Οικονομικές εφαρμογές υπολογιστικών πακέτων. Στοχαστικά υποδείγματα

Transcript

1 Οικονομικές εφαρμοές υπολοιστικών πακέτων Στοχαστικά υποδείματα

2 Στοχαστική διαδικασία Στοχαστικά υποδείματα: κάθε χρονολοική σειρά δημιουρείται μέσα από ένα μηχανισμό παραωής δεδομένων που αποτελεί μια στοχαστική διαδικασία. Στοχαστική διαδικασία: σύνολο διατεταμένων στο χρόνο τυχαίων μεταβλητών, καθεμιά από τις οποίες έχει τη δική της κατανομή πιθανότητας και όλες εξελίσσονται διαχρονικά σύμφωνα με ορισμένο νόμο πιθανότητας.

3 Καθεμιά από τις τυχαίες μεταβλητές έχει δικό της μέσο και δική της διακύμανση. Άρα σε μια στοχαστική διαδικασία αντιστοιχεί μια ακολουθία μέσων και μια ακολουθία διακυμάνσεων. Οι τυχαίες μεταβλητές της ίδιας στοχαστικής διαδικασίας αλληλοσυσχετίζονται.

4 Με άλλα λόια οι παρατηρήσεις μιας χρονολοικής σειράς θεωρούνται ένα δείμα πραματοποιήσεων από έναν άπειρο πληθυσμό δειμάτων, τα οποία θα μπορούσαν να έχουν παραχθεί από την ίδια στοχαστική διαδικασία. Πληθυσμός Στοχαστική διαδικασία Δείμα Πραματοποιούμενη χρονολοική σειρά

5 Η ανάλυση χρονολοικών σειρών αποσκοπεί στο να κατασκευάσει ένα υπόδειμα το οποίο θα έχει τις ίδιες ιδιότητες με το μηχανισμό που παράει τη σχετική στοχαστική διαδικασία. Το απλούστερο στοχαστικό υπόδειμα είναι η ακολουθία των ανεξάρτητων και ισόνομα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών μηδενικού μέσου. Δηλ, το iid.

6 Τι κάνουμε στις χρονολοικές σειρές? Εξέταση χρονοδιαράμματος ιστορικών δεδομένων Εξέταση της δομής τους με συκεκριμένα στατιστικά μέτρα Στάσιμες σειρές: η στοχαστική διαδικασία παραμένει σε ισορροπία διαχρονικά ύρω από έναν σταθερό μέσο υπόδειμα - προβλέψεις Μη στάσιμες σειρές: τα χαρακτηριστικά της στοχαστικής διαδικασίας μεταβάλλονται διαχρονικά. Δύσκολο να τις παρατηρήσουμε με κάποιο αλεβρικό υπόδειμα.

7 Στασιμότητα Αυστηρά στάσιμη: οι στατιστικές ιδιότητες είναι χρονικά αμετάβλητες Ασθενώς στάσιμη: ο μέσος και η διακύμανση της σειράς δεν μεταβάλλονται με το χρόνο και η συνδιακύμανση μεταξύ των τιμών της σε δύο χρονικά σημεία εξαρτάται από την χρονική υστέρηση και όχι από το χρόνο.

8 Μαθηματικά, στην ασθενώς στάσιμη σειρά ισχύουν: Και μπορούμε να λάβουμε εκτιμήσεις βάσει:,,, cov(, cov( ] ( [ var( ( Υ Ε m E E m m σ µ ( var( N N N N σ µ

9 Αυτοσυνδιακύμανση & Αυτοσυσχέτιση Αυτοσυνδιακύμανση: η συνδιακύμανση μεταξύ δύο παρατηρήσεων της ίδιας χρονολοικής σειράς που βρίσκονται σε κάποια χρονική απόσταση μεταξύ τους. cov(, E[ E( ][ E( ] Στη στάσιμη χρονολοική σειρά: cov(, + E( µ ( + µ cov(, σ

10 Αυτοσυσχέτιση: η συσχέτιση μεταξύ δύο παρατηρήσεων της ίδιας χρονολοικής σειράς που απέχουν χρονικές περιόδους. Στη στάσιμη χρονολοική σειρά: και Δειματικοί συντελεστές αυτοσυσχέτισης var(, cov( var( var(, cov( ρ N Ν + ( ( Ν + N ( ( ( ρ

11 Διάραμμα αυτοσυσχέτισης & έλεχοι στασιμότητας Οι συντελεστές αυτοσυχέτισης ια μια στάσιμη σειρά φθίνουν σχετικά ρήορα προς το μηδέν καθώς ο αριθμός των υστερήσεων μεαλώνει. Δε συμβαίνει κάτι τέτοιο στις μη στάσιμες σειρές.

12

13 Βarle (946 -es (έλεχος μεμονωμένα καθενός ρ Πέραν της πορείας της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης μας ενδιαφέρει να νωρίζουμε και ια ποιο εύρος τιμών οι ρ δεν διαφέρουν σημαντικά από το μηδέν. Θεωρητικά ρ μηδενίζονται, αλλά όχι και εμπειρικά, όπου παίρνουν τιμές που δεν διαφέρουν σημαντικά από το μηδέν.

14 H : ρ Η μηδενική υπόθεση ίνεται δεκτή με πιθανότητα 95% αν τo ρ είναι εντός των ορίων: H : ρ ± Ν ˆ ρ N ˆ ρ Αν N, τότε ια ˆ ρ >, οι αληθινές τιμές ΔΕΝ είναι. N Ισχύει ια μεάλα δείματα!

15 Βox Pierce (97 Q: από κοινού έλεχος H H Q : ρ : τουλαχιστον ένα ρ N j ρ ˆ ρ j ~... χ ρ Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται ια τιμές του Q μεαλύτερες της κριτικής τιμής των πινάκων. Απορρίπτουμε δηλαδή την υπόθεση ότι η σειρά μας προέρχεται από μια τυχαία διαδικασία.

16 Μερική αυτοσυσχέτιση Συντελεστής μερικής αυτοσυσχέτισης r x z,... Μετρά τη συσχέτιση των δύο μεταβλητών x, όταν έχει αφαιρεθεί η επίδραση που ασκούν άλλες z, z v πάνω σε αυτές. ; z v

17 Τυχαία χρονολοική σειρά - Λευκός Θόρυβος (ΛΟΤΤΟ ΠΡΟ-ΠΟ Δεν έχει κανένα ευκρινές σχήμα ή πρότυπο Σταθερός μέσος (συνήθως μηδέν Σταθερή διακύμανση Οι τιμές της δεν αυτοσυσχετίζονται Ε( ε Ε( ε σ E( ε, ε Πάντα στάσιμη και με μηδενικούς συντελεστές αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης.

18 Υπόδειμα iid (ρήψη νομίσματος Σταθερός μέσος Σταθερή διακύμανση Οι τυχαίες μεταβλητές της ακολουθίας είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες Αθροίζοντας σωρευτικά τις τυχαίες μεταβλητές (ε, ε,, ε μιας iid διαδικασίας λαμβάνουμε τη χρονολοική σειρά που λέεται διαδικασία τυχαίας διαδρομής (random wal process. Τυχαία διαδρομή με μ και αρχική τιμή Υ : Υ ε + ε ε ή + ε