Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος ) «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας»

Transcript

1 Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Μάθημα 7ου Εξαμήνου (Ακαδ. Έτος «Εισαγωγή στο Γήινο Πεδίο Βαρύτητας» ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Ημερομηνία Παράδοσης : 6/11/018 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σκοπός: Η παρούσα εργασία αποσκοπεί στην εξοικείωση σας με τις ιδιότητες, τα χαρακτηριστικά και τη χρήση καμπυλόγραμμων συντεταγμένων και των μεταξύ τους μετασχηματισμών, καθώς και στη χρήση τους για τον υπολογισμό της δράσης διαφόρων τελεστών σε βαθμωτές ή διανυσματικές συναρτήσεις. Για τους σκοπούς της άσκησης θα χρειαστείτε τα τρία τελευταία ψηφία abc του Αριθμού Μητρώου σας, π.χ. αν έχετε ΑΜ , θα έχετε abc=309. Ωστόσο, εάν κάποιο από αυτά είναι μηδέν, αντικαταστήστε το με κάποιο από τα ψηφία, 4, 8. Στην προηγούμενη περίπτωση χρησιμοποιήστε π.χ. abc = 39 ή 349 ή 389. Αναφέρετε την επιλογή σας στην Τεχνική Έκθεση που θα υποβάλετε. Πριν ξεκινήσετε τους υπολογισμούς σας, συνιστάται να δημιουργήσετε τρεις συγκεντρωτικούς πίνακες (όπως τα ενδεικτικά παραδείγματα στο τέλος της άσκησης όπου να έχετε συμπληρώσει στα αντίστοιχα κελιά τις εκάστοτε κατάλληλες αναλυτικές εκφράσεις, όπου: Στον Πίνακα 1, να περιέχονται οι εκφράσεις αμφίδρομής μετατροπής μεταξύ τους (ανά δύο των καρτεσιανών, σφαιρικών και κυλινδρικών συντεταγμένων, δηλ. o Καρτεσιανές x, y, z Σφαιρικές, θ, λ o Καρτεσιανές x, y, z Κυλινδρικές ρ, λ, z o Σφαιρικές, θ, λ Κυλινδρικές ρ, λ, z Στον Πίνακα, να περιέχονται οι εκφράσεις αμφίδρομής μετατροπής μεταξύ τους (ανά δύο των μοναδιαίων διανυσμάτων στα συστήματα καρτεσιανών, σφαιρικών και κυλινδρικών συντεταγμένων, δηλ, o Μοναδιαία διανύσματα για καρτεσιανές, i,j,k Μοναδιαία o o διανύσματα για σφαιρικές, e, e θ, e λ Μοναδιαία διανύσματα για καρτεσιανές, i,j,k Μοναδιαία διανύσματα για κυλινδρικές e ρ, e λ, e z Μοναδιαία διανύσματα σφαιρικές e, e θ, e λ Μοναδιαία διανύσματα για κυλινδρικές e ρ, e λ, e z o Στον Πίνακα 3, να περιέχονται οι εκφράσεις υπολογισμού μιας στοιχειώδους μετατόπισης d, ενός στοιχειώδους μήκους dl, εμβαδού da ή όγκου dv στα συστήματα καρτεσιανών, σφαιρικών και κυλινδρικών συντεταγμένων, δηλ. o d(x, y, z, d(, θ, λ, d(ρ, λ, z o dl(x, y, z, dl(, θ, λ, dl(ρ, λ, z o da(x, y, z, da(, θ, λ, da(ρ, λ, z o dv(x, y, z, dv(, θ, λ, dv(ρ, λ, z Ο κάθε πίνακας να είναι καθαρογραμμένος (ή ακόμα καλύτερα σε κειμενογράφο σε μια ολόκληρη σελίδα Α4. Επιτρέπεται να συντάξετε ή/και να αντιγράψετε απευθείας τις κατάλληλες σχέσεις από πηγές στην βιβλιογραφία ή το διαδίκτυο, με την προϋπόθεση ότι θα αναφέρετε πλήρως τις πηγές σας και θα έχετε βεβαιωθεί ότι οι εκάστοτε χρησιμοποιούμενοι συμβολισμοί των αντίστοιχων συντεταγμένων για όλες τις εκφράσεις θα είναι συμβατές μεταξύ τους

2 ΜΕΡΟΣ Α 1 a Ανατρέξτε στην σχέση που συνδέει τις κυλινδρικές με τις καρτεσιανές και αντίστοιχα τα μοναδιαία διανύσματα βάσης των κυλινδρικών συντεταγμένων ως προς τα διανύσματα βάσης των καρτεσιανών συντεταγμένων. Στην συνέχεια θεωρείστε τις εκφράσεις των συνιστωσών ενός διανύσματος στις κυλινδρικές σε συνάρτηση των συντεταγμένων του στις καρτεσιανές. Οι τελευταίες εκφράσεις μπορούν να θεωρηθούν ως ένα σύστημα εξισώσεων μετασχηματισμού της μορφής [ ιάνυσμα Κυλινδρικών Συντεταγμένων] = [Πίνακας Μετασχηματισμού] [ ιάνυσμα Καρτεσιανών Συντεταγμένων] Βάσει του εν λόγω πίνακα μετασχηματισμού βρείτε ποια διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου μένουν αμετάβλητα ως προς τον μετασχηματισμό αυτό. b Βρείτε για δύο σημεία του χώρου την απόσταση τους εκφρασμένη σε καρτεσιανές και κυλινδρικές. Σε ποιες περιπτώσεις για τις κυλινδρικές η απόσταση δίδεται σαν άθροισμα τετραγώνων και σαν διαφορά πολικών ακτίνων; a Ανατρέξτε στην σχέση που συνδέει τις σφαιρικές με τις καρτεσιανές και θεωρείστε τα μοναδιαία διανύσματα βάσης των σφαιρικών συντεταγμένων e, e θ, e λ. Φτιάξτε τον πίνακα του μετασχηματισμού που συνδέει τις σφαιρικές ενός διανύσματος με αυτές που έχει στις καρτεσιανές και ελέγξτε εάν για τα μοναδιαία διανύσματα βάσης e, e θ, e λ των σφαιρικών συντεταγμένων ισχύουν οι ιδιότητες ê êθ = êλ, êθ êλ = ê, êλ ê = êθ b Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του χώρου εκφρασμένη σε σφαιρικές. Σε ποιες περιπτώσεις η απόσταση των δύο σημείων δίδεται σαν διαφορά των πολικών ακτίνων τους; 3 a Θεωρείστε το σημείο P = (, 6, 3 και το διάνυσμα (y, x + z, 0. Βρείτε την έκφραση του διανύσματος στις κυλινδρικές και σφαιρικές στο σημείο P. Χρησιμοποιήστε τα ψηφία abc από τον αριθμό μητρώου σας. b ίδονται τα σημεία Α = (a, b, c, Β = (0, 4ab, 3ac και C = (3b, 4(a+c, 10(bac. Βρείτε τις τους στις κυλινδρικές και σφαιρικές. Στην συνέχεια εκφράστε την παρακάτω διανυσματική συνάρτηση a x + y byz F ( x,y,z = î ĵ + ckˆ x + y + z x + y + z σε κυλινδρικές και σφαιρικές. c Βρείτε την έκφραση της διανυσματικής συνάρτησης F(, θ, λ = 10 ê + cosθ êθ + ê σε καρτεσιανές και σφαιρικές. λ 4 a Θεωρείστε την εξίσωση = 4 cosθ σε σφαιρικές (, θ, λ και δείξτε ότι εκφράζει μια σφαίρα με κέντρο στο σημείο (0, 0, και ακτίνα. Ακολούθως θεωρείστε την εξίσωση ρ = 4 cosλ σε κυλινδρικές (ρ, λ, z και δείξτε ότι εκφράζει έναν κατακόρυφο κύλινδρο του οποίου ο άξονας είναι η ευθεία γραμμή L: x =, y=0, z=4. b Βρείτε την εξίσωση του ελλειψοειδούς 4x + 4y +z = 1 σε κυλινδρικές. Ακολούθως βρείτε την εξίσωση της επιφάνειας 3x χ + 3y + 3z = 0 σε σφαιρικές.

3 Σχήμα 1a Σχήμα 1b 5 Ζητείται, χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων (καρτεσιανές ή καμπυλόγραμμες σφαιρικές ή κυλινδρικές στο οποίο να έχετε καθορίσει με προσοχή τα απαραίτητα όρια ολοκλήρωσης, να υπολογιστεί a Ο όγκος V της περιοχής του χώρου R, του σχήματος πυραμίδας όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 1a που καθορίζεται από το επίπεδο x+y+3z = 9 και το σημείο x=y=z=0. b Ο όγκος του τμήματος x +y =(az του κώνου που εικονίζεται στο σχήμα 1b και καθορίζεται από τα επίπεδα z=1 και z=6. ΜΕΡΟΣ Β 1 Υπολογίστε την δράση των τελεστών div και cul (ή ot στις ακόλουθες διανυσματικές συναρτήσεις: F( x,y = ( xy F( x,y,z = ( 3x,xy y,x F( x,y,z = ( xy,x F( x,y,z = ( z,z,y , 9z + z,y F( x, y,z F( x, y,z F( x, y,z F( x, y,z = ( z cos xz + y,x,x cos xz = ( yz,xz,xy 3 = ( xy + 13, x y y = ( x sin y, y sin x, 0 a Μετατρέψτε σε σφαιρικές την εξίσωση του παραβολοειδούς z x y = 1. Επιπλέον μετατρέψτε σε κυλινδρικές τις ακόλουθες εξισώσεις f : x x x + y + y + y z = x = 5 z y = z = 1 b Αφού προηγουμένως δώσετε την αναλυτική έκφραση του τελεστή gad σε σφαιρικές και σε κυλινδρικές, υπολογίστε, αντίστοιχα, το gadf σε κυλινδρικές και σε σφαιρικές για καθεμία από τις προαναφερόμενες συναρτήσεις στο ερώτημα (a. 3 Επαληθεύστε τις παρακάτω ταυτότητες μεταξύ των αναφερόμενων τελεστών, όπου φ και ψ είναι βαθμωτές συναρτήσεις, και F είναι διανυσματική συνάρτηση:

4 φ = φ ( F = 0 φ = 0 ( φ ψ = φ ψ + φ ψ ( ψ F = ψ ( F + ψ F ( φ F = φ divf + gadφ F ( φψ = φ ψ + φ ψ + ψ ψ div( φ F = φ divf + gadφ F ot( φ F = φ otf + gadφ F 4 Στη Φυσική, μια καμπύλη του επιπέδου xy ονομάζεται δυναμική γραμμή (ή γραμμή ροής ενός διανυσματικού πεδίου εάν σε κάθε σημείο της το αντίστοιχο διάνυσμα του διανυσματικού πεδίου είναι εφαπτόμενο. Αν F ( x, y = ( F1 ( x, y, F ( x, y είναι ένα διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο τότε οι δυναμικές γραμμές του προκύπτουν από την λύση του παρακάτω συστήματος dx dy = F 1( x, y και F ( x, y dt dt =. a Βρείτε τις δυναμικές γραμμές των παρακάτω διανυσματικών πεδίων: F ( x, y = ( x, y F ( x, y = ( x,1 F ( x, y = ( x, y b Στην συνέχεια κάντε το γράφημα των δυναμικών γραμμών τους για συγκεκριμένες τιμές των σταθερών ολοκλήρωσης. 5 a Υπολογίστε το divf για το διανυσματικό πεδίο F( x, y = ( x y î + ( xy y ĵ και εξηγήστε εάν το διανυσματικό πεδίο είναι πηγή (souce, καταβόθρα (sink, ή σωληνοειδές. Υπολογίστε το cul F των διανυσματικών πεδίων F = x y î + x y z ĵ + x z kˆ και F = ( x y î + 4 z ĵ + x kˆ και εξηγήστε εάν το καθένα από αυτά είναι αστρόβιλο ή όχι. b Θεωρείστε το παραπάνω γράφημα που δείχνει τη ροή του πεδίου V = c x î που εξαπλώνεται στη διεύθυνση του άξονα x, όπου c είναι σταθερός αριθμός. Εξετάστε αν το πεδίο είναι σωληνοειδές. Ακολούθως θεωρείστε το παραπλεύρως γράφημα που δείχνει τη ροή του πεδίου V = c που εξαπλώνεται ακτινικά, όπου c είναι σταθερός αριθμός. Εξετάστε εάν το διανυσματικό πεδίο είναι πηγή (souce, καταβόθρα (sink, σωληνοειδές (incompessible ή αστροβιλό/συντηρητικό.

5 Εξετάστε το ίδιο για το διανυσματικό πεδίο F( x, y,z x y î + y 3 z ĵ + 3z kˆ =. είξτε ότι ένα πεδίο F = F1 î + F ĵ + F3 που προέρχεται από συνάρτηση δυναμικού (δηλ. από την κλίση ενός βαθμωτού πεδίου f(x,y,z είναι αστρόβιλο. Εξετάστε αν αυτό ισχύει για το διανυσματικό πεδίο ( x cx + y + z kˆ î + ( x cy + y + z ĵ + ( x cz + y + z F ( x,y,z 3 3/ 3/ βαθμωτό πεδίο = / και το f ( x, y,z c + y + z =, όπου c είναι σταθερός αριθμός. 1/ ( x Επίσης δείξτε ότι ο στροβιλισμός ενός διανυσματικού πεδίου F = F1 î + F ĵ + F3 είναι σωληνοειδές πεδίο. Επιβεβαιώστε ότι αυτό ισχύει για το διανυσματικό πεδίο F = x y î + xyz ĵ x y kˆ. kˆ kˆ

6 ΠΙΝΑΚΑΣ 1 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Ονοματεπώνυμο σπουδαστή Καρτεσιανές Κυλινδρικές Σφαιρικές καρτεσιανές x y z =(x,y,z λ=λ(x,y,z z=z(x,y,z = (x,y,z θ= θ(x,y,z φ= φ(x,y,z κυλινδρικές λ z x=x(,λ,z y= y(,λ,z z= z(,λ,z = (,λ,z θ= θ(,λ,z φ= φ(,λ,z σφαιρικές θ φ x=x(,θ,φ y= y(,θ,φ z= z(,θ,φ =(,θ,φ λ=λ(,θ,φ z=z(,θ,φ

7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΟΝΑ ΙΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΤΑΞΥ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Ονοματεπώνυμο σπουδαστή Μοναδιαία διανύσματα καρτεσιανές Μοναδιαία διανύσματα κυλινδρικές Μοναδιαία διανύσματα σφαιρικές Μοναδιαία διανύσματα καρτεσιανές i j k e =e (i,j,k e λ =e λ (i,j,k e z =e z (i,j,k e = e (i,j,k e θ = e θ (i,j,k e φ = e φ (i,j,k Μοναδιαία διανύσματα κυλινδρικές συντεταγμένε e e λ e z i = i(e,e λ,e z j = j(e,e λ,e z k = k(e,e λ,e z e = e (e,e λ,e z e θ = e θ (e,e λ,e z e φ = e φ (e,e λ,e z Μοναδιαία διανύσματα σφαιρικές e e θ e φ i = i(e,e θ,e φ j = j(e,e θ,e φ k = k(e,e θ,e φ e = e (e,e θ,e φ e λ = e λ (e,e θ,e φ e z = e z (e,e θ,e φ

8 ΠΙΝΑΚΑΣ 3 ΣΤΟΙΧΕΙA ΜΕΤΑΞΥ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Ονοματεπώνυμο σπουδαστή Στοιχειώδες ιάνυσμα μετατόπισης d Στοιχειώδες μήκος ds Στοιχειώδες εμβαδόν da * Στοιχειώδης όγκος dv Καρτεσιανές Κυλινδρικές Σφαιρικές ΣΗΜΕΙΩΣΗ * τρεις εκφράσεις σε κάθε περίπτωση, αντίστοιχα για το στοιχειώδες εμβαδόν στο επίπεδο yz,xz,xy για τις καρτεσιανές, αντίστοιχα για το στοιχειώδες εμβαδόν στην καμπύλη επιφάνεια, στο μεσημβρινό επίπεδο, και στο επάνω/κάτω επίπεδο για τις κυλινδρικές αντίστοιχα για το στοιχειώδες εμβαδόν στην καμπύλη επιφάνεια, στο μεσημβρινό επίπεδο, και στο επίπεδοxy για τις σφαιρικές,