Σύνδεση με το προηγούμενο μάθημα. Βαρυτικές ελκτικές δυνάμεις. Το βαρυτικό πεδίο. Ένταση του βαρυτικού πεδίου. Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου

Transcript

1 Γεωδαισία IV Μάθημα Εαρινού 6ου Εξαμήνου, Ακαδ. Έτος 0- ΤΕΠΑΚ, Τμ. Πολιτικών Μηχ./Τοπογράφων Μηχ. Και Μηχ. Γεωπληροφορικής Διδάσκων μαθήματος: Δημήτρης Δεληκαράογλου Επισκ. Καθ., Αναπλ. Καθ., ΣΑΤΜ, ΕΜΠ Σύνδεση με το προηγούμενο μάθημα Χαρακτηρισμός του γήινου πεδίου βαρύτητας Ελκτικές δυνάμεις και ένταση της βαρύτητας Το γήινο βαρυτικό δυναμικό Γεωδαισιακές γραμμές Γεωδαισιακά τρίγωνα, τετράπλευρα, Εμβαδά Βασικές έννοιες για τα προβλήματα γεωδαιτικής μεταφοράς συντεταγμένων από σημείο σε σημείο Βαρυτικές ελκτικές δυνάμεις Νόμος της παγκόσμιας έλξης: F = G m m / Οι ελκτικές δυνάμεις μεταξύ υλικών σωμάτων είναι ανάλογες του γινομένου των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της μεταξύ των κέντρων μάζας τους απόστασης. Εκφράζονται σε Newton ( N = kg m/s ) Βαρύτητα ονομάζεται η ιδιότητα των υλικών σωμάτων να έλκουν άλλα υλικά σώματα Τα ελκυόμενα σώματα κινούνται με επιταχυνόμενη κίνηση προς το έλκον σώμα. Οι έλξεις είναι αμοιβαίες. Είναι ένα μοντέλο που χρησιμοποιείται στη φυσική για να εξηγήσει πώς λειτουργεί η βαρύτητα στο σύμπαν. Στην αρχική της σύλληψη, κατά τον Νεύτωνα, η βαρύτηταήτανμια δύναμη μεταξύ σημειακών μαζών Μετά τον Νεύτωνα, ο Laplace προσπάθησε να μοντελοποιήσει την βαρύτητα ως ένα είδος δυναμικού πεδίου ή ρευστού Από τον 9ο αιώνα οι ερμηνείες για την βαρύτητα αναζητούνται στο πλαίσιο της θεωρίας των πεδίων, παρά στην επίδραση μιας σημειακής έλξης Το βαρυτικό πεδίο Ένταση του βαρυτικού πεδίου Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου ˆ = Μοναδιαίο διάνυσμα Tο φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m(=m ), το υπόθεμα, που βρίσκεται σε απόσταση από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ (=m ) του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά πάντα προς το κέντρο μάζας της πηγής του πεδίου. έχει μονάδες επιτάχυνσης (δύναμη ανά μονάδα μάζας m/s²), και εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση από τη θέση αυτού gal = cm/s² mgal = 0-5 m/s μgal = 0-8 m/s Είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μία αυθαίρετη θέση αναφοράς 0 σε μία απόσταση από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Στην περίπτωση μιας σημειακής πηγής (μάζας)

2 Το δυναμικό (έλξης) του βαρυτικού πεδίου Με την εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς, το δυναμικό μίας σημειακής πηγής απλοποιείται σημαντικά Το βαρυτικό δυναμικό είναι παντού αρνητικό. Το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί ένα αντικείμενο συγκεκριμένων διαστάσεων προκύπτει από την κατάτμηση της κατανομής μάζας σε μικρές, στοιχειώδης μάζες τις οποίες θεωρούμε σημειακές και αθροίζοντας (= ολοκληρώνοντας) όλες τις επιμέρους στοιχειώδεις συνεισφορές δυναμικού. Ηεξίσωση του Poisson η επίλυσή της εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Η χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού έχει να κάνει με το γεγονός ότι είναι βαθμωτή ποσότητα. Οι διανυσματικές ποσότητες όπως είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι πιο πολύπλοκες, καθώς οι πράξεις μεταξύ διανυσματικών ποσοτήτων απαιτεί προσεκτική μεταχείριση των συνιστωσών τους. Στο χώρο έξω από τις μάζες της Γης (δηλ. πάνω από τη γήινη επιφάνεια) όπου ρ=0, από την εξίσωση του Poisson προκύπτει η διαφορική εξίσωση του Laplace V = ΔV = 0. θ = x = cosλ sinθ y = sinλ sinθ z = cosθ = x + y + z x + y actan = accos z y x λ = actan = accos x x + y y = acsin x + y z x + y + z Σφαιρικές συντεταγμένες Η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες V = ΔV V + V sin V θ + = 0 sinθ θ θ sin θ λ Σε περίπτωση σωμάτων με σφαιρική συμμετρία είναι απλούστερο να αναζητηθεί η λύση της σε σφαιρικές συντεταγμένες (αντί π.χ. σε καρτεσιανές) Ως αρχική προσέγγιση υποτίθεται ότι η Γη είναι σφαιρική με ακτινικά συμμετρική κατανομή της πυκνότητας της Οι λύσεις της εξίσωσης Laplace είναι γνωστές ως αρμονικές συναρτήσεις. Έχουν συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγους Το ελκτικό δυναμικό της Γης αποτελεί μια τέτοια συνάρτηση στο χώρο έξω από τη γήινη επιφάνεια Η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες V = ΔV V + V sin V θ + = 0 sinθ θ θ sin θ λ Η εξίσωση Laplace για το δυναμικό V είναι της μορφής μιας κλασσικής μερικής διαφορικής εξίσωσης Πολυπλοκότερη επίλυση είναι μέσω των λεγόμενων συναρτήσεων του Geen. Συνήθως επιζητείται η λύση μέσω αριθμοσειρών Fouie (αρμονικοί συντελεστές) Οι λύσεις αναζητούνται με τη μέθοδο του διαχωρισμού των μεταβλητών: V(,θ,λ) = f() g(θ) h(λ) Επίλυση τριών διαφορικών εξισώσεων και από το γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους λύσεων τους μορφοποίηση σε μια γενική λύση V = ΔV Επίλυση της εξίσωσης Laplace V + V sin V θ + = 0 sinθ θ θ sin θ λ Αρχικά θεωρούμε ότι V(,θ,λ) = f() Υ(θ,λ) και η εξίσωση Laplace μετασχηματίζεται στη μορφή Το αριστερό σκέλος είναι μόνο συνάρτηση του Το δεξιό εξαρτάται μόνο από τα θ και λ Συνεπώς το κάθε σκέλος πρέπει να είναι σταθερό, καταλήγοντας σε δύο εξισώσεις

3 V = ΔV Επίλυση της εξίσωσης Laplace V + V sin V θ + = 0 sinθ θ θ sin θ λ Ηλύσηγιατησυνάρτησηf Radial base functions δύο τύποι λύσεων της εξίσωσης Eule f() = n ή f() = (n+) ανάλογα με το εάν το σημείο ενδιαφέροντος είναι στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό της γήινης επιφάνειας, ή στον εξωτερικό χώρο αντίστοιχα O βαθμός n είναιακέραιοςαριθμός, n = 0,,,... και ονομάζεται τάξη (degee) της λύσης Συνεπώς έχουμε δύο λύσεις για το ελκτικό δυναμικό V Άγνωστη ακόμα συνάρτηση Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g V(,θ,λ) = f() g(θ) h(λ) = f() Υ(θ,λ) Ησυνάρτηση h(λ) είναι της μορφής h(λ) = e imλ h(λ) = sin(mλ) ή h(λ) = cos(mλ) όπου m = 0,,, 3, είναι η λεγόμενη τάξη (ode) Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g V(,θ,λ) = f() g(θ) h(λ) = f() Υ(θ,λ) Ηανεύρεση των Υ n (θ,λ) γίνεται με τον διαχωρισμό g(θ) h(λ) και αντικατάσταση στην εξίσωση Ησυνάρτηση g(θ) είναι πιο πολύπλοκη Υ n (θ,λ) αποκαλούνται επιφανειακές αρμονικές συναρτήσεις Ογραμμικός συνδυασμός τους είναι επίσης λύση της εξίσωσης Laplace Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g Η η δ.ε. που εξαρτάται από το θ αποκαλείται χαρακτηριστική δ.ε. των συναρτήσεων Legende, δεδομένου ότι παράγει λύσεις της μορφής g(θ) = P nm (cosθ) και g(θ) = Q nm (cosθ) g(θ) = P nm (cosθ) και g(θ) = Q nm (cosθ) ου είδους Συναρτήσεις Legende ου είδους Οι συναρτήσεις Legende ου είδους έχουν φυσική σημασία OισυναρτήσειςLegende ου είδους δεν είναι αποδεκτές λύσεις (παίρνουν απειροστή τιμή στους πόλους της γήινης σφαίρας) Ηλύση της αποτελείται από πολυώνυμα Legende και προσαρτημένες συναρτήσεις Legende Οφείλουν το όνομα τους στο γάλλο μαθηματικό Andien Maie Legende Ησυνάρτησηg(θ) Τα πολυώνυμα Legende είναι ορθογώνιες συναρτήσεις, που μπορούν να εκφράσουν μια συνάρτηση ως το άθροισμα επιμέρους συναρτήσεων. f ( x) = a P ( x) + a P ( x) + K. a P ( x) n n

4 Πολυώνυμα και Συναρτήσεις Legende Πολυώνυμα Legende Οφείλουν το όνομα τους στο γάλλο μαθηματικό Andien Maie Legende Είναι οι κανονικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του Legende Συχνά αποκαλούνται και συναρτήσεις Legende είδους, συντελεστές Legende ή αρμονικές ζώνης Adien Maie Legende Η εξίσωση του Legende συναντάται σε πολλά προβλήματα της φυσικής, όπως στη επίλυση της εξίσωσης Laplace και άλλες συναφείς μερικές διαφορικές εξισώσεις, όταν αυτές εκφράζονται σε σφαιρικές συντεταγμένες Ορισμός: Τα πολυώνυμα Legende, P n (t), n=0,,, υπολογίζονται από τη σχέση του Rodigues t=cosθ=sinφ=x π.χ. Πολυώνυμα Legende P n Τρόποι υπολογισμού Προσαρτημένες Συναρτήσεις Legende P nm Πολυώνυμα Legende, n=,4,6,8,0 Πολυώνυμα Legende, n=,3,5,7,9

5 Πολυώνυμα Legende n=0,, 0 Πολυώνυμα Legende ερμηνεία τους Ζώνες αρνητικών τιμών P 6 (cosθ) Ζώνες θετικών τιμών Παράδειγμα Πολυώνυμο Legende P 6 (cosθ) κατά μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου και γύρω από τη σφαίρα Πολυώνυμα Legende Τι χρειάζονται? Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Παραδείγματα: Πολυώνυμα Legende Τι χρειάζονται? Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Παραδείγματα: (a) P n (όπου n=ζυγός βαθμός) ικανοποιούν τις συνθήκες Τιμές ίσες με x = 0. Συγκεκριμένες x = (b) Απλοποιείται ο υπολογισμός των παραγώγων Πολυώνυμα Legende Τι χρειάζονται? Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Παραδείγματα: Πολυώνυμα Legende Τι χρειάζονται? Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφ Παραδείγματα: (c) Συνθήκη ορθογωνικότητας (c) Συνθήκη ορθογωνικότητας 0 Konecke delta Leopold Konecke Σημείωση: Το ολοκλήρωμα είναι σαν να υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων: (A,B) (A,B) = AA + BB = 0 εάν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους Οι συνιστώσες των P n είναι οι τιμές τους σε κάθε x

6 t=cosθ=x Συνάγεται εύκολα ότι P n (t) είναι πολυώνυμο βαθμού n. Εάν το n είναι ζυγός αριθμός, το P n (t) περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις της μεταβλητής t και εάν το n είναι μονός αριθμός, το P n (t) περιέχει μόνο μονές δυνάμεις του t. Ο συντελεστής του t n στο P n (t) είναι (n)! = n ( n!) π.χ. στο P 5 (t) είναι (63/8) t 5 Εάν το n είναι ζυγός αριθμός, το P n (x) περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις της μεταβλητής x και εάν το n είναι μονός αριθμός, το P n (x) μόνο μονές δυνάμεις του x=t=cosθ. Οσυντελεστής του x n στο P n (x) (n)! = n ( n!) Εάν το n είναι ζυγός αριθμός, το P n (x) περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις της μεταβλητής x και εάν το n είναι μονός αριθμός, το P n (x) μόνο μονές δυνάμεις του x=t=cosθ. ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Οσυντελεστής του x n- στο P n (x) (n )! = n ( n )!( n )! ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ ( ) j (n j)! n j Pn ( t) = t n n j! ( n j)! ( n j)! 0 j j ( ) (n j)! P n j n ( t) = t n n j! ( n j)! ( n j)! 0 j Εάν n = ζυγός αριθμός Εάν n = μονός αριθμός Παράδειγμα Ορισμός: Οι γενικευμένες (ή αλλιώς συναφείς ή προσαρτημένες) συναρτήσεις Legende, P nm (t), n=0,,, N max, m=0,,,,n υπολογίζονται από τη σχέση του Rodigues n-βαθμός m-τάξη ανάπτυγμα σε σειρά Taylo ως προς α= / (u=cosψ) ήεπειδή 3

7 Παραδείγματα, για x=t=cosθ Παραδείγματα Αναδρομικές σχέσεις Αναδρομικές σχέσεις Αναδρομικές σχέσεις Συναρτήσεις εκκίνησης για n=m και n=m+ (ή n-=m), δηλ, P nn, P n,n- π.χ. ξεκινώντας από τα P 33 =?? P 3 =?? Υπολογίζονται όλες οι υπόλοιπες συναρτήσεις βαθμού n και μικρότερης τάξης m < n- Αναδρομικές σχέσεις Συναρτήσεις εκκίνησης για n,m=n και n+,m=n, δηλ. P nn, P n+,n π.χ. ξεκινώντας από τα P 33 =?? (P 44 =??) P 43 =?? Υπολογίζονται όλες οι υπόλοιπες συναρτήσεις βαθμού n i >n+ και ίδιας τάξης m Υπολογίζεται το P 3 =?? Υπολογίζονται τα P 53, P 63, P 73. 4

8 Κανονικοποίηση Κανονικοποίηση μέσω αναδρομικών σχέσεων Πολυώνυμα ή Συναρτήσεις Legende cos mλ { sin mλ } x = συναρτήσεις * Τύπου C * Τύπου S συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ Οι ε.σ.αρμονικές μηδενικής τάξης ταυτίζονται με τα πολυώνυμα Legende Είναι ανεξάρτητες του λ Αλλάζουν n φορές πρόσημο Διαιρούν τη σφαίρα σε ζώνες (αρμονικές ζωνών) * Επειδή περιέχουν αντίστοιχα όρους cosmλ και sinmλ συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ n=?, m=? συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ n=3, m=0 n=, m=0 5

9 συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ n=4, m=0 συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ n=5, m=0 συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ n=6, m=0 συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ Οι ε.σ.αρμονικές μηδενικής τάξης ταυτίζονται με τα πολυώνυμα Legende Είναι ανεξάρτητες του λ Αλλάζουν n φορές πρόσημο Διαιρούν τη σφαίρα σε ζώνες (αρμονικές ζωνών) συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ Οι ε.σ.αρμονικές για m=n διαιρούν τη σφαίρα σε τομείς με θετικές και αρνητικές τιμές (τομεοειδείς αρμονικές) συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ n=?, m=? n=4, m=4 6

10 συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ n=5, m=5 συναρτήσεις ΤΡΑΠΕΖΟΕΙΔΟΥΣ ή ΤΕΣΣΕΡΟΕΙΔΕΙΣ συναρτησεις Οι ε.σ.αρμονικές για m n και m 0 αλλάζουν n-m φορές πρόσημο στο διάστημα 0 θ π οι συναρτήσεις cosmλ και sinmλ έχουν m ρίζες στο διάστημα 0 λ π διαιρούν τη σφαίρα σε τραπέζια με θετικές και αρνητικές τιμές (τραπεζοειδείς ή τεσσεροειδείς αρμονικές) Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙΔΕΙΣ αρμονικές συναρτήσεις n=?, m=? Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙΔΕΙΣ αρμονικές συναρτήσεις n=6, m= n=6, m= Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙΔΕΙΣ αρμονικές συναρτήσεις n=6, m=3 7

11 Επιφανειακές αρμονικές Μετά τον υπολογισμό των συναρτήσεων h(λ) και g(θ), το δυναμικό έλξης στην επιφάνεια της Γης μπορεί πλέον να εκφρασθεί από τις λεγόμενες επιφανειακές αρμονικές του Laplace m = 0 Y nm (θ,λ) = P nm (cosθ) e imλ n = V(,θ,λ) = f() g(θ) h(λ)= f() Υ(θ,λ) όπου Y(θ,λ) = Y nm (θ,λ) = P nm (cosθ) e imλ m = Δηλ. γραμμικοί συνδυασμοί των προσαρτημένων συναρτήσεων Legende P nm (cosθ) με τριγωνομετρικούς αριθμούς cos(mλ) και sin(mλ) P nm (cosθ) sin(mλ) P nm (cosθ) cos(mλ) P nm (cosθ) sin(mλ) n = P nm (cosθ) cos(mλ) Y nm (θ,λ) = P nm (cosθ) e imλ m = 0 n = 3 m = 0 m = m = m = P nm (cosθ) sin(mλ) P nm (cosθ) cos(mλ) Y nm (θ,λ) = P nm (cosθ) e imλ P nm (cosθ) sin(mλ) n = 4 P nm (cosθ) cos(mλ) n = 3 m = 0 m = 0 m = m = 3 P nm (cosθ) sin(mλ) P nm (cosθ) cos(mλ) m =

12 Y nm (θ,λ) = P nm (cosθ) e imλ P nm (cosθ) sin(mλ) n = 5 P nm (cosθ) cos(mλ) n = 4 m = 0 m = 03 m = m = 4 m = P nm (cosθ) sin(mλ) P nm (cosθ) cos(mλ) P nm (cosθ) sin(mλ) n = 5 P nm (cosθ) cos(mλ) m = 3 P nm (cosθ) sin(mλ), Pnm(cosθ) cos(mλ) m = 4 m = 5 Ζώνης Τεσσεροειδείς Τομέα P n (m=0) P nm (m 0) P nm (m=n) Στερεές n P nm (cosθ) sin(mλ), n P nm (cosθ) cos(mλ) Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές m=0 m= m= m=3 P nm, n=5 m=0,,, 5 m=4 m=5 Ζώνης Τεσσεροειδείς Τομέα P n (m=0) P nm (m 0) P nm (m=n) P 50 P 53 P 55

13 λ P nm, n=5, m=0,,, 5 P nm, n=0, m=0 P nm, n=0, m=9 P nm, n=0, m=0 P nm, n=50, m=0

14 Ανάπτυγμα σε Σφαιρικές Αρμονικές Το τελικό ανάπτυγμα του δυναμικού έλξης σε σφαιρικές αρμονικές είναι της μορφής n V(,θ,λ) = R() [A nm Υ C nm (θ,λ) + B nm ΥS nm (θ,λ)] n=0 m=0 n = R() [A nm cosmλ + B nm sinmλ] P nm (cosθ) n=0 m=0 Άγνωστοι συντελεστές (εξαρτώνται από την πυκνότητα των γήινων μαζών) Συντελεστές του Stokes Οι συντελεστές Α nm και Β nm για το γήινο δυναμικό έλξης υπολογίζονται με ποικίλους τρόπους. Ένας βασικός τρόπος είναι δια μέσου του αναπτύγματος της συνάρτησης / σε σφαιρικές αρμονικές: Gρ V = dv = ' n P n (cosψ) n=0 n+ Ανάπτυγμα της / P n (cosψ) μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα πολυωνύμων και προσαρτημένων συναρτήσεων Legende ως προς θ',λ' και θ,λ Ανάπτυγμα σε Σφαιρικές Αρμονικές Συνήθως χρησιμοποιείται το ανάπτυγμα στην μορφή: V= GM n=0 a n n [C nm cos mλ + S nm sin mλ] P nm (cosθ) m=0 ή = ' n P n (cosψ) n=0 n+ Gρ V = dv dm ' ψ P GM V= + a n= n n [C nm cos mλ + S nm sin mλ] P nm (cosθ) m=0 GM = G(M E +M atm ) C nm = Α nm a Εn /GM και S nm =B nm a Εn /GM C nm και S nm είναι οι λεγόμενοι συντελεστές του Stokes και a E είναι ο μεγάλος ημιάξονας του χωροσταθμικού ελλειψοειδούς αναφοράς GM = G(M E +M atm ) Ανάπτυγμα σε Σφαιρικές Αρμονικές Επίσης χρησιμοποιείται το ανάπτυγμα στην μορφή: GM a n n V= - [J n= nm cos mλ + K nm sin mλ] P nm (cosθ) m=0 C nm = Α nm a Εn /GM και S nm =B nm a Εn /GM J n0 = J n = - C n0 = - C n, J nm = - C nm, K nm = - S nm Υπολογίζονται από δορυφορικές παρατηρήσεις και μετρήσεις βαρύτητας στην γήινη επιφάνεια Συντελεστές του Stokes Ηφυσικήσημασίατους Οι συντελεστές του Stokes είναι αποτέλεσμα τριπλής ολοκλήρωσης για όλο τον όγκο της Γης C 0 = C εκφράζει την επιπλάτυνση της Γης C,S εκφράζουν την ασυμμετρία της γήινης μάζας στον ισημερινό σε σχέση με τον άξονα περιστροφής

15 Polynomials: Degees -5; Ode 0 C εκφράζει το αχλαδοειδές 0.6 P 30 (t) της Γης 0.4 A 30 Legende Function o TextEnd P b, P3 g, P4, P5 m Παράδειγμα: η σημασίατουc 30 0 o Cos(theta) cos θ 39 o 0.5 A o C 33 Συντελεστές του Stokes Ησχέσητουςμεταγήινα μοντέλα Αν το δυναμικό της βαρύτητας αναπτυχθεί σε σφαιρικές αρμονικές, τότε το εκάστοτε γήινο μοντέλο υλοποιείται υιοθετώντας ένα σύστημα αναφοράς για το οποίο συγκεκριμένοι συντελεστές του Stokes λαμβάνουν συγκεκριμένες τιμές. Κανονικοποιημένοι αρμονικοί συντελεστές Συντελεστές του Stokes Ηφυσικήσημασίατους C 00 = αν η μάζα του γήινου μοντέλου είναι ίση με την πραγματική μάζα της Γης C 0, C, S = 0 αν το κέντρο του γήινου μοντέλου συμπίπτει με το κέντρο μάζας της Γης C,S = 0 αν ο άξονας Ζ συμπίπτει ( 3 ) κατά μήκος του κύριου άξονα αδράνειας Στη πράξη, το μέγεθος της τιμής των συντελεστών C nm, S nm είναι πολύ μικρό για μεγάλες τιμές των δεικτών n και m Πρόβλημα στους υπολογισμούς Χρησιμοποιούνται οι κανονικοποιημένοι συντελεστές C nm = Π nm C nm S nm = Π nm S nm όπου Π nm = [(n+m)!] / [k (n+) (n-m)! ], αν m=0 k=, αν m 0 k= Κανονικοποιημένa πολυώνυμα και συναρτήσεις Legende ΌΤΑΝ Χρησιμοποιούνται οι κανονικοποιημένοι συντελεστές είναι απαραίτητο να ομαλοποιούνται επίσης τα αντίστοιχα πολυώνυμα και οι συναρτήσεις του Legende έτσι ώστε: P nm C nm = P nm C nm _ P nm = P nm / Π nm P nm S nm = Π nm S nm Παγκόσμια μοντέλα του γήινου δυναμικού Αρμονικοί συντελεστές C nm (μοντέλο JGM-) σε μονάδες 0-6 n=0,,,, 9 και m =0,,,, 9 όπου Π nm = [(n+m)!] / [k (n+) (n-m)! ], αν m=0 k=, αν m 0 k=

16 Παγκόσμια γήινα μοντέλα Παγκόσμια γήινα μοντέλα Αρμονικοί συντελεστές S nm (μοντέλο JGM-) σε μονάδες 0-6 n=0,,,, 9 και m =0,,,, 9 Το σημαντικό πλεονέκτημα από την ανάπτυξη του δυναμικού έλξης σε σφαιρικές αρμονικές είναι ότι αν οι συντελεστές C nm και S nm είναι γνωστοί, κάθε ποσότητα που χαρακτηρίζει το γήινο πεδίο βαρύτητας, π.χ. Τ, Ν, Δg, δg, ξ, η μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση των σφαιρικών αρμονικών Υψόμετρα του γεωειδούς Ν Γεωειδές (EGM96, n,m=360) EGM96 (n,m=360) Για Για παράδειγμα: δc nm =C nm -C nmn, S nm =S nm -S N nm Ανωμαλίες Βαρύτητας g Ανωμαλίες βαρύτητας (EGM96, n,m=360) δc nm =C nm -C nmn, δs nm =S nm -S N nm