που εξετάζονται. Στη συνέχεια, αναλύονται οι δύο βασικές κατηγορίες μεθόδων για τον έλεγχο συνολοκλήρωσης. Η μεθοδολογία των Engle-Granger Η μέθοδος της μιας εξίσωσης των Engle-Granger ονομάζεται αλλιώς και μέθοδος ελέγχου συνολοκλήρωσης βάσει των καταλοίπων, εφόσον ο έλεγχος συνολοκλήρωσης στηρίζεται στον έλεγχο στασιμότητας των καταλοίπων της εξίσωσης: ut = Yt azt Ο έλεγχος μοναδιαίας ρίζας (στασιμότητας) των καταλοίπων εφαρμόζεται με τους γνωστούς ελέγχους μοναδιαίας ρίζας, τον απλό έλεγχο των Dickey-Fuller (DF test) και τον επαυξημένο έλεγχο των Dickey-Fuller (ADF test). Αν οι μεταβλητές Υ t και Z t είναι στάσιμες στα επίπεδα τους Ι(0) δεν χρειάζεται ο έλεγχος συνολοκλήρωσης, αφού ισχύουν όλες οι τυπικές διαδικασίες χρονολογικών σειρών. Αν οι μεταβλητές είναι ολοκληρωμένες με διαφορετικό βαθμό η κάθε μια π.χ. Ι(1) η μία και Ι(2) ή άλλη τότε θεωρείται ότι οι μεταβλητές δεν

32 συνολοκληρώνοται, για να συνολοκληρώνονται οι μεταβλητές θα πρέπει και οι δυο να είναι ολοκληρωμένες ίδιου βαθμού. Η μεθοδολογία του Johansen Ο έλεγχος του Johansen για την ύπαρξη συνολοκλήρωσης πραγματοποιείται στα πλαίσια ενός υποδείγματος VAR (το όποιο αναλύεται αναλυτικά πιο κάτω), ενός υποδείγματος δηλαδή που κάθε μεταβλητή παλινδρομείται με τις υπόλοιπες, θεωρούμενες με έναν ορισμένο αριθμό χρονικών υστερήσεων. Για την εκτίμηση ενός VAR υποδείγματος είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός της τάξης (του αριθμού των χρονικών υστερήσεων) του υποδείγματος. Ο προσδιορισμός αυτός γίνεται με τα κριτήρια πληροφοριών Schwartz και Akaike καθώς επίσης και με ένα σύνολο άλλων κριτηρίων. Η μεθοδολογία του Johansen (1988) προτείνει ότι ένα διάνυσμα Y t που αποτελείται από πρώτης τάξης ολοκληρωμένες μεταβλητές, εκφράζεται από ένα VAR υπόδειγμα k τάξης ως εξής: k Yt = AY j t j+ BZt+ut j= 1 Το υπόδειγμα αυτό μπορεί να γραφτεί και σε μορφή πρώτων διαφορών με διόρθωση λαθών (όπου αναλύεται παρακάτω): k 1 Δ Yt =Π Yt 1+ ΓΔ j Yt 1+ BZt+ j= 1 u t όπου k Π= Αj I j= 1 και k Γ= j Ai με j=1,2,,k i= j+ 1 Η μήτρα Π ονομάζεται μήτρα ισορροπίας και ο βαθμός της προσδιορίζει την ύπαρξη συνολοκλήρωσης μεταξύ των σειρών. Ο βαθμός της μήτρας αυτής προσδιορίζει και την ύπαρξη συνολοκλήρωσης μεταξύ των μεταβλητών του διανύσματος Υ t

33 Εάν ο βαθμός της μήτρας Π είναι μηδενικός, τότε όλα τα στοιχεία της μήτρας είναι μηδέν. Οπότε το υπόδειγμα διόρθωσης λαθών γίνεται ένα VAR υπόδειγμα στις πρώτες διαφορές ΔΥ t άρα οι μεταβλητές δεν συνολοκληρώνονται. Εάν ο βαθμός της μήτρας Π είναι πλήρης, τότε το διάνυσμα Y t είναι στάσιμο, πράγμα που σημαίνει ότι όλες οι μεταβλητές είναι ολοκληρωμένες τάξεως μηδέν, και επομένως δεν ανακύπτει το ερώτημα της συνολοκλήρωσης. Εάν ο βαθμός της μήτρας Π είναι μειωμένος, τότε η μήτρα αυτή μπορεί να γραφεί ως Π = αβ', όπου τα στοιχεία της α ονομάζονται συντελεστές ταχύτητας προσαρμογής, ενώ κάθε στήλη της μήτρας β είναι και ένα διάνυσμα συνολοκλήρωσης. Άρα οι μεταβλητές του υποδείγματος συνολοκληρώνονται με βαθμό συνολοκλήρωσης ίσο με τον βαθμό της μήτρας Π. Πιο πάνω, αναλύθηκε η μεθοδολογία του Johansen η οποία ολοκληρώθηκε και εφαρμόστηκε στις εργασίες του Johansen και Johansen και Juselius, η οποία αποτελεί μια από τις σημαντικότερους μεθόδους στον έλεγχο της συνολοκλήρωσης όταν πρόκειται για συστήματα εξισώσεων όπου βασίζεται στη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας 1.6 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΛΑΘΩΝ Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορεί να εκτιμηθεί η μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών. Οι Engel και Granger (1987) έχουν δείξει ότι αν δύο μεταβλητές Υ και Ζ είναι συνολοκληρωμένες, τότε υπάρχει μία μακροχρόνια σχέση ισορροπίας μεταξύ των μεταβλητών αυτών. Βραχυχρόνια όμως οι μεταβλητές αυτές μπορεί να βρίσκονται σε ανισορροπία. Η βραχυχρόνια αυτή σχέση ανισορροπίας μεταξύ των δύο αυτών μεταβλητών μπορεί να διατυπωθεί με ένα υπόδειγμα που ονομάζεται Υπόδειγμα Διόρθωσης Λαθών (Vector Error Correction). Το σφάλμα ισορροπίας (ανισορροπίας) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συνενώσει τη βραχυχρόνια με τη μακροχρόνια περίοδο. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη συνένωση αυτή λέγεται μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος (Error Correction Μechanism, ECM). Άρα

34 η συνάρτηση που προκύπτει για να συνδέσει τη βραχυχρόνια και τη μακροχρόνια σχέση μεταξύ των μεταβλητών δίνεται από την παρακάτω σχέση: Y Δ t = lagged ( ΔY t, ΔZ t, K )+ λu t-1+et (1.7) όπου: το u t-1 είναι το σφάλμα ισορροπίας και αναφέρεται στην προσαρμογή ως προς τη μακροχρόνια ισορροπία. 1< λ < 0 είναι ο βραχυχρόνιος συντελεστής προσαρμογής. e t είναι λευκός θόρυβος. Δ Yt και Δ Zt είναι οι πρώτες διαφορές των μεταβλητών Y t και Ζ t οι οποίες είναι ολοκληρωμένες πρώτης τάξης, ενώ το σφάλμα ισορροπίας u t είναι ολοκληρωμένο μηδενικής τάξης. Άρα η παραπάνω συνάρτηση μπορεί να εκτιμηθεί με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Αν οι μεταβλητές Υ και Ζ είναι ολοκληρωμένες πρώτης τάξης Ι(1), τότε οι πρώτες διαφορές τους ΔΥ και ΔΖ είναι μηδενικής τάξης Ι(0), οπότε το αριστερό μέλος της συνάρτησης είναι μηδενικής τάξης Ι(0). Για να έχει νόημα η παραπάνω συνάρτηση θα πρέπει και το δεξιό μέλος να είναι μηδενικής τάξης Ι(0) πράγμα που σημαίνει ότι το σφάλμα ισορροπίας ut-1 (1.7) να συνολοκληρώνονται. θα πρέπει να είναι μηδενικής τάξης Ι(0), δηλαδή οι μεταβλητές της σχέσης Στις οικονομικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών εμπλέκονται περισσότερες από δύο μεταβλητές. Άρα μπορεί να υπάρχουν και περισσότερα από ένα συνολοκληρωμένα διανύσματα μεταξύ των μεταβλητών. Επομένως, αν υπάρχουν k μεταβλητές οι οποίες είναι ολοκληρωμένες πρώτης τάξης Ι(1), τότε ο μέγιστος αριθμός των συνολοκληρωμένων διανυσμάτων που μπορεί να υπάρξει είναι k-1 διανύσματα. Είναι σημαντικό εδώ να σημειωθεί ότι ο ακριβής αριθμός των χρονικών υστερήσεων των μεταβλητών ΔΥ και ΔΖ στην συνάρτηση δεν είναι καθορισμένος. Για να εκτιμηθεί ένα δυναμικό υπόδειγμα διόρθωσης λαθών χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (OLS) θα πρέπει να συμπεριληφθεί και το διάνυσμα συνολοκλήρωσης. Η εξειδίκευση του υποδείγματος διόρθωσης λαθών αναγκάζει τη μακροπρόθεσμη συμπεριφορά των ενδογενών μεταβλητών να συγκλίνει προς τη σχέση συνολοκλήρωσης, ενώ παράλληλα διευθετεί τη βραχυχρόνια δυναμική

35 Τα διανυσματικά υποδείγματα διόρθωσης λαθών (VEC) έχουν το πλεονέκτημα ότι μελετούν τις βραχυχρόνιες μεταβολές των μεταβλητών, περιορίζοντας ταυτόχρονα τις μη στάσιμες σειρές να συγκλίνουν στη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που συνεπάγεται η σχέση συνολοκλήρωσης τους. Τα διανυσματικά υποδείγματα διόρθωσης λαθών (VEC) μπορούν να ελέγξουν απευθείας την ύπαρξη συνολοκλήρωσης και στη συνέχεια να εκτιμήσουν τις υπάρχουσες σχέσεις συνολοκλήρωσης. Ένα υποσύνολο των μεταβλητών ελέγχεται για να εξακριβωθεί αν είναι στατιστικά σημαντικές, έτσι ώστε να διαπιστωθεί αν μπορούν να διαγραφούν από το δείγμα. Τέτοιοι σχετικοί στατιστικοί έλεγχοι περιλαμβάνουν το στατιστικό F και το στατιστικό δείκτη της λογαριθμισμένης πιθανότητας (log-likelihood). Κάθε μία από τις στατιστικά μη σημαντικές μεταβλητές διαγράφεται από το γενικό δυναμικό υπόδειγμα, ενώ παράλληλα διατηρείται ο όρος της διόρθωσης του σφάλματος ο οποίος πρέπει να είναι αρνητικός και στατιστικά σημαντικός σε επίπεδο π.χ. 5%. Οι στατιστικοί έλεγχοι δεν απορρίπτουν τη μηδενική υπόθεση που λέει ότι οι επιλεγμένοι συντελεστές είναι μηδέν σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Διαγράφοντας τους μη στατιστικά σημαντικούς συντελεστές της παλινδρόμησης λαμβάνουμε τις μεταβλητές εκείνες που είναι στατιστικά σημαντικές όπως ο συντελεστής του όρου διόρθωσης σφάλματος να είναι αρνητικός και στατιστικά σημαντικός. Ο εκτιμημένος συντελεστής του όρου διόρθωσης σφάλματος μετρά την ταχύτητα προσαρμογής που απαιτείται για την αποκατάσταση της ισορροπίας στο δυναμικό υπόδειγμα. Η χρησιμοποίηση όλων των διαγνωστικών ελέγχων, είναι απαραίτητοι για την καταλληλότητα των υποδειγμάτων διόρθωσης λαθών. Η εκτίμηση ενός υποδείγματος διόρθωσης λαθών μπορεί να γίνει σε δύο στάδια σύμφωνα με τους Engle and Granger (1987), αφού βέβαια προηγουμένως έχει γίνει ο έλεγχος της συνολοκλήρωσης. Οι Engle Granger επομένως προτείνουν μία διαδικασία που περιλαμβάνει δύο στάδια: Στο πρώτο στάδιο εκτιμάται η συνάρτηση συνολοκλήρωσης Yt = δ + αzt+ ut με OLS και υπολογίζονται τα κατάλοιπα. Στο δεύτερο στάδιο τα αληθινά λάθη ανισορροπίας αντικαθίστανται με τα εκτιμημένα κατάλοιπα, οπότε γίνεται η εκτίμηση της εξίσωσης: Y Δ t = lagged ( ΔY t, ΔZ t, K )+ λu t-1+et με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων

36 Το υπόδειγμα αυτό είναι δυναμικό σε αντίθεση με την παλινδρόμηση της συνολοκλήρωσης που είναι στατικό υπόδειγμα. Για τον λόγo αυτό οι Engle και Granger πρότειναν το δεύτερο στάδιο εκτίμησης του υποδείγματος. Επειδή η υστέρηση του σφάλματος ισορροπίας u t-1 δεν είναι γνωστή το υπόδειγμα δεν μπορεί να εκτιμηθεί άμεσα. Για το λόγo αυτό προτείνεται η αντικατάσταση του u t από την εκτίμηση του πρώτου σταδίου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων του στατικού υποδείγματος της συνολοκληρωμένης εξίσωσης. Εδώ θα πρέπει να αναφερθεί το πρόβλημα της κανονικοποίησης που υπάρχει μεταξύ των μεταβλητών, το οποίο μαζί με το πρόβλημα της μη μοναδικότητας των σχέσεων συνολοκλήρωσης αποτελούν τα βασικά μειονεκτήματα της μεθοδολογίας των Engle and Granger όταν εξετάζονται δύο μεταβλητές. 1.7 ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ KΑΤΑ GRANGER Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη στην εξίσωση παλινδρόμησης. Με άλλα λόγια κατά πόσο μία μεταβλητή αιτιάζει μία άλλη ή αιτιάζεται από αυτή ή και είναι ανεξάρτητη από τις άλλες. Στην οικονομική επιστήμη μία τέτοια σχέση είναι σχεδόν αδύνατο να καθοριστεί εκ των προτέρων. Για το λόγο αυτό στα οικονομικά πολλές φορές θεωρείται εκ των προτέρων δεδομένη μία συγκεκριμένη σχέση αιτίου και αποτελέσματος προκειμένου να εφαρμοστούν οι κλασικές οικονομετρικές μεθόδοι εκτίμησης ενός υποδείγματος. Αν υπάρχουν δύο μεταβλητές Y και Z και σύμφωνα με την Οικονομική θεωρία η μεταβλητή Y προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Z, το ερώτημα που τίθεται είναι αν πράγματι μια τέτοια σχέση υπάρχει. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι να γίνει παλινδρόμηση της μεταβλητής Z πάνω στη Y χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που υπάρχουν και να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα του συντελεστή Y. Η ύπαρξη υψηλής συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών δεν αποτελεί σε καμία περίπτωση και απόδειξη ότι υπάρχει μία σχέση αιτιότητας μεταξύ των μεταβλητών που μελετώνται. Τα προβλήματα με τις φαινομενικές (νόθες) συσχετίσεις παρουσιάζονται πολύ συχνά ακόμη και σε δυναμικά υποδείγματα. Οι δυσκολίες του καθορισμού μίας σχέσης αιτιότητας μεταξύ των οικονομικών μεταβλητών οδήγησαν τον Granger (1969) στην ανάπτυξη της οικονομικής έννοιας της

37 αιτιότητας γνωστής ως «αιτιότητα κατά Granger» (Granger Causality). Γενικά, μία μεταβλητή Y αιτιάζει κατά Granger μία άλλη Z, αν όλη η πρόσφατη και προηγούμενη πληροφόρηση γύρω από τις τιμές της μεταβλητής αυτής βοηθούν στην καλύτερη πρόβλεψη των τιμών της Z. Έτσι, σύμφωνα με τον ορισμό του Granger, η μεταβλητή Y αιτιάζει την Z αν η πρόβλεψη της Z για μία περίοδο στο μέλλον, που προέκυψε με βάση όλη την προηγούμενη πληροφόρηση έχει μικρότερο μέσο σφάλμα τετραγώνου από την πρόβλεψη του Z που γίνεται με βάση όλη την προηγούμενη πληροφόρηση πλην εκείνης που αφορά τη μεταβλητή Y. Έλεγχος αιτιότητας κατά Granger Ο πιο γνωστός έλεγχος για την κατεύθυνση της αιτιότητας είναι αυτός που προτάθηκε από τον Granger. Ο έλεγχος αυτός βασίζεται στο συλλογισμό ότι το μέλλον δεν μπορεί να προκαλέσει το παρόν ή το παρελθόν. Στα υποδείγματα της οικονομετρίας η σχέση αιτίας αιτιατού (αιτιότητα) είναι δεδομένη εκ των προτέρων (a priori). Οι έλεγχοι για την ύπαρξη αιτιότητας γίνονται με τη χρήση των VAR υποδειγμάτων. Ο έλεγχος για τη διαπίστωση της αιτιότητας κατά Granger είναι ο ακόλουθος: Έστω ότι υπάρχουν δύο χρονικές σειρές Z t και Y t και τα παρακάτω υποδείγματα: m m Zt = μ0 + az i t i+ βiyt i+ ut i= 1 i= 1 m m t φ 0 γ i t i δi t i= 1 i= 1 ε Y = + Z + Y i+ t όπου m είναι ο αριθμός των χρονικών υστερήσεων. Στο πρώτο υπόδειγμα η υπόθεση που γίνεται είναι ότι οι τρέχουσες τιμές της μεταβλητής Z είναι συνάρτηση των τιμών της σε προηγούμενες περιόδους, καθώς και των προηγούμενων περιόδων των τιμών της μεταβλητής Y. Στο δεύτερο υπόδειγμα η υπόθεση που γίνεται είναι ότι οι τρέχουσες τιμές της μεταβλητής Y είναι συνάρτηση των τιμών με τις προηγούμενες τιμές της μεταβλητής Z και με τις προηγούμενες τιμές της ίδιας μεταβλητής. Επίσης, μια άλλη υπόθεση που γίνεται είναι ότι οι διαταρακτικοί όροι ut και ε t στα δύο παραπάνω υποδείγματα δεν συσχετίζονται. Με βάση τα δύο παραπάνω υποδείγματα υπάρχουν οι παρακάτω περιπτώσεις:

38 Αν οι συντελεστές β i των μεταβλητών Y t-i στην πρώτη συνάρτηση είναι στατιστικά σημαντικοί (διάφοροι του μηδενός), ενώ οι συντελεστές γ i των μεταβλητών Z t-i στη δεύτερη συνάρτηση δεν είναι στατιστικά σημαντικοί (ίσοι του μηδενός), τότε υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από τη μεταβλητή Y προς τη μεταβλητή Z. Δηλαδή, αν {β 1, β 2,,β κ } 0 και {γ 1, γ 2,..,γ κ } = 0 τότε υπάρχει μονόδρομη σχέση αιτιότητας από τη μεταβλητή Y στην μεταβλητή Z (Y Z). Αν οι συντελεστές β i των μεταβλητών Y t-i στην πρώτη συνάρτηση και γ i των μεταβλητών Z t-i στη δεύτερη συνάρτηση είναι στατιστικά σημαντικοί (διάφοροι του μηδέν), τότε υπάρχει αιτιότητα κατά Granger και προς τις δύο κατευθύνσεις. Δηλαδή, αν {β 1, β 2,,β κ } 0 και {γ 1, γ 2,,γ κ } 0 τότε υπάρχει αμφίδρομη σχέση αιτιότητας (Z Y). Αν οι συντελεστές β i των μεταβλητών Y t-i στην πρώτη συνάρτηση και γ i των μεταβλητών Z t-i στη δεύτερη συνάρτηση δεν είναι στατιστικά σημαντικοί (ίσοι του μηδέν), τότε δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger. Δηλαδή, αν {β 1, β 2,,β κ } = 0 και {γ 1, γ 2,,γ κ } = 0 τότε δεν υπάρχει σχέση αιτιότητας, με άλλα λόγια οι μεταβλητές Y και Z είναι ανεξάρτητες. Αν οι συντελεστές β i των μεταβλητών Y t-i στην πρώτη συνάρτηση δεν είναι στατιστικά σημαντικοί, ενώ οι συντελεστές γ i των μεταβλητών Z t-i στη δεύτερη συνάρτηση είναι στατιστικά σημαντικοί (διάφοροι του μηδενός), τότε υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από τη μεταβλητή Ζ προς τη μεταβλητή Y. Δηλαδή, αν {β 1, β 2,,β κ }=0 και {γ 1, γ 2,,γ κ } 0 τότε υπάρχει μονόδρομη σχέση αιτιότητας από τη μεταβλητή Ζ στην μεταβλητή Y (Ζ Y). Για να αιτιάζει μία μεταβλητή Y μία άλλη Z θα πρέπει οι συντελεστές όλων των χρονικών υστερήσεων της Y στην εξίσωση της Z να διαφέρουν στατιστικά σημαντικά από το μηδέν, ενώ οι συντελεστές των χρονικών υστερήσεων της Z στην εξίσωση της Y να μη διαφέρουν σημαντικά από το μηδέν. Ο έλεγχος αυτός μπορεί να γίνει με το κριτήριο της κατανομής F του Wald (1940) για την από κοινού σημαντικότητα των παραμέτρων των χρονικών υστερήσεων των αντίστοιχων μεταβλητών και δίνεται από τον παρακάτω τύπο: F R U ( SSE SSE ) = k U SSE f

39 όπου: SSΕ R = Άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων που προκύπτουν από την εκτίμηση της εξίσωσης με περιορισμό (δηλαδή παλινδρομώντας τη μεταβλητή Y μόνον πάνω στις υστερήσεις της). SSE U = Άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων που προκύπτουν από την εκτίμηση της εξίσωσης παλινδρόμησης (πλήρης εξίσωση). k= Αριθμός των περιορισμών. f= Βαθμοί ελευθερίας στην μη περιορισμένη εξίσωση. Αν η τιμή της κατανομής F είναι μεγαλύτερη από αυτή των πινάκων σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας τότε η μηδενική υπόθεση Η 0 απορρίπτεται και σαν συμπέρασμα είναι ότι οι υστερήσεις της μεταβλητής Y επηρεάζουν σημαντικά τη συμπεριφορά της Z. Στη συνέχεια για να εξεταστεί ότι η Y αιτιάζει την Z μονόδραμα θα πρέπει να ελεγχθεί η αντίστοιχη υπόθεση για τις υστερήσεις της Z πάνω στη μεταβλητή Y συγκεκριμένα ισχύει: Αν F < κριτικής τιμή δεν μπορεί να απορριφθεί η υπόθεση Η 0 δηλαδή η μεταβλητή Y δεν προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Z για την πρώτη συνάρτηση ή η μεταβλητή Z δεν προκαλεί κατά Granger (δεν αιτιάται) της Y για τη δεύτερη συνάρτηση. Αν F > κριτικής τιμή δεν μπορεί να απορριφθεί η υπόθεση Ηο, δηλαδή η μεταβλητή Y προκαλεί κατά Granger (αιτιάται) της Z για τη πρώτη συνάρτηση ή η μεταβλητή Z προκαλεί κατά Granger ( αιτιάται) της Y για τη δεύτερη συνάρτηση. H αξιοπιστία των ελέγχων αιτιότητας κατά Granger εξαρτάται από την τάξη του VAR υποδείγματος καθώς και από την στασιμότητα των μεταβλητών. Όταν οι μεταβλητές στο υπόδειγμα, που εξετάζεται, δεν είναι στάσιμες τότε τα αποτελέσματα δεν είναι αξιόπιστα. 1.8 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό αναλύθηκε η έννοια της στασιμότητας και οι έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας μιας χρονολογικής σειράς, καθώς η συμμετοχή μη στάσιμων σειρών στην ανάλυση μας

40 οδηγεί πολλές φορές σε εσφαλμένα συμπεράσματα. Εφόσον, σε πολλές περιπτώσεις η κλασική μέθοδος παλινδρόμησης δεν επαρκεί για την εξαγωγή ορθών συμπερασμάτων αναπτύχθηκε η έννοια της συνολοκλήρωσης και της αιτιότητας κατά Granger. Η ανάπτυξη της θεωρίας της συνολοκλήρωσης από τους Engle Granger επιτρέπει την συμμετοχή μη στάσιμων σειρών σε ένα οικονομετρικό υπόδειγμα. Τέλος, αναφέρεται η μεθοδολογία που ακολουθείται για τον έλεγχο ύπαρξης συνολοκλήρωσης και ακολουθεί η εκτίμηση του υποδείγματος διόρθωσης λαθών που αναφέρεται στη βραχυχρόνια σχέση ισορροπίας μεταξύ δυο ή περισσότερων μεταβλητών

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι την δεκαετία του 1970 για την εκτίμηση των μακροοικονομικών μεγεθών οι ερευνητές χρησιμοποιούσαν ποικίλες τεχνικές στην ανάλυση τους, όπως μεγάλα μοντέλα με εκατοντάδες εξισώσεις, μοντέλα με μια εξίσωση όπου επικεντρωνόντουσαν στις αλληλεπιδράσεις μερικών μόνο μεταβλητών, το απλό μονομεταβλητό υπόδειγμα χρονοσειρών που αφορούσε μια μεταβλητή καθώς και άλλες τεχνικές ανάλυσης. Τα συστήματα των εξισώσεων που πριν μερικά χρόνια χρησιμοποιούσαν οι ερευνητές, έχασαν το ενδιαφέρον τους για διάφορους λόγους αλλά κυρίως λόγω της μικρής προβλεπτικής τους ικανότητας και πολυπλοκότητας τους από πλευράς ταυτοποίησης και εκτιμητικής. Μετά το μακροοικονομικό χάος της δεκαετίας του 70, κανένας από τους παραπάνω τρόπους ανάλυσης μακροοικονομικών μεγεθών δεν έδινε ιδιαίτερα αξιόπιστα συμπεράσματα. Ο Christopher Sims (1980) στο άρθρο του Macroeconomics and Reality παρουσίασε ένα νέο πλαίσιο ανάλυσης μακροοικονομικών μεγεθών όπου ήταν πιο αξιόπιστο από τα ήδη υπάρχοντα υποδείγματα, στο πλαίσιο αυτό αναλύονταν για πρώτη φορά τα υποδείγματα διανυσματικών αυτοπαλινδρομήσεων (Vector Autoregression). Τα υποδείγματα διανυσματικών αυτοπαλινδρομήσεων (VAR) αποτελούν επέκταση των μονομεταβλητών αυτοπαλινδρομικών υποδειγμάτων (AR) και χρησιμοποιούνται σήμερα κυρίως στη θέση των υποδειγμάτων συστημάτων των εξισώσεων. Ένα μονομεταβλητό αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα (AR) είναι μια εξίσωση που περιέχει μια μόνο μεταβλητή σε ένα γραμμικό μοντέλο, όπου η τρέχουσα τιμή της μεταβλητής αυτής εξηγείται από τιμές που είχε η μεταβλητή αυτή κάποιες υστερήσεις πίσω. Το VAR υπόδειγμα είναι ένα σύστημα n εξισώσεων που περιέχει n μεταβλητές, κάθε μεταβλητή εξηγείται από τις δικές της υστερήσεις αλλά και από τις τρέχουσες και παρελθοντικές τιμές των υπολοίπων n-1 μεταβλητών. Τα VAR υποδείγματα έχουν αποδειχθεί αφενός πιο αποτελεσματικά και επιτυχή για την πρόβλεψη συστημάτων αλληλοσχετιζόμενων μεταβλητών, αφετέρου πιο εύκολα και γρήγορα στη χρήση τους. Για

42 τους λόγους αυτούς η μεθοδολογία των VAR υποδειγμάτων εφαρμόζεται μέχρι και σήμερα στις εμπειρικές μελέτες. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλυθούν τα δυναμικά υποδείγματα μιας ομάδας χρονολογικών σειρών και συγκεκριμένα τα διανύσματα αυτοπαλινδρομήσεων (Vector Autoregressions) η συντομότερα τα VAR υποδείγματα. Αρχικά, θα διατυπωθεί η μαθηματική μορφή ενός VAR(1) υποδείγματος, καθώς και οι ιδιότητες του και έπειτα θα παρουσιαστεί η γενική μορφή ενός VAR(p) υποδείγματος, ενός υποδείγματος δηλαδή με p υστερήσεις πίσω για τις ενδογενείς του μεταβλητές. Κατόπιν, θα αναλυθούν οι συναρτήσεις αιφνίδιων αντιδράσεων (impulse response functions), χρησιμοποιώντας την διάσπαση κατά Choleski, όπου βοηθάει να υπάρχουν πιο ευκρινή αποτελέσματα για τις αντιδράσεις των ενδογενών μεταβλητών στις αλλαγές των διαταρακτικών όρων. 2.2 ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΕΩΝ Το υπόδειγμα διανυσματικών αυτοπαλινδρομήσεων (VAR) είναι ένα σύστημα εξισώσεων όπου όλες οι μεταβλητές του είναι ενδογενείς και κάθε μια απ αυτές προσδιορίζεται ως συνάρτηση των προηγούμενων τιμών όλων των υπόλοιπων μεταβλητών του συστήματος. Οι πιο σημαντικές εφαρμογές των VAR υποδειγμάτων είναι οι παρακάτω: Η χρήση τους στους ελέγχους αιτιότητας. Η διάσπαση της διακύμανση τους. Ο υπολογισμός των συναρτήσεων αντιδράσεων κάθε μεταβλητής του VAR υποδείγματος μετά από μια τυχαία διαταραχή σε κάποια εξίσωση του συστήματος. Μία χαρακτηριστική ιδιότητα του VAR υποδείγματος είναι ότι όλες οι ενδογενείς του μεταβλητές εκφράζονται μόνον ως προς τις ενδογενείς με χρονική υστέρηση μεταβλητές του. Ο αριθμός των προηγούμενων τιμών, δηλαδή ο αριθμός των χρονικών υστερήσεων προσδιορίζεται από το ίδιο το σύστημα. Ένα υπόδειγμα διανυσματικών αυτοπαλινδρομήσεων είναι πρώτης τάξης, όταν η τιμή της μεγαλύτερης υστέρησης των μεταβλητών του ισούται με ένα, οπότε και σημειώνεται ως VAR(1). Γενικά ένα υπόδειγμα αυτοπαλινδρομήσεων είναι p τάξης όταν η μεγαλύτερη υστέρηση των μεταβλητών του ισούται με p χρονικές υστερήσεις, και σημειώνεται ως VAR(p). Παρακάτω παρουσιάζεται το αυτοπαλινδρομικό διάνυσμα