ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΓΕΩ ΑΙΣΙΑΣ & ΚΕΝΤΡΟΥ ΟΡΥΦΟΡΩΝ ΙΟΝΥΣΟΥ ΓΕΩΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑ Δημήτρης Δεληκαράογλου Επίκ. Καθ. Ε.Μ.Π. Αθήνα 2003

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν εγχειρίδιο σημειώσεων αποσκοπεί να υποστηρίξει ένα τμήμα της ύλης του μαθήματος επιλογής ΓΕΩΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΙΣ - ΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΑ που διδάσκεται στο 8 ο Εξάμηνο Σπουδών της Σχολής Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου (Ε.Μ.Π.). Υπάρχουν διάφορες τεχνικές για την μελέτη της Γης με γεωφυσικές μεθόδους. Κάθε μια από αυτές τις τεχνικές εκμεταλλεύεται τις θεμελιώδεις φυσικές ιδιότητες των γήινων υλικών που σχετίζονται με το ηλεκτρικό, μαγνητικό, ή βαρυτικό πεδίο της Γης. Αν και αυτές οι τεχνικές δεν επιτρέπουν τη λεπτομερή εξέταση του υπεδάφους, επιτρέπουν συχνά στους γεωλόγους και τους γεωφυσικούς για να συμπεράνουν τις πλέον πιθανές ιδιότητες των μεγάλων όγκων των πετρωμάτων κάτω από τη γήινη επιφάνεια. Το μάθημα «Γεωφυσικές Διασκοπήσεις - Βαρυτημετρία» επιχειρεί να καλύψει το μέρος εκείνο από το ευρύ γνωστικό αντικείμενο της Γεωφυσικής Γεωδαισίας, που αφορά τις βασικές αρχές και μεθόδους μέτρησης του γήινου πεδίου βαρύτητας και τις συναφείς σύγχρονες γεωδαιτικές τεχνολογίες, οι οποίες συνεισφέρουν στη μελέτη των παραμορφώσεων της γήινης επιφάνειας, και εν γένει των μηχανικών ιδιοτήτων και της δυναμικής συμπεριφοράς (π.χ. κινήσεις και παραμορφώσεις) της Γης ως σύστημα, συμπεριλαμβανομένων και των μεταβολών (στο χώρο και το χρόνο) του γήινου πεδίου βαρύτητας, και επιτρέπουν την συνεχή πρόοδο στην ερμηνεία ποικίλων (π.χ. γεωδυναμικών, γεωφυσικών και γεωπεριβαλλοντικών) φαινομένων και των διαχρονικών μεταβολών τους που επηρεάζουν την ανάπτυξη του πλανήτη μας καθώς και την εφαρμογή βελτιωμένων μεθόδων εκμετάλλευσης των γήινων πόρων (π.χ. ανίχνευση ενεργειακών πηγών) και προστασίας του γήινου περιβάλλοντος (π.χ. ανίχνευση μεταβολών της στάθμης υπογείων υδάτων, γεωτεχνικές μελέτες, κ.ά.). Ως εκ τούτου, οι παρακάτω σημειώσεις παρουσιάσουν συνοπτικά τις βασικές αρχές για τον προσδιορισμού του γήινου πεδίου βαρύτητας και τις μεθόδους συλλογής και ερμηνείας των μετρήσεων βαρύτητας που αποτελούν την πλέον ουσιαστική συνεισφορά του Τοπογράφου Μηχανικού για την ικανοποίηση των αναγκών ποικίλων γεωφυσικών εφαρμογών επιστημονικού και άλλου ενδιαφέροντος (π.χ. εξερεύνηση φυσικών πόρων και ενεργειακών πηγών, εδαφολογικές μελέτες, μεταβολές της στάθμης υπογείων υδάτων, γεωφυσικές επιπτώσεις κ.ά.). Ειδικότερα στοχεύουν στο να παρουσιάσουν τις μεθόδους και τα γεωδαιτικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται μαζί με προηγμένες μαθηματικές τεχνικές, για να λυθούν ποικίλα επιστημονικά και πρακτικά γεωφυσικά προβλήματα που προκύπτουν από τη συνδυασμένη παρατήρηση της Γης από το διάστημα και από την τοπογραφική ή τη θαλάσσια επιφάνεια όπου επιδρά το πεδίο βαρύτητας της Γης. Δημήτρης Δεληκαράογλου Επίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π.

3 Περιεχόμενα Γεωφυσικές ιασκοπήσεις - Βαρυτημετρία 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΔΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ...12 Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 2/13

4 1.0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το μάθημα «Γεωφυσικές Διασκοπήσεις - Βαρυτημετρία» επιχειρεί να καλύψει το μέρος εκείνο από το ευρύ γνωστικό αντικείμενο της Γεωφυσικής Γεωδαισίας, που αφορά τις βασικές αρχές, τις μεθόδους μέτρησης και τις σύγχρονες γεωδαιτικές τεχνολογίες που συνεισφέρουν στη μελέτη των παραμορφώσεων της γήινης επιφάνειας, και εν γένει των μηχανικών ιδιοτήτων και της δυναμικής συμπεριφοράς (π.χ. κινήσεις και παραμορφώσεις) της Γης ως σύστημα. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στο ρόλο, στις επιπτώσεις και στη σημασία που έχει το γήινο πεδίο βαρύτητας και οι μεταβολές του (στο χώρο και το χρόνο) για την μελέτη της δομής του εσωτερικού της Γης, που αποτελεί και το κύριο αντικείμενο της γεωφυσικής έρευνας. Κατά συνέπεια, το γνωστικό αντικείμενο του μαθήματος επικεντρώνεται σε διάφορες γεωδαιτικές έννοιες και τεχνικές που απαιτούνται στη εφαρμογή των γεωδαιτικών μεθόδων για την επίλυση βασικών γεωφυσικών προβλημάτων που αφορούν την περιγραφή και την παρατήρηση του πεδίου βαρύτητας της Γης. Τα κύρια θέματα που εξετάζονται περιλαμβάνουν: (α) Εισαγωγικά στοιχεία από τη θεωρία του δυναμικού της βαρύτητας, που απαιτούνται για μια συνοπτική συζήτηση σχετικά με τον υπολογισμό και την ερμηνεία του πεδίου βαρύτητας της Γης. (β) Σύνοψη των κυριοτέρων γεωδαιτικών τεχνικών μέτρησης των παραλλαγών (στο χώρο και τον χρόνο) του πεδίου βαρύτητας που διαδραματίζουν έναν σημαντικό ρόλο στην ανίχνευση και την κατανόηση των παραμορφώσεων της γήινης επιφάνειας, τόσο για επιστημονικούς σκοπούς, όσο και για πρακτικές εφαρμογές. (γ) Βασικές αρχές και μεθοδολογίες που εφαρμόζονται στις γεωφυσικές έρευνες για τη χρήση της γνώσης του γήινου πεδίου βαρύτητας, όπου βασική επιδίωξη είναι η ανίχνευση και ανάλυση των μεταβολών της βαρύτητας σε διάφορες θέσεις ή περιοχές με σκοπό να προσδιορισθούν τα πιθανότερα αίτια που προκαλούν τις εν λόγω μεταβολές κυρίως όσον αφορά την ανίχνευση υπεδάφιων στρωμάτων που πιθανά ενέχουν οικονομική σπουδαιότητα. Σχήμα 1 - Η γεωδαιτική και η γεωφυσική χρήση του γήινου πεδίου βαρύτητας διαφέρουν ως προς τον τρόπο εφαρμογής της γνώσης των μεταβολών της βαρύτητας 1.1 ΠΕΔΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η επιστήμη της Γεωφυσικής, όπως δηλώνει και η ονομασία της, εφαρμόζει αρχές της φυσικής για τη μελέτη των ιδιοτήτων της Γης. Άρχισε κυρίως ως μια επιστημονική προσέγγιση στις ανάγκες πρόβλεψης των σεισμών (ένα πρόβλημα που παραμένει εν πολλοίς ακόμα άλυτο). Σημαντική πρόοδος άρχισε προς το τέλος του 15 ου αιώνα με τις αρχικές προσπάθειες να εστιάζονται σε τέτοιους επιστημονικούς τομείς έρευνας όπως της μελέτης του γήινου μαγνητικού πεδίου και της βαρύτητας. Τεράστιες βελτιώσεις επήλθαν στη κατασκευή κατάλληλων οργάνων στις αρχές του 20 ου αιώνα, που οδήγησαν σε γρήγορη πρόοδο στη γεωφυσική έρευνα και τελικά κατέληξαν, στη δεκαετία του '60, στη θεωρία των τεκτονικών πλακών. Στην εν λόγω θεωρία βασίζεται σήμερα η μελέτη της εσωτερικής δομής της Γης και των φυσικών διεργασιών που χαρακτηρίζουν συνολικά τη δυναμική συμπεριφορά της Γης σε παγκόσμια και περιφερειακή κλίμακα αντικείμενο που αποτελεί το μέρος εκείνο της Γεωφυσικής που είναι γνωστό ως Γεωφυσική της Στερεάς Γης (Solid Earth Geophysics). Σήμερα η σύγχρονη Γεωφυσική είναι μια ευρεία επιστήμη υψηλής τεχνολογίας, η οποία αξιοποιεί στοιχεία επίσης από άλλα επιστημονικά πεδία, όπως τα μαθηματικά, την πληροφορική, και την ενόργανη εφαρμοσμένη μηχανική. Σχήμα 2 Μετρήσεις του πεδίου βαρύτητας σε παγκόσμια κλίμακα παρέχουν σημαντικές πληροφορίες για τη δομή του εσωτερικού της Γης Οι γεωφυσικές μετρήσεις παρέχουν τη κύρια πηγή πληροφορίας για τη δομή του εσωτερικού της Γης. Συνήθως συνίστανται από παρατηρήσεις που, για παράδειγμα, αφορούν τους χρόνους διάδοσης σεισμικών κυμάτων, τη ροή θερμότητας μέσα στη Γη και τα χαρακτηριστικά του μαγνητικού πεδίου. Οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις του πεδίου βαρύτητας και του σχήματος της Γης παρέχουν επιπλέον δεσμεύσεις στα διάφορα μοντέλα που περιγράφουν τη Γη ως φυσικό σώμα με πολυσύνθετα γεωμετρικά και φυσικά χαρακτηριστικά. Μαζί με τα φυσικά και χημικά στοιχεία, οι εν λόγω Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 3/13 Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 4/13

5 παρατηρήσεις αποτελούν τη βάση για τις ιδιότητες του εσωτερικού της Γης και για την κατασκευή σύνθετων μοντέλων που περιγράφουν την εξέλιξη του πλανήτη, την τεκτονική συμπεριφορά του και τις παραμορφώσεις που υφίσταται ο στερεός γήινος φλοιός σε ποικίλες κλίμακες στο χώρο και τον χρόνο. Κατά συνέπεια, το κεντρικό πρόβλημα που καλείται να εξετάσει η γεωφυσική είναι ο προσδιορισμός των φυσικών διαδικασιών που οδηγούν σε αυτές τις αναταραχές. Για παράδειγμα, ποια είναι η φύση των δυνάμεων που με την ενέργεια τους στο γήινο φλοιό έχουν διαμορφώσει την παρούσα κατάσταση της γήινης επιφάνειας ή ποιες διαδικασίες είναι υπεύθυνες για τις μεγάλης κλίμακας οριζόντιες τεκτονικές μετακινήσεις; Η συνεισφορά της Γεωδαισίας στην κατανόηση αυτών των γεωλογικών διαδικασιών εμπίπτουν σε δύο κατηγορίες: Εν πρώτοις, οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις συνεισφέρουν στη μελέτη των αναδράσεων της Γης εξ αιτίας της επίδρασης γνωστών δυνάμεων. Για παράδειγμα, στα προβλήματα που αφορούν τη φόρτωση της γήινης επιφάνειας από γνωστές εφαρμοζόμενες δυνάμεις (π.χ. εξ αιτίας των παλιρροιών), οι παρατηρήσεις της γήινης παραμόρφωσης παρέχουν τις αναγκαίες δεσμεύσεις στα μοντέλα που περιγράφουν τις ρεολογικές ιδιότητες του στερεού φλοιού και του μανδύα της Γης. Δευτερευόντως, οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις χρησιμοποιούνται για να παρέχουν τους αναγκαίους περιορισμούς στον υπολογισμό του μεγέθους των ίδιων των δυνάμεων που προκαλούν τις εκάστοτε μεταβολές στη δυναμική συμπεριφορά της Γης. Σχήμα 3α - Χαρακτηριστικά φαινόμενα της γήινης παραμόρφωσης Σχήμα 3β Γεωδαιτικές τεχνικές κατάλληλες για την μέτρηση των εν λόγω φαινομένων Στο σχήμα 3α αναφέρονται οι κυριότερες φυσικές διεργασίες που προκαλούν τα χαρακτηριστικά φαινόμενα της γήινης παραμόρφωσης, ενώ στο σχήμα 3β συνοψίζονται συγκεκριμένες γεωδαιτικές τεχνικές μετρήσεων που είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν για την μελέτη των εν λόγω φαινομένων και των αντιστοίχων επιπτώσεων που προκαλούν στη δυναμική συμπεριφορά της Γης. Για παράδειγμα, οι επιπτώσεις στη γήινη συμπεριφορά που προέρχονται από φυσικές διεργασίες που απαιτούν μεγάλες περιόδους επίδρασης (π.χ. αρκετά εκατομμύρια έτη) και επηρεάζουν την επιφάνεια της Γης σε μεγάλα χαρακτηριστικά μήκη (π.χ. μερικές χιλιάδες χιλιόμετρα) αφορούν τις κυρίαρχες παραμορφώσεις της Γης που συνδέονται με τη μεταφορά υλικού στον μανδύα εξ αιτίας της θερμότητας (mantle convection). Η βασική έκφραση των εν λόγω φυσικών διεργασιών στη επιφάνεια της Γης, είναι η διαμόρφωση των τεκτονικών πλακών και οι μικρομετακινήσεις τους. Σε αντίθεση, οι επιπτώσεις που προέρχονται από φαινόμενα που Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 5/13 απαιτούν μικρές περιόδους επίδρασης (π.χ. μερικά δευτερόλεπτα μέχρι μερικά λεπτά ή ώρες) και επηρεάζουν την επιφάνεια της Γης σε μικρά χαρακτηριστικά μήκη (π.χ. μερικά χιλιόμετρα) αφορούν τις κυρίαρχες παραμορφώσεις, που συνδέονται με τις μικρομετακινήσεις του γήινου φλοιού εξ αιτίας των σεισμών, οι οποίες αποτελούν και τη στιγμιαία έκφραση της συμπεριφοράς της μετακίνησης των τεκτονικών πλακών. Τα δύο αυτά άκρα των χωρο-χρονικών παραμορφώσεων της Γης συσχετίζονται επομένως το ένα με το άλλο, καθώς επίσης και με πολλές από τις ενδιάμεσες παραμορφώσεις ως προς το χώρο και τη χρονική κλίμακα των επιπτώσεων που προκαλούν. Όπως είναι εμφανές από το σχήμα 3β, κεντρικό ρόλο στο γνωστικό αντικείμενο που απαιτείται για την εφαρμογή των εν λόγω τεχνικών αποτελεί η γνώση του πεδίου βαρύτητας σε διάφορες κλίμακες. Για παράδειγμα, στις πολύ μεγάλες κλίμακες χώρου και χρόνου (της τάξης 10 9 μέχρι και 10 4 αντίστοιχα), οι παρατηρήσεις της βαρύτητας και οι ανωμαλίες του γεωειδούς παρέχουν τις πληροφορίες για την μη-υδροστατική πίεση στη Γη και για την ανάδραση της Γης στην εν λόγω πίεση. Επίσης μετρήσεις της βαρύτητας πάνω από υποθαλάσσιους γεωλογικούς σχηματισμούς (π.χ. υποθαλάσσιες οροσειρές ή μεσο-ωκεάνιες ράχες) παρέχουν πληροφορίες για τη φόρτωση της λιθόσφαιρας σε χρονικές κλίμακες από 10 6 μέχρι 10 7 χρόνια. Σε τοπική κλίμακα, μετρήσεις της βαρύτητας μπορούν να παρέχουν ενδείξεις τεκτονικών παραμορφώσεων οι οποίες αλλιώς να είναι δύσκολο να ανιχνευθούν από άλλες τεχνικές και όργανα που δεν είναι εξ ίσου ευαίσθητα στις μικρές γήινες παραμορφώσεις και τις αλλαγές που προκαλούν στα γήινα φυσικά πεδία, όπως είναι το πεδίο βαρύτητας, πριν ή μετά από ένα σεισμό. 1.2 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΣ Η γεωφυσική εξερεύνηση και έρευνα περιλαμβάνει τη διεξαγωγή μετρήσεων πάνω ή κοντά στη γήινη επιφάνεια, οι οποίες επηρεάζονται από τις φυσικές ιδιότητες και τα φυσικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό της Γης, όπως για παράδειγμα, την κατανομή της μάζας, τη ροή της θερμότητας, την ισχύ του μαγνητικού πεδίου και τις ελαστικές ιδιότητες του υπεδάφους. Ως εκ τούτου, ανάλογα με τις εκάστοτε γεωφυσικές εφαρμογές, το βάθος στο οποίο επιδιώκεται μια γεωφυσική έρευνα μπορεί να είναι από την γήινη επιφάνεια μέχρι τον πυρήνα, με ανάλογη ποικιλία στην επιλογή των κατάλληλων μεθόδων και οργάνων που επιτρέπουν τέτοιες μετρήσεις. Η Σχ. 4 Η δομή του εσωτερικού της Γης Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 6/13

6 ανάλυση από τις εν λόγω μετρήσεις μπορεί να αποκαλύψει πώς οι φυσικές ιδιότητες του εσωτερικού της Γης ποικίλουν στη κατακόρυφη και τις πλευρικές διευθύνσεις. Με τη εκτέλεση μετρήσεων σε διαφορετικές κλίμακες, οι εκάστοτε γεωφυσικές μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα ευρύ φάσμα ερευνών από μελέτες ολόκληρης της Γης (δηλ. σε παγκόσμιο επίπεδο), μέχρι την εξερεύνηση του γήινου φλοιού σε τοπικές περιοχές για τους σκοπούς ποικίλων εφαρμογών του ενδιαφέροντος πολλών κλάδων Μηχανικών και γεωεπιστημόνων. Για παράδειγμα, από γεωφυσικές παρατηρήσεις και στοιχεία έχει καταδειχθεί ότι η Γη υποβάλλεται σε σημαντικές παραμορφώσεις στη διάρκεια πολύ μικρών χρονικών περιόδων που κυμαίνονται από μερικές δεκάδες λεπτών της ώρας και λιγότερο, όπως προκύπτει από τη σεισμολογία, καθώς επίσης και σε σημαντικές παραμορφώσεις σε πολύ μεγάλες περιόδους διαρκείας 10 6 ετών και περισσότερο. Σε τοπικό επίπεδο, οι γεωφυσικές μέθοδοι εξερεύνησης (που αναφέρονται επίσης και ως γεωφυσική έρευνα), στηρίζονται σε κατάλληλες μετρήσεις μέσα σε γεωγραφικά περιορισμένες περιοχές, οι οποίες χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό της κατανομής των φυσικών ιδιοτήτων της Γης σε βάθη που απεικονίζουν την τοπική γεωλογία κάτω από την επιφάνεια. Σχ. 5 SLR, VLBI, δορυφορική αλτιμετρία,sts Tracking αποτελούν βασικές τεχνικές για τη μελέτη της κίνησης του γήινου φλοιού και του πεδίου βαρύτητας. Με τον ευρύ ορισμό της γεωδαισίας που περιλαμβάνει τη μελέτη της κίνησης του γήινου φλοιού, των χωρικών και χρονικών παραλλαγών στο πεδίο της γήινης βαρύτητας και την παραμόρφωση της Γης εξ αιτίας της επίδρασης των παλιρροιών και της περιστροφής της, οι γεωδαιτικές παρατηρήσεις διαδραματίζουν έναν σημαντικό ρόλο στη μελέτη της δομής και την εξέλιξη της Γης. Οι γεωδαιτικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για αυτό το σκοπό περιλαμβάνουν επίγειες μετρήσεις τρισδιάστατου εντοπισμού θέσης και μετρήσεις βαρύτητας, καθώς και αντίστοιχες μεθόδους που βασίζονται στη χρήση δορυφορικών και διαστημικών τεχνολογιών, όπως τα δορυφορικά τηλέμετρα λέιζερ (Satellite Laser Ranging, SLR), τη Συμβολομετρία Μεγάλων Βάσεων (Very Long Baseline Interferometry, VLBI), η δορυφορική αλτιμετρία (Satellite Altimetry) κ.ά. Οι εν λόγω γεωδαιτικές μέθοδοι καταδεικνύουν ότι το σχήμα και το πεδίο βαρύτητας της Γης μεταβάλλονται σε σχετικά μικρές χρονικές περιόδους που κυμαίνονται από μερικές ώρες μέχρι μερικές δεκαετίες. Κατά συνέπεια, οι γεωδαιτικές μετρήσεις, γεφυρώνοντας τις προαναφερόμενες δύο ακραίες δυνατότητες των γεωφυσικών παρατηρήσεων, αποτελούν ένα αναπόσπαστο τμήμα οποιασδήποτε μελέτης της δυναμικής συμπεριφοράς της Γης. Η Γεωφυσική Γεωδαισία, αποτελεί ένα συγκεκριμένο διευρυμένο επιστημονικό πεδίο, που περιγράφει εκείνες τις γεωδαιτικές μεθόδους που, παράλληλα με τα γεωφυσικά και γεωλογικά στοιχεία, συμβάλλουν στη μελέτη των μικροπαραμορφώσεων της Γης, δηλαδή των παραμορφώσεων που λαμβάνουν χώρα σε αργούς ρυθμούς. Σαν επιστημονικό πεδίο περιλαμβάνει τη μελέτη της κίνησης του γήινου φλοιού, και εν γένει των μηχανικών ιδιοτήτων και της δυναμικής συμπεριφοράς (π.χ. κινήσεις και παραμορφώσεις) της Γης ως σύστημα, συμπεριλαμβανομένων και των μεταβολών (στο χώρο και το χρόνο) του γήινου πεδίου βαρύτητας. Η βαρυτημετρία αποτελεί ένα από τους σημαντικότερους τομείς της Γεωφυσικής Γεωδαισίας, που σαν ανεξάρτητος επιστημονικός κλάδος άρχισε να εξελίσσεται στο τέλος του τελευταίου αιώνα. Εντούτοις, οι ρίζες της επιστρέφουν στους πρωτοπόρους της Κλασσικής Μηχανικής και ιδιαίτερα στους προεξέχοντες επιστήμονες του 18 ου και 19 ου αιώνα, όπως οι Galileo Galilei, Isaac I. Newton, A.C. Clairaut, G. Stokes κ.ά. οι οποίοι εργάστηκαν στα διάφορα θεμελιώδη βαρυμετρικά προβλήματα που ενδιαφέρουν ακόμα και σήμερα για την εφαρμογή των βασικών αρχών της θεωρίας του γήινου πεδίου βαρύτητας, δεδομένου ότι η διανομή της επιτάχυνσης της βαρύτητας στη γήινη επιφάνεια συνδέεται με τη δομή και τη σύνθεση του σώματος ολόκληρης της Γης, ειδικά με τον γήινο φλοιό, και ως εκ τούτου τα αποτελέσματα των βαρυμετρικών μετρήσεων συμβάλλουν σημαντικά σε αυτό το γνωστικό αντικείμενο. 1.3 ΓΕΩΦΥΣΙΚΕΣ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΕΙΣ Ο όρος γεωφυσικές διασκοπήσεις χρησιμοποιείται για να δηλώσει τη χρήση μεθόδων Τηλεπισκόπησης και ανίχνευσης βασισμένων στις αρχές και τις τεχνικές της Γεωφυσικής Γεωδαισίας που αποσκοπούν αφ ενός, από την επιστημονική πλευρά, στην μελέτη της εσωτερικής δομής της Γης ως φυσικού σώματος και εφ ετέρου, από την πρακτική πλευρά, στην αναζήτηση, ανίχνευση και υπολογισμό διαφόρων φυσικών δομών και ιδιοτήτων του εσωτερικού της Γης που ενέχουν πιθανή οικονομική σπουδαιότητα. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται κυρίως για την εξερεύνηση φυσικών πόρων, κοιτασμάτων ορυκτού πλούτου (π.χ. πετρελαίου, φυσικού αερίου, χρυσού και άλλων μεταλλευμάτων). Αυτό απαιτεί μια συνεχή αναζήτηση και εφαρμογή κατάλληλων νέων μεθόδων για τη μέτρηση και την ερμηνεία των στοιχείων βαρύτητας με συνεχώς αυξανόμενες απαιτήσεις ακρίβειας. Τελευταία, η παρατήρηση των εν λόγω φυσικών ιδιοτήτων χρησιμοποιείται ευρέως για την επίλυση ποικίλων προβλημάτων εφηρμοσμένης μηχανικής και μελέτης περιβαλλοντικών επιπτώσεων από φυσικές και ανθρωπογενείς αιτίες. Οι διάφορες γεωφυσικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για τον εν λόγω σκοπό εξαρτώνται σχεδόν από ολόκληρο το φάσμα των φυσικών φαινομένων που επιδρούν στη Γη: τη βαρύτητα, τον μαγνητισμό, τη διάδοση του ηλεκτρισμού, τη διάδοση ελαστικών και ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, τη ροή της θερμότητας και τη ραδιενέργεια. Γενικά, οι γεωφυσικές μέθοδοι χρησιμοποιούν παθητικές ή ενεργές μετρήσεις που βασίζονται στη παρατήρηση μιας συγκεκριμένης ιδιότητας της Γης στην οποία οι εκάστοτε συγκεκριμένες μετρήσεις είναι ευαίσθητές. Ο τύπος της εκάστοτε συγκεκριμένης ιδιότητας στην οποία είναι ευαίσθητες οι μετρήσεις κάθε γεωφυσικής μεθόδου καθορίζει και τις ποικιλίες των εφαρμογών κάθε μεθόδου. Παραδείγματος χάριν, οι μαγνητικές μέθοδοι είναι κατάλληλες για την εντόπιση υπεδάφιων κοιτασμάτων μεταλλευμάτων λόγω της υψηλής μαγνητικής ευαισθησίας που προκαλεί η παρουσία τους. Ομοίως, οι σεισμικές ή ηλεκτρικές μέθοδοι είναι κατάλληλες για τον εντοπισμό υπόγειων Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 7/13 Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 8/13

7 Σεισμικές Μέθοδοι Μετρούμενες παράμετροι Γήινες ιδιότητες που επιδρούν στις μετρήσεις Βαρυτημετρίας Γεωμαγνητικές Ηλεκτρικές Χρόνος διάδοσης διαθλασμένων σεισμικών σημάτων Χωρικές παραλλαγές του πεδίου βαρύτητας της Γης Χωρικές παραλλαγές του μαγνητικού πεδίου της Γης Ηλεκτρική αγωγιμότητα και επαγωγή Πυκνότητα και ελαστικότητα των συστατικών πετρωμάτων του υπεδάφους, που καθορίζουν την ταχύτητα διάδοσης των σεισμικών σημάτων Πυκνότητα του υπεδάφους Μαγνητική ευαισθησία και επιδεικτικότητα Αντίδραση των πετρωμάτων στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Πίνακας 1 Βασικές μέθοδοι γεωφυσικών διασκοπήσεων υδάτων, επειδή τα διαποτισμένα με νερό στρώματα του υπεδάφους μπορεί να διακριθούν από τους ξηρούς βράχους από την υψηλότερη ταχύτητα διάδοσης και τις πορείες διάδοσης των σεισμικών σημάτων μέσα από αυτά και την υψηλότερη ηλεκτρική αγωγιμότητα τους. Η τελική επιλογή της εκάστοτε μεθόδου που χρησιμοποιείται για ένα συγκεκριμένο σκοπό εξερεύνησης εξαρτάται από το κόστος και την πιθανότητα ανίχνευσης, από τη εν λόγω μέθοδο, των παραλλαγών ή αλλαγών που εμφανίζονται στην υπό παρατήρηση ιδιότητα της Γης. Στον Πίνακα 1 αναφέρονται ενδεικτικά οι κυριότερες γεωφυσικές μέθοδοι, μαζί με τις εκάστοτε μετρούμενες παραμέτρους και τις αντίστοιχες ιδιότητες της Γης που επιδρούν στις μετρήσεις. Σχ. 6α Βαρυιημετρικές μέθοδοι Μέθοδοι μέτρησης της βαρύτητας Η έλξη της γήινη βαρύτητας ποικίλλει ελαφρώς από θέση σε θέση στη γήινη επιφάνεια. Μια από τις αιτίες των παρατηρούμενων παραλλαγών είναι ότι το σχήμα της Γης δεν είναι απόλυτα σφαιρικό και επιπλέον επειδή μερικές από τις εν λόγω παραλλαγές συσχετίζονται με τις διαφορές στην μορφολογία (ανάγλυφο) της γήινης επιφάνειας. Ωστόσο, ενώ οι παραλλαγές στη βαρύτητα εξ αιτίας των παραπάνω αιτιών είναι προβλέψιμες και μπορούν να υπολογιστούν για κάθε σημείο στη γήινη επιφάνεια, άλλες παραλλαγές στη βαρύτητα, όπως εκείνες που προκαλούνται από τα άγνωστα γεωλογικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα του υπεδάφους και την πυκνότητα της γήινης μάζας δεν είναι προβλέψιμες. Οι μετρήσεις βαρύτητας γίνονται με ειδικά όργανα γνωστά ως βαρυτήμετρα, που επιτρέπουν τη δημιουργία χαρτών που παρουσιάζουν τις διαφορές (ανωμαλίες) στην έλξη της βαρύτητας στην εκάστοτε περιοχή ενδιαφέροντος, που με τη σειρά τους είναι χρήσιμες, για παράδειγμα, στην εντόπιση των υπεδάφιων στρωμάτων ή γεωλογικών σχηματισμών διαταραχής της μάζας-πυκνότητας του γήινου φλοιού, που ενδεχομένως καταδεικνύουν την παρουσία γεωλογικών λεκανών με κοιτάσματα οικονομικού ενδιαφέροντος (π.χ. πετρέλαιο, φυσικά αέρια, θερμική ενέργεια, κ.ά.). Μαγνητικές μέθοδοι Ο γήινος μαγνητισμός ποικίλλει από μέρος σε μέρος, όπως και η βαρύτητα. Οι παραλλαγές στη δύναμη της μαγνητικής έλξης προκαλούνται πρωτίστως από τις συγκεντρώσεις στο υπέδαφος διαφόρων μαγνητικών μεταλλευμάτων (π.χ. υπεδάφεια σιδηρούχα υλικά, και σε μερικές περιπτώσεις, αλλαγές στη λιθολογία των στρωμάτων, όπως πετρώματα με υψηλή περιεκτικότητα σε γρανίτη ή ψαμμίτη που προκαλούν υψηλότερη μαγνήτιση σε σχέση με πετρώματα από ασβεστόλιθο ή σχιστόλιθο) ή τις αλλαγές στο γήινο μαγνητικό πεδίο στην ατμόσφαιρα γύρω από τη Γη. Κατά συνέπεια, οι μαγνητικές μέθοδοι βασίζονται πρωτίστως στην ανίχνευση, στην μέτρηση και την ανάλυση τοπικών ανωμαλιών (αποκλίσεων), σε σχέση με το μόνιμο γήινο μαγνητικό πεδίο. Σχ. 6β Γεωμαγνητικές μέθοδοι Οι μετρήσεις ανίχνευσης των παραλλαγών στο γήινο μαγνητικό πεδίο γίνονται με ειδικά όργανα γνωστά ως μαγνητόμετρα. Η ευκολία μεταφοράς των εν λόγω οργάνων καθιστά τις μαγνητικές μεθόδους ιδανικές για ποικίλες εφαρμογές των γεωφυσικών διασκοπήσεων, τόσο κατά το στάδιο αναγνώρισης στο πεδίο, όσο και κατά τη διάρκεια των γεωφυσικών ερευνών, ιδιαίτερα σε περιοχές με ποικιλία μορφολογικών συνθηκών. Επιπλέον, αποτελούν πρόσφορες και οικονομικά αποδοτικές διεργασίες δεδομένου ότι επιτρέπουν τη κάλυψη ευρέων εκτάσεων με μετρήσεις σε μικρό χρόνο και μικρές απαιτήσεις τεχνικής υποστήριξης. Σεισμικές μέθοδοι Οι σεισμικές διασκοπήσεις βασίζονται στη μέτρηση του χρόνου που απαιτείται για τα ανακλώμενα κύματα ενέργειας που ταξιδεύουν μέσο της Γης για να επιστρέψουν στην επιφάνεια. Οι εν λόγω παρατηρήσεις παρέχουν πληροφορίες για τη στρωματογραφία, την υδρογεωλογία, και την τοπογραφία του υπεδάφους και κατά συνέπεια από την ανάλυση τους είναι δυνατόν να μελετηθούν τα γεωτεχνικά χαρακτηριστικά των υπεδάφιων στρωμάτων, όπως το βάθος, το πάχος, και η τοποθέτηση κάθε στρώματος. Σχ. 6γ Σεισμικές μέθοδοι Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 9/13 Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 10/13

8 Οι σεισμικές έρευνες αποτελούν ένα οικονομικά αποδοτικό τρόπο να επεκταθούν οι πληροφορίες που προέρχονται από γεωτρήσεις στην εκάστοτε ευρύτερη περιοχή ενδιαφέροντος, ελαχιστοποιώντας έτσι την ανάγκη για δαπανηρές πολλαπλές γεωτρήσεις. Σχ. 6δ Ηλεκτρικές μέθοδοι Ηλεκτρικές μέθοδοι Οι ηλεκτρικές μέθοδοι βασίζονται στη μέτρηση της αγωγιμότητας του γήινου υπεδάφους δια μέσου της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής, συμπεριλαμβανομένων των επιδράσεων που προκαλούνται από μολυσματικούς παράγοντες (π.χ. απόβλητα), την παρουσία μεταλλικών αντικειμένων, υπόγεια ύδατα, κ.ά. Οι παραλλαγές στην αγωγιμότητα μπορούν να δείξουν τις αλλαγές στη σύνθεση, το πάχος των στρωμάτων του υπεδάφους, ή την περιεκτικότητα τους σε υγρασία, την παρουσία θαμμένων μετάλλων ή/και μόλυνση. Τα όργανα που χρησιμοποιούνται στις εφαρμογές των εν λόγω μεθόδων αποτελούνται από καλωδιακές μετρητικές διατάξεις αποστολής και καταγραφής ηλεκτρικών σημάτων, που καθώς ταξιδεύουν δια μέσου του υπεδάφους, προκαλούν ένα πρωτεύον ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και ένα δευτεροβάθμιο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, το οποίο παράγεται κυρίως από τη παρουσία μεταλλευμάτων ή μεταλλικών αντικειμένων. Η μέτρηση του μεγέθους της έντασης του δευτεροβάθμιου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, που είναι ανάλογο της επίγειας αγωγιμότητας, καταδεικνύει μαζικές αλλαγές στη λιθολογία, τα υπόγεια νερά ή την επίγεια μόλυνση. Επιπλέον, μερικά ηλεκτρομαγνητικά όργανα σχεδιάζονται συγκεκριμένα για να είναι ευαίσθητα μόνο στην παρουσία μεταλλικών αντικειμένων και μετρούν την αναλογία μεταξύ του αρχικού και του δευτεροβάθμιου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, επιτρέποντας έτσι την ανίχνευση υπεδάφιων μεταλλικών αντικειμένων ή στόχων. Οι μαγνητικές και οι βαρυτημετρικές μέθοδοι περιγράφονται συνήθως ως παθητικές ή άμεσες μέθοδοι διασκόπησης δεδομένου ότι βασίζονται αντίστοιχα στη μέτρηση της έντασης και τις διαταραχές στο μαγνητικό πεδίο και το πεδίο βαρύτητας που παράγονται από την ίδια τη Γη. Στην κατηγορία αυτή συγκαταλέγονται και άλλες μέθοδοι της εφηρμοσμένης γεωφυσικής όπως είναι οι γεωθερμικές και οι γεωχημικές, Οι ηλεκτρομαγνητικές και οι σεισμικές μέθοδοι συγκαταλέγονται αντίστοιχα στις λεγόμενες ενεργές ή έμμεσες μεθόδους επειδή χρησιμοποιούν διάφορες ελεγχόμενες πηγές τεχνητά παραγόμενης ενέργειας για να δημιουργήσουν κατάλληλα πεδία που αλληλεπιδρούν με τη Γη και στα οποία βασίζονται οι μετρήσεις. Για παράδειγμα, οι σεισμικές μέθοδοι, χρησιμοποιούν πηγές ελεγχόμενων εκρήξεων για τη μέτρηση των ελαστικών ιδιοτήτων κάτω από την επιφάνεια της Γης, ενώ οι ηλεκτρομαγνητικές μέθοδοι, χρησιμοποιούν μια ελεγχόμενη πηγή τεχνητά παραγόμενης ενέργειας για να δημιουργήσουν ηλεκτρικά ή μαγνητικά πεδία που επιτρέπουν τη μέτρηση της αντίστασης των διαφορετικών τύπων του υπεδάφους. Μια ενδογενής, αλλά συγχρόνως και προκλητική αδυναμία των περισσότερων γεωφυσικών μεθόδων είναι ότι η εφαρμογής τους ξεχωριστά δεν δίνει μια σαφή απάντηση στην ακριβή κατανομή και τη φύση των κάτω από την επιφάνεια γεωλογικών χαρακτηριστικών γνωρισμάτων της Γης, εξ αιτίας της αδυναμίας να δοθεί μονοσήμαντη ερμηνεία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων τους. Συνήθως μια αξιόπιστη και εύλογα σαφής ερμηνεία των εκάστοτε γεωφυσικών στοιχείων μπορεί να ληφθεί μόνο από μια συνδυασμένη ανάλυση των αποτελεσμάτων από ποικίλες μεθόδους, μαζί με τα σχετικά γεωλογικά στοιχεία και άλλα στοιχεία που συγκεντρώνονται από τις κατάλληλες διασκοπήσεις. Στη πράξη, οι γεωφυσικές μετρήσεις παρέχουν τη κύρια πηγή πληροφορίας για τη δομή του εσωτερικού της Γης και χρησιμοποιούνται, όπως ήδη αναφέρθηκε, κυρίως για την εξερεύνηση φυσικών πόρων, όπως κοιτασμάτων ορυκτού πλούτου. Τελευταία ωστόσο, η παρατήρηση των εν λόγω φυσικών ιδιοτήτων χρησιμοποιείται ευρέως και για την επίλυση ποικίλων προβλημάτων εφηρμοσμένης μηχανικής και μελέτης περιβαλλοντικών επιπτώσεων από φυσικές και ανθρωπογενείς αιτίες. 1.4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Οι τεχνικές μέτρησης της βαρύτητας διακρίνονται σε δύο κύριες κατηγορίες: τις επίγειες (συμπεριλαμβανομένων και εκείνων που μπορούν να γίνου από αέρος και στη θάλασσα) και τις δορυφορικές. Πριν από την ανάπτυξη των δορυφορικών τεχνικών οι μέθοδοι παρατήρησης του γήινου πεδίου βαρύτητας περιορίζονταν στις επίγειες μεθόδους βαρυτημετρίας που βασίζονται σε μια ευρεία ποικιλία μεθόδων μέτρησης της απόλυτης ή της σχετικής τιμής της βαρύτητας. Εξ αιτίας των λογιστικών δυσκολιών τους, επαρκής κάλυψη της γήινης επιφάνειας με επίγειες μετρήσεις βαρύτητας υπήρχε κυρίως μόνο στις ανεπτυγμένες και εύκολα προσβάσιμες περιοχές. Σχ. 7 Επίγειες μέθοδοι βαρυτημετρίας στη ξηρά, στη θάλασσα ή από αέρος Η κάλυψη με μετρήσεις βαρύτητας στις θαλάσσιες περιοχές ήταν (και παραμένει) ανεπαρκής και οικονομικά ασύμφορη, πέρα από το γεγονός ότι οι μετρήσεις βαρύτητας στη θάλασσα δεν παρείχαν αξιόπιστη ακρίβεια στα αποτελέσματα. Κάτω από αυτές τις περιστάσεις η λεπτομερής περιγραφή και υπολογισμός καταλλήλων μοντέλων βαρύτητας ήταν σοβαρά περιορισμένη. Διασκοπήσεις από αέρος χρησιμοποιούν σε αεροπλάνα ή ελικόπτερα ειδικές μετρητικές διατάξεις και όργανα τα οποία συνήθως απαιτείται να διατηρούν τον προσανατολισμό τους στην οριζόντια διεύθυνση κατά τη διάρκεια της πτήσης, καθώς επίσης και οι μετρήσεις να αποθηκεύονται αυτόματα μαζί με το ακριβές στίγμα της θέσης του αισθητήρα κατά τη χρονική στιγμή της εκάστοτε μέτρησης. Σήμερα αυτό είναι περισσότερο εφικτό με τη χρήση αερομεταφερόμενων συστημάτων GPS κατάλληλα Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 11/13 Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 12/13

9 διασυνδεόμενων με τις εκάστοτε μετρητικές διατάξεις και όργανα μέτρησης της βαρύτητα και των παραλλαγών της. Οι από αέρος διασκοπήσεις προσφέρουν σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με τις καθαρά επίγειες ή στη θάλασσα μετρήσεις, όπως ταχύτητα εκτέλεσης των μετρήσεων και δυνατότητα χρήσης τους σε απρόσιτες περιοχές, αλλά και σημαντικά μειονεκτήματα, όπως είναι οι επιδράσεις ανεπιθύμητων παρόμοιων σημάτων με εκείνα των μετρήσεων (π.χ. της επιτάχυνσης του αεροπλάνου) που πρέπει να ανιχνεύονται και να εξαλείφονται, η εξομάλυνση του πεδίου βαρύτητας εξ αιτίας του ύψους της πτήσης και το μεγάλο κόστος στη περίπτωση που οι διασκοπήσεις αφορούν περιοχές μικρής έκτασης. Οι δορυφορικές τεχνικές πρόσφεραν και προσφέρουν νέες δυνατότητες κυρίως από την προσθήκη νέων τύπων διαφορετικών μετρητικών διατάξεων και δεδομένων μέτρησης του πεδίου βαρύτητας. Οι κυριότερες δορυφορικές τεχνικές που χρησιμοποιούνται ευρέως σήμερα για αυτό τον σκοπό συμπεριλαμβάνουν τη Δορυφορική Αλτιμετρία (Satellite Altimetry), την παρακολούθηση από δορυφόρο σε δορυφόρο των παραλλαγών του πεδίου βαρύτητας (Satellite to Satellite Tracking, SST) και τη δορυφορική βαθμιδομετρία (Satellite Gradiometry). Σχ. 7 Δορυφορικές μέθοδοι βαρυτημετρίας Τα κύρια πλεονεκτήματα των δορυφορικών μεθόδων έναντι των επίγειων μεθόδων μέτρησης της βαρύτητας είναι προφανή: η δυνατότητα παγκόσμιας κάλυψης, ομοιογενής ποιότητα των μετρήσεων, υψηλή ακρίβεια και υψηλή αποδοτικότητα (σε κόστος και χρόνο διεξαγωγής των μετρήσεων). Κατά συνέπεια, οι δορυφορικές μέθοδοι βαρυτημετρίας αναμένεται να παίξουν ένα συνεχώς αυξανόμενο ρόλο στον λεπτομερή προσδιορισμό του γήινου πεδίου βαρύτητας. Μέρος 1 Εισαγωγή Σελ. 13/13

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γεωφυσικές ιασκοπήσεις - Βαρυτημετρία 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΓΗΪΝΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ 2.0 Η έλξη της βαρύτητας Η δύναμη και το δυναμικό της βαρύτητας Η ένταση της βαρύτητας Ανάπτυγμα του γήινου πεδίου βαρύτητας σε σφαιρικές αρμονικές Κανονικό δυναμικό του γήινου πεδίου βαρύτητας Κανονική Βαρύτητα Σχέση δυναμικού και γεωμετρίας της κανονικής και της πραγματικής βαρύτητας 20 Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 2/22

11 2.0 Η έλξη της βαρύτητας Ο σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει συνοπτικά τις βασικές αρχές της θεωρίας του πεδίου βαρύτητας της Γης, ώστε να είναι δυνατή η πλήρης κατανόηση των εννοιών που αναπτύσσονται στις επόμενες ενότητες. Η κύρια πρόθεσή είναι η παρουσίαση και η επεξήγηση βασικών εννοιών και διάφορων σημαντικών μαθηματικών σχέσεων που εκφράζουν τις κύριες παραμέτρους που περιγράφουν το πεδίο βαρύτητας της Γης, αποφεύγοντας τις μακροσκελείς περιγραφές που μπορούν να βρεθούν σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο της Φυσικής Γεωδαισίας. Σχ. 1 - Ο Newton και οι μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας Σύμφωνα με τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης της Βαρύτητας, όπως διατυπώθηκε αρχικά το 1686 από τον Isaac Newton στην κλασική εργασία του Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Οι μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας), το φαινόμενο της βαρύτητας βασίζεται στην αμοιβαία έλξη που εξασκείται μεταξύ δύο μαζών. Γνωστός ως 1 ος νόμος του Newton, ο νόμος της έλξης της βαρύτητας δηλώνει ότι η αμοιβαία ελκτική δύναμη F μεταξύ δύο μαζών m 1 και m 2, που θεωρούνται συγκεντρωμένες σε δύο σημεία P 1 και P 2, είναι ανάλογη προς το τετράγωνο της απόστασης L μεταξύ των δύο σημείων: F έλξη = G m 1 m 2 / L 2 όπου L είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο μαζών, η οποία σε ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς μπορεί να εκφραστεί, σαν συνάρτηση των διανυσμάτων θέσης r 1 (x 1,y 1,z 1 ) και r 2 (x 2,y 2,z 2 ) των δύο σημείων, από τη σχέση L = L = [(x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 ] 1/2. Στην προκειμένη περίπτωση η σταθερά της αναλογικότητας εκφράζεται από τον συντελεστή G, που είναι γνωστός ως παγκόσμια σταθερά έλξης ή απλά σταθερά της βαρύτητας. Ο πειραματικός προσδιορισμός της τιμής του G έγινε με ακρίβεια της τάξης ±1% περί το 1798 από τον άγγλο φυσικό Henry Cavendish που χρησιμοποίησε για πρώτη φορά μετρητικές διατάξεις γνωστές ως ελατήρια στρέψης. Μέχρι Σχ. 2 - Το πείραμα του Cavendish (αριστερά) και σύγχρονος εξοπλισμός μέτρησης της Παγκόσμιας σταθεράς έλξης G. ( wgrav.html) Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 3/22 σήμερα συνεχίζεται η προσπάθεια επακριβούς προσδιορισμού της τιμής του G χρησιμοποιώντας παρόμοιες σύγχρονες μετρητικές διατάξεις που βασίζονται στις ίδιες φυσικές αρχές που χρησιμοποίησε ο Cavendish. Η Παγκόσμια Γεωδαιτική Ένωση δέχτηκε το 2000 ως αποδεκτή τιμή της σταθεράς της βαρύτητας την τιμή G = 6.663(10) x 10-8 cm 3 g -1 sec -2 (= x N m 2 kg -2 ) ± 1500 ppm Η εν λόγω σταθερα θεωρείται ότι έχει την ίδια τιμή σε όλο το ηλιακό μας σύστημα και τους εγγύς σε αυτό γαλαξίες, αν και ορισμένοι αστρονόμοι πιστεύουν ότι αν η θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης του Σύμπαντος αληθεύει, η τιμή του G θα πρέπει να μειώνεται. Είναι προφανές ότι η παραπάνω σχέση που εκφράζει τον νόμο της Παγκόσμιας Έλξης της Βαρύτητας είναι τελείως συμμετρική, δηλαδή δεν θεωρείται πρωταρχική η μια ή η άλλη μάζα. Ωστόσο, για ευκολία η μια μάζα θεωρείται ως έλκουσα και η άλλη ως ελκυόμενη. Συνήθως θεωρείται ότι η ελκυόμενη μάζα είναι ίση με μια μονάδα μέτρησης (δηλ. m 2 =1) και η έλκουσα μάζα συμβολίζεται με m (δηλ. m 1 =m), οπότε η δύναμη έλξης εκφράζεται από τη σχέση F έλξη = G m / L 2 Αυτό επιτρέπει να εκφράσει κανείς τη δύναμη της έλξης της βαρύτητας σε διανυσματική μορφή (δηλ. ως πεδίο δυνάμεων) από τη σχέση F έλξη = ( G m / L 2 ) (L / L) όπου το αρνητικό πρόσημο υποδηλώνει ότι το διάνυσμα της ελκτικής δύναμης που εξασκείται από την έλκουσα μάζα m επί της μοναδιαίας μάζας και το αντίστοιχο σχετικό διάνυσμα θέσης μεταξύ της έλκουσας μάζας m και της μοναδιαίας μάζας έχουν αντίθετη φορά. Οι συνιστώσες F x, F y, F z δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις F x = G m (x 1 x 2 )/L 3, F y = G m (y 1 y 2 )/L 3, F z = G m (z 1 z 2 )/L 3. Στη πράξη, ένα σώμα πεπερασμένων διαστάσεων όπως η Γη, που αποτελείται από αναρύθμητα στοιχεία μάζας dμ 1, dμ 2, dμ 3,, εξασκεί μια ελκτική δύναμη σε ένα σώμα μοναδιαίας μάζας (μέσα στη Γη, στην γήινη επιφάνεια ή στο χώρο της γήινης ατμόσφαιρας), η οποία είναι αποτέλεσμα της διανυσματικής πρόσθεσης των επιμέρους ελκτικών δυνάμεων που προκαλούνται από τα στοιχεία dμ 1, dμ 2, dμ 3, dμ n της γήινης μάζας στην μοναδιαία μάζα, δηλαδή είναι n F έλξη = G (L / L -3 ) dm i i = 1 Αν θεωρηθεί ότι τα εν λόγω στοιχεια της γήινης μάζας κατανέμονται συνεχώς και ομοιόμορφα στην επιφάνεια της Γης, τότε το παραπάνω άθροισμα αντικαθίσταται με το ολοκλήρωμα για ολόκληρο το σώμα της Γης μάζας Μ, δηλαδή

12 F έλξη = G (L / L -3 ) dm. M Η εν λόγω περιγραφή της έλξης της Γης είναι ιδιαίτερα πολύπλοκή, δεδομένου ότι απαιτείται η γνώση των τριών διανυσματικών συνιστωσών της δύναμης έλξης για κάθε σημείο στο χώρο. Για το λόγω αυτό συνήθως υιοθετείται ένας απλούστερος τρόπος με την εισαγωγή μιας βαθμωτής (αριθμητικής) συνάρτησης V, το λεγόμενο δυναμικό έλξης, που ορίζεται από τη σχέση F έλξη = (F x, F y, F z ) = grad V = V όπου το άθροισμα των παραγώγων = ( / x) + ( / y) + ( / z) είναι ο λεγόμενος τελεστής ανάδελτα. Με άλλα λόγια, οι παράγωγοι του δυναμικού έλξης στις διευθύνσεις x, y, z του συστήματος αναφοράς παριστούν τις συνιστώσες F x, F y, F z της δύναμης έλξης στις αντίστοιχες διευθύνσεις και συνεπώς το διανυσματικό πεδίο των ελκτικών δυνάμεων που ασκεί ένα σώμα σε μια μοναδιαία μάζα προσδιορίζεται ακριβώς από το βαθμωτό πεδίο του δυναμικού του. Από αυτό προκύπτει και η πρακτική σημασία του δυναμικού, ότι δηλαδή υποκαθιστά την αναγκαία χρήση των τριών συνιστωσών της δύναμης έλξης F έλξη σε κάθε σημείο στο χώρο από ένα βαθμωτό μέγεθος, το δυναμικό V. Όπως και στη περίπτωση της ελκτικής δύναμης, θεωρώντας ότι η έλκουσα μάζα της Γης αποτελείται από το σύνολο επιμέρους σημειακών μαζών dm, το δυναμικό της γήινης έλξης είναι αποτέλεσμα της διανυσματικής πρόσθεσης των δυναμικών κάθε έλκουσας μάζας dμ 1, dμ 2, dμ 3,, δηλαδή V = V(L) = G L i -1 dm i i = 1 Επιπλέον, αν η Γη θεωρηθεί ως στερεό σώμα με τις σημειακές της μάζες dm ομοιόμορφα και συνεχώς κατανεμημένες σε στοιχειώδεις όγκους dv με πυκνότητα ρ = dm/dv, το άθροισμα των επιμέρους δυναμικών αντικαθίσταται με το ολοκλήρωμα για όλο τον όγκο της Γης, έτσι ώστε το δυναμικό έλξης εκφράζεται ως V = V(L) = G L -1 dm = G ρ L -1 dv V E V E Η εν λόγω σχέση υποδηλώνει εμμέσως και τη σημαντική διαφορά στο ρόλο του γήινου δυναμικού έλξης στη γεωδαισία και στη γεωφυσική. Ενώ δηλαδή στη γεωδαισία το άμεσο ενδιαφέρον είναι ο προσδιορισμός του δυναμικού V, θεωρώντας ως γνωστή τη συνάρτηση μεταβολής της πυκνότητας των γήινων μαζών, στη γεωφυσική επιδιώκεται ο προσδιορισμός της πυκνότητας ρ των γήινων μαζών από δεδομένες παρατηρήσεις του δυναμικού V (π.χ. μετρήσεις βαρύτηατας). Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 5/22 n Από τις προαναφερόμενες σχέσεις, είναι προφανές ότι το δυναμικό έλξης V ενός έλκοντος σώματος είναι μια συνεχής συνάρτηση σε όλο το χώρο έξω από το σώμα. Στη περίπτωση που το ελκόμενο σημείο τείνει στο άπειρο (L ), η τιμή του δυναμικού έλξης τείνει στο μηδέν (δηλαδή, lim V = 0). Στη πράξη, για μεγάλες αποστάσεις, όπως π.χ. οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών, η εν λόγω ιδιότητα του δυναμικού έχει εφαρμογή σε πολλά προβλήματα της ουράνιας μηχανικής ή της δορυφορικής γεωδαισίας, όπου για παράδειγμα θεωρείται ότι οι πλανήτες συμπεριφέρονται ως σημειακές μάζες (δηλαδή οι μάζες τους συγκεντρώνονται στο κέντρο βάρους τους). Εξετάζοντας το άθροισμα των δευτέρων παραγώγων του δυναμικού V καταδεικνύεται εύκολα ότι, για όλα τα σημεία έξω από το χώρο του έλκοντος σώματος, ικανοποιείται η λεγόμενη εξίσωση Laplace ΔV = ( 2 V/ x 2 ) + ( 2 V / y 2 ) + ( 2 V/ z 2 ) = 0 όπου Δ = ( 2 / x 2 ) + ( 2 / y 2 ) + ( 2 / z 2 ) είναι ο λεγόμενος τελεστής Laplace. Εξ ορισμού, οι λύσεις της εξίσωσης Laplace είναι αρμονικές συναρτήσεις, δηλαδή ικανοποιούν και τη συνθήκη L lim V = 0. Αυτό ωστόσο δεν ισχύει για το εσωτερικό του έλκοντος σώματος, όπου μπορεί να δειχθεί ότι σε κάθε εσωτερικό σημείο P σώματος ισχύει η λεγόμενη εξίσωση του Poisson ΔV = 4π G ρ(p) 0 όπου ρ(p) είναι η πυκνότητα της μάζας του σημείου P και όχι του έλκοντος σώματος. Η επίλυση των εξισώσεων Laplace και Poisson αποτελεί ένα από τα πλέον σημαντικά προβλήματα της Γεωδαισίας, όπου επιδιώκεται ο προσδιορισμός του δυναμικού της Γης από δεδομένα που παρέχουν διάφορες μετρήσεις (π.χ. βαρύτητας) στην επιφάνεια ή κάτω από την επιφάνεια της Γης, αν γνωρίζουμε την κατανομή των μαζών στο εσωτερικό της Γης. Το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή από τον προσδιορισμό του δυναμικού να υπολογισθεί η εσωτερική κατανομή των μαζών που το προκαλούν, αποτελεί το αντικείμενο της γεωφυσικής έρευνας όπου χρησιμοποιούνται επιπλέον στοιχεία (π.χ. από γεωλογικές πληροφορίες, σεισμολογικά δεδομένα, κ.ά.) για τον προσδιορισμό των μαζών, δεδομένου ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις 2.1 Η δύναμη και το δυναμικό της βαρύτητας Εκτός από τον καθορισμό του νόμου της αμοιβαίας έλξης μεταξύ των μαζών, ο Newton καθόρισε επίσης τη σχέση μεταξύ μιας δύναμης και της επιτάχυνσης που προκαλεί στο σώμα στο οποίο ασκείται η εν λόγω δύναμη. Συγκεκριμένα, ο δεύτερος νόμος του Newton δηλώνει ότι η δύναμη F που εφαρμόζεται σε ένα σώμα μάζας m και η επιτάχυνση a στην οποία υποβάλλεται το σώμα εξ αιτίας της ασκούμενης δύναμης συνδέονται με τη σχέση F = m a ή σε διανυσματική μορφή Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 6/22

13 F = m a όπου αποδεικνύεται εύκολά ότι Φ = ω 2 (x 2 + y 2 ) / 2. όπου τον ρόλο της σταθεράς της αναλογικότητας παίζει η μάζα του σώματος, η οποία δίνεται ως m=f/a και εκφράζεται σε μονάδες δύναμης προς επιτάχυνση. Επομένως, από τον συνδυασμό του δεύτερου νόμου του Newton με το νόμο της αμοιβαίας έλξης της βαρύτητας, το μέτρο της επιτάχυνσης b ενός σώματος με μάζα m 2, εξ αιτίας της έλκτικής δύναμης F έλξη που ασκεί σε αυτό ένα σώμα μάζας m 1 εκφράζεται ως F έλξη = m 2 b b = G m 1 / L 2 = G m / L 2 όπου L είναι η απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο μαζών και θεωρώντας, όπως και προηγουμένως, ότι η ελκόμενη μάζα είναι ίση με μια μονάδα μέτρησης και η έλκουσα μάζα συμβολίζεται με m. Για παράδειγμα, θεωρώντας τη μάζα της Γης ως x kg ( GM = x m 3 sec -2 ) και την ακτίνα της Γης ως R=6371 km, η τιμή του δυναμικού έλξης στην επιφάνεια της Γης (L=R) υπολογίζεται ως V = x 10 7 m 2 sec -2 και η επιτάχυνση που προκαλεί η αντίστοιχη έλξη έχει τη τιμή b = 9.82 m sec -2. Σχ. 3 Η επιτάχυνση b της έλξης της βαρύτητας και η φυγόκεντρη επιτάχυνση z Ωστόσο, η Γη εξ αιτίας της περιστροφή της περί τον άξονα της και εξ αιτίας της κίνησης της ως ουράνιο σώμα, εξασκεί σε μια ελκόμενη μάζα σε ένα σημείο P στην γήινη επιφάνεια μια φυγόκεντρο δύναμη F Φ = m z, που με τη σειρά της προκαλεί μια επιτάχυνση z που εκφράζεται από τη σχέση: z = ω 2 p όπου p είναι η κάθετη απόσταση του σημείου από τον άξονα περιστροφής της Γης (που θεωρείται σταθερός ως προς τη Γη) και ω = 2π/ sec = x 10-5 rad sec -1 είναι η γωνιακή ταxύτητα περιστροφής της Γης, η οποία θεωρείται σταθερή περί τον άξονα περιστροφής. Θα πρέπει να τονισθεί ότι η φυγόκεντρη δύναμη ασκείται σε κάθε μάζα που βρίσκεται σε επαφή με το έλκον σώμα. Αν η έλκόμενη μάζα αποκολληθεί από το έλκον σώμα (π.χ. ένας δορυφόρος κατά τη στιγμή της εκτόξευσης του), η δράση της φυγόκεντρης δύναμης μηδενίζεται. Το διάνυσμα F Φ της φυγόκεντρης δύναμης έχει τη διεύθυνση του διανύσματος p = (x, y, 0) και συνεπώς δίνεται από τη σχέση F Φ = (ω 2 x, ω 2 y, 0) Όπως και με τη δύναμη έλξης, η φυγόκεντρη δύναμη μπορεί να θεωρηθεί ότι εκφράζει τη κλίση ένός δυναμικού Φ, έτσι ώστε F Φ = ( Φ/ x, Φ/ y, Φ/ z) = grad Φ = Φ Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 7/22 Η δύναμη της βαρύτητας που εξασκείται συνολικά στην ελκόμενη μάζα είναι η συνισταμένη της ελκτικής δύναμης F έλξης και της φυγόκεντρου δύναμης F Φ : F = F έλξης + F Φ Ως διάνυσμα, η συνισταμένη δύναμη της βαρύτητας F σε κάθε σημείο έχει ως διεύθυνση την διεύθυνση της κατακορύφου στο εν λόγω εκάστοτε σημείο, δηλαδή τη διεύθυνση κατα την οποία κατακορυφώνονται τα γεωδαιτικά όργανα και κατά μήκος της οποίας, εξ ορισμού, μετρώνται τα ορθομετρικά υψόμετρα, στα οποία βασίζονται τα υψομετρικά συστήματα αναφοράς. Το δυναμικό της βαρύτητας, που συμβολίζεται με W, είναι αποτέλεσμα της προσθετικής επίδρασης του δυναμικού έλξης V και του φυγόκεντρου δυναμικού Φ, δηλαδή W = W(W x, W y, W z ) = V + Φ = G ρ L -1 dv + [ ½ ω 2 (x 2 + y 2 ) ] V E Η φυσική σημασία του γήινου δυναμικού W είναι ότι παριστά το έργο dw που εκτελείται από τη δύναμη της βαρύτητας F, ώστε αυτή να εκτελέσει μια απειροστή μετατόπιση ds της μάζας στην οποία εξασκείται, όπως εκφράζεται από τη σχέση: dw = F ds Σε αντίθεση με το δυναμικό έλξης V, το δυναμικό της βαρύτητας δεν ικανοποιεί την εξίσωση Laplace, δεδομένου ότι μπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι έξω από την επιφάνεια της Γης ΔW = ΔV + ΔΦ = 2 ω 2 0 ενώ στο εσωτερικό της Γης ικανοποιεί τη γενικευμένη μορφή της εξίσωσης Poisson ΔW = ΔV + ΔΦ = 4π G ρ(p) + 2 ω 2 Με άλλα λόγια, σε αντίθεση με το δυναμικό έλξης, το δυναμικό της βαρύτητας δεν είναι αρμονική συνάρτησηούτε στον χώρο έξω από την επιφάνεια της Γης. 2.2 Η ένταση της βαρύτητας Κατά την εκτέλεση μετρήσεων της γήινης βαρύτητας, συνήθως δεν μετράμε τη δύναμη της βαρύτητας, F, αλλά μετράμε την επιτάχυνσή της, που συμβολίζεται ως g και είναι το αποτέλεσμα της επιτάχυνσης b εξ αιτίας της έλκτικής δύναμης F έλξης και Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 8/22

14 της επιτάχυνσης z εξ αιτίας της φυγόκεντρης δύναμης F Φ, που επιδρούν σε μια μοναδιαία μάζα, δηλαδή: dw = gradw ds = g ds = 0 g = b + z = grad W = ( W/ x, W/ y, W/ z) Η επιτάχυνση της βαρύτητας μπορεί να θεωρηθεί ως το ποσοστό αλλαγής της ταχύτητας ενός σώματος κάτω από την επιρροή της δύναμης της βαρύτητας. Για παράδειγμα, η αποκόλληση ενός βράχου προκαλεί όχι μόνο την πτώση του, αλλά και την αύξηση της ταχύτητας του καθώς πέφτει. Η διεύθυνση του διανύσματος g της βαρύτητας είναι η διεύθυνση της κατακορύφου και το μέγεθος g = g συχνά αποκαλείται η ένταση της βαρύτητας ή απλά βαρύτητα. Η ένταση της βαρύτητας εκφράζεται σε μονάδες επιτάχυνσης, που προς τιμή του Galileo, ο οποίος μέτρησε πρώτος τη δύναμη της βαρύτητας, ονομάζονται gal, όπου 1 gal = 1 cm sec -2. Με άλλα λόγια, 1 gal εκφράζει την επιτάχυνση που αναπτύσεται από μια μάζα ενός γραμμαρίου υπό την επίδραση μιας δυνάμεως μεγέθους 1 dyne. Στη γεωδαισία, χρησιμοποιούνται οι υποδιαιρέσεις milligal (1 milligal = 10-3 gal = 10-5 m sec -2 ) και μgal (1 μgal = 10-6 gal). Δεδομένου ότι η Γη δεν είναι μια ομογενής (σε πυκνότητα) σφαίρα και επιπλέον περιστρέφεται, η ένταση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο και κυμαίνεται από περίπου 978 mgal στον ισημερινό και 983 mgal στους πόλους, δηλαδή εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος, Στη γεωδαισία σημαντική σημασία έχουν οι επιφάνειες όπου το δυναμικό της βαρύτητας είναι σταθερό, δηλαδή W = W(W x, W y, W z ) = W o = σταθερό dw = 0 Oι εν λόγω επιφάνειες ονομάζονται ισοδυναμικές επιφάνειες. Πρόκειται για συνεχείς, κλειστές, μη τεμνόμενες και σε επαλληλία ομαλές επιφάνειες που χρησιμοποιούνται ευρύτατα στη γεωδαισία. Για παράδειγμα, η μέση στάθμη της θάλασσας (μετά από μια σειρά ιδανικές παραδοχές) είναι μια από τις ισοδυναμικές επιφάνειες του γήινου πεδίου βαρύτητας που αποτελεί την εγγύτερη προσέγγιση της τοπογραφικής Σχ. 4 - Ισοδυναμικές επιφάνειες του πεδίου βαρύτητα επιφάνειας της Γης. Εξ ορισμού, η εν λόγω επιφάνεια καθορίζει την επιφάνεια του γεωειδούς, που αποτελεί μια από τις θεμελιώδεις επιφάνειες που χρησιμοποιούνται στη γεωδαισία για την μαθηματική έκφραση της γήινης επιφάνειας. Σε μια ισοδυναμική επιφάνεια δεν επιτελείται έργο από τη δύναμη της βαρύτητας, δηλαδή ισχύει Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 9/22 όπου ds = (dx, dy, dz). Η εν λόγω σχέση εκφράζει το γεγονός ότι το διάνυσμα της βαρύτητας σε κάθε σημείο του χώρου είναι κάθετο στην ισοδυναμική επιφάνεια που διέρχεται από το εν λόγω σημείο. Οι γραμμές που είναι κάθετες σε κάθε ισοδυναμική επιφάνεια δεν είναι τελείως ευθείες, αλλά ελαφρά κυρτές καμπύλες που είναι γνωστές στη γεωδαισία ως δυναμικές γραμμές ή απλούστερα ως κατακόρυφοι. Είναι προφανές ότι το διάνυσμα της βαρύτητας g σε κάθε σημείο είναι εφαπτόμενο στην κατακόρυφο που διέρχεται από το εκάστοτε συγκεκριμένο σημείο. Κατά συνέπεια, αν το παραπάνω αναφερόμενο διάνυσμα ds ληφθεί κατά μήκος μιας κατακορύφου, το μήκος του εκφράζει την υψομετρική διαφορά dh πάνω από τη στάθμη της θάλασσας (δηλαδή την ορθομετρική υψομετρική διαφορά) και η διεύθυνση του είναι αντίθετη από τη φορά του διανύσματος της βαρύτητας, έτσι ώστε g ds = g dh = dw g = W/ H δηλαδή η ένταση της βαρύτητας εκφράζει τη μεταβολή του γήινου δυναμικού ως συνάρτηση του ύψους. 2.2 Ανάπτυγμα του γήινου πεδίου βαρύτητας σε σφαιρικές αρμονικές Από τη γενική εξίσωση που εκφράζει το δυναμικό W του γήινου πεδίου βαρύτητας είναι εμφανές ότι το πλέον δύσκολο μέρος του να υπολογισθεί είναι το δυναμικό έλξης V, δεδομένου ότι το δυναμικό Φ της φυγόκεντρου δύναμης είναι μια απλή αναλυτική συνάρτηση. Η μόνη απλούστευση για τον εν λόγω υπολογισμό προκύπτει από το γεγονός ότι έξω από τις έλκουσες μάζες της Γης (δηλ. έξω από τη γήινη επιφάνεια) το δυναμικό V είναι αρμονική συνάρτηση και κατά συνέπεια μπορεί, αντί ως συνάρτηση των καρτεσιανών συντεταγμένων (x,y,z) να εκφρασθεί σε σφαιρικές συντεταγμένες (r,θ,λ) στη μορφή V(x,y,z) V(r,θ,λ) = f(r) Υ n (θ,λ) = f(r) g(θ) h(λ) όπου f(r) = r -(n+1), g(θ) = P nm (cosθ), και h(λ) = cos mλ ή h(λ) = sin mλ. Δηλαδή, το δυναμικό V στο εξωτερικό της Γης μπορεί να εκφραστεί ως μια αριθμοσειρά ειδικών συναρτήσεων Υ C nm = cos mλ P nm (cosθ) και Υ S nm = sin mλ P nm (cosθ), που είναι γνωστές ως επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές του Laplace (Laplace surface spherical harmonics) Οι συναρτήσεις P nm είναι γνωστές ως προσαρτημένες συναρτήσεις Legendre που υπολογίζονται από εξισώσεις της μορφής P nm (t) = (1 t 2 ) m/2 [ d m P n (t)/dt m ] P n (t) = [1/(n! 2 n )] [ d n (t 2 1)/dt n ], t = cos θ = sin φ όπου αντίστοιχα οι συναρτήσεις P n είναι γνωστές ως πολυώνυμα Legendre. Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 10/22

15 Τα πoλυώνυμα και οι συναρτήσεις Legendre μπορούν να υπολογισθούν από κυκλικές σχέσεις. Για παράδειγμα, μια από τις κυκλικές σχέσεις που χρησιμοποιείται ευρέως για τον υπολογισμό των πολυωνύμων Legendre είναι της μορφής: (n+1) P n+1 (t) = (2n+1) t P n (t) n P n-1 (t) Για τις συναρτήσεις Legendre, μια ανάλογη κυκλική σχέση είναι της μορφής (n-m+1) P n+1 m (t) = (2n+1) t P nm (t) (n+m) P n-1, m (t) που επιτρέπει τον κυκλικό υπολογισμό των συναρτήσεων Legendre για κάθε n, χρησιμοποιώντας για τις τιμές εκκίνησης τις σχέσεις P mm (t) = (-1) m (2m 1)!! (1-t 2 ) m/2, P m+1 m (t) = t (2m + 1) P mm (t) όπου ο συμβολισμός n!! εκφράζει το γινόμενο όλων των μονών ακέραιων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι του n. Από καθαρά μαθηματική άποψη, οι εν λόγω σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις αποτελούν ορθογώνιες λύσεις της εξίσωσης Laplace εκφρασμένης σε σφαιρικές συντεταγμένες (r,θ,λ) στην επιφάνεια της Γης η οποία θεωρείται ως σφαίρα. Έτσι η γενική μορφή της έκφρασης του δυναμικού V σε σφαιρικές αρμονικές είναι n V(r, θ, λ) = R(r) [ A nm Υ C nm (θ,λ) + B nm Υ S nm (θ,λ) ] n=0 m=0 n = R(r) [ A nm cos mλ + B nm sin mλ] P nm (cosθ) n=0 m=0 όπου, άν η αρχή του συστήματος των σφαιρικών συντεταγμένων ληφθεί να είναι το κέντρο μάζας της Γης, η συνάρτηση R(r) εκφράζει τη γενική συμπεριφορά του δυναμικού V στη διεύθυνση της κατακορύφου, ενώ το δεύτερο μέρος [... ] εκφράζει τις μεταβολές του δυναμικού στην επιφάνεια της Γης. Στην παραπάνω εξίσωση A nm, B nm είναι άγνωστοι συντελεστές που αποτελούν συνάρτηση της πυκνότητας των γήινων μαζών και υπολογίζονται από μετρήσεις βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης. Aν η τιμή του δύναμικού V είναι γνωστή στην επιφάνεια της σφαίρας Σ(r = a Ε ) που αποτελεί το σύνορο των ελκουσών μαζών και του εξωτερικού χώρου της Γης, το δυναμικό έλξης σε ένα σημείο που έχει γεωκεντρική ακτίνα r υπολογίζεται συνήθως από τη σχέση n V = (GM/r) { 1 + (a Ε /r) n [ C nm cos mλ + S nm sin mλ] P nm (cosθ)} n=1 m=0 όπου a Ε είναι η ακτίνα της Γης στον ισημερινό και C nm = Α nm (a Ε ) n / GM και S nm = B nm (a Ε ) n / GM. Οι όροι C n0 (m=0) συνήθως αποκαλούνται αρμονικοί συντελεστές ζώνης, οι όροι C nm, S nm (m 0) τεσσεροειδείς αρμονικοί συντελεστές και οι όροι C nm, S nm (n=m) αρμονικοί συντελεστές τομέως, δεδομένου ότι η γεωμετρική παράσταση των αντίστοιχων σφαιρικών αρμονικών Υ C n0, Υ C nm και Υ S nm παριστούν στη σφαίρα αντίστοιχα ζώνες (m=0), διαμερίσματα που μοιάζουν σαν σκακιέρα από σφαιρικά τραπέζια (m 0) ή τομείς (n=m, m 0). Στη πράξη, από δορυφορικές μετρήσεις υπολογιζονται συνήθως οι συντελεστές J n0 = J n = - C n0 = - C n, J nm = - C nm, K nm = - S nm Είναι προφανές ότι στην παραπάνω εξίσωση, αν αγνοηθούν όλοι οι συντελεστές στο δεύτερο μέρος [... ], καταλήγει κανείς στην απλουστευμένη σφαιρική προσέγγιση του δυναμικού V ως V= GM / r. Στην πράξη, επειδή το μέγεθος των τιμών που λαμβάνουν οι συντελεστές C nm, S nm είναι πολύ μικρό για μεγάλες τιμές των δεικτών n και m, οι συντελεστές ομαλοποιούνται χρησιμοποιώντας τις σχέσεις C nm = Π nm C nm, S nm = Π nm S nm Π nm = [(n+m)!] / [k (2n+1) (n-m)! ], αν m=0 k=1, αν m 0 k=2 Στην περίπτωση αυτή, τα αντίστοιχα πολυώνυμα Legendre επίσης ομαλοποιούνται έτσι ώστε να ισχύει Ρ nm C nm = P nm C nm και Ρ nm S nm = P nm S nm P nm = P nm / Π nm Το σημαντικό πλεονέκτημα από την ανάπτυξη του δυναμικού σε σφαιρικές αρμονικές είναι ότι αν οι αρμονικοί συντελεστές C nm και S nm είναι γνωστοί, κάθε ποσότητα που χαρακτηρίζει το γήινο πεδίο βαρύτητας μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση των σφαιρικών αρμονικών. Για παράδειγμα, οι λεγόμενες ανωμαλίες βαρύτητας Δg, για τις οποίες θα γίνει εκτεταμένη συζήτηση σε επόμενες ενότητες, μπορούν να εκφραστούν αντίστοιχα από τη σχέση: n Δg (GM/R 2 ) { (n-1) [ ΔC nm cos mλ + ΔS nm sin mλ] P nm (cosθ)} n=2 m=0 όπου R είναι η μέση ακτίνα της Γης και Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 11/22 Μέρος 2 Στοιχεία της θεωρίας του γήινου δυναμικού Σελ. 12/22