ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design) Ενότητα # 2: Στερεοί Μοντελοποιητές (Solid Modelers) Δρ Κ. Στεργίου Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Αντικείμενο του εργαστηρίου είναι η εκπαίδευση και εξοικείωση των σπουδαστών σε σύγχρονα συστήματα βιομηχανικού σχεδιασμού που αφορούν τόσο στη δισδιάστατη και τρισδιάστατη σχεδίαση μηχανολογικών κατασκευών με Η/Υ (CAD), όσο και στον υπολογισμό και τη βελτιστοποίηση των κατασκευών αυτών (CAE). Οι εκπαιδευτικές δραστηριότητες του εργαστηρίου επικεντρώνονται στην υποστήριξη των μαθημάτων: Σχεδίαση μηχανολογικών κατασκευών με Η/Υ (CAD) Σχεδιασμός των Κατασκευών Μοντελοποίηση και υπολογισμός στοιχείων κατασκευών (CAD-CAE) Αρχές ηλεκτρονικής σχεδίασης 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Constructive Solid Geometry Boundary Representation Μετασχηματισμοί Σχεδίαση Καμπύλων 5

6 CONSTRUCTIVE SOLID GEOMETRY (CSG) Αντικείμενο περιγράφεται από τα στοιχειώδη στερεά από τα οποία αποτελείται (ορθογώνιο, σφήνα, κύλινδρος, σφαίρα, κώνος, δακτύλιος) Αυτά μεταβάλλονται μέσω γεωμετρικών μετασχηματισμών (μεταφορά, περιστροφή, κλιμάκωση) λειτουργιών συνόλων (ένωση, αφαίρεση, τομή) ώστε να δημιουργηθεί το επιθυμητό σύνθετο αντικείμενο Η πληροφορία για το είδος του στοιχειώδους στερεού, το μετασχηματισμό και τις λειτουργίες συνόλων που χρησιμοποιήθηκαν αποθηκεύεται σε δενδρική μορφή Ρίζα Αντικείμενο Κόμβοι Λειτουργίες Συνόλων Φύλλα Είδος στοιχειώδους στερεού 6

7 Ιδιότητες CSG Τα στοιχειώδη στερεά είναι αυτόνομα και δεν μπορούν να αναλυθούν περαιτέρω αποτελούν κλειστά και έγκυρα σύνολα σημείων οδηγούνται χωρίς υπολογισμό απευθείας στη βάση δεδομένων του συστήματος Στη βάση δεδομένων καταχωρείται Τοπολογία (αποτέλεσμα λειτουργιών συνόλων στα έγκυρα κλειστά στερεά που συνδυάζουμε) Γεωμετρία (γεωμετρικά δεδομένα περιγραφής των στοιχείων και μετασχηματισμοί) 7

8 Πλεονεκτήματα CSG Αντικείμενα πάντα έγκυρα Αποδοτική μέθοδος κατασκευής Μικρές απαιτήσεις καταχώρησης Αξιόπιστοι αλγόριθμοι εφαρμογής 8

9 Μειονεκτήματα CSG Υπάρχουν περισσότεροι τρόποι αναπαράστασης ενός μοντέλου Δομή της βάσης δεδομένων ΟΧΙ μονοσήμαντη Παντελώς διαφορετική εσωτερική απεικόνιση (CSG-δένδρο) του ίδιου αντικειμένου ανάλογα με την ιστορία κατασκευής. Διαφορές προκύπτουν από τις λειτουργίες συνόλων που χρησιμοποιήθηκαν από τα στοιχειώδη στερεά που χρησιμοποιήθηκαν Επιπτώσεις στις μετέπειτα τοπικές μεταβολές μορφής: Επιλογή επιφάνειας που φαινομενικά ανήκει στο τελικό αντικείμενο αλλά στην πραγματικότητα ανήκει σε ένα στοιχειώδες στερεό 9

10 Μειονεκτήματα CSG (2) Η δομή της βάσης δεδομένων του μοντέλου CSG εξαρτάται από τον τρόπο δημιουργίας του στερεού την αλληλουχία των λειτουργιών συνόλων Η εφαρμογή μιας τοπικής μεταβολής έχει τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα ανάλογα με τον τρόπο δημιουργίας του σώματος Η μεταβολή στη θέση της επιφάνειας γίνεται μέσω της επιλογής της επιφάνειας ενός στοιχειώδους στερεού που συνθέτει το τελικό αντικείμενο μέσω λειτουργιών συνόλων. 10

11 Μειονεκτήματα CSG (3) Διαφορετικοί τρόποι αναπαράστασης ενός αντικειμένου Δομή της βάσης δεδομένων ΟΧΙ μονοσήμαντη Στην ίδια βάση δεδομένων μπορεί να απεικονιστεί μόνο μοντέλο όγκου και όχι μοντέλο σύρματος ή επιφανειών τα οποία πολλές φορές είναι χρήσιμα 11

12 Μειονεκτήματα CSG (4) Πρόβλημα στην επιλογή και μεταβολή αντικειμένων που δεν υπάρχουν στη βάση δεδομένων του συστήματος Η ακμή Κ δεν ανήκει στην βάση δεδομένων μια και δεν ανήκει σε κανένα στοιχειώδες στερεό που συνθέτει το τελικό αντικείμενο. Η ακμή Κ είναι αποτέλεσμα του αλγόριθμου αναπαράστασης στην οθόνη της βάσης δεδομένων του τελικού αντικειμένου 12

13 Μειονεκτήματα CSG (5) Για να είναι δυνατές οι τοπικές μεταβολές χρησιμοποιείται η μέθοδος του πρόσθετου στοιχείου Πολύπλοκη εργασία από πλευράς του χρήστη: Πρέπει ο ίδιος να κατασκευάσει τα πρόσθετα στοιχεία Η μέθοδος αυτή φθάνει εύκολα στα όριά της ακόμα και σε απλά αντικείμενα όταν το απαιτούμενο πρόσθετο στοιχείο είναι σύνθετο 13

14 Μειονεκτήματα CSG (6) Ακόμα και αν εφαρμοστεί η τοπική μεταβολή της μορφής στο αντίστοιχο στοιχειώδες στερεό αντί στο τελικό αντικείμενο μπορεί και πάλι να προκύψουν προβλήματα 14

15 Μειονεκτήματα CSG (7) Η δομή της βάσης δεδομένων στα CSG συστήματα δεν ενδείκνυται για την αναπαράσταση του μοντέλου Ο αλγόριθμος αναπαράστασης εφαρμόζεται στο δένδρο κατασκευής το οποίο και υπολογίζει για την αναπαράσταση του αντικειμένου Δεν είναι δυνατή η μοντελοποίηση τρισδιάστατων επιφανειών 15

16 Boundary Representation (B-REP) Κάθε σώμα αποτελείται από σύνολο επιφανειών που το περιβάλλουν Οι επιφάνειες αποτελούνται από σύνολο ακμών που την οριοθετούν Οι ακμές ορίζονται από ένα σύνολο κορυφών που τις ορίζουν 16

17 Ιεραρχική δομή της βάσης δεδομένων ενός συστήματος B-Rep 17

18 Μοντέλα B-Rep Στα συστήματα αυτά το αντικείμενο αποτελείται από επιφανειακά τμήματα που συνθέτουν ολόκληρη την εξωτερική του επιφάνεια Τα επιφανειακά τμήματα έχουν συγκεκριμένη διεύθυνση και οριοθετούν κατ αυτό τον τρόπο το μέσα και το έξω του αντικειμένου (ύπαρξη υλικού) Σήμανση Υλικού κατά δύο τρόπους: Διάνυσμα Υλικού Κάθετο διάνυσμα προς το επιφανειακό τμήμα (face) με φορά από την επιφάνεια Μέσω της διάταξης και φοράς των ακμών που περιβάλλουν το επιφανειακό τμήμα. Οι ακμές των κλειστών(!) διατομών ορίζουν την ύπαρξη υλικού αριστερόστροφα ενώ οι εσωτερικές οπές ορίζονται δεξιόστροφα (μη ύπαρξη υλικού) 18

19 Διαφορές μοντέλων CSG και B-Rep 19

20 Μοντέλα B-Rep Για την πλήρη περιγραφή τεχνικών αντικειμένων σε ένα σύστημα CAD τύπου B-Rep είναι απαραίτητη η αλληλεπίδραση μεταξύ Γεωμετρίας και Τοπολογίας. Γεωμετρία: πεδίο ορισμού για τα στοιχεία που θα περιγράψουν μονοσήμαντα το αντικείμενο (αναλυτικές εξισώσεις με συντελεστές, διανύσματα, συντεταγμένες κλπ.) Τοπολογία: Σχέση και οριοθέτηση των στοιχείων μεταξύ τους στο γεωμετρικό πεδίο ορισμού. 20

21 Μοντέλα B-Rep (2) Γεωμετρία και τοπολογία επιφανειακών στοιχείων Γεωμετρία και τοπολογία γραμμικών στοιχείων 21

22 Μοντέλα B-Rep (3) Ιεραρχία γεωμετρικών και τοπολογικών στοιχείων Τμήμα επιφανείας (face) ορίζεται από το (γεωμετρικό) πεδίο ορισμού της επιφάνειας (surface) και περιλαμβάνει στοιχεία που την οριοθετούν στο πεδίο ορισμού της Τόξο κύκλου οριοθετείται από τα σημεία Α και Ε στο πεδίο ορισμού του κύκλου κλπ. Ευθεία (καμπύλη) Επιφάνεια Τμήμα επιφανείας Ακμή Κορυφή Κύκλος (καμπύλη) 22

23 Μετασχηματισμοί Βασικές λειτουργίες για το χειρισμό και επεξεργασία αντικειμένων σε ένα σύστημα CAD είναι οι μετασχηματισμοί στο γεωμετρικό μοντέλο. Αντιστοίχηση της θέσης ενός αντικειμένου σε μια άλλη θέση στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων Μετατόπιση (Translation) Περιστροφή (Rotation) Μεγέθυνση (Scaling) [P'] = [T] * [P] όπου [P']: η μεταβληθείσα γεωμετρία [Τ]: ο πίνακας μετασχηματισμού [P]: η προς μεταβολή γεωμετρία Βάση των παραπάνω λειτουργιών είναι ο διανυσματικός λογισμός και υλοποιείται με πολλαπλασιασμούς πινάκων. Το πλεονέκτημα της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι μπορούν να συνδυαστούν περισσότερες απλές λειτουργίες σε σύνθετους μετασχηματισμούς, γεγονός που βοηθάει τη δημιουργία υπολογιστικών προγραμμάτων για τις αντίστοιχες μεταβολές της γεωμετρίας 23

24 Μετασχηματισμός Μετατόπισης * Y X dy dx Y X Σε Μορφή Πινάκων: Σε Μορφή Συντεταγμένων (2D): X 1 = X 0 + dx Y 1 = Y 0 + dy Σε Μορφή διανυσμάτων: r 1 = r 0 + s

25 Μετασχηματισμός Περιστροφής Σε Μορφή Συντεταγμένων (2D): X 1 = X 0 cos (α) - Y 0 sin (α) Y 1 = X 0 sin (α) + Y 0 cos (α) Σε Μορφή Πινάκων: 25

26 Μετασχηματισμός Κλίμακας (scale) Μητρώο Κλίμακας [P ] = [T] x [P] Αλλαγή κλίμακας μιας ευθείας κατά 2: όπου p1 και p2 τα όρια της αρχικής ευθείας p p1 και p2 τα όρια της ευθείας p μετά το μετασχηματισμό 26

27 Συνδυασμένος 2-D Μετασχηματισμός Είναι σημαντική η σειρά εκτέλεσης των μετασχηματισμών! Πρώτα μετατόπιση, μετά περιστροφή 1.Για περιστροφή γύρω από σημείο του σώματος P1: Μετατόπιση του P1 στην αρχή των συντεταγμένων, Περιστροφή, Μετατόπιση στο [1,1] Πρώτα περιστροφή, μετά μετατόπιση 2. Μόνο Περιστροφή 27

28 Πίνακες Μετασχηματισμού για Τρισδιάστατη Περιστροφή Περιστροφή γύρω από τον άξονα Z: Περιστροφή γύρω από τον άξονα Y: Περιστροφή γύρω από τον άξονα X: 28

29 Σχεδίαση Καμπύλων Κατά τη σχεδίαση καμπυλών σε ένα σύστημα CAD, η καμπύλη χωρίζεται σε μια σειρά από τμήματα (segments) τα οποία σχεδιάζονται ανεξάρτητα μεταξύ τους και στη συνέχεια ενώνονται για να σχηματίσουν πολύπλοκες καμπύλες. Στα συστήματα CAD χρησιμοποιείται συνήθως η παραμετρική αντί της αναλυτικής περιγραφής για τις καμπύλες. y = a x + b a = tan θ x=x(t) y=y(t) z=z(t) x=(1-t)x 1 +tx 2 y=(1-t)y 1 +ty 2 όπου t PP1 P P 2 1 με 0 t 1 29

30 Hermite Curves 30

31 Effect of tangent vectors on the curve s shape 31

32 Καμπύλες Bezier Προσεγγίζουν μια σειρά από σημεία δημιουργώντας το πολύγωνο ελέγχου της καμπύλης. Πλεονέκτημα : Ευκολία ελέγχου καμπύλης μέσω θέσης σημείων του πολυγώνου ελέγχου. Ιδιότητες: Η μορφή της καμπύλης εξαρτάται μόνο από τα σημεία ορισμού της καμπύλης καλύτερη κατανόηση της μορφής και δυνατότητα ελέγχου της καμπύλης Ο βαθμός της καμπύλης εξαρτάται από τα σημεία ελέγχου: βαθμός καμπύλης = αριθμός σημείων - 1 Για βαθμό καμπύλης=3 η παραμετρική εξίσωση είναι F(t) = P 0 (1-t) 3 + P 1 [3t(1-t) 2 ] + P 2 [3t 2 (1-t)] + P 3 [t 3 ] 32

33 Καμπύλες B-Splines Γενίκευση καμπυλών Bezier με τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με αυτές: Δυνατότητα τοπικού ελέγχου καμπύλης Προσθήκη σημείων χωρίς να αλλάζουμε το βαθμό της καμπύλης Δυνατότητα παρεμβολής ή προσέγγισης σειράς σημείων Ο βαθμός της καμπύλης είναι ανεξάρτητος από τα σημεία ελέγχου και επιλέγεται από τις βασικές συναρτήσεις Η εξίσωση καμπύλης B-Spline που ορίζεται από n+1 σημεία ελέγχου P i τα οποία σχηματίζουν το πολύγωνο ελέγχου είναι n με 0 u u P( u) PN ( u max i0 i, k ) Οι συναρτήσεις N i,k(u) ονομάζονται συναρτήσεις B-splines i 33

34 Καμπύλες NURBS (Non-Uniform-Rational B-Splines) Πλεονεκτήματα: Δυνατότητα ενιαίας απεικόνισης όλων των ειδών των γεωμετρικών στοιχείων με ενιαία μαθηματική μορφή Υψηλή προσαρμοστικότητα και ακρίβεια Κύκλος Έλλειψη Παραβολή Υπερβολή Bezier - B- Spline μπορούν να απεικονιστούν με ακρίβεια (όχι προσεγγιστικά) μέσω της μετατροπής τους σε NURBS αναπαράσταση Χρησιμοποιούνται σε όλα τα σύγχρονα συστήματα CAD 34

35 Τέλος Ενότητας