Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΣΥΡΜΑΤΗΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Κουτσονίκου Βασίλειου του Ιωάννη Αριθμός Μητρώου: 5668 Θέμα Διαφορισμός Χώρου σε Συστήματα Επικοινωνιών Επιβλέπων Δημήτριος Αλέξανδρος Τουμπακάρης Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, Μάρτιος 2011

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα Διαφορισμός Χώρου σε Συστήματα Επικοινωνιών του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Κουτσονίκου Βασίλειου του Ιωάννη Αριθμός Μητρώου: 5668 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Δημήτριος Αλέξανδρος Τουμπακάρης, Επίκουρος Καθηγητής Νικόλαος Φακωτάκης Καθηγητής 2

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: Διαφορισμός Χώρου σε Συστήματα Επικοινωνιών Φοιτητής: Βασίλειος Κουτσονίκος Επιβλέπων: Δημήτριος Αλέξανδρος Τουμπακάρης Περίληψη Στην παρούσα εργασία γίνεται μελέτη της χρήσης του διαφορισμού στις ασύρματες επικοινωνίες. Αρχικά, γίνεται η εισαγωγή και ορίζεται το πεδίο μελέτης. Στη συνέχεια, μοντελοποιείται το ασύρματο κανάλι και παρουσιάζονται οι δυσκολίες που προκύπτουν στη μετάδοση. Συγκρίνεται το κανάλι διαλείψεων (fading channel) με το κανάλι λευκού προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου (AWGN). Στη συνέχεια, γίνεται εισαγωγή στην έννοια του διαφορισμού και περιγράφεται ο διαφορισμός στο χώρο με τη χρήση πολλαπλών κεραιών. Ακολουθεί η ανάλυση ενός συστήματος SIMO οπου γίνεται διαφορισμός μόνο στο δέκτη. Ύστερα, εξετάζεται ένα σύστημα MISO οπου γίνεται διαφορισμός μόνο στον πομπό. Εξετάζονται διάφοροι τρόποι μετάδοσης όπως το σχήμα Alamouti. Το επόμενο κεφάλαιο αποτελεί την εισαγωγή στα συστήματα ΜΙΜΟ και περιγράφεται η ορθογωνοποίηση ενός καναλιού ΜΙΜΟ με τη χρήση SVD. Μελετάται η βέλτιστη κατανομή ενέργειας από τον πομπό. Στη συνέχεια, αναλύονται μέθοδοι ισοστάθμισης για την ανάκτηση των δεδομένων που μεταδίδονται. Εξετάζεται ο αποσυσχετιστής (decorrelator) και ο ισοσταθμιστής ελάχιστου μέσου τετραγωνικού σφάλματος (ΜΜSE). Ακολουθεί η εξέταση μη γραμμικών ισοσταθμιστών ανάδρασης απόφασης και γίνεται αναφορά στην αρχιτεκτονική V-BLAST. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στο βέλτιστο δέκτη και γίνεται σύγκριση του δέκτη αυτού με τους ισοσταθμιστές. 3

4 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Στόχος και Δομή της εργασίας Περιεχόμενα καθε Κεφαλαίου Συμβολισμοί Το ασύρματο κανάλι Αιτιοκρατική μοντελοποίηση του Ασύρματου Καναλιού Κενός χώρος με τον πομπό και το δέκτη σε σταθερά σημεία Κενός χώρος με κινητή κεραία Ανακλαστικός τοίχος, σταθερή κεραία Ανακλαστικός τοίχος, κινητή κεραία Εξασθένιση ισχύος, σκίαση και σκέδαση Συμπεράσματα για το μοντέλο του ασύρματου καναλιού Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού Κρουστική απόκριση του καναλιού Μοντέλο βασικής ζώνης Μοντέλο Διακριτού Χρόνου Διαλείψεις Rayleigh και Rice Συστήματα με μία κεραία (SISO - Single Input Single Output) Είδη Διαμόρφωσης Δυαδική Διαμόρφωση Μετατόπισης Φάσης - BPSK Διαμόρφωση Πλάτους Παλμού Ορθογώνια Διαμόρφωση κατα Πλάτος Το κανάλι Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου - Additive White Gaussian Noise Channel (AWGN) Το κανάλι διαλείψεων Rayleigh Συγκριση Μετάδοσης σε Κανάλι AWGN με μετάδοση σε κανάλι Rayleigh επίπεδης διάλειψης

5 4 Συστήματα SIMO και MISO Η έννοια του διαφορισμού Διαφορισμός με χρήση πολλαπλών κεραιών στο Δέκτη SIMO Διαφορισμός με χρήση πολλαπλών κεραιών στον Πομπό MISO Η μέθοδος χωροχρονικής κωδικοποίησης Alamouti Μετάδοση με γνώση του καναλιού στον πομπό To κανάλι MIMO Εισαγωγή στο κανάλι ΜΙΜΟ Το σχήμα Alamouti σε κανάλια ΜΙΜΟ Ορθογωνοποίηση του καναλιού με χρήση SVD Βέλτιστη Κατανομή Ενέργειας στον πομπό Σχεδιασμός δέκτη για μετάδοση σε κανάλια ΜΙΜΟ Γραμμικοί Ισοσταθμιστές Ο αποσυσχετιστής Φίλτρο Ελάχιστου Μέσου Τετραγωνικού Σφάλματος-MMSE Μη γραμμικοί Ισοσταθμιστές Επίλογος Ανασκόπηση και συμπεράσματα Μελλοντικές Κατευθύνσεις

6 1 Εισαγωγή Επικοινωνία είναι η διαδικασία αποστολής ενός μηνύματος από έναν αποστολέα σε ένα δέκτη. Υπάρχουν τρεις κύριες μορφές επικοινωνίας: η λεκτική, η νοηματική και η γραπτή. H τηλεπικοινωνία είναι η επέκταση της ανθρώπινης επικοινωνίας από απόσταση. Με τον όρο αυτό χαρακτηρίζεται η κάθε μορφής ενσύρματη ή ασύρματη, ηλεκτρομαγνητική, ηλεκτρική, ακουστική, οπτική κτλ, επικοινωνία που πραγματοποιείται ανεξαρτήτως της απόστασης. Μία από τις πιο ραγδαία εξελισσόμενες μορφές τηλεπικοινωνίας είναι οι ασύρματες, κάτι που φαίνεται τόσο από τη μεγάλη ανάπτυξη που γνώρισε η κινητή τηλεφωνία τις τελευταίες δεκαετίες, όσο και από τη μεγάλη αύξηση του αριθμού των ασύρματων δικτύων για τη σύνδεση υπολογιστών. Η εξέλιξη αυτή συνοδεύεται, ταυτόχρονα και από απαιτήσεις για διαρκώς μεγαλύτερους ρυθμούς μετάδοσης και αξιοπιστίας, καθώς η χρήση του Διαδικτύου και οι σύγχρονες εφαρμογές απαιτούν αυξημένη ροή πληροφορίας. Για το σκοπό αυτό αναπτύσσονται διαρκώς νέες τεχνικές και τρόποι μετάδοσης. Όμως, οι περιορισμοί στη διαθέσιμη ισχύ και στο διαθέσιμο εύρος ζώνης συχνοτήτων κάνουν το σχεδιασμό ασύρματων συστημάτων ένα σύνθετο πρόβλημα. Μία τεχνική που άρχισε να χρησιμοποιείται σχετικά πρόσφατα για την αύξηση της χωρητικότητας του ασύρματου καναλιού, είναι ο διαφορισμός στο χώρο (space diversity). Με τον όρο αυτό υποδηλώνεται η χρήση πολλαπλών κεραιών από τον πομπό ή/και από το δέκτη δηλαδή, η χρήση ενός συστήματος πολλαπλών κεραιών. Με τη χρήση ενός συστήματος πολλαπλών κεραιών μπορούν να επιτευχθούν σημαντικά κέρδη στη χωρητικότητα, ενώ, ταυτόχρονα, υπάρχει βελτίωση και στην αξιοπιστία της επικοινωνίας, δηλαδή μειώνεται ο ρυθμός σφάλματος στα δεδομένα (Bit Error Rate - BER). Η έννοια του διαφορισμού θα αναλυθεί εκτενέστερα στο Κεφάλαιο 4. Υπάρχουν δύο βασικοί λόγοι για τους οποίους η μετάδοση στις ασύρματες επικοινωνίες είναι δύσκολη και οφείλονται στην ίδια τη φύση του ασύρματου καναλιού. Ο πρώτος είναι το φαινόμενο της διάλειψης (fading), δηλαδή, η διαρκής και τυχαία μεταβολή του καναλιού στο χρόνο που οφείλεται στην πολύδρομη μετάδοση, στην απουσία οπτικής επαφής πομπούδέκτη και στη σκίαση από άλλα αντικείμενα. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι, σε αντίθεση με τις ενσύρματες επικοινωνίες όπου κάθε ζεύγος πομπού-δέκτη μπορεί συχνά να θεωρηθεί ως μία απομονωμένη ζεύξη σημείου προς σημείο, στα ασύρματα συστήματα η επικοινωνία γίνεται

7 1.1 Στόχος και Δομή της εργασίας 4 μέσω του αέρα, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται παρεμβολές (interference). H χρήση πολλαπλών κεραιών αποτελεί μία νέα σχεδιαστική προσέγιση, η οποία δε θεωρεί ότι τα παραπάνω φαινόμενα εμποδίζουν απαραίτητα τη μετάδοση, αλλά, αντίθετα, θεωρεί ότι παρέχουν ευκαιρίες για σημαντική βελτίωση της χωρητικότητας και της αξιοπιστίας. Αναλυτικότερα, μπορεί να γίνει διάκριση στις εξής περιπτώσεις συστημάτων όσον αφορά τον αριθμό κεραιών σε πομπό και δέκτη: 1. Τόσο ο δέκτης όσο και ο πομπός χρησιμοποιούν από μία κεραία (Single Input Single Output SISO). Αυτό είναι το είδος του συστήματος που χρησιμοποιείται κατα κόρον σήμερα και θα αποτελέσει το σημείο αναφοράς για τη σύγκριση των διάφορων τεχνικών. 2. Ο πομπός χρησιμοποιεί μόνο μία κεραία, αλλά ο δέκτης πολλές (Single Input Multiple Output SIMO). 3. Ο πομπός χρησιμοποιεί πολλές κεραίες, αλλά ο δέκτης μόνο μία (Multiple Input Single Output MISO). 4. Τόσο ο πομπός όσο και ο δέκτης χρησιμοποιούν πολλές κεραίες (Multiple Input Multiple Output MIMO). Από τις παραπάνω περιπτώσεις η τελευταία είναι και η πιο ενδιαφέρουσα καθώς, σε πολλές περιπτώσεις, προσφέρει σημαντική αύξηση της χωρητικότητας και της εμβέλειας [9], χωρίς να απαιτεί επιπλέον ισχύ ή εύρος ζώνης. Τα συστήματα ΜΙΜΟ αποτελούν και το βασικό πεδίο μελέτης αυτής της εργασίας. Στο σχήμα 1.1 απεικονίζονται οι περιπτώσεις που αναφέρθηκαν. Συστήματα MIMO χρησιμοποιούνται ήδη στην πράξη στις τεχνολογίες μετάδοσης Wi-Fi και WiMΑΧ που βασίζονται στα πρωτόκολλα n και e, αντίστοιχα [9], ενώ αναμένεται να χρησιμοποιηθούνε και στα δίκτυα 4ης γενιάς της κινητής τηλεφωνίας. [9] 1.1 Στόχος και Δομή της εργασίας Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο τη μελέτη του ασύρματου καναλιού και τη βελτίωση που μπορούν να προσφέρουν οι τεχνικές διαφορισμού στο χώρο. Εκτός από τη θεωρητική μελέτη μέσω της σχετικής βιβλιογραφίας, ο κύριος στόχος της εργασίας είναι η εξομοίωση ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος σε έναν Ηλεκτρονικό Υπολογιστή. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκε το περιβάλλον MATLAB και η διαδικασία της εξομοίωσης περιλαμβάνει τρία στάδια: στο πρώτο στάδιο δημιουργείται μία ψευδοτυχαία ακολουθία από bits, η οποία πρόκειται να σταλεί από τον πομπό στον δέκτη. Στη συνέχεια η ακολουθία αυτή κωδικοποιείται και διαμορφώνεται, ανάλογα με τον τρόπο μετάδοσης που έχει επιλεγεί. Στο δεύτερο στάδιο, γίνεται η μετάδοση και το σήμα διέρχεται μέσα από το κανάλι, όπου παραμορφώνεται και προστίθεται θόρυβος.

8 1.1 Στόχος και Δομή της εργασίας 5 α) β) γ) δ) Σχήμα 1.1: Πιθανές διατάξεις των κεραιών Τέλος, ο δέκτης λαμβάνει το σήμα, το οποίο αποδιαμορφώνει και αποκωδικοποιεί ώστε να ανακτήσει μία ακολουθία από bits, η οποία θα πρέπει είναι όμοια με αυτήν που έστειλε ο πομπός, εάν δεν έχουν εμφανιστεί λάθη στο δέκτη. Οι δύο ακολουθίες συγκρίνονται, για να διαπιστωθούν τυχόν σφάλματα. Στην πράξη πάντα υπάρχουν σφάλματα στη μετάδοση, αυτό που όμως έχει ενδιαφέρον για τη σχεδίαση ενός συστήματος επικοινωνίας είναι η συχνότητα με την οποία εμφανίζονται ή αλλιώς ο ρυθμός εμφάνισης σφαλμάτων (Bit Error Rate). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται με τη μορφή γραφημάτων, οπου φαίνεται η πιθανότητα να προκύψει σφάλμα στη μετάδοση ενός bit ή ενός συμβόλου σε σχέση με το λόγο σήματος προς θόρυβο (SNR). Φυσικά, όσο μεγαλύτερος είναι ο λόγος σήματος προς θόρυβο, τόσο καλύτερα αναμένονται τα αποτελέσματα, όμως αυτό αυτό έχει ένα κόστος, καθώς ο πομπός θα πρέπει να εκπέμψει το σήμα με μεγαλύτερη ισχύ. Επομένως, αυτό που έχει σημασία δεν είναι απλά να μειωθεί η πιθανότητα ενός σφάλματος στη μετάδοση, αλλά αυτό να γίνει με όσο το δυνατόν μικρότερο κόστος σε ισχύ, ενώ ταυτόχρονα γίνεται προσπάθεια για αύξηση του ρυθμού μετάδοσης. Δηλαδή, οι διάφορες τεχνικές συγκρίνονται ως προς την αποδοτικότητά τους. Για την εξαγωγή αξιόπιστων αποτελεσμάτων χρησιμοποιήθηκε ένας μεγάλος αριθμός δεδομένων, (περίπου δείγματα) με συνέπεια τα αποτελέσματα που αναμένονται θεωρητικά να συμπίπτουν με αυτά που προκύπτουν πρακτικά, κάτι που επιβεβαιώνει την ορθότητα του μοντέλου εξομοίωσης. Στη συνέχεια της εργασίας, τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται είναι σχεδόν αποκλειστικά αυτά που προέκυψαν από τις εξομοίωσεις αφού στα

9 1.2 Περιεχόμενα καθε Κεφαλαίου 6 γραφήματα οι θεωρητικές και οι πρακτικές καμπύλες ουσιαστικά ταυτίζονται. 1.2 Περιεχόμενα καθε Κεφαλαίου Κεφάλαιο 1 : Εισαγωγή Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία εισαγωγή και αναλύεται το αντικείμενο που θα μελετηθεί σε αυτή την εργασία. Κεφάλαιο 2 : Το ασύρματο κανάλι Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μία προσπάθεια μοντελοποίησης του ασύρματου καναλιού, αρχικά με αιτιοκρατικό τρόπο και έπειτα με στοχαστικό. Σε αυτό το κεφάλαιο αναλύονται τα φαινόμενα, τα οποία εμφανίζονται στο ασύρματο κανάλι, όπως πολύδρομη διάδοση, φαινόμενο Doppler κτλ. Κεφάλαιο 3 : Συστήματα με μία κεραία (Single Input Single Output -SISO) Στο κεφάλαιο αυτό, μελετάται η επικοινωνία αρχικά στο κανάλι AWGN και έπειτα στο κανάλι SISO. Συγκρίνονται τα αποτελέσματα και αναλύονται οι λόγοι για τους οποίους η ασύρματη επικοινωνία είναι πιο αναξιόπιστη από την ενσύρματη. Κεφάλαιο 4 : Διαφορισμός μόνο στο Δέκτη ή στον Πομπο (SIMO-MISO) Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται χρήση διαφορισμού αρχικά μόνο στο δέκτη και ύστερα μόνο στον πομπό. Στην τελευταία περίπτωση αναλύονται διάφορες τεχνικές που μπορεί να χρησιμοποιηθούν για μείωση του ρυθμού σφαλμάτων. Κεφάλαιο 5 : Kανάλι MIMO-Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο, γίνεται μία εισαγωγή στο κανάλι ΜΙΜΟ επίπεδων διαλείψεων και μελετάται η μέθοδος SVD η οποία πετυχαίνει βέλτιστα αποτελέσματα. Κεφάλαιο 6 : Kανάλι MIMO-Ισοστάθμιση Στο έκτο κεφάλαιο μελετάται η αρχιτεκτονική του δέκτη και οι τεχνικές ισοστάθμισης που χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση των δεδομένων που στέλνει ο πομπός. Κεφάλαιο 7 : Επίλογος Κλείνουμε την εργασία με μία συνοπτική παρουσίαση των όσων μελετήθηκαν και παρουσιάζοντας θέματα για μελλοντική μελέτη.

10 1.3 Συμβολισμοί Συμβολισμοί Παρακάτω αναφέρονται συνοπτικά οι μαθηματικοί συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται στην εργασία: Συμβολισμός Επεξήγηση x Βαθμωτή ποσότητα x Διάνυσμα A T Ανάστροφος του πίνακα Α A Συζυγής Ανάστροφος (Ερμιτιανός) του Πίνακα Α A Ψευδοαντίστροφος του Πίνακα Α E[ ] Στατιστικός Μέσος όρος μίας ποσότητας

11 2 Το ασύρματο κανάλι Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση που αφορά τα οφέλη της χρήσης πολλαπλών κεραιών στη βελτίωση της επικοινωνίας, είναι απαραίτητο να γίνει μία ανάλυση του ίδιου του ασύρματου καναλιού, ώστε να γίνουν κατανοητές οι ιδιαιτερότητές του και οι δυσκολίες που δημιουργεί στη μετάδοση. Γενικά, σε αντίθεση με τα ενσύρματα κανάλια, τα οποία κατά κανόνα είναι σταθερά κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος (ή οι όποιες μεταβολές είναι μικρές), το ασύρματο κανάλι μεταβάλλεται τόσο στο χρόνο όσο και στη συχνότητα με τυχαίο τρόπο. 2.1 Αιτιοκρατική μοντελοποίηση του Ασύρματου Καναλιού Τα ασύρματα κανάλια λειτουργούν μέσω της μετάδοσης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από τον πομπό στο δέκτη. Θεωρητικά, θα μπορούσε να γίνει ανάλυση με τη χρήση των εξισώσεων του Maxwell. Όμως, κάτι τέτοιο είναι ανέφικτο να γίνει στην πράξη, καθώς θα έπρεπε να ληφθούν υπόψη όλα τα φυσικά εμπόδια ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη και φυσικά οι υπόλοιπες ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολές. Επίσης, αν αλλάξουν τα φυσικά χαρακτηριστικά του καναλιού (αν, για παράδειγμα, ο δέκτης είναι ένα κινητό τηλέφωνο και μετακινηθεί) θα πρέπει να γίνει εκ νέου υπολογισμός. Για γίνει, λοιπόν, η μοντελοποίηση θα πρέπει να γνωρίζουμε τα φυσικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα στο κανάλι και ποιες προσεγγίσεις είναι λογικές και μας οδηγούν σε σωστά αποτελέσματα. Παρακάτω παραθέτουμε κάποια απλουστευμένα και ιδεατά παραδείγματα καναλιών και αναφερόμαστε στα χαρακτηριστικά τους Κενός χώρος με τον πομπό και το δέκτη σε σταθερά σημεία Αρχικά θεωρούμε μία κεραία σε ένα σταθερό σημείο που ακτινοβολεί στο χώρο. Σε κάποια απόσταση από την κεραία το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση μετάδοσης της κεραίας. Αφού τα δύο αυτά μεγέθη είναι ανάλογα, χρειαζόμαστε μόνο τη γνώση του ενός. Αν η κεραία εκπέμπει ένα ημιτονοειδές σήμα

12 2.1 Αιτιοκρατική μοντελοποίηση του Ασύρματου Καναλιού 9 cos 2πft, το ηλεκτρικό πεδίο τη χρονική στιγμή t δίνεται από την Εξίσωση [1]: E(f, t, (r, θ, ψ)) = a s(θ, ψ, f) cos 2πft(t r/c). (2.1) r Στην παραπάνω εξίσωση οι (r, θ, ψ) είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου u στο χώρο όπου γίνεται η μέτρηση: r είναι η απόσταση από την κεραία μετάδοσης και (θ, ψ) είναι η οριζόντια και κατακόρυφη γωνία από την κεραία στο u, αντίστοιχα. Η σταθερά c είναι η ταχύτητα του φωτός και a s (θ, ψ, f) είναι η μορφή του πεδίου της κεραίας στη συχνότητα f κατά τη διεύθυνση (θ, ψ). Ακόμα ο όρος a s (θ, ψ, f) περιέχει και έναν παράγοντα ώστε να ληφθούν υπόψη οι απώλειες της κεραίας. Παρατηρούμε ότι η φάση του πεδίου εξαρτάται από τον όρο fr/c, που αντιστοιχεί στην καθυστέρηση του κύματος που ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός. Επίσης, είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι, καθώς η απόσταση r αυξάνεται το ηλεκτρικό πεδίο μειώνεται με ρυθμό r 1 και επομένως η ισχύς ανά τετραγωνικό μέτρο μειώνεται με ρυθμό r 2. Όπως θα φανεί στις ενότητες και 2.1.4, αυτή η μείωση της ισχύος, με ρυθμό r 2, δεν ισχύει όταν υπάρχουν εμπόδια στη μετάδοση. Στη συγκεκριμένη εργασία, δε μας ενδιαφέρει να βρούμε την ακριβή μορφή του όρου a s για κάθε κεραία, αλλά να αναγνωρίσουμε το γεγονός ότι οι κεραίες έχουν συγκεκριμένες μορφές ακτινοβολίας και ότι το πεδίο στον κενό χώρο συμπεριφέρεται με τον τρόπο που προαναφέρθηκε και περιγράφεται από την Εξίσωση (2.1). Στη συνέχεια υποθέτουμε οτι στο σημείο u βρίσκεται μία κεραία. Αν η κεραία μεταδίδει το ίδιο ημιτονοειδές σήμα cos 2πf t, τότε το λαμβανόμενο σήμα στη δεύτερη κεραία έχει, προσεγγιστικά, τη μορφή: a(θ, ψ, f) cos 2πft(t r/c) E r (f, t, u) =. (2.2) r Αυτό εκ πρώτης όψεως φαίνεται παράξενο αφού η δεύτερη κεραία αλλοιώνει το ηλεκτρικό πεδίο στη γειτονιά του u, αλλά αυτό λαμβάνεται υπόψη στη μορφή του πεδίου της δεύτερης κεραίας. Για δεδομένο u μπορούμε να ορίσουμε την απόκριση του συστήματος: H(f) := Επομένως μπορούμε να γράψουμε E r (f, t, u) = R [ H(f)e j2πft] Κενός χώρος με κινητή κεραία a(θ, ψ, f)e j2πfr/c. (2.3) r Στη συνέχεια θεωρούμε τον κενό χώρο και τη σταθερή κεραία εκπομπής όπως στην προηγούμενη ενότητα, αλλά αυτή τη φορά η κεραία λήψης μετακινείται με ταχύτητα v προς την κατεύθυνση όπου αυξάνεται η απόσταση από την κεραία εκπομπής. Δηλαδή, υποθέτουμε οτι η θέση της μετακινούμενης κεραίας είναι u(t) = (r(t), θ, ψ) με r(t) = r 0 + vt. Χρησιμοποιώντας την Εξίσωση (2.2) για να περιγράψουμε το ηλεκτρικό πεδίο στο κινούμενο σημείο u(t) (χωρίς να θεωρούμε οτι υπάρχει κεραία λήψης, προς το παρόν), έχουμε E(f, t, (r 0 + vt, θ, ψ)) = a s(θ, ψ, f) cos 2πf(t r 0 /c vt/c). (2.4) r 0 + vt

13 2.1 Αιτιοκρατική μοντελοποίηση του Ασύρματου Καναλιού 10 Σημειώνεται οτι μπορούμε να γράψουμε την f(t r 0 /c vt/c) ως f(1 v/c)t fr 0 /c. Δηλαδή, το ημιτονοειδές σήμα συχνότητας f έχει μετατραπεί σε ενα ημιτονοειδές σήμα συχνότητας f(1 v/c), άρα έχει υποστεί μία μετατόπιση Doppler κατά fv/c λόγω της κίνησης του σημείου αναφοράς. Διαισθητικά, κάθε διαδοχική κορυφή του ημιτονοειδούς που μεταδίδεται πρέπει να διανύσει λίγο μεγαλύτερη απόσταση προκειμένου να παρατηρηθεί στο κινούμενο σημείο αναφοράς. Αν, τώρα, τοποθετηθεί μία κεραία στο u(t) και η αλλοίωση του πεδίου λόγω της κεραίας συμπεριληφθεί στον όρο που εκφράζει τη μορφή του πεδίου της κεραίας, το λαμβανόμενο σήμα σε αντιστοιχία με την Εξίσωση 2.3 είναι: E r (f, t, (r 0 + vt, θ, ψ)) = a(θ, ψ, f) cos 2πf[(1 v/c)t r 0/c]. (2.5) r 0 + vt Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε επίσης, οτι το μέγεθος της μετατόπισης Doppler εξαρτάται από τη συχνότητα f. Ακόμα η παραπάνω ανάλυση δεν εξαρτάται από το εάν κινείται ο πομπός ή ο δέκτης (ή και οι δύο), αρκεί η r(t) να είναι η απόσταση ανάμεσα στις δύο κεραίες (και οι σχετικοί προσανατολισμοί των κεραιών είναι σταθεροί).τότε, οι Εξισώσεις (2.4) και (2.5) ικανοποιούνται Ανακλαστικός τοίχος, σταθερή κεραία Στο Σχήμα 2.1 απεικονείζεται μία σταθερή κεραία, η οποία μεταδίδει ένα ημιτονοειδές cos 2πft, μία κεραία λήψης και υπάρχει επίσης ένας μεγάλος τοίχος στον οποίο γίνεται ανάκλαση του σήματος. Η υπόθεση σε αυτήν την περίπτωση είναι οτι, η λαμβανόμενη κυματομορφή μπορεί να προσεγγιστεί από το άθροισμα του κύματος που λαμβάνεται κατευθείαν από τον πομπό, συν το ανακλώμενο κύμα. Κεραία Μετάδοσης d Τοίχος r Σχήμα 2.1: Απεικόνιση ενός άμεσου και ενός έμμεσου δρόμου μετάδοσης Αν υποθέσουμε οτι ο τοίχος είναι πολύ μεγάλος και οτι το κύμα ανακλάται πλήρως, τότε το ανακλώμενο κύμα είναι το ίδιο (αλλά με διαφορετικό πρόσημο) με το κύμα που θα συνέχιζε να μεταδίδεται στον κενό χώρο αν ο τοίχος δεν υπήρχε. Αυτό σημαίνει οτι η ένταση της κυματομορφής ισούται με αυτή ενός κύματος που διαδίδεται στο κενό σε απόσταση ίση από την κεραία έως τον τοίχο και ξανά πίσω στην κεραία λήψης δηλαδή 2d r. Χρησιμοποιώντας

14 2.1 Αιτιοκρατική μοντελοποίηση του Ασύρματου Καναλιού 11 την εξίσωση (2.3) τόσο για το άμεσο, όσο και για το ανακλώμενο κύμα και υποθέτοντας ένα κέρδος κεραίας α και για τα δύο κύματα E r (f, t) = α cos 2πf(t r/c) r α cos 2πf(t (2d r)/c). (2.6) 2d r Το λαμβανόμενο κύμα είναι η υπέρθεση των δύο κυμάτων συχνότητας f. Η διαφορά φάσης είναι ( ) ( ) 2πf(2d r) 2πfr θ = + π = 4πf (d r) + π (2.7) c c c Όταν η διαφορά φάσης είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π, τότε τα δύο κύματα προστίθενται ενισχυτικά και τα λαμβανόμενο σήμα είναι ισχυρό. Αντίθετα, όταν η διαφορά φάσης είναι περιττό πολλαπλάσιο του π, τα δύο κύματα προστίθενται καταστροφικά και το λαμβανόμενο σήμα είναι αδύναμο. H παραπάνω ανάλυση θυμίζει την περίπτωση του στάσιμου κύματος, με τη διαφορά όμως ότι το πλάτος του κύματος δεν είναι σταθερό σε όλα τα σημεία του χώρου αλλά εξασθενεί όσο περισσότερο διαδίδεται το κύμα. Η απόσταση από μία κοιλία σε ένα δεσμό ονομάζεται απόσταση συνοχής (coherence distance) χ c := λ 4, (2.8) όπου λ := c/f είναι το μήκος κύματος του μεταδιδόμενου ημιτονοειδούς. Σε αποστάσεις πολύ μικρότερες από χ c το λαμβανόμενο σήμα δεν αλλάζει αισθητά. Το είδος της συμβολής των κυμάτων (ενισχυτική ή καταστροφική) εξαρτάται και από τη συχνότητα f: για σταθερή απόσταση r, αν η συχνότητα αλλάξει κατά μετακινούμαστε από έναν δεσμό σε μία κοιλία. Η ποσότητα ( 1 2d r r ) 1, (2.9) 2 c c T d := 2d r c r c (2.10) καλείται εξάπλωση καθυστέρησης (delay spread) του καναλιού: είναι η διαφορά στην καθυστέρηση διάδοσης των δύο κυμάτων λόγω των διαφορετικών διαδρομών που ακολουθούν.το είδος της συμβολής δεν αλλάζει αισθητά αν η διαφορά στη συχνότητα είναι πολύ μικρότερη της ποσότητας. W c = 1/T d (2.11) Αυτή η παράμετρος λέγεται εύρος ζώνης συνοχής (coherence bandwidth) Ανακλαστικός τοίχος, κινητή κεραία Yποθέτουμε τώρα, οτι η κεραία κινείται με ταχύτητα v, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.2. Κατά τη διάρκεια της κίνησης, η συμβολή των κυμάτων εναλλάσσεται από ενισχυτική σε

15 2.1 Αιτιοκρατική μοντελοποίηση του Ασύρματου Καναλιού 12 Κεραία Μετάδοσης d Τοίχος r(t) Σχήμα 2.2: Απεικόνιση ενός άμεσου και ενός έμμεσου δρόμου μετάδοσης u καταστροφική και αντίστοιχα, η ισχύς του λαμβανομένου σήματος αυξάνεται και μειώνεται. Αυτό αποτελεί μία περίπτωση του φαινομένου της πολύδρομης διάλειψης (multipath fading). Ο χρόνος για να περάσουμε από ένα δεσμό σε μία κοιλία είναι c/(4fv) και ονομάζεται χρόνος συνοχής του καναλιού. Υποθέτοντας οτι η κεραία είναι στη θέση r 0 τη στιγμή t = 0, έχουμε r = r 0 + vt E r (f, t) = α cos2πfp[(1 v/c)t r 0/c] r 0 + vt αcos2πf[(1 + v/c)t + (r 0 2d)/c] 2d r 0 vt (2.12) Ο πρώτος όρος είναι ένα ημιτονοειδές συχνότητας f(1 v/c), με μετατόπιση Doppler D 1 := fv/c και ο δεύτερος ένα ημιτονοειδές συχνότητας f(1+v/c) με μετατόπιση Doppler D 2 := +fv/c. H παράμετρος D s := D 2 D 1 (2.13) καλείται εξάπλωση Doppler (Dopple spread). Υποθέτοντας οτι η κεραία λήψης είναι πολύ κοντά στον τοίχο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση r = r 0 + vt και να ξαναγράψουμε την Εξίσωση (2.12) στη μορφή E r (f, t) 2α sin 2πf[vt/c + (r 0 d)/c] sin 2πf[t d/c] r 0 + vt (2.14) Από την παραπάνω Εξίσωση παρατηρούμε οτι όταν δύο δρόμοι μετάδοσης διαφέρουν κατα λ/4, η αντίστοιχη διαφορά φάσης είναι π/2. Αυτό προκαλεί σημαντκή αλλαγή στο συνολικό πλάτος του λαμβανόμενου σήματος. Ακόμη, το μήκος κύματος του φορέα (της τάξης των μερικών εκατοστών του μέτρου), είναι πολύ μικρότερο από το μήκος διαδρομής. Επομένως, οι αλλαγές στη φάση συμβαίνουν πολύ πιο γρήγορα απ οτι οι αλλαγές που προκαλούνται από τον παρονομαστή της (2.14). Η επίδραση της φάσης στην τιμή του πεδίου είναι της τάξης των milliseconds, ενώ η αντίστοιχη επίδραση του παρονομαστή είναι της τάξης των δευτερολέπτων ή και λεπτών. Στην περίπτωση που ενδιαφερόμαστε για διαμόρφωση και ανίχνευση του σήματος τότε οι σχετικοί χρόνοι είναι της τάξης των milliseconds ή και μικρότεροι. Επομένως, ο παρονομαστής μπορεί να θεωρηθεί σταθερός για αυτό το διάστημα.

16 2.2 Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού Εξασθένιση ισχύος, σκίαση και σκέδαση Από την παραπάνω ανάλυση μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα οτι σε ένα περιβάλλον με πολλά εμπόδια η εξασθένιση της ισχύος του σήματος μπορεί να είναι μεγαλύτερη από r 2. Στην πράξη όταν υπάρχουν πολλά εμπόδια, τότε ένα μέρος της ισχύος απορροφάται και το υπόλοιπο διασκορπίζεται. Πειραματικές μελέτες έχουν δείξει οτι ενώ η εξασθένιση ισχύος κοντά στον πομπό είναι όντως r 2, σε μεγαλύτερες αποστάσεις η ισχύς μπορεί να εξασθενεί ακόμα και εκθετικά με την απόσταση. Η πυκνότητα των εμποδίων ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη εξαρτάται από το περιβάλλον. Για παράδειγμα, τα εξωτερικά περιβάλλοντα έχουν αρκετά λιγότερα εμπόδια από τα εσωτερικά. Η τυχαιότητα αυτή στα περιβάλλοντα λαμβάνεται υπόψη μοντελοποιώντας την πυκνότητα των εμποδίων και την απορρόφηση ισχύος ως τυχαίες μεταβλητές. Το φαινόμενο αυτό καλείται σκίαση (shadowing). Η διαφορά αυτού του φαινομένου από την πολύδρομη διάλειψη είναι οτι η χρονική κλίμακα της σκίασης είναι πολλά δευτερόλεπτα ή ακόμα και λεπτά, δηλαδή συμβαίνει σε πολύ πιο αργή κλίμακα σε σχέση με τη διάλειψη. Ένα άλλο φαινόμενο ανάκλασης είναι η σκέδαση (scattering), η οποία μπορεί να συμβεί στην ατμόσφαιρα ή σε ανακλάσεις όταν υπάρχουν πολύ τραχειά αντικέιμενα. Εδώ υπάρχει ένας πολύ μεγάλος αριθμός δρόμων μετάδοσης και η λαμβανόμενη κυματομορφή μοντελοποιείται ως το ολοκλήρωμα όλων των δρόμων με απειροστά μικρές διαφορές αντί για το άθροισμα Συμπεράσματα για το μοντέλο του ασύρματου καναλιού Στην πράξη τα ασύρματα περιβάλλοντα είναι πολύ διαφορετικά από τις απλές περιπτώσεις που μελετήθηκαν στις προηγούμενες ενότητες και τα φαινόμενα πιο πολύπλοκα. Όπως φάνηκε, η μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού με ντετερμινιστικές μεθόδους μπορεί να γίνει μόνο σε ιδεατές περιπτώσεις (αλλά ακόμη και εκεί γίνονται αρκετές προσεγγίσεις). Επομένως, θα πρέπει να αναζητηθεί ένα στοχαστικό μοντέλο που θα λαμβάνει υπόψη τα παραπάνω φαινόμενα για να περιγράψει ικανοποιητικά το ασύρματο κανάλι. 2.2 Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού Κρουστική απόκριση του καναλιού Στην προηγούμενη ενότητα, προσπαθήσαμε να υπολογίσουμε την απόκριση του καναλιού για είσοδο ένα ημιτονοειδές ϕ(t) = cos 2πf t. Το λαμβανόμενο σήμα, τότε, είναι το άθροισμα των επιμέρους σημάτων που φτάνουν στον πομπό και δίνεται από τη γενική εξίσωση y(t) = α i (f, t)ϕ(t τ i (f, t) (2.15) i οπου α i (f, t) είναι η συνολική εξασθένιση του i-οστού μονοπατιού και τ i (f, t) είναι η καθυστέρηση διάδοσης τη χρονική στιγμή t στο i-οστό μονοπάτι. Ο όρος α i περιλαμβάνει όλους τους παράγοντες εξασθένισης όπως την απόσταση των κεραιών, την απορρόφηση ενέργειας από τα φυσικά εμπόδια και τη μορφή της κεραίας. Στη γενική περίπτωση και οι δύο όροι

17 2.2 Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού 14 εξαρτώνται από τη συχνότητα. Στην πράξη, όμως, η εξασθένιση και η καθυστέρηση αλλάζουν αργά σε σχέση με τη συχνότητα και επειδή η μετάδοση γίνεται σε στενές ζώνες συχνότητας μπορούμε να θεωρήσουμε οτι τα α i και τ i είναι ανεξάρτητα της συχνότητας. Ακόμα, αν αντικαταστήσουμε το ϕ(t) με κάποιο αυθαίρετο σύμβολο x(t), καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση εισόδου-εξόδου για το κανάλι. y(t) = i α i (t)x(t τ i (t)). (2.16) Όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο συντελεστής α είναι η συνολική εξασθένιση και έχει μία συγκεκριμένη αριθμητική τιμή σε κάθε χρονική στιγμή. Συνεπώς το σύστημα το οποίο περιγράφεται από την Εξίσωση (2.16) είναι γραμμικό και η απόκρισή του η χρονική στιγμή t μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση y(t) = h(τ, t)x(t τ)dτ, (2.17) όπου h(τ, t) είναι η απόκριση σε έναν παλμό (συνάρτηση δέλτα) που μεταδόθηκε τη χρονική στιγμή t = τ Από τις δύο παραπάνω Εξισώσεις (2.16) και (2.17) μπορούμε να βρούμε την κρουστική απόκριση του καναλιού: h(τ, t) = i α i (t)δ(τ τ i (t)). (2.18) Η παραπάνω έκφραση δείχνει οτι η επίδραση όλων των χρηστών και όλων των φυσικών παραμέτρων (που μπορούν να κινούνται αυθαίρετα και να απορροφούν ή να ανακλούν ενέργεια) μπορεί να περιοριστεί σε μία σχέση εισόδου-εξόδου των κεραιών αποστολής και λήψης. Η σχέση αυτή, μπορεί να αναπαρασταθεί ως η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου φίλτρου. Στην ειδική περίπτωση που ο πομπός, ο δέκτης και όλοι οι άλλοι παράγοντες είναι σταθεροί, οι συντελεστές εξασθένισης α i (t) και οι καθυστερήσεις μετάδοσης τ i (t) δεν εξαρτώνται από το χρόνο t και το ασύρματο κανάλι μετατρέπεται στο σύνηθες γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) = i α i δ(τ τ i ). (2.19) Για το χρονικώς μεταβαλλόμενο σύστημα μπορούμε να ορίσουμε μία χρονικώς μεταβαλλόμενη απόκριση συχνότητας H(f; t) := h(τ, t)e j2πft dτ = i α i (t)e j2πfτ i(t). (2.20) Η H(f; t) μπορεί να ερμηνευτεί ως μία συνάρτηση που μεταβάλλεται αργά σε σχέση με το χρόνο και σε κάθε συγκεκριμένη χρονική στιγμή t k η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι H(f; t k ). Αντίστοιχα, η h(τ, t) είναι η κρουστική απόκριση τη χρονική στιγμή t. Η παραπάνω ερμηνεία είναι επιτρεπτή, καθώς ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει το κανάλι στην πράξη, είναι αρκετά μεγαλύτερος από την εξάπλωση καθυστέρησης της κρουστικής απόκρισης για τη δεδομένη στιγμή.

18 2.2 Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού Μοντέλο βασικής ζώνης Γενικά, στις ασύρματες εφαρμογές η επικοινωνία γίνεται σε μία ζώνη συχνοτήτων με εύρος W γύρω από μία κεντρική συχνότητα f c, δηλαδή σε ένα διάστημα συχνοτήτων [f c W /2, f c + W /2]. Όμως το μεγαλύτερο μέρος της επεξεργασίας του σήματος όπως η κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση, η διαμόρφωση/αποδιαμόρφωση, ο συγχρονισμός κλπ., γίνεται στη βασική ζώνη συχνοτήτων. Επομένως από την οπτική του σχεδιασμού συστημάτων επικοινωνίας, είναι χρήσιμο να υπάρχει μία αναπαράσταση βασικής ζώνης του συστήματος. Ξεκινώντας από τα σήματα που μεταδίδονται, αν s(t) είναι ένα πραγματικό σήμα και S(f) ο αντίστοιχος μετασχηματισμός Fourier και το σήμα είναι περιορισμένο στη ζώνη συχνοτήτων [f c W /2, f c +W /2] (με W < 2f c ) το μιγαδικό ισοδύναμο βασικής ζώνης (complex baseband equivalent) θα ορίζεται σαν το σήμα s b με μετασχηματισμό Fourier: S b (f) = { 2S(f + fc ) f + f c > 0 0 f + f c 0 (2.21) Ο παράγοντας 2 είναι αυθαίρετος και επιλέγεται ώστε οι κανονικοποιημένες ενέργειες των s b (t) και s(t) να είναι ίσες. Για το σήμα s(t) θα ισχύει s(t) = 1 2 {s b (t)e j2πf ct + s b e j2πf ct } = 2R[s b (t)e j2πf ct ]. (2.22) Στη συνέχεια αν x b (t) είναι το μιγαδικό ισοδύναμο βασικής ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος x(t) και y b (t) το αντίστοιχο μιγαδικό ισοδύναμο βασικής ζώνης του λαμβανομένου σήματος y(t) μπορεί να αποδειχτεί [1] οτι { R y b (t)e j2πfct} = { } α i (t)r x b (t τ i (t))e j2πfc(t τi(t)) ] i [{ } ] = R α i (t)x b (t τ i (t))e j2πf cτ i (t) e j2πf ct. (2.23) i Δηλαδή, η ισοδύναμη σχέση εισοδου εξόδου των σημάτων βασικής ζώνης είναι: y b (t) = i α b i(t)x b (t τ i (t)), (2.24) οπου α b i := α i (t)e j2πfcτ i(t). (2.25) Η σχέση εισόδου/εξόδου της (2.24) περιγράφει και αυτή ενα γραμμικό χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα, με την αντίστοιχη κρουστική απόκριση βασικής ζώνης h b (t) = i α b i(t)δ(τ τ i (t)). (2.26) Η παραπάνω αναπαράσταση βασικής ζώνης μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής στο πεδίο του χρόνου: η έξοδος είναι το άθροισμα, σε κάθε μονοπάτι, των κυματομορφών της εισόδου

19 2.2 Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού 16 που έρχονται με καθυστέρηση. Το μετρο του i οστού όρου είναι το μέτρο της απόκρισης στο συγκεκριμένο μονοπάτι. Το συγκεκριμένο μέγεθος μεταβάλλεται αργά και σημαντικές αλλαγές συμβαίνουν σε χρονικό διάστημα της τάξης των μερικών δευτερελόπτων. Αντίθετα, σημαντικές αλλαγές στη φάση, για παράδειγμα, αλλαγή φάσης κατα π/2, έχουμε όταν η καθυστέρηση σε ένα μονοπάτι αλλάζει κατά 1/4f c ή αντίστοιχα όταν έχουμε μετατόπιση κατά 1/4 του μήκους κύματος. Οι αλλαγές αυτές γίνονται με πολύ πιο γρήγορους ρυθμούς απ οτι οι αλλαγές του α(i) t, της τάξης μερικών msec Μοντέλο Διακριτού Χρόνου Το επόμενο βήμα είναι η διακριτοποίηση του μοντέλου που έχει αναπτυχθεί έως τώρα. Αν το εύρος ζώνης του σήματος εισόδου έιναι W, τότε το εύρος ζώνης του ισοδύναμου σήματος βασικής ζώνης θα είναι W /2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της δειγματοληψίας η διακριτή αναπαράσταση του θα είναι x b (t) = n x[n]sinc(w t n), (2.27) οπου το x[n] = x b (n/w ) και το sinc(t) ορίζεται ως sinc(t) := sin(πt). (2.28) πt Χρησιμοποιώντας την Εξίσωση (2.24) η έξοδος βασικής ζώνης γίνεται: y b (t) = n x[n] i α b i(t)sinc(w t W τ i (t) n). (2.29) Η έξοδος δειγματοληπτείται σε χρονικά διαστήματα πολλαπλάσια του 1/W, δηλαδή y[m] = y b (m/w ) και επομένως y[m] = n x[n] i α b i(m/w )sinc[m n τ i (m/w )W ] (2.30) Θέτοντας l := m n συνεπάγεται y[m] = l x[m l] i α b i(m/w )sinc[l τ i (m/w )W ] (2.31) Ορίζοντας h l [m] = i = i a b i(m/w )sinc[l τ i (m/w )W ] α i (m/w )e 2πfcτ i(m/w ) sinc[l τ i (m/w )W ] (2.32) (2.33) τότε η (2.31) μπορεί να γραφεί σε μορφή y[m] = l h l [m]x[m l]. (2.34) Ο όρος h l [m] συμβολίζει τη (μιγαδική) l-οστή λήψη (tap) του καναλιού, τη χρονική στιγμή m. Η τιμή του είναι συνάρτηση των συντελεστών αi b (t) από κάθε μονοπάτι, στο οποίο το σήμα έχει χρονική καθυστέρηση περίπου l/w.

20 2.2 Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού Διαλείψεις Rayleigh και Rice Έχοντας βρει μία έκφραση για το ασύρματο κανάλι ως ένα FIR με l συντελεστές, το επόμενο βήμα είναι η εύρεση της κατανομής. Το πιο απλό πιθανοτικό μοντέλο εξάγεται με την υπόθεση οτι υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός στατιστικά ανεξάρτητων μονοπατιών με τυχαία πλάτη στο χρονικό παράθυρο που αντιστοιχεί σε έναν μόνο συντελεστή του διακριτού μοντέλου. Όπως έχει ήδη αναφερθεί στα προηγούμενα, η αλλαγή στο πλάτος είναι πολύ πιο αργή από την αλλαγή της φάσης, άρα η επίδραση της φάσης είναι αυτή που προκαλεί τις ραγδαίες αλλαγές στο κανάλι. Η φάση του i-ιοστού μονοπατιού είναι 2πf c τ i modulo 2π. Ακόμα, f c τ i = d i /λ οπου d i είναι η απόσταση διαδρομής στο i-ιοστό μονοπάτι και λ το μήκος κύματος του φορέα. Εάν τα φυσικά εμπόδια που μπορεί να προκαλούν ανάκλαση ή σκέδαση απέχουν αρκετά σε σχέση με το μήκος κύματος του φορέα, δηλαδή d i λ, είναι λογικό να γίνει η υπόθεση οτι η φάση κάθε μονοπατιού θα κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα 0 έως 2π και η φάση κάθε μονοπατιού είναι ανεξάρτητη από τις υπόλοιπες. Η συνειφορά κάθε μονοπατιού στην τιμή του συντελεστή h l [m]είναι α i (m/w )e 2πf cτ i (m/w ) sinc[l τ i (m/w )W ]. (2.35) Αφού η φάση έχει ομοιόμορφη κατανομή η παραπάνω συνεισφορά μπορεί να μοντελοποιηθεί ως κυκλική μιγαδική τυχαία μεταβλητή. Επίσης, ο κάθε συντελεστής h l [m] είναι το άθροισμα ενός μεγάλου αριθμού τέτοιων μικρών κυκλικών τυχαίων μεταβλητών, ανεξάρτητων μεταξύ τους, το R(h l [m]) θα είναι το άθροισμα πολλών μικρών πραγματικών τυχαίων μεταβλητών. Επομένως σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα το R(h l [m]) μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μία τυχαία μεταβλητή με γκαουσιανή (κανονική) κατανομή με μηδενικό μέσο όρο. Αφού η φάση είναι ομοιόμορφη, η ποσότητα R(h l [m]e jϕ ) θα ακολουθεί γκαουσιανή κατανομή για κάθε σταθερό ϕ δηλαδή ο συντελεστής h l [m] έχει συμμετρική κυκλική γκαουσιανή κατανομή CN(0, σ 2 l ). Επομένως το μέτρο h l[m] του l-οστού συντελεστή είναι μία τυχαία μεταβλητή με κατανομή Rayleigh και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x; σ) = x { } x 2 σl 2 exp 2σl 2, x 0. (2.36) Το τετράγωνο του πλάτους h l [m] 2 ακολουθεί εκθετική κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x; σ) = 1 { } x σl 2 exp, x 0. (2.37) 2σ l Το παραπάνω μοντέλο καλείται διάλειψη Rayleigh και προσεγγίζει αρκετά καλά την πραγματικότητα όταν υπάρχουν αρκετοί μικροί παράγοντες ανάκλασης. Επίσης, λόγω της απλότητάς του είναι το κύριο μοντέλο σε περιπτώσεις που χρησιμοποιούνται κυψέλες, δηλαδή στην κινητή τηλεφωνία. Ένα άλλο συχνά χρησιμοποιούμενο μοντέλο, είναι το μοντέλο Rice, το οποίο χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου υπάρχει οπτική επαφή πομπού-δέκτη και το άμεσο μονοπάτι έχει σχετικά μεγάλο πλάτος, ενώ υπάρχει και ένας μεγάλος αριθμός ανεξάρτητων μονοπατιών. Σε αυτήν την περίπτωση ο συντελεστής h l [m] μπορεί να μοντελοποιηθεί

21 2.2 Στοχαστική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού 18 σαν h l [m] = κ κ + 1 σ l ejθ + 1 κ + 1 CN(0, σ2 l ). (2.38) Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στo άμεσο μονοπάτι το οποίο έχει φάση με ομοιόμορφη κατανομή ενώ ο δεύτερος όρος αντιστοιχεί στο άθροισμα όλων των υπόλοιπων ανεξάρτητων μονοπατιών (είτε λόγω ανάκλασης είτε λόγω σκέδασης). Η παράμετρος κ είναι η αναλογία της ενέργειας στο άμεσο μονοπάτι σε σχέση με την ενέργεια στα υπόλοιπα μονοπάτια. Όσο πιο μεγάλο είναι το κ τόσο πιο ντετερμινιστικό και προβλέψιμο είναι το κανάλι. Διάφορες περιπτώσεις ενός καναλιού με διάλειψη Ένα κανάλι διαλείψεων μπορεί να χαρακτηριστεί ως κανάλι αργών διαλείψεων (slow fading) είτε ως κανάλι γρήγορων διαλείψεων (fast fading). O διαχωρισμός αυτός είναι κάπως αυθαίρετος και έχει να κάνει με το χρόνο συνοχής του καναλιού, σε σχέση με τις απαιτήσεις καθυστέρησης κάθε εφαρμογής. Για παράδειγμα, σε εφαρμογές φωνής υπάρχουν απαιτήσεις για μέγιστη καθυστέρηση τα 100ms, ενώ σε εφαρμογές δεδομένων οι καθυστερήσεις μπορεί να είναι και μεγαλύτερες. Όταν ο χρόνος συνοχής, είναι αρκετά μικρότερος από την ελάχιστη απαίτηση της εφαρμογής, το κανάλι χαρακτηρίζεται σαν κανάλι αργών διαλείψεων. Στην αντίθετη περίπτωση έχουμε κανάλι γρήγορων διαλείψεων. Ένας άλλος διαχωρισμός μπορεί να γίνει σε σχέση με τη συχνότητα. Όταν το εύρος ζώνης συνοχής, είναι μικρότερο από το εύρος ζώνης του καναλιού, τότε έχουμε συχνοτικά επιλεκτική διάλειψη (frequency-selective fading). Σε αυτήν την περίπτωση, για κάθε συνιστώσα του σήματος με διαφορετική συχνότητα, η διάλειψη είναι διαφορετική. Όταν, αντίθετα, το εύρος ζώνης συνοχής είναι μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης του καναλιού, έχουμε επίπεδη διάλειψη ( at fading). Εδώ, η διάλειψη είναι ίδια για όλες τις συχνότητες του σήματος.

22 3 Συστήματα με μία κεραία (SISO - Single Input Single Output) Στο παρόν κεφάλαιο εξετάζεται η επικοινωνία στην περίπτωση όπου τόσο ο πομπός όσο και ο δέκτης χρησιμοποιούν μία κεραία. Αυτό το σχήμα επικοινωνίας εφαρμοζόταν, μέχρι πρόσφατα, σχεδόν καθολικά στα συστήματα ασύρματων επικοινωνιών. Πιο συγκεκριμένα μελετάται η περίπτωση ενός μόνο χρήστη ή, αλλιώς, επικοινωνία από σημείο σε σημείο (Point-to-Point Communication) αρχικά μέσω ενός καναλιού Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου (AWGN) και, στη συνέχεια, μέσω ενός καναλιού με διαλείψεις (fading channel). 3.1 Είδη Διαμόρφωσης Πριν τη μελέτη της επικοινωνίας στα προαναφερθέντα κανάλια, θα γίνει μία σύντομη αναφορά σε κάποια είδη διαμόρφωσης που χρησιμοποιούνται συχνά και τα οποία εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία Δυαδική Διαμόρφωση Μετατόπισης Φάσης - BPSK Η Δυαδική Διαμόρφωση Μετατόπισης Φάσης (Binary Phase Shifting Keying - BPSK) είναι, ίσως, η πιο απλή περίπτωση διαμόρφωσης στις ψηφιακές επικοινωνίες. Η μετάδοση γίνεται διαμορφώνοτας τη φάση ενός σήματος αναφοράς, το φορέα. Ο φορέας μπορεί να είναι ένα ημιτονοειδές σήμα, ένας παλμός κτλ. Στη δυαδική διαμόρφωση φάσης χρησιμοποιούνται δύο φάσεις ενός σήματος οι οποίες διαφέρουν κατα 180 μοίρες, δηλαδή μεταδίδεται το ίδιο σήμα με διαφορετικό πρόσημο: x[m] = ± E s. Ο αστερισμός της διαμόρφωσης φαίνεται στο Σχήμα 3.1. Η BPSK είναι η απλούστερη περίπτωση διαμόρφωσης φάσης και ταυτόχρονα η πιο ανθεκτική στο θόρυβο. Ομως, μπορεί να μεταδώσει μονάχα ένα bit ανά σύμβολο με αποτέλεσμα να περιορίζονται οι επιτεύξιμοι ρυθμοί μετάδοσης.

23 3.1 Είδη Διαμόρφωσης E s 0 Es Σχήμα 3.1: Aστερισμός Δυαδικής Διαμόρφωσης Μετατόπισης Φάσης (BPSK) Διαμόρφωση Πλάτους Παλμού Η διαμόρφωση Πλάτους Παλμού (Pulse Ampitude Modulation - PAM) είναι ένα είδος διαμόρφωσης στο οποίο η πληροφορία κωδικοποιείται στο πλάτος ενός παλμού. Στη συγκεκριμένη εργασία χρησιμοποιήθηκε η 4-PAM στην οποία 2 bits αντιστοιχίζονται σε ένα από 4 επίπεδα στάθμης του παλμού. Πιο συγκεκριμένα, τα πλάτη του παλμού είναι: Es x[m] = { 3, 1, +1, +3} 5 (3.1) 1 όπου E s είναι η μέση ενέργεια του σήματος και 5 είναι ο παράγοντας κανονικοποίησης. Ο παράγοντας κανονικοποίησης εξασφαλίζει οτι η μέση ενέργεια μετάδοσης ισούται με E s. Αν ο παράγοντας κανονικοποίησης δεν ληφθεί υπόψη, η μέση ενέργεια μετάδοσης στη 4-PAM θα ήταν P 4 P AM = 1 { 4 ( 3) 2 + ( 1) = 5 }, υποθέτoντας οτι κάθε σύμβολο έχει την ίδια πιθανότητα μετάδοσης. s 0 s 1 s 2 s 3 E 3 s E 5 s 5 E 0 + s E 5 +3 s 5 Σχήμα 3.2: Αστερισμός Διαμόρφωσης Πλάτους Παλμού 4-ΡΑΜ Η PAM χρησιμοποιείται ευρέως στη μετάδοση ψηφιακών δεδομένων στη βασική ζώνη όπως για παράδειγμα, στην τεχνολογία Fast Ethernet [9]. Η διαμόρφωση BPSK μπορεί να θεωρηθεί ως μία περίπτωση διαμόρφωσης 2-PAM, οπου γίνεται μετάδοση σε μία διάσταση Ορθογώνια Διαμόρφωση κατα Πλάτος Στην ορθογώνια Διαμόρφωση κατά Πλάτος (Quadrature Amplitude Modulation - QAM) διαμορφώνεται το πλάτος δύο σήματων τα οποία έχουν διαφορά φάσης 90, είναι, δηλαδή, ορθογώνια μεταξύ τους. Θεωρούμε οτι, κάθε ένα από τα δύο σήματα αντιστοιχεί σε μία διάσταση ή σε ένα βαθμό ελευθερίας. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκε η 4-QAM (ή QPSK), όπου 4 σύμβολα αντιστοιχίζονται σε 2 bits.

24 3.2 Το κανάλι Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου - Additive White Gaussian Noise Channel (AWGN) 21 E s 2 E s 2 E s 2 E s 2 Σχήμα 3.3: Αστερισμός Ορθογώνιας Διαμόρφωσης κατα Πλάτος- 4QAM 3.2 Το κανάλι Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου - Additive White Gaussian Noise Channel (AWGN) Το κανάλι Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου θεωρείται το στοιχειώδες τηλεπικοινωνιακό κανάλι και αποτελεί σημείο αναφοράς για τη σύγκριση με τα διάφορα άλλα κανάλια. Αν το σήμα που στέλνει ο πομπός συμβολίζεται με x[m] και το σήμα που λαμβάνει ο δέκτης είναι y[m], το μαθηματικό μοντέλο του καναλιού AWGN είναι το ακόλουθο ( Σχήμα 3.4): y[m] = x[m] + w[m], (3.2) όπου w[m] είναι το διάνυσμα του θορύβου και έχει κυκλική μιγαδική Γκαουσιανή κατανόμή, δηλαδή w[m] CN(0, 1). Στην περίπτωση της διαμόρφωσης BPSK, για να γίνει σωστή ανίχνευση του σήματος στο δέκτη, αρκεί το πρόσημο του R{y[m]}. Αν συμβολίσουμε με E s την ενέργεια ανα σύμβολο (στη συγκεκριμένη περίπτωση ισούται με την ένεργεια ανά bit), μπορούμε να ορίσουμε ως λόγο σήματος προς θόρυβο (SNR) την ποσότητα SNR = E s N 0. (3.3)

25 3.2 Το κανάλι Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου - Additive White Gaussian Noise Channel (AWGN) 22 x(t) + y(t) w(t) Σχήμα 3.4: Αναπαράσταση ενός καναλιού AWGN Ο μέγιστος ρυθμός με τον οποίο μπορεί να γίνει μετάδοση με, θεωρητικά, αυθαίρετα μικρή πιθανότητα σφάλματος, ονομάζεται χωρητικότητα (capacity). Η χωρητικότητα είναι, ουσιαστικά, το ανώτατο όριο με το οποίο μπορούμε να μεταδώσουμε σε ένα κανάλι. Στην πράξη μεταδίδουμε σε χαμηλότερους ρυθμούς, αν και με σύγχρονες τεχνικές μετάδοσης μπορούμε να πλησιάσουμε πολύ κοντά στους βέλτιστους ρυθμούς. Η γνώση της τιμής της χωρητικότητας είναι χρήσιμη, επειδή ξέρουμε πόσο ψηλά μπορούμε να στοχεύουμε, καθώς και τι αποτελέσματα μπορούμε να περιμένουμε από ένα κανάλι. Στο κανάλι AWGN η χωρητικότητα, σε bits ανά μεταδιδόμενο σύμβολο σε κάθε χρήση του καναλιού, δίνεται από τον τύπο C = 1 2 log 2 (1 + SNR). (3.4) Στην πράξη, όμως, όταν επιδιώκουμε γρήγορους ρυθμούς μετάδοσης και χαμηλή καθυστέρηση είναι αδύνατο να μεταδώσουμε χωρίς σφάλματα. Αποδεικνύεται [1] οτι η πιθανότητα σφάλματος στο κανάλι AWGN, όταν χρησιμοποιείται διαμόρφωση BPSK, ισούται με P e = Q ( Ex N0 /2 ) ( ) = Q 2SNR. (3.5) H συνάρτηση Q(.) δίνει την επονομαζόμενη πιθανότητα ουράς της τυπικής γκαουσιανής τυχαίας μεταβλητής με κατανομή N(0, 1) και δίνεται από τον τύπο Q(x) = 2 e s2 ds. (3.6) π Επίσης, η Q(x) βρίσκεται μεταξύ των παρακάτω άνω και κάτω φραγμάτων: x Q(x) > 1 2πx ( 1 1 x 2 ) e x2 2, x > 1 (3.7)

26 3.2 Το κανάλι Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου - Additive White Gaussian Noise Channel (AWGN) 23 Q(x) < e x2 /2, x > 0 (3.8) Αυτό σημαίνει πως η Q(x) μειώνεται εκθετικά ως προς x 2. Αρα, η πιθανότητα σφάλματος P e = Q ( 2SNR ) μειώνεται εκθετικά με το λόγο σήματος προς θόρυβο για αρκούντως μεγάλες τιμές του SNR. Η μέση πιθανότητα σφάλματος όταν χρησιομοποιείται διαμόρφωση 4-ΡΑΜ ισούται με [1]: ( ) P e = 3 2 Q 2E s. (3.9) 5N 0 Αντίστοιχα, για τη διαμόρφωση 4-QAM αποδεικνύεται οτι η πιθανότητα σφάλματος μπορεί να προσεγγιστεί από την σχέση [1] : ( ) P e Q E s 2N 0. (3.10) Από τις παραπάνω εξισώσεις, παρατηρείται οτι και για τα τρία είδη διαμορφώσεων που εξετάζονται η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται εκθετικά με την αύξηση του λόγου σήματος προς θόρυβο. Στο Σχήμα 3.5 απεικονίζεται η πιθανότητα σφάλματος στη μετάδοση συμβόλου (Symbol Error Rate - SER) σε σχέση με το SNR, σε κανάλι AWGN, για τις τρεις διαφορετικές διαμορφώσεις. Περιλαμβάνονται τόσο οι θεωρητικές καμπύλες όσο και αποτελέσματα που προέκυψαν από εξομοίωση. Η πρώτη παρατήρηση που μπορεί να γίνει για όλες τις διαμορφώσεις, είναι οτι η θεωρητική καμπύλη συμπίπτει με την καμπύλη που προέκυψε από την εξομοίωση. Αυτό επιβεβαιώνει την ορθότητα του προγράμματος εξομοίωσης. Παρατηρούμε, επίσης, οτι η BPSK επιτυγχάνει την πιο μικρή πιθανότητα σφάλματος από τις παραπάνω διαμορφώσεις. Αυτό συμβαίνει γιατί με τη BPSK μεταδίδεται ένα bit ανά σύμβολο, ενώ με τις 4-QAM και 4-PAM μεταδίδονται 2 bits ανά σύμβολο. Επομένως στην περίπτωση της BPSK, σε κάθε bit αντιστοιχεί περισσότερη ενέργεια. Όμως, με τις 4-QAM και 4-PAM επιτυγχάνεται διπλάσιος ρυθμός μετάδοσης, 2 bits ανά μετάδοση συμβόλου. Μπορούμε, δηλαδή, να πούμε, γενικά, πως όσο επιδιώκουμε αύξηση του ρυθμού μετάδοσης, τόσο αυξάνεται και η πιθανότητα να εμφανιστεί σφάλμα. Αντίστροφα, όσο επιδιώκουμε αύξηση της αξιοπιστίας (μείωση του ρυθμού εμφάνισης σφαλμάτων) μειώνεται ο ρυθμός μετάδοσης. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η σύγκριση της 4-PAM και της 4-QAM. Ενώ και στις δύο περιπτώσεις ο ρυθμός μετάδοσης είναι ο ίδιος, στην 4-QAM η πιθανότητα σφάλματος είναι μικρότερη, δηλαδή η 4-QAM έχει καλύτερη αποδοτικότητα (efficiency). Παρατηρώντας τους αστερισμούς των δύο παραπάνω διαμορφώσεων, διαπιστώνουμε οτι για δεδομένη ισχύ εκπομπής, η ελάχιστη ευκλείδια απόσταση (d min ) μεταξύ δύο σημείων της 4-QAM είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη ελάχιστη απόσταση των σημείων της 4-ΡΑΜ. Διαισθητικά, μπορούμε να πούμε το εξής: γενικά, για να συμβεί σφάλμα, θα πρέπει μία χρονική στιγμή, η ενέργεια του θορύβου να ξεπεράσει ένα κατώφλι, ωστε ο δέκτης να θεωρήσει οτι έχει μεταδοθεί κάποιο άλλο σήμα από τον πομπό. Αφού τα σημεία του αστερισμού της 4-QAM απέχουν περισσότερο μεταξύ τους απ ότι τα σημεία της 4-ΡΑΜ, το κατώφλι που πρέπει να ξεπεράσει η ενέργεια του θορύβου είναι χαμηλότερο στην 4-ΡΑΜ.

27 3.2 Το κανάλι Λευκού Προσθετικού Γκαουσιανού Θορύβου - Additive White Gaussian Noise Channel (AWGN) Symbol Error Rate for AWGN Channel theory BPSK simulation BPSK theory PAM simulation PAM theory QAM sim QAM Symbol Error Rate Es/No [db] Σχήμα 3.5: SER Ακόμα, παρατηρώντας τον αστερισμό της 4-PAM [ ] (οι άλλοι παράγοντες παραλείπονται για απλότητα), διαπιστώνουμε πως αν σταλεί ένας παλμός πλάτους ±1V, τότε αρκεί το πλάτος του θορύβου να είναι μεγαλύτερο από +2V ή μικρότερο από 2V ωστε να προκύψει σφάλμα. Αν όμως σταλεί ένας παλμός πλάτους 3V, τότε το πλάτος του θορύβου θα πρέπει να είναι μονάχα μεγαλύτερο από +2V για να προκύψει σφάλμα. Στο παραπάνω παράδειγμα, το κατώφλι του θορύβου είναι ±2V. Διαπιστώνουμε δηλαδή, οτι οι ακραίες θέσεις ενός αστερισμού είναι πιο ανθεκτικές σε σφάλματα. Αν τώρα παρατηρήσουμε τον αστερισμό της 4-QAM, θα δούμε οτι κάθε σημείο του αστερισμού είναι σε ακραία θέση. Επομένως, δεν αρκεί μόνο το μέτρο του θορύβου σε μία διάσταση, να είναι μεγαλύτερο από το κατώφλι σφάλματος. Θα πρέπει η κατεύθυνση του θορύβου να είναι αντίθετη από αυτήν του σήματος, ώστε να προκύψει σφάλμα. Ένα άλλο πλεονέκτημα της 4-QAM είναι πως το μέσο πλάτος των σημάτων που μεταδίδονται είναι μικρότερο από αυτό της 4-PAM. Όμως, για τα πλεονεκτήματα της QAM υπάρχει και κάποιο τιμημα. Το γεγονός οτι χρησιμοποιούνται δύο σήματα για κάθε μετάδοση αυξάνει την πολυπλοκότητα του συστήματος.

28 3.3 Το κανάλι διαλείψεων Rayleigh Το κανάλι διαλείψεων Rayleigh Η μελέτη του ασύρματου καναλιού ξεκινά από το μαθηματικό μοντέλο διακριτού χρόνου που αναπττύχθηκε στην ενότητα Με την υπόθεση οτι το κανάλι μπορεί να περιγραφεί με μία λήψη (tap) έχουμε y[m] = h[m]x[m] + w[m]. (3.11) To h[m] C και ακολουθεί κυκλική μιγαδική Γκαουσιανή κατανομή h[m] CN(0, 1) (όπου η διασπορά έχει κανονικοποιηθεί στο 1). Ο θόρυβος ακολουθεί, επίσης, κυκλική Γκαουσιανή κατανομή w[m] CN(0, N 0 ). Ακόμα, γίνεται η υπόθεση οτι ο δέκτης γνωρίζει σε κάθε χρονική στιγμή και με ακρίβεια την τιμή h[m]του καναλιού, δηλαδή εφαρμόζεται σύμφωνη ανίχνευση (coherent detection). Στην πράξη, η μέτρηση των παραμέτρων του καναλιού επιτυγχάνεται συνήθως με την αποστολή μίας ακολουθίας συμβόλων που είναι γνωστή εκ των προτέρων και λέγεται πιλότος (pilot) ή ακολουθία εκπαίδευσης (training sequence). Ακόμα, γίνεται η υπόθεση οτι τα σύμβολα δεν είναι κωδικοποιημένα. Με αυτόν τον τρόπο, η ανίχνευση των συμβόλων μπορεί να γίνει ανά ένα σύμβολο κάθε φορά και στην Εξίσωση (3.11) μπορούμε να παραλείψουμε τη μεταβλητή του χρόνου. Για κάθε χρονική στιγμή θα είναι y = hx + w. (3.12) Για γίνει βέλτιστη ανίχνευση του συμβόλου από το λαμβανόμενο σήμα y ο δέκτης πρέπει, αρχικά, να χρησιμοποιήσει το προσαρμοσμένο φίλτρο h h h h y = h hx + h w h h = h x + z r, (3.13) όπου z N(N 0 /2). Στην περίπτωση της BPSK αρκεί το πρόσημο του R {r} για να ληφθεί απόφαση για το ποιο σύμβολο έστειλε ο πομπός. Επειδή το σύμβολο έχει τη μορφή x[m] = ± s, τότε, για δεδομένη τιμή του h, η πιθανότητα να γίνει σφάλμα στην ανίχνευση του x είναι: P = Q ( Es h N0 /2 ) ( ) = Q 2 h 2 SNR. (3.14) Προκειμένου να υπολογίσουμε τη μέση πιθανότητα σφάλματος βρίσκουμε το μέσο όρο για όλες τιμές των κερδών h. Αποδεικνύεται [1] οτι, εάν το κανάλι εμφανίζει διάλειψη Rayleigh, για h[m] C ( { ( )} P e = E Q 2 h 2 SNR = SNR 1 + SNR ). (3.15) Ακόμα, αποδεικνύεται [1] πως για αρκούντως μεγάλες τιμές του SNR η παραπάνω εξίσωση μπορεί να προσεγγιστεί ως P e 1 4SNR. (3.16) Στο Σχήμα 3.6 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εξομοίωσης των τριών διαμορφώσεων στο κανάλι Rayleigh. Από την Eξίσωση (3.16), αναμένεται η πιθανότητα σφάλματος να μειώνεται γραμμικά με το λόγο σήματος προς θόρυβο. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τα αποτελέσματα της προσομοίωσης.