Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

Transcript

1 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών Φοίβος Μυλωνάς Γραφικά με υπολογιστές

2 Άδεια χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ιονίου Πανεπιστημίου» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σύνθεση Πρακτικά, οι μετασχηματισμοί στα γραφικά και στην οπτικοποίηση σπάνια αποτελούνται από έναν απλό συσχετισμένο μετασχηματισμό! Οι μετασχηματισμοί εφαρμόζονται σε όλα τα αντικείμενα της σκηνής. Τα αντικείμενα ορίζονται από χιλιάδες ή εκατομμύρια κορυφές. Παράδειγμα: «Περιστροφή Δ αντικειμένου κατά 45 o και έπειτα ισότροπη αλλαγή κλίμακας κατά παράγοντα». Εφαρμογή πίνακα περιστροφής: Έπειτα εφαρμογή του πίνακα αλλαγής κλίμακας: 4

5 Σύνθεση Πώς μπορούμε, λοιπόν, να υλοποιήσουμε πιο πολύπλοκους μετασχηματισμούς? Να αλλάξουμε την κλίμακα ενός αντικειμένου σε μια αυθαίρετη κατεύθυνση (άλλη εκτός από το και/ή )? Να περιστρέψουμε ένα αντικείμενο γύρω από σημείο (άλλο εκτός από την αρχή των αξόνων)? κλπ. Σύνθεση: συνδυάζει βασικούς μετασχηματισμούς για να επιτευχθεί ένας πιο πολύπλοκος. Παράδειγμα: αλλαγή κλίμακας κατά ½ σε γωνία 3 Περιστροφή δεξιόστροφα κατά 3 (θ π / 6): p R T p Αλλαγή κλίμακας στο κατά ½: p Sp Περιστροφή αριστερόστροφα κατά 3 (θ π / 6): p Rp Τελικό αποτέλεσμα: p Rp RSp RSR T p ο πίνακας αρνητικής περιστροφής είναι ο ανάστροφος πίνακας θετικής περιστροφής 5

6 Σύνθεση: Αλλαγή κλίμακας κατά αυθαίρετη γωνία Αλλαγή κλίμακας κατά γωνία +θ:. Δεξιόστροφη περιστροφή κατά θ: p R T p T R cos(θ) sin(θ). Αλλαγή κλίμακας γύρω από την αρχή αξόνων: p SR T p S s 3. Περιστροφή (αριστερόστροφα κατά θ): p RSR T p cos(θ) R sin(θ) sin(θ) cos(θ) sin(θ) cos(θ) θ θ T R cos( π / 6) sin( π / 6) sin( π / 6) cos( π / 6) 3 / / -/ 3 / S 3 4 6

7 Σύνθεση και Αποδοτικότητα Πολλαπλοί μετασχηματισμοί: Πολλαπλασιάζουμε κάθε σημείο (δηλ., κορυφή) ενός αντικειμένου με κάθε βασικό μετασχηματισμό p RSR T p Απαιτεί πολλαπλούς πολλαπλασιασμούς πινάκων για κάθε κορυφή Αρκετός επιπλέον υπολογιστικός φόρτος αν, μετασχηματίζουμε χιλιάδες (ή και εκατομμύρια) σημεία... Σύνθεση: ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι προσεταιριστικός (associative) Αρχικά πολλαπλασιάζουμε πίνακες μετασχηματισμών μεταξύ τους για να δημιουργήσουμε ένα και μοναδικό πίνακα. Πολλαπλασιάζουμε κάθε σημείο με αυτόν τον ένα και μοναδικό πίνακα. Πολύ πιο αποδοτικό! p RSR T p M p 7

8 Σύνθεση και Αποδοτικότητα Εφαρμογή των πινάκων ακολουθιακά σε κάθε κορυφή p: S(, ) (R(45 o ) p) ΜΗ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟ Εναλλακτικά: Χρήση της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων & εφαρμογή του (προϋπολογισμένου) αποτελέσματος στις κορυφές: (S(, ) R(45 o )) p ΠΙΟ ΑΠΟΔΟΤΙΚΟ Ο σύνθετος μετασχηματισμός υπολογίζεται μόνο μια φορά και εφαρμόζεται στις κορυφές. Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός η σειρά πολλαπλασιασμού των πινάκων έχει σημασία! Έχοντας επιλέξει αναπαράσταση των σημείων σαν στήλες οι πίνακες μετασχηματισμού πολλαπλασιάζουν από αριστερά τα σημεία ο σύνθετος πίνακας υπολογίζεται με αντίθετη σειρά από την σειρά εφαρμογής. 8

9 Ο Πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός!!! Μεταφορά κατά 6, Περιστροφή κατά 45º Περιστροφή κατά 45º Μεταφορά κατά 6, Y X 9

10 Περιστροφή γύρω από Αυθαίρετο Σημείο Έως τώρα, είδαμε περιστροφές περί της αρχής των αξόνων. Η περιστροφή αυτή «μετακινεί» ολόκληρο το αντικείμενο καθώς περιστρέφεται. Συνήθως, όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα αντικείμενο, θέλουμε να το περιστρέψουμε γύρω από το κέντρο του (ή κάποιο άλλο σταθερό σημείο) Πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό; Απάντηση: Θα εφαρμόσουμε μια ακολουθία μετασχηματισμών. 9

11 Σύνθεση: Περιστροφή γύρω από Σημείο Περιστροφή αντικειμένου γύρω από σημείο T:. Μετατόπιση T στην αρχή των αξόνων: p p T t T t. Περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων: p R(p T) cos(θ) R sin(θ) sin(θ) cos(θ) 3. Μετατόπιση πίσω: p R(p T) + T T θ

12 Περιστροφή γύρω από Αυθαίρετο Σημείο Τυποποιημένη διαδικασία για την περιστροφή σημείου γύρω από αυθαίρετο σημείο:. Μεταφορά σημείου περιστροφής στην αρχή των αξόνων. Περιστροφή γύρω από την αρχή των αξόνων 3. Μεταφορά σημείου πίσω στην αρχική του θέση Υπολογισμός του σύνθετου μετασχηματισμού που θα την επιτύχει. Κατόπιν εφαρμογή του σε όλες τις κορυφές του αντικειμένου.

13 Σύνθεση: Αλλαγή Κλίμακας σχετικά με Σημείο Αλλαγή κλίμακας σχετικά με σημείο C(c,c, ):. Μετατόπιση του αντικειμένου κατά διάνυσμα c O C, ώστε το σημείο C να έρθει στην αρχή των αξόνων.. Αλλαγή κλίμακας με παράγοντες (s,s ). 3. Μετατόπιση του αντικειμένου κατά διάνυσμα c C O, ώστε το σημείο C να έρθει πάλι στην αρχική του θέση. Με πίνακες: S συν T(c,c ) S(s,s ) T(-c,-c )

14 Ιδιότητες Σύνθεσης Ιδιότητες: T(, ) T(, ) T(, ) T(, ) T( +, + ) S(s,s ) S(s,s ) S(s,s ) S(s,s ) S(s s,s s ) R(θ ) R(θ ) R(θ ) R(θ ) R(θ + θ ) S(s,s ) R(θ) R(θ) S(s,s ), μόνο αν s s Γενικά, όμως, δεν ισχύει η αντιμετάθεση. Πρώτος εκτελείται ο τελεστής που γράφεται τελευταίος Άρα ο πίνακας που εκφράζει τον ο μετασχηματισμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί τελευταίος (να γραφεί δεξιά), κ.ο.κ. Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η!!! 3

15 Σύνθετοι Μετασχηματισμοί Εν γένει, για την εφαρμογή των μετασχηματισμών T,T,...,T m, υπολογίζουμε τον σύνθετο πίνακα T m... T T. Πρόβλημα με τον μετασχηματισμό μεταφοράς: Η μεταφορά δεν μπορεί να περιγραφεί από ένα πίνακα γραμμικού μετασχηματισμού όπως: ' A a + b ' A c + d Η μεταφορά δεν μπορεί να είναι μέρος σύνθετου μετασχηματισμού! Οφείλεται στην ιδιότητα μετασχ. να έχουν σταθερό σημείο το Ο(,) πρέπει το σταθερό σημείο να μην είναι το! Λύση στο πρόβλημα αυτό ομογενείς συντεταγμένες 4

16 Ομογενείς Συντεταγμένες Ορισμός προβλήματος: Η περιστροφή, η αλλαγή κλίμακας και η στρέβλωση πολλαπλασιάζουν έναν πίνακα με το σημείο p: p Mp Η μεταφορά προσθέτει ένα διάνυσμα στο σημείο p: p p + T Θέλουμε να αντιμετωπίζουμε ομοιόμορφα όλους τους μετασχηματισμούς! Βελτιστοποίηση του υλικού (hardware) Σύνθεση μετασχηματισμών Λύση: ομογενείς συντεταγμένες Αυξάνουν τη διάσταση του σημείου p προσθέτουν μια 3 η συντεταγμένη w w Δύο ομογενή σημεία (p και p ) καθορίζουν το ίδιο Δ Καρτεσιανό σημείο αν: p c p για κάποιο πραγματικό, βαθμωτό αριθμό c 5

17 Ομογενείς Συντεταγμένες (συνεχ.) Οι ομογενείς συντεταγμένες χρησιμοποιούν μια επιπλέον διάσταση από το χώρο που αναπαρίσταται Χώρος Δ :, όπου w η νέα συντεταγμένη που αναπαριστά την επιπλέον w διάσταση. Ισχύει w Θέτοντας w, διατηρούμε την αρχική μας χωρική διάσταση επιλέγοντας το «επίπεδο» w. Στις Δ χρησιμοποιείται το επίπεδο w, αντί του επιπέδου 6

18 7 Ομογενείς Συντεταγμένες (συνεχ.) Με τις ομογενείς συντεταγμένες, το επίπεδο - είναι ένας Δ υπο-χώρος του 3Δ Αν και τα ομοιογενή σημεία έχουν 3 συντεταγμένες, αυτά συσχετίζονται με θέσεις σε ένα Δ επίπεδο. w w w w / / Y X w w w Ομογενές σημείο Δ Καρτεσιανές συντεταγμένες

19 8 Ομογενείς Συντεταγμένες (συνεχ.) Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε Δ επίπεδο που δεν περιλαμβάνει την αρχή των αξόνων Για λόγους απλότητας, επιλέγουμε το επίπεδο w [ ] T [X Y ] T w w w w / / Y X w w w Ομογενές σημείο Δ Καρτεσιανές συντεταγμένες

20 Ομογενείς συντεταγμένες (συνεχ.) Άρα η τριάδα (,,w) με w παριστάνει τις ομογενείς συντεταγμένες του σημείου (/w, /w) E. βασική παράσταση: w. Το κέντρο του (,,) μπορεί να μετασχηματισθεί. 9

21 Ομογενείς συντεταγμένες (συνεχ.) Οι ομογενείς συντεταγμένες επιτρέπουν την έκφραση των τριών μετασχηματισμών σε 33 μήτρες (πίνακες) για εύκολη σύνθεση. Οι γραμμικές εκφράσεις συνοψίζονται σε μορφή πίνακα η μεταφορά λειτουργεί ακριβώς όπως και οι άλλοι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί! ο πλεονέκτημα ομογενών συντεταγμένων: δεν υπάρχει σταθερό σημείο στους ομογενείς συσχετισμένους μετασχηματισμούς. Αρχή των αξόνων στις Δ είναι [,, ] T & δεν είναι σταθερό σημείο. Το σημείο [,, ] T είναι εκτός του επιπέδου w μη επιτρεπόμενο, καθότι w. Από εδώ και στο εξής τα σημεία θα αναπαρίστανται με τις ομογενείς τους συντεταγμένες: Δ [,, ] T 3Δ [,, z, ] T 3

22 Ομογενείς Συντεταγμένες (συνεχ.) Για Δ μετασχηματισμούς, τα σημεία είναι τώρα διανύσματα 3 διαστάσεων: p w Και οι πίνακες μετασχηματισμού είναι πλέον πίνακες 33: T t t t 3 t t t 3 t t t

23 3 Ομογενείς Συντεταγμένες: Μετατόπιση Πως θα μοιάζει πλέον ο πίνακας μετατόπισης? Για να μετακινήσουμε ένα σημείο p στο σημείο p, χρειαζόμαστε με και, t t T p ' Tp p + + ' ' ' t t p

24 33 Ομογενείς Συντεταγμένες: Μετατόπιση Γιατί: + t + t ή p p + T, όπου: Αντικαθιστώντας: t t T + + ' ' ' t t t t p

25 34 Ομογενείς Συντεταγμένες: Αλλαγή κλίμακας Πώς θα μοιάζει πλέον ο πίνακας κλιμάκωσης? Για να αλλάξουμε κλίμακα ενός σημείου p στο p, χρειαζόμαστε: με και, p ' Sp p ' ' ' S S p S S S

26 35 Ομογενείς Συντεταγμένες: Αλλαγή κλίμακας Γιατί: s s Αντικαθιστώντας: ' ' ' S S S S p

27 Ομογενείς Συντεταγμένες: Περιστροφή Από τον απλό Δ πίνακα περιστροφής: cosθ R sin θ Όταν πάμε σε ομογενείς συντεταγμένες, έχουμε: cosθ R sinθ sin θ cosθ sinθ cosθ Εφαρμόζουμε τον πίνακα αυτό σε κάθε κορυφή ενός πολυγώνου για να περιστρέψουμε ολόκληρο το πολύγωνο! 36

28 Ομογενείς Συντεταγμένες: Στρέβλωση Κατά άξονες και : 37

29 Ομογενείς Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί στις Δ Ομογενής πίνακας μεταφοράς, αλλαγής κλίμακας, περιστροφής: Η τελευταία γραμμή του ομογενούς πίνακα μετασχηματισμών είναι πάντα [,, ] διατηρεί τιμή συντεταγμένης w () Χρήση μεταφοράς όπως και των άλλων βασικών συσχετισμένων μετασχηματισμών: p' T ( d ) p 38

30 39 Μεταφορά του [,3] κατά [7,9] Κλίμακα του [,3] κατά 5 στο X και στο Y Περιστροφή του [,] κατά 9 (π/) Παραδείγματα ) / cos( ) / sin( ) / sin( ) / cos( π π π π

31 4 Σύνθεση: Περιστροφή γύρω από Σημείο Ας δοκιμάσουμε εκ νέου την περιστροφή γύρω από σημείο T:. Μετατόπιση στην αρχή: p T p. Περιστροφή γύρω από την αρχή: p R T p 3. Μετατόπιση πίσω: p T R T p ) cos(45 ) sin(45 ) sin(45 ) cos(45 R θ 45 T T T

32 4 Σύνθεση: Περιστροφή γύρω από Σημείο Έτσι: όπου: M είναι ο πίνακας σύνθετου μετασχηματισμού Mp T RTp p ) cos(45 ) 45 sin( ) 45 sin( ) cos(45 T RT M

33 Αντίστροφοι Ομογενείς Μετασχηματισμοί στις Δ Συχνά είναι απαραίτητη η αντιστροφή ενός μετασχηματισμού: Αντίστροφος ομογενής πίνακας μετατόπισης στις Δ: Αντίστροφος ομογενής πίνακας αλλαγής κλίμακας στις Δ: 4

34 Αντίστροφοι Ομογενείς Μετασχηματισμοί στις Δ Αντίστροφος ομογενής πίνακας περιστροφής στις Δ: Αντίστροφος ομογενής πίνακας στρέβλωσης στις Δ: στρέβλωση στον άξονα στρέβλωση στον άξονα 43

35 Αντίστροφοι Ομογενείς Μετασχηματισμοί στις Δ Η εφαρμογή ενός μετασχηματισμού πάνω σε ένα αντικείμενο είναι ισοδύναμη με την εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού πάνω στο σύστημα συντεταγμένων (μετασχηματισμός αξόνων). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Η ισοτροπική αλλαγή κλίμακας σε ένα αντικείμενο κατά συντελεστή είναι ισοδύναμη με την ισοτροπική (s s ) αλλαγή κλίμακας στους άξονες του συστήματος συντεταγμένων κατά συντελεστή ½ (συρρίκνωση). 44

36 Ιδιότητες Ομογενών Πινάκων Αρκετά χρήσιμες ιδιότητες των πινάκων ομογενών συσχετισμένων μετασχηματισμών είναι οι εξής: T( d) T( d) T( d) T( d) T( d+ d) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s s, s s ) R( q) R( q) R( q) R( q) R( q + q) S( s, ) ( ) ( ) (, ) μόνο για ισοτροπική αλλαγή s R q R q S s s κλίμακας (s s ). 45

37 46 Μεταφορά Αλλαγή Κλίμακας (Δεξιόστροφο σύστημα συνεταγμένων) dz d d z s s s z 3Δ Βασικοί Μετασχηματισμοί

38 47 Περιστροφή ως προς Χ cos sin sin cos θ θ θ θ cos sin sin cos θ θ θ θ cos sin sin cos θ θ θ θ Περιστροφή ως προς Υ Περιστροφή ως προς Ζ 3Δ Βασικοί Μετασχηματισμοί

39 Παραδείγματα 48

40 Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα Παράδειγμα : Περιστροφή γύρω από σημείο Προσδιορισμός του πίνακα μετασχηματισμού R(θ, p) που απαιτείται για την περιστροφή γύρω από σημείο p κατά γωνία θ. Λύση: Βήμα : Μεταφορά κατά pt, ( p) Βήμα : Περιστροφή κατά θ, R(θ) Βήμα 3: Μεταφορά κατά ptp, ( ) 49

41 Παράδειγμα : Περιστροφή τριγώνου γύρω από σημείο Περιστροφή τριγώνου abc κατά 45 o γύρω από σημείο p[-,-] T, όπου a[,] T, b[,] T και c[5,] T Λύση: Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα Το τρίγωνο αναπαρίσταται με τον πίνακα: Εφαρμογή R(θ, p) [Παρ. ] στο τρίγωνο: Το προκύπτον τρίγωνο είναι το όπου a [-, ] T, b [-, ] T 3 9 και c [, ] T 5

42 Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 3 Παράδειγμα 3: Αλλαγή κλίμακας ως προς τυχαίο σημείο Κατασκευή πίνακα μετασχηματισμού S(s,s,p) για αλλαγή κλίμακας κατά s και s ως προς τυχαίο (σταθερό) σημείο p Λύση: Βήμα : Μεταφορά κατά pt, ( p) Βήμα : Αλλαγή κλίμακας κατά s και s, S(s,s ) Βήμα 3: Μεταφορά κατά ptp, ( ) 5

43 Παράδειγμα 4: Αλλαγή κλίμακας τριγώνου ως προς σημείο Διπλασιασμός του μήκους των πλευρών τριγώνου abc κρατώντας σταθερή την κορυφή c. Οι συντεταγμένες των κορυφών είναι a[,] T, b[,] T, c[5,] T Λύση: Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 4 Το τρίγωνο αναπαρίσταται από τον πίνακα G [Παρ. ] Εφαρμογή πίνακα S(s,s,p) [Παρ. 3] στο τρίγωνο, θέτοντας τους παράγοντες αλλαγής κλίμακας και pc Το νέο τρίγωνο είναι a b c με a [-5,-] T, b [-3,] T c [5,] T 5

44 Παράδειγμα 5: Μετασχηματισμός άξονα Έστω ότι το σύστημα συντεταγμένων μεταφέρεται κατά διάνυσμα Λύση: Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 5 v [ v, v ] T. Κατασκευάστε τον πίνακα που περιγράφει το παραπάνω. Ο ζητούμενος πίνακας μετασχηματισμού πρέπει να παράγει τις συντεταγμένες των αντικειμένων ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων. Αυτό επιτυγχάνεται με εφαρμογή τις αντίστροφης μεταφοράς στα αντικείμενα: Όμοια, για οποιοδήποτε μετασχηματισμό άξονα: Ζητούμενο Εφαρμογή αντίστροφου μετασχηματισμού στα αντικείμενα 53

45 Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 6 Παράδειγμα 6: Κατοπτρισμός σε τυχαίο άξονα Κατασκευή πίνακα μετασχηματισμού για κατοπτρισμό σε τυχαίο άξονα που ορίζεται από σημείο p[p,p ] T και κατεύθυνση v [ v, ] T v Λύση: Βήμα : Μεταφορά κατά pt, ( p) Βήμα : Περιστροφή κατά θ (φορά ρολογιού), R(-θ), θ η γωνία που σχηματίζει ο άξονας και το διάνυσμα v v sin q cosq v + v v + και: (Τα παραπάνω βήματα ταυτίζουν τον τυχαίο άξονα με τον ) Βήμα 3: Κατοπτρισμός στον άξονα, S(, -) Βήμα 4: Περιστροφή κατά θ, R(θ) v v 54

46 Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 6 () Βήμα 5: Μεταφορά κατά Συνεπώς έχουμε: ptp, ( ) 55

47 Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 7 Παράδειγμα 7: Κατοπτρισμός Πολυγώνου Δοθέντος ενός πολυγώνου, κατασκευάστε τον κατοπτρισμό του ως προς α) την γραμμή και β) τον άξονα που ορίζεται από το σημείο p[,] T και το διάνυσμα v [,] T. Το πολύγωνο δίνεται από τις κορυφές του a[-,] T, b[,-] T, c[,] T και d[,] T Λύση: Το πολύγωνο αναπαρίσταται από τον πίνακα: Στην περίπτωση (α) p[,] T και και έχουμε: v [, ] T έτσι θ ο, sinθ, cosθ 56

48 Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα 7 () v [,] T Στην περίπτωση β) p[,] T και, έτσι sinθ cosθ και έχουμε: όπου M SYM είναι ο πίνακας του [Παρ. 6] 57

49 3Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα Παράδειγμα : ΣύνθετηΠεριστροφή-Καμπή Υπολογίστε τον πίνακα καμπής: Περιστροφή κατά γωνία θ γύρω από -άξονα Περιστροφή κατά γωνία θ γύρω από -άξονα Παίζει ρόλο η σειρά που γίνονται οι περιστροφές; Λύση:. Περιστροφή ως προς X cosθ sinθ cosθ sinθ sinθ cosθ sinθ cosθ Περιστροφή ως προς Υ 58

50 3Δ Μετασχηματισμοί: Παράδειγμα. Υπολογισμός με την αντίστροφη σειρά: Περιστροφή ως προς X sinθ cosθ sinθ sinθ cosθ cosθ Περιστροφή ως προς Υ cosθ sinθ M BEND M BEND οπότε η σειρά που εκτελούνται οι περιστροφές παίζει ρόλο!! 59

51 Ερωτήσεις - Απορίες 6