Η εξίσωση Laplace. ελκτικό δυναµικό στον άδειο χώρο έξω από τη συνοριακή επιφάνεια τουσώµατος, όπουεκείρ=0, ισχύει η εξίσωση του Laplace

Transcript

1 Τοµέας Τοπογραφίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος Το ελκτικό δυναµικό του γήινου πεδίου βαρύτητας Κάθε πεδίο βαρύτητας (στη Γη ή στους άλλους πλανήτες), η συνάρτηση του δυναµικού V ικανοποιεί την εξίσωση Laplace στον εξωτερικό χώρο του έλκοντος σώµατος από υλικό πυκνότητας ρ. ηλαδή, εάν V=V outside είναι το ελκτικό δυναµικό στον άδειο χώρο έξω από τη συνοριακή επιφάνεια τουσώµατος, όπουεκείρ=0, ισχύει η εξίσωση του Laplace 2 V = 0 ή F = V = 0 Pierre-Simon Laplace ( ) Τελεστής Laplace Στην περίπτωση που το σηµείο ενδιαφέροντος είναι στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό της Γης, τότε ικανοποιείται αντίστοιχα η εξίσωση Poisson που εξαρτάται από την πυκνότητα ρ του υλικού της Γης. ηλαδή, εάν V=V inside είναι το ελκτικό δυναµικό στον εσωτερικό χώρο της επιφάνεια του σώµατος, όπου ρ 0, τότε ισχύει 2 V = F = V = - 4π G ρ Siméon Denis Poisson ( ) Η εξίσωση Laplace Εξ ορισµού οι λύσεις της είτε αυτή εκφράζεται σε καρτεσιανές συντεταγµένες είτε σε σφαιρικές συντεταγµένες Λίγα λόγια για τις αρµονικές συναρτήσεις Με µαθηµατικούς όρους Μια βαθµωτή συνάρτηση u που είναι συνεχής σε κάποιο χώρο (ανοικτό σύνολο) Ω, και έχει συνεχείς παραγώγους 1ης και 2ης τάξης στο χώρο Ω (και συνεπώς µπορούν να αναπτυχθούν σε σειρές ), και είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης του Laplace και ΚΑΛΕΙΤΑΙ αρµονική συνάρτηση Επιπλέον µια αρµονική συνάρτηση V καλείται κανονική στο άπειρο όταν για r, το όριο lim r rv υπάρχει, και τα ακόλουθα όρια είναι πεπερασµένα Το ελκτικό δυναµικό της Γης αποτελεί µια τέτοια αρµονική συνάρτηση στο χώρο έξω από τη γήινη επιφάνεια M (0,0,0) m (x,y,z) r είναι αρµονικές συναρτήσεις π.χ.,., Η λύση για συνάρτηση δυναµικού V M (0,0,0) m (x,y,z) r Επίσης και το ελκτικό δυναµικό γύρω από µια σηµειακή µάζα αποτελεί µια αρµονική συνάρτηση... Ησυνάρτηση 1/r = [ x 2 +y 2 +z 2 ] 1/2 είναι κανονικήστοάπειρο, όπως είναι και οι συναρτήσεις δυναµικού συνεχούς κατανοµής µάζας στο χώρο, και το δυναµικό απλού στρώµατος κελύφους Ιδιότητες των αρµονικών συναρτήσεων Αρχήτηςµέγιστηςτιµής(Maximum principle): ιατηρούν τη µέγιστη και τη ελάχιστη τιµή τους στο σύνορο οποιασδήποτε κλειστής περιοχής Β Ε Αν u είναι µια αρµονική (και µη σταθερή) συνάρτηση σε φραγµένο τόπο E και συνεχής στο σύνορο E, όπου E είναι µια κλειστή τµηµατικά λεία περιοχή, τότε η u παίρνει τις ακρότατες τιµές της (µέγιστες ή ελάχιστες) πάνω στο σύνορο E του πεδίου ορισµού τους, εκτός εάν η ελάχιστη τιµή είναι το 0. Αν ο χώρος E είναι συνδεδεµένος ή συνεκτικός (connected), αυτό σηµαίνει ότι η u δεν µπορεί να έχει µη µηδενικά τοπικά µέγιστα ή ελάχιστα, εκτός από την περίπτωση όπου η u είναι σταθερή.

2 Ιδιότητες των αρµονικών συναρτήσεων Ιδιότητα της µέσης τιµής (The mean value property): για µια συνάρτηση αρµονική u στο εσωτερικό µιας σφαίρας, η τιµή της στο κέντρο της σφαίρας είναι ίση µε τη µέση τιµή όλων των τιµών της u στην επιφάνεια της σφαίρας (που επίσης είναι ίδια µε τη µέση τιµή της u στο εσωτερικό της σφαίρας). Ιδιότητες των αρµονικών συναρτήσεων Regularity theorem: Ικανοποιούν το θεώρηµα της κανονικότητας, δηλαδή είναι παραγωγίσιµες, µε παραγώγους οποιασδήποτε τάξης, και όχι όλες µηδέν σε οποιοδήποτε σηµείο της περιοχής Ε είναι πραγµατικές αναλυτικές συναρτήσεις, δηλ. µπορούν να αναπτυχθούν (τοπικά) σε σειρές Αρχή της υπέρθεσης: ο γραµµικός συνδυασµός οποιωνδήποτε λύσεων της εξίσωσης Laplace είναι επίσης λύση της εξίσωσης Ιδιότητα της αντιστροφής: εάν u(r) είναι αρµονική στο εσωτερικό µιας µοναδιαίας σφαίρας η u(r)/r είναι αρµονική στο εξωτερικό της ίδιας µοναδιαίας σφαίρας Ιδιότητες των αρµονικών συναρτήσεων Αρχή του Dirichlet: οι τιµές τους στη συνοριακή επιφάνεια, προσδιορίζουν µια και µόνο µια αρµονική συνάρτηση στο εσωτερικό της συνοριακής επιφάνειας Αν µια συνάρτηση u είναι λύση της εξίσωσης Poisson u + f = 0 (θυµηθείτεότιγιατοελκτικό δυναµικό της βαρύτητας στο εσωτερικό της Γης ισχύει V=-4πGρ), στο χώρο Ω, µε συγκεκριµένες τιµέςστοσύνορο Ω ησυνάρτηση u µπορείνα υπολογιστεί από τη λεγόµενη σχέση ενέργειας του Dirichlet Αρµονικές συναρτήσεις & το πεδίο βαρύτητας Στο εσωτερικό του σώµατος, το δυναµικό V δεν είναι αρµονική συνάρτηση, γιατί η συνάρτηση 1/r γίνεται αόριστη για r 0, δηλαδή για στοιχειώδη µάζα στο σηµείο υπολογισµού τα λεγόµενα ιδιόµορφα σηµεία (singular points) Επισηµαίνεται ότι δεν υπάρχει συνάρτηση που να είναι αρµονική σε όλες τις περιοχές του χώρου Πάντα υπάρχει τουλάχιστον ένα ιδιόµορφο σηµείο (πέρααπότηντετριµµένηπερίπτωση V 0) ή γενικότερα µια περιοχή τέτοιων σηµείων π.χ., για ένα στερεό σώµα, η επιφάνεια του είναι το σύνορο S που ορίζει το χώρο αρµονικότητας από το χώρο µη-αρµονικότητας Μετρήσεις βαρύτητας Στη φυσική Γεωδαισία, ένα από τα βασικότερα προβλήµατα είναι να προσδιοριστεί το πεδίο βαρύτητας στον εξωτερικό χώρο της γήινης επιφάνειας από µετρήσεις βαρύτητας (και άλλα συναφή µε το πεδίο βαρύτητας µεγέθη) που εκτελούνται είτε στην επιφάνεια της Γης ή σε ορισµένο ύψος από αυτή Μετρήσεις βαρύτητας Συνοριακά προβλήµατα Για να αξιοποιηθούν οι κάθε τύπου µετρήσεις βαρύτητας στον υπολογισµό του γήινου πεδίου βαρύτητας απαιτείται µε κατάλληλες διαδικασίες οι µετρήσεις αυτές να ανάγονται στη φυσική γήινη επιφάνεια και στο γεωειδές Συνοριακά προβλήµατα Στη Μαθηµατικά, τα προβλήµατα που επιδιώκουν να προσδιορίσουν µια συνάρτηση στο χώρο, από τιµές της ίδιας της συνάρτησης ή των παραγώγων της σε µια συνοριακή επιφάνεια, αποκαλούνται Συνοριακά Προβλήµατα Αυτά αποτελούνται από µια διαφορική εξίσωση και τις αρχικές τιµές ή συνοριακές συνθήκες που απαιτούνται για την επίλυση της Γεωδαιτικά συνοριακά προβλήµατα Στη Φυσική Γεωδαισία, τα προβλήµατα που επιδιώκουν να προσδιορίσουν τη συνάρτηση του γήινου δυναµικού σε κάθε σηµείο στο χώρο, από µετρήσεις βαρύτητας στην ή κοντά στην επιφάνεια της Γης, αποκαλούνται Γεωδαιτικά Συνοριακά Προβλήµατα (Geodetic Boundary Value Problems, GBVP) Από τη σκοπιά της Φυσικής Γεωδαισία, το γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα µπορεί να διατυπωθεί απλά ως εξής: Να οριστεί ηφυσική επιφάνεια της Γης S, εάν σε κάθε σηµείο της δίνονται το δυναµικό καιη ένταση της βαρύτητας Γεωδαιτικά συνοριακά προβλήµατα Η πρώτη διατύπωση του γ.σ.π. οφείλεται στο Ρώσο γεωδαίτη Mikhail S. Molodensky ( ), σύµφωνα µε τον οποίο η λύση του προβλήµατος προϋποθέτει ότι το δυναµικό και η ένταση της βαρύτητας είναι γνωστά πάνω στη γήινη επιφάνεια. Όλα τα απαραίτητα δεδοµένα που απαιτεί το πρόβληµα µπορούν να προκύψουν από γεωδαιτικές µετρήσεις (χωροστάθµησης, βαρύτητας, διευθύνσεων της κατακορύφου, )

3 Τα ΓΣΠ ασχολούνται µε τον προσδιορισµό κανονικών αρµονικών συναρτήσεων V (του γήινου δυναµικού) ως λύσεων της εξίσωσης Laplace, όπου επιπλέον η συνάρτηση V θα πρέπει να πληροί ορισµένες αρχικές τιµές ή συνοριακές συνθήκες στη συνοριακή επιφάνεια, οι οποίες απαιτούνται για την επίλυση της εξίσωσης Laplace Σήµερα, το ειδικό ενδιαφέρον στα ΓΣΠ εστιάζεται στην διατύπωση και επίλυση των λεγόµενων γραµµικών δεσµευµένων αλτιµετρικώνβαρυτηµετρικών ΓΣΠ Υπάρχουν τρεις βασικοί τύποι τέτοιων Γ.Σ.Π. για την εύρεση µιας λύσης V για την εξίσωση Laplace V = 0. Επιµέρους παραλλαγές τους οφείλονται στις εκάστοτε διαθέσιµες µετρήσεις. Είναι εξαιρετικά πολύπλοκα προβλήµατα για να ασχοληθούµε µε αυτά σε βάθος σήµερα. Συµβουλευτείτε τις σηµειώσεις για µια γενική ιδέα. 1 o γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα Βασίζονται στις συνοριακές συνθήκες του Dirichlet Επιδιώκεται να λυθεί η εξίσωση Laplace V=0 γνωρίζοντας τις τιµές V(r) στην επιφάνεια της Γης Η λύση είναι µια κανονική αρµονική συνάρτηση V που προσδιορίζεται από την εξίσωση Laplace σε καρτεσιανές ή σφαιρικές συντεταγµένες Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ( ) Οι συνθήκες Dirichlet προδιαγράφουν την τιµή της συνάρτησης V στο σύνορο της γήινης επιφάνειας S Το συγκεκριµένο συνοριακό πρόβληµα οδηγεί στον προσδιορισµό των πλέον χρήσιµων συναρτήσεων στη Φυσική Γεωδαισία, των λεγόµενων σφαιρικών αρµονικών συναρτήσεων του βαρυτικού δυναµικού Η συνοριακή συνθήκη ερµηνεύεται ως η συνάρτηση V να παίρνει τις τιµές της προσεγγίζοντας την επιφάνεια S από µέσα ή από έξω 2 o γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα Βασίζονται στις συνοριακές συνθήκες του Newmann Επιδιώκεται να λυθεί η εξίσωση Laplace V=0 γνωρίζοντας όχι τις τιµές V(r) στην επιφάνεια της Γης, αλλά τις παραγώγους του γήινου δυναµικού κατά µήκος της καθέτου σε κάθε σηµείο της γήινης επιφάνειας Carl Gottfried Neumann ( ) Οι συνθήκες Neumann προδιαγράφουν την τιµή της παραγώγου της V κατά την κάθετη διεύθυνση στο σύνορο της γήινης επιφάνειας Για να υπάρχει λύση της εξίσωσης Laplace, η ροή της κλίσης του V πρέπει είναι µηδέν σε όλη τη γήινη επιφάνεια, δηλαδή πρέπει να ισχύει S S 3 o γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα Βασίζονται στις συνοριακές συνθήκες του Robin Επιδιώκεται να λυθεί η εξίσωση Laplace V=0 γνωρίζοντας όχι µόνο τις τιµές V(r) στην επιφάνεια της Γης, αλλά και τις παραγώγους του γήινου δυναµικού κατά µήκος της καθέτου σε κάθε σηµείο της γήινης επιφάνειας Victor Gustave Robin, ( ) Οι συνθήκες Robin προσδιορίζουν ένα συνδυασµό της συνάρτησης δυναµικού V και της κάθετης παραγώγου της στα σηµεία του συνόρου της (γήινης) επιφάνειας S, δηλ. Η εξίσωση Laplace επιλύεται από γνωστές τιµές της συνοριακής συνθήκης Μεικτό συνοριακό πρόβληµα: για c 1 =0 ή c 2 =0 προκύπτουν το 1 ο ή το 2 ο γεωδαιτικό συνοριακό πρόβληµα S S Όπως διαπιστώνεται από τις προαναφερόµενες ονοµασίες των γ.σ.π., είναι προφανείς οι λόγοι που µια επίλυση της εξίσωσης Laplace που υπόκειται σε συγκεκριµένους περιορισµούς µε τη µορφή αρχικών συνθηκών χαρακτηρίζεται ως πρόβληµα αρχικών τιµών (initial value problems), ενώ όταν πρέπει να ικανοποιούνται συγκεκριµένες συνθήκες στο σύνορο της περιοχής επίλυσης, τότε αποτελεί πρόβληµα συνοριακών τιµών (boundary value problems) Όπου ενδέχεται να απαιτείται ο συνδυασµός και των δύο τύπων συνθηκών, τότε κάνουµε λόγο για µεικτά προβλήµατα αρχικών-συνοριακών τιµών (mixed initial-boundary value problems)

4 Τα γεωδαιτικά συνοριακά προβλήµατα και οι λύσεις τους αποκτούν ιδιαίτερη σηµασία για τη Φυσική Γεωδαισία, αν ταυτίσουµε το στερεό σώµα µε τη Γη και το σύνορο αρµονικότητας µε την επιφάνεια της που διαχωρίζει τις έλκουσες µάζες από τον κενό εξωτερικό χώρο. Σε όλα τα Γ.Σ.Π., ο επιδιωκόµενος σκοπός είναι να προσδιοριστεί το δυναµικό της Γης που είναι αρµονικό στον εξωτερικό χώρο. Απλά σε κάθε πρόβληµα, διαφέρουν τα χρησιµοποιούµενα δεδοµένα Το σηµαντικό (που αποδεικνύεται και µε µαθηµατικό τρόπο) είναι ότι τα Γ.Σ.Π. επιδέχονται µοναδικές λύσεις Τι γίνεται µε τον υπολογισµό της εσωτερικής κατανοµής των µαζών ; Ο προσδιορισµός του δυναµικού δεν αρκεί για να προσδιοριστεί η εσωτερική κατανοµή των µαζών που το προκαλούν. Υπάρχουν άπειρες τέτοιες κατανοµές που δηµιουργούν το ίδιο εσωτερικό δυναµικό Από µια συγκεκριµένη κατανοµή µπορούµε να υπολογίσουµε το δυναµικό. Αλλά αν γνωρίζουµε το δυναµικό χρειάζονται και άλλα στοιχεία (π.χ. γεωλογικές πληροφορίες, σεισµολογικά δεδοµένα, ) για τον προσδιορισµό των µαζών Το αντίστροφο αυτό πρόβληµα αποτελεί αντικείµενο της Γεωφυσικής (π.χ. για την ανεύρεση κοιτασµάτων οικονοµικού ενδιαφέροντος) x Πως υπολογίζουµε το δυναµικό µιας σφαιρικής Γης r = x y z z λ = r θ r sinθ cosλ sinθ sinλ cosθ y Ως αρχική προσέγγιση υποτίθεται ότι η Γη είναι σφαιρική µε οµοιόµορφή ή ακτινικά συµµετρική κατανοµή της πυκνότητας της Η λύση της εξίσωσης Laplace επιζητείται σε σφαιρικές συντεταγµένες Το Γήινο δυναµικό έλξης Οι σφαιρικές συντεταγµένες χρησιµοποιούνται σε όλες τις σφαιρικές προσεγγίσεις του πεδίου βαρύτητας επειδή µε τη χρήση τους απλουστεύονται αλλιώς πολύπλοκες σχέσεις π.χ., στη µεθοδολογία ανάπτυξης του ελκτικού γήινου δυναµικού σε αριθµοσειρές Σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να επιλυθεί η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες V = 2 V = ( 2 V/ r 2 )+( 2 V / θ 2 )+( 2 V/ λ 2 ) = 0 Χρησιµοποιώντας την έκφραση του τελεστή Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες η αντίστοιχη µορφή της εξίσωσης Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες Τελεστής Laplace σε γενικές καµπυλόγραµµες συντεταγµένες Για βαθµωτή συνάρτηση u, ο τελεστής του Laplace (Laplacian operator) είδαµε ότι δίνεται ως Όπου q 1, q 2, q 3 είναι οι καµπυλόγραµµες συντεταγµένες, και h 1, h 2, h 3 είναι οι συντελεστές κλίµακας Τελεστής Laplace σε γενικές καµπυλόγραµµες συντεταγµένες ή σε πιο συνεπτυγµένη µορφή ή ακόµα πιο απλά όπου η άθροιση ως προς τους δείκτες i υπονοείται Ο τελεστής Laplace σε καρτεσιανές συντεταγµένες (x,y,z) Για τη µετατροπή σε σφαιρικές συντεταγµένες (r, r,θ,λ) Ο τελεστής Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες (r, θ, λ)

5 Η λύση της εξίσωσης Laplace για το δυναµικό V Η έκφραση της εξίσωσης Laplace σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι Είναι της µορφής µιας κλασσικής µερικής διαφορικής εξίσωσης. Πολυπλοκότερη επίλυση µπορεί να γίνει µέσω των λεγόµενων συναρτήσεων του Green Συνήθως όµως επιζητείται η λύση µέσω αριθµοσειρών αρµονικών συναρτήσεων Σε σφαιρικές συντεταγµένες, το πρόβληµα επιλύεται µε τη µέθοδο διαχωρισµού των µεταβλητών, ως προς τις συντεταγµένες r = ακτίνα, λ = γεωκεντρικό µήκος and θ = συµπλήρωµα του γεωκεντρικού πλάτους (πολική απόσταση) x Επίλυση τριών δ.ε. και γραµµικό συνδυασµό των επιµέρους λύσεων τους σε µια γενική λύση Εφαρµογή των συνοριακών συνθηκών (απόρριψη ασυµβίβαστων λύσεων) και µορφοποίηση τελικής λύσης z λ θ r y ιαµόρφωση της εξίσωσης Laplace ως το γινόµενο τριών ανεξάρτητων συναρτήσεων Αρχικά θεωρούµε ότι η συνάρτηση V µπορεί να εκφραστεί στη µορφή V ( r, θ, λ) = f ( r) Y( θ, λ) όπου η f είναι (άγνωστη προς το παρόν) συνάρτηση µόνο του διανύσµατος θέσης r, και η (επίσης άγνωστη) συνάρτηση Υ εξαρτάται µόνο από τις συντεταγµένες θ και λ. και η εξίσωση Laplace µετασχηµατίζεται, από την αρχική µορφή στη µορφή όπου οι συµβολισµοί και δηλώνουν τις παραγώγους της συνάρτησης ως προς τη µεταβλητή εξάρτησης τους Παρατηρούµε ότι στους δύο αθροιστικούς όρους Ο πρώτος όρος είναι µόνο συνάρτηση του r Ο 2ος όρος εξαρτάται µόνο από τα θ και λ Συνεπώς το κάθε σκέλος/όρος πρέπει να είναι σταθερό, καταλήγοντας έτσι στις δύο εξισώσεις όπου ο όρος n(n+1) παίζει το ρόλο αυθαίρετης σταθεράς Η λύση για τη συνάρτηση f Η λεγόµενη εξίσωση του Euler επιδέχεται δύο λύσεις Radial base functions f(r)=r n ή f(r)=r (n+1) ανάλογα µε το εάν το σηµείο ενδιαφέροντος είναι επάνω ή στο εσωτερικό της σφαιρικής επιφάνειας, ή στον εξωτερικό χώρο. O βαθµός n είναι ακέραιος αριθµός, n=0,1,2,... Άρα, έχουµε δύο αντίστοιχες λύσεις της εξ. Laplace Άγνωστη ακόµα συνάρτηση Από τις δύο αντίστοιχες λύσεις της εξ. Laplace Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g Ας δούµε ξεχωριστά κάθε σκέλος στην εξίσωση... και επειδή όταν µια διαφορική εξίσωση είναι γραµµική, και έχουµε πολλές λύσεις της ο γραµµικός συνδυασµός των επιµέρους λύσεων θα είναι και λύση της διαφορικής εξίσωσης Συνεπώς οι λύσεις είναι και αυτές λύσεις της εξίσωσης Laplace για το γήινο ελκτικό δυναµικό της βαρύτητας 0 Αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις g και h στην εξίσωση Συνάγεται η ακόλουθη σχέση, όπου το αριστερό σκέλος είναι συνάρτηση µόνο της g(θ), και το δεξιό µόνο της συνάρτηση h(λ)... Άρα το κάθε σκέλος θα πρέπει να είναι σταθερό Από το δεξιό σκέλος προκύπτει... Η συνάρτηση h(λ) είναι της µορφής h(λ) ) = e im λ h(λ) ) = sin(mλ) ή h(λ) ) = cos(mλ) όπου η τάξη m = 0,1,2,3,, n (όπου θα δούµε αµέσως µετά, n είναι ο βαθµός που σχετίζεται µε τη µορφή της συνάρτησης g(θ) Η συνάρτηση g(θ) είναι πιο πολύπλοκη

6 Το αριστερό σκέλος της διαφορικής εξίσωσης που εξαρτάται από το θ αποκαλείται χαρακτηριστική δ.ε. των συναρτήσεων Legendre, δεδοµένου ότι παράγει λύσεις της µορφής g(θ) ) = P nm (cosθ) nm και g(θ) ) = Q nm (cosθ) nm Συναρτήσεις 1ου είδους Legendre 2ου είδους Οι σ. Legendre 1 ου είδους έχουν φυσική σηµασία Oι σ. Legendre 2 ου είδους είναι µη αποδεκτές λύσεις, δεδοµένου ότι παίρνουν απειροστή τιµή στους πόλους Η συνάρτηση g(θ) Η λύση της αποτελείται από πολυώνυµα Legendre και προσαρτηµένες συναρτήσεις Legendre Μια γνώριµη εφαρµογή: τα πολυώνυµα Legendre είναι ορθογώνιες συναρτήσεις, που µπορούν να εκφράσουν µια συνάρτηση f(x) ως το άθροισµα επιµέρους συναρτήσεων. f ( x) = a P ( x) + a P ( x) + Κ. a P ( x) n n Οι συναρτήσεις Υ n (θ,λ) = g(θ) h(λ) Από τις συναρτήσεις Legendre 1 ου είδους οι συναρτήσεις Υ(θ,λ) παίρνουν τη µορφή Ονοµάζονται επιφανειακές σφαιρικές αρµονικές συναρτήσεις, και οποιοσδήποτε γραµµικός συνδυασµός τους είναι επίσης λύσεις των αντιστοίχων επιφανειακών σφαιρικών αρµονικών συναρτήσεων της εξίσωσης Laplace, Η τελική λύση για το δυναµικό V(r,θ,λ) = f(r) Υ n (θ,λ) Για κάθε αρµονική συνάρτηση στο εσωτερικό σφαίρας Για κάθε αρµονική συνάρτηση στο εξωτερικό σφαίρας Αυτή είναι η µορφή που χρησιµοποιείται για το γήινο ελκτικό δυναµικό 0 Σηµασία των επιφανειακών αρµονικών συναρτήσεων Επιφανειακές Επιφανειακές αρµονικές τύπου C αρµονικές τύπου S Είναι συναρτήσεις των συντεταγµένων (θ,λ) του σηµείου υπολογισµού. ιακρίνονται σε τρεις κατηγορίες που αντιστοιχούν στον τρόπο που απεικονίζονται στην επιφάνεια της σφαίρας m = 0 Επιφανειακές αρµονικές ζώνης m = n Επιφανειακές αρµονικές τοµέα m 0 & m n τραπεζοειδείς επιφανειακές αρµονικές συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ Οι επ. σφ. αρµονικές µηδενικής τάξης (m=0) ταυτίζονται µε τα πολυώνυµα Legendre Είναι ανεξάρτητες από το γεωγραφικό µήκος λ Αλλάζουν n φορές πρόσηµο στο πεδίο ορισµού τους (δηλ. έχουν n ρίζες) ιαιρούν τη σφαίρα σε ζώνες (αρµονικές ζωνών / zonal harmonics) συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ n=5, m=0 συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ n=6, m=0

7 συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ Κατά παρόµοιο τρόπο, οι επ. σφ. αρµονικές για m=n διαιρούν τη σφαίρα σε τοµείς µε θετικές και αρνητικές τιµές (τοµεοειδείς αρµονικές) Sectorial harmonics συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ n=?, m=? n=4, m=4 συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙ ΕΙΣ αρµονικές συναρτήσεις n=5, m=5 Οι επ. σφ. αρµονικές για m n και m 0 αλλάζουν n-m φορές πρόσηµο στο διάστηµα 0 θ π Οι συναρτήσεις cosmλ και sinmλ έχουν 2m ρίζες στο διάστηµα 0 λ 2π διαιρούν τη σφαίρα σε τραπέζια µε θετικές και αρνητικές τιµές (τραπεζοειδείς ή τεσσεροειδείς αρµονικές, Tesseral harmonics) n=?, m=? n=6, m=1 Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙ ΕΙΣ αρµονικές συναρτήσεις n=6, m=2 Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙ ΕΙΣ αρµονικές συναρτήσεις n=6, m=3 Μερικές από τις πρώτες σφαιρικές αρµονικές συναρτήσεις ( n=0,1,2,3 )

8 Στη συνέχεια... Μένει να δούµε πως ορίζονται οι αρµονικοί συντελεστές a nm και b nm στο ανάπτυγµα του γήινου δυναµικού σε σφαιρικές αρµονικές από ποιες ιδιότητες της Γης εξαρτώνται, και εάν έχουν φυσική σηµασία Πραγµατικό(ελκτικό + φυγόκεντρο) δυναµικό της βαρύτητας Κανονικό πεδίο βαρύτητας ιαταρακτικό δυναµικό της βαρύτητας