Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα"

Transcript

1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής

2 Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier X(Ω) ενός σήματος x(t) είναι μια μιγαδική συνάρτηση και μπορεί ν αναπαρασταθεί ως X ( Ω ) = R( Ω ) + ji( Ω ) (.4) όπου R(Ω) το πραγματικό και I(Ω) το φανταστικό μέρος της συνάρτησης. Θ αποδείξουμε ότι, εάν η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, τότε R I X ( Ω ) = R( Ω) ( Ω ) = I( Ω) ( Ω ) = X ( Ω) : δηλαδή άρτια συνάρτηση : δηλαδή περιττή συνάρτηση (.5) όπου * συμβολίζει τη συζυγή συνάρτηση

3 Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Γνωρίζουμε ότι jωt X x t e dt ( Ω ) = ()( cos sin ) = x t Ωt j Ωt dt Εφόσον η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, έπεται ότι ( Ω ) = cos( Ω ) R x t t dt ( Ω ) = sin ( Ω ) I x t t dt Απ όπου γίνονται προφανείς οι (.5). Μπορεί εύκολα ν αποδειχθεί ότι οι (.5) συνιστούν και αναγκαίες συνθήκες για να είναι το σήμα x(t) πραγματικό.

4 Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τις R(Ω) και Ι(Ω) για ν ανακτήσουμε το σήμα x(t). Έχουμε ότι: x() t = R( Ω ) + ji ( Ω) ( cos Ω t + jsin Ωt) dω π x () t = R cos t I sin t d j R sin t I cos t d π Ω Ω Ω Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω Ω π Εφόσον η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, το δεύτερο ολοκλήρωμα μηδενίζεται. Αυτό επιβεβαιώνεται με τη βοήθεια των (.5). Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι οι R(Ω) και Ι(Ω) δεν περιλαμβάνουν γενικευμένες συναρτήσεις στο Ω = 0. Από την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι: R( Ω ) cos Ωt I ( Ω) sin Ω t = A( Ω) cos Ω t + ϕ ( Ω) (.6) ( Ω ) = ( Ω ) + ( Ω) I ( Ω ) ( Ω ) = tan R ( Ω ) A R I ϕ (.7)

5 Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier x t = π A Ω Ω t + Ω d Ω Άρα () cos ϕ ή, λόγω του ότι οι A( Ω), cos Ω+ t ϕ ( Ω) 0 0 είναι άρτιες συναρτήσεις του Ω, xt () = A cos t ϕ d A cos t ϕ d π Ω Ω + Ω Ω= Ω Ω + Ω Ω π Μ άλλα λόγια, ο μετασχηματισμός Fourier ενός πραγματικού σήματος ισοδυναμεί μ ένα ανάπτυγμα του σήματος σ ένα άπειρο (μη αριθμήσιμο) πλήθος ημιτονοειδών σημάτων. Κάθε μια από τις απλές αυτές συχνότητες υπεισέρχεται με πλάτος A ( Ω ) d Ω και φάση ϕ ( Ω ), όπου Ω η αντίστοιχη π (.8) (κυκλική) συχνότητα. Αυτός είναι και ο λόγος που η μεταβλητή Ω του μετασχηματισμού Fourier αναφέρεται και ως συχνότητα. Απόρροια αυτού είναι και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier λέγεται και φάσμα συχνοτήτων, κατ αναλογία με την ανάλυση που υφίσταται το λευκό φως στις επιμέρους συχνότητες που το απαρτίζουν.

6 Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Υποθέτουμε ότι το σήμα μας, x(t), είναι πραγματική συνάρτηση. Άρα x() t = R( Ω) cos( Ωt) I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.9) Θα εξετάσουμε τρεις ειδικές περιπτώσεις: Α) x(t) : άρτια Από τον ορισμό των R(Ω) και Ι(Ω) στο προηγούμενο εδάφιο γίνεται αμέσως φανερό ότι I ( Ω ) = 0 διότι η συνάρτηση sin(ωt) είναι περιττή συνάρτηση x() t = R( Ω) cos( Ωt) dω π 0 ( Ω ) = cos( Ω ) R x t t dt 0 (.30) Με άλλα λόγια ο μετασχηματισμός Fourier μιας πραγματικής άρτιας συνάρτησης είναι πραγματική και άρτια συνάρτηση. Το αντίστροφο της πρότασης αυτής είναι επίσης αληθές.

7 Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Β) x(t) : περιττή Τότε είναι R ( Ω ) = 0 διότι η συνάρτηση cos(ωt) είναι άρτια συνάρτηση ( Ω ) = ()sin( Ω ) I x t t dt x() t = I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.3) Άρα ο μετασχηματισμός Fourier μιας πραγματικής περιττής συνάρτησης είναι φανταστική συνάρτηση με περιττή συμμετρία. Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές. Γ) x(t) : αιτιατή, δηλαδή x(t) = 0, t < 0. Από την (.9) και τις ιδιότητες των R(Ω) και Ι(Ω) [βλ. (.5)] προκύπτει ότι για πραγματικές συναρτήσεις ισχύει x() t = R cos( t) I sin ( t) d π Ω Ω Ω Ω Ω (.9) x() t = R( Ω) cos( Ωt) I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.3) 0

8 Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου x() t = R cos( t) I sin ( t) d R cos( t) d I sin ( t) d π Ω Ω Ω Ω Ω= Ω Ω Ω Ω Ω Ω π π x(t) = 0 για t < 0, άρα Αντικαθιστώντας το t με -t, για t > 0, παίρνουμε R Ω cos Ωt dω= I Ω sin Ωt dω, t < R Ω cos Ω( t) dω= I Ω sin Ω( t) dω R Ω cos Ωt dω= I Ω sin Ωt dω, t > Από την παραπάνω σχέση και την (.3) έπεται ότι x() t = R( Ω) cos ( Ωt) dω, t < 0 π 0 x() t = I( Ω) sin ( Ωt) dω, t > 0 π 0 (.33)

9 Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Προφανώς η x(0) δεν ορίζεται με τις παραπάνω σχέσεις, αλλά αυτό δεν είναι ιδιαίτερο πρόβλημα εάν η x(t) δεν περιλαμβάνει γενικευμένες συναρτήσεις στο t=0. Από την (.33) είναι εμφανές ότι οι R(Ω) και Ι(Ω) δεν μπορεί να είναι ανεξάρτητες. Πράγματι, όπως θ αποδείξουμε στη συνέχεια, ημία προκύπτει από την άλλη. Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier για αιτιατές συναρτήσεις έχουμε j t jωt X Ω = x t e dt = x t e dt Ω Έχουμε υποθέσει ότι η x(t) δεν περιλαμβάνει γενικευμένες συναρτήσεις στο t=0 και συνεπώς το κάτω όριο του ολοκληρώματος δεν μας δημιουργεί ανησυχίες. Συνδυασμός των (.33) και (.34) μας δίνει jωt X ( Ω ) = R( ϕ) cos( ϕt) e dϕ dt π 0 0 Με τη βοήθεια του τύπου του Euler παίρνουμε τότε: I ( Ω ) = R( ϕ ) cos( ϕt) sin ( Ωt) dϕdt π 0 0 Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: ( Ω ) = sin cos( Ω ) 0 R I ϕ ϕt t dϕdt π 0 0 j t e Ω = cos( Ωt) jsin( Ωt) (.34) (.35) (.36) (.37)

10 Θεώρημα του Parseval Στο Εδάφιο..5 αποδείξαμε ότι x t x t X X π () () ( Ω) ( Ω) Από τους αντίστοιχους ορισμούς έπεται ότι jωt x() t x() t e dt = X( y) X ( Ω y) dy π (.38) Για Ω = 0 η παραπάνω σχέση γίνεται x() t x() t dt = X( y) X( y) dy π (.39) Εάν στη συνέχεια θέσουμε x t = x t x (t) συζυγής x (t),

11 Θεώρημα του Parseval Τότε ( Ω ) = () = () X x t e dt x t e dt jωt jωt ή jωt X ( Ω ) = x ( t) e dt = X ( Ω) (.40) Από τις (.39) και (.40) προκύπτει ότι x() t x () t dt = X X d π Ω Ω Ω x () t dt = X d π Ω Ω (.4) x () t = ( a+ jb) ( a jb) = a + b + jba jab = a + b = x () t

12 Θεώρημα του Parseval x () t dt = X d π Ω Ω Ησχέση(.4) είναι γνωστή ως θεώρημα του Parseval καιέχεισπουδαίαφυσική σημασία. Εάν υποθέσουμε ότι η x (t) παριστά την τάση στα άκρα μιας αντίστασης R=Ω, τότε η ενέργεια που παρέχεται στην αντίσταση δίνεται από το ολοκλήρωμα () = (.4) E x t dt Γενικεύοντας, καταλήγουμε στο ότι το αριστερό μέλος της (.4) είναι η ολική ενέργεια που παρέχεται από το σήμα. Το θεώρημα του Parseval μας λέει ότι η ενέργεια αυτή ισούται με / π επί το εμβαδόν που περικλείει η καμπύλη του τετραγώνου του μέτρου του μετασχηματισμού Fourier του σήματος. Η ερμηνεία επομένως που μπορεί να δοθεί στη ΙX (Ω)Ι είναι ότι εκφράζει την κατανομή της ενέργειας ανά μονάδα συχνότητας. Η στοιχειώδης δηλαδή ενέργεια, de, που συνεισφέρεται από συχνότητες μεταξύ f και f+df Ω Ω+ dω ισούται με, π π ή de = X Ω df de df = X Ω (.43)

13 Απόκριση Συχνοτήτων Συστήματος Στο Κεφάλαιο είδαμε ότι ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (ΓΧΑ) σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση, h(t). Τα σήματα εισόδου x(t) και εξόδου y(t), σχετίζονται μέσω της συνέλιξης y( t) = h( t) x( t) (.5) Σύμφωνα με το θεώρημα συνέλιξης για το μετασχηματισμό Fourier έπεται ότι Y( Ω ) = H( Ω) X ( Ω) H Ω = Y X ( Ω) ( Ω) (.53)

14 Απόκριση Συχνοτήτων Συστήματος Ο μετασχηματισμός Fourier H(Ω) της κρουστικής απόκρισης h(t) δίνεται ως το πηλίκο των μετασχηματισμών Fourier εισόδου - εξόδου. Η συνάρτησηη(ω) καλείται συνάρτηση μεταφοράς ή απόκριση συχνοτήτων του συστήματος. Είναι προφανές ότι γνώση της Η(Ω) παρέχει, μέσω του αντιστρόφου μετασχηματισμού Fourier, την h(t). Ο υπολογισμός όμως της Η(Ω) μέσω της (.53) είναι σαφώς ευκολότερος απ ότι ο απευθείας υπολογισμός της h(t) από την ολοκληρωτική εξίσωση (.5). Αυτό είναι ένα παράδειγμα της δύναμης του μετασχηματισμού Fourier και ως μαθηματικού εργαλείου για τη μελέτη γραμμικών συστημάτων.

15 Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο Μετασχηματισμός Fourier Ως σύστημα έχουμε ορίσει τη διαδικασία που μετατρέπει μια φυσική ποσότητα, που περιγράφεται από το σήμα εισόδου x(t), σε μια άλλη, που περιγράφεται από το σήμα εξόδου y(t). Η διαδικασία αυτή του μετασχηματισμού φυσικών σημάτων εκφράζεται με τη βοήθεια μιας διαφορικής εξίσωσης που συσχετίζει τα σήματα εισόδουεξόδου. Όταν το σύστημα είναι γραμμικό χρονικά αμετάβλητο, η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση είναι γραμμική με σταθερούς συντελεστές, της μορφής: N k M l d y t d x( t) ak = β (.54) k l l k= 0 dt l= 0 dt

16 Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο Μετασχηματισμός Fourier Στη συνέχεια θα διατυπώσουμε τη μεθοδολογία επίλυσης της (.54) με τη χρήση του μετασχηματισμού Fourier και της συνάρτησης Η(Ω) του αντίστοιχου σήματος. Από την ιδιότητα n d x( t) n dt ( jω) n X ( Ω) προκύπτει ότι: N k d y t N k a ak jω Y Ω k k k= 0 dt k= 0 M β l dxt l l l= 0 dt l= 0 M l βl jω X Ω (.55) (.56)

17 Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο Μετασχηματισμός Fourier Ο ορισμός των εξισώσεων (.55), (.56) μας δίνει: H M Y ( Ω) l= 0 l N X Ω a ( jω) Ω = = k = 0 β k jω l k (.57) Ηεξίσωση(.57) μας παρέχει την Η(Ω), που με τη σειρά της μας δίνει την h(t). H λύση επομένως της διαφορικής εξίσωσης (.54) γράφεται: M l d x( t) N k d y t ak = k βl l k= 0 dt l= 0 dt (.54) y( t) = h( t) x( t) (.58)

18 Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο MF Παράδειγμα : Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος του εν σειρά RLC κυκλώματος, όπου u(t) η εφαρμοζόμενη τάση (είσοδος) και i(t) η έντασηρεύματος που ζητείται (έξοδος). Λύση : ΑπότονόμοτουKirchoff έπεται ότι di t t Ri () t + L + i () t dt υ () t dt C = Έπειτα από παραγώγιση παίρνουμε dit dit () dυ ( t) L + R + i () t = (.59) dt dt C dt dit dit dυ ( t) F L + R + i() t = F I( Ω) LΩ + jrω+ / C = ( jω) V( Ω) (.59α) dt dt C dt Από την (.59α) προκύπτει ότι I ( Ω) jω H ( Ω ) = = V ( Ω) LΩ + jrω+ C ή H ( Ω ) = n d x( t) (.60) n ( jω) X ( Ω) R+ jω L+ n dt j Ω C

19 Πίνακας Ιδιοτήτων Μετασχηματισμού Fourier t x() t = X ( ω) e dω π ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ( I) ax( t) ax ( ω) ( ΙΙ ) x( t) + y( t) X ( ω) + Y( ω) () t ( ω) X = x t e dt ( ν ) ν () (III) ΧΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ x t Χ ω, x t Χ ω t0 (iv) ΧΡΟΝΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ x( t t ) e X ( ω) 0t (v) ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ e x( t) X ( ω ω ) 0 0 (vi) ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΜΑΚΑΣ x ( λt) ω Χ λ λ

20 Πίνακας Ιδιοτήτων Μετασχηματισμού Fourier (συνέχεια) t ( ω), X = x t e dt (vii) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙ t : tx( t) jx ( ω) n n ( n) txt () jx ( ω) (viii) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ X ( t) π x( ω ) (ix) ΣΥΝΕΛΙΞΗ x( t) y( t) X ( ω) Y( ω) π (x) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ x () t y () t X ( ω) Y ( ω) t (xi) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ x( τ ) dτ X ( ω) + πx ( 0) δ ( ω) t x() t = X ( ω) e dω π

21 Πίνακας Μετασχηματισμού Fourier Χρήσιμα ζεύγη μετασχηματισμών Fourier Σήμα x(t) MF Χ(Ω) Σήμα x(t) MF Χ(Ω) Ae at δ () t πδ ( Ω) jω u() t + πδ ( Ω) ( a > 0) t t 0 Aa a + ω e Ω δ j t0 j 0t e Ω πδ ( Ω Ω 0 ) Ae sin T, t < T 0, t > sin Ω0t πt at π δ j Ω 0t ( Ω Ω 0) δ ( Ω+Ω 0) ( a > 0) () at e u t, Re a > 0 () at te u t, Re a > 0 ΩT sin T ΩT, 0, Ω<Ω Ω >Ω Aa a + ω jω + a 0 0 ( jω+ a) cos Ω 0t π δ ( Ω Ω 0) + δ ( Ω+Ω0) t n at e u() t, Re( a) > 0 ( n! ) ( jω+ a) n A -b 0 b t b Absinc ω π A -b 0 b t Absinc ωb π

22 Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ που περιγράφεται από την εξίσωση: dy ( t) + y() t = 3x() t dt Λύση dy () t dy ( t) () 3 () () 3 ω ω ω 3 ω { } { } { ()} F + y t = F x t F + F y t = F x t j Y + Y = X dt dt 3 Y 3 3 Y ( + ) Y( ω) = 3 X ( ω) Y( ω) = X ( ω) = H( ω) =, H( ω) = + X ω + + X ω Ο αντίστροφος μετασχηματισμός της H ( ω) ( ω) = 3 + είναι t () = 3 () ht e ut Η(ω) είναι η απόκριση συχνότητας, επομένως η h(t) θα είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος. Εάν μας δοθεί το σήμα εισόδου x(t) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το σήμα εξόδου y(t). ( ω)

23 Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ που περιγράφεται από την εξίσωση: dy ( t ) + 4 dy t + 3y () t = dx t + x() t dt dt dt Λύση () () () dy t dy t dx t F y () t = F + x() t dt dt dt dy t dy t dx t F F 4 F + + { 3y() t } = F + F{ x() t } dt dt dt () Y( ω) 4Y( ω) 3Y( ω) X ( ω) X ( ω) + + = Y( ω) ( ) X ( ω) + + = + Y ω + + = H ( ω) = ω ω + 4 ω + 3 ω + 4 ω + 3 X j j j j Οι ρίζες του παρονομαστή είναι = - και = -3.

24 Μετασχηματισμός Fourier H ( ω ) A A = A = ( + ) H ( ω ) = + + ( + ) ( + 3 ) = + = = + 3 = A = ( + 3) H ( ω ) = = = = 3 ( ) ( 3) = 3 Άρα H ( ω ) = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της Η(ω) είναι: h t e u t e u t () t 3 t = () + () Η(ω) είναι η απόκριση συχνότητας, επομένως η h(t) θα είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος. Εάν μας δοθεί το σήμα εισόδου x(t) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το σήμα εξόδου y(t).

25 Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση 3 Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος: X ( ω ) Λύση Βρίσκουμε τις ρίζες του παρονομαστή: ω ω X ( ω ) + + = = ω ± 5 4 6, j + 5 j + 6 = s + 5s + 6 s = s =, s = 3 + A A = = A ( ) = + + ( + ) ( + 3 ) = + = = + 3 = A ( 3 ) = = = j ω = 3 = 3 Άρα X ( ω ) = + = + F u() t a + X x t e u t e u t ( ) ( 3) e at Άρα F () t () 3 t ω = + ()

26 Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση 4: Να βρεθεί ο Μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος, t < T = 0, αλλιώς () x t Λύση: Επειδή x(t)=0 για t >T και t < -T τα όρια του ολοκληρώματος γίνονται: j X ( ω) e dt e dt e d( t) e ω Τ Τ Τ Τ t t t t = = = = Τ Τ Τ Τ j Τ Τ j X ( ω) = ( e e ) = cos( ω ) jsin( ω ) cos( ω ) jsin( ω ) ω ω Τ Τ Τ Τ j sin( ωτ ) X ( ω) = jsin( ωτ ) = ω ω

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.

() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει. Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } :

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt =

x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt = Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκν : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς- Λύσεις 3η Σειρά Ασκήσεν 03/05/0 Λύσεις 3ης Σειράς Ασκήσεν

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 2: Ανάλυση Fourier και Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μέρος 1: Ανάλυση Fourier 2 Ανάλυση Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουµε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier µιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουµε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουµε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Άσκηση η Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος με κρουστική απόκριση h()=u()-u(-4) και είσοδο x()=u(-) u(-3)

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Τρεις ισοδύναμες μορφές: () = = = = Σειρές Fourier j( 2π ) t Τ.. x () t FS a jω0t xt () = ae =

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Το εκπαιδευτικό υλικό που παρουσιάζεται βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Ιδιότητες της Συνέλιξης Η συνέλιξη μετατοπισμένων σημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Pierre-Simn Laplace ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ /4 Τι περιλαμβάνει Ορισμοί Μετασχ. Laplace απλών σημάτων Ιδιότητες Εφαρμογή στη λύση ΔΕ Μετασχηματισμένο

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10 Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Ενότητα 0: Εισαγωγή στο µάθηµα 2 Διαδικαστικά Παράδοση: Παρασκευή 16:00-18:30 Διδάσκων: E-mail:

Διαβάστε περισσότερα

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6) Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου Η έννοια της Απόκρισης Συχνότητας Ιδιότητες της Απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 6 Nv 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 5: Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 5: Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 5: Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής . Γραφική Μέθοδος Υπολογισμού του Συνελικτικού Ολοκληρώματος 2 Γραφικός

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: Μ/Σ FOURIER Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 45 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =

0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) = Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Aνάλυση Σήματος. 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Aνάλυση Σήματος. 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Aνάλυση Σήματος 2 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #4 Η ιδιότητα της συνέλιξης Απόκριση Συχνότητας ΓΧΑ Συστημάτν Απόκριση συχνότητας ΓΧΑ Συστημάτν που περιγράφονται από Διαφορικές Εξισώσεις Η ιδιότητα πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1) Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #5 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier (Συνέχεια) Παραδείγματα Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Χρονική κλιμάκση j xt () X( j) xat ( ) X( ) a a xate ( ) τ=at

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.2: Ανάλυση Fourier (Συνέχεια) Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ / 46 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

Συστήματα Επικοινωνιών Ι + Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας + Περιεχόμενα n Εισαγωγή n Ανάλυση Fourier n Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνετη Αντίσταση 4. Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων Πίνακας Ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)

e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5) Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) =

x(t) ax 1 (t) y(t) = 1 ax 1 (t) = (1/a)y 1(t) x(t t 0 ) y(t t 0 ) = ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Τρίτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Ανάπτυξη σε Σειρές Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών α Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό aplace στοιχειωδών σηµάτων. αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού aplace. Σεραφείµ Καραµπογιάς 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμοί Σημάτων Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Βασικές κατηγορίες σημάτων Περιοδικά σήματα Άρτια και περιττά σήματα Εκθετικά σήματα Μετασχηματισμοί σημάτων (signal

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού //04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s Αναπαράσταση Σημάτων και Συστημάτων στο Χώρο της Συχνότητας Ο Μετασχηματισμός Fourier Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT (Discrt Tim Fourir Transform / 55 2 / 55 3 / 55 Γενικά Μορφές Μετασχηματισμού Fourir Σήματα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ)

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ HMITONIKH ΔΙΕΓΕΡΣH (HMITONIKH ANAΛYΣΗ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 1/5 Τι περιλαμβάνει Εκθετική διέγερση Φάσορας Επίλυση κυκλώματος μετασχηματισμός των στοιχείων Εμπέδηση Ισχύς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας

Κεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας Κεφάλαιο 4 Απόκριση συχνότητας Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας ενός κυκλώματος, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται μία τάση ή ένα ρεύμα του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5)

x(t) = e st = e (σ+j2πf)t (7.1) h(t)e st dt (7.4) H(s) = y(t) = H{e st } = H(s)e st (7.5) Κεφάλαιο 7 Συστήματα στο χώρο του Laplace 7. Εισαγωγή Ο μετασχ. Laplace είναι ένα πολύτιμο εργαλείο για την ανάλυση συστημάτων. Η ικανότητά του να ερμηνεύει συχνοτικά πλήθος σημάτων, σημαντικά περισσότερων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα