Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ουρές Προτεραιότητας. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Transcript

1 Δομές Δεδομένων Ουρές Προτεραιότητας Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

2 Ουρά Προτεραιότητας Το πρόβλημα Έχουμε αντικείμενα με κλειδιά και θέλουμε ανά πάσα στιγμή να επεξεργαζόμαστε το αντικείμενο με το μεγαλύτερο κλειδί. Στη συνέχεια θέλουμε να ανανεώσουμε την συλλογή αντικειμένων και να επεξεργαστούμε εκ νέου το αντικείμενο με το μεγαλύτερο κλειδί. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 2/19

3 Ουρά Προτεραιότητας Ορισμός Μία ουρά προτεραιότητας (priority queue) είναι μία δομή δεδομένων στοιχείων με κλειδιά η οποία υποστηρίζει δύο βασικές λειτουργίες: εισαγωγή ενός νέου στοιχείου διαγραφή του στοιχείου με το μεγαλύτερο κλειδί Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 3/19

4 Παραδείγματα Εφαρμογών σύστημα προσομοίωσης, όπου τα κλειδιά αντιστοιχούν σε χρόνους συμβάντων χρονοπρογραμματισμό εργασιών όπου τα κλειδιά είναι προτεραιότητες ταξινόμηση αριθμών (θα αναπτύξουμε αυτό το θέμα σε λεπτομέρεια αργότερα) και άλλα που θα δούμε σε άλλα μαθήματα αλγόριθμος A αλγόριθμος Dijkstra κωδικοποίηση Huffman αλγόριθμος Prim - εύρεση ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο /19

5 Διάφορες Λειτουργίες Μία ουρά προτεραιότητας υποστηρίζει συνήθως: κατασκευή ουράς προτεραιότητας από n δεδομένα στοιχεία εισαγωγή νέου στοιχείου διαγραφή μέγιστου αλλαγή προτεραιότητας στοιχείου διαγραφή στοιχείου ένωση δύο ουρών προτεραιότητας Αυτές οι λειτουργίες μπορούν να λειτουργήσουν και ως ΑΤΔ. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 5/19

6 Στοιχειώδης Υλοποίηση Με Πίνακα εισαγωγή νέου στοιχείου: στο τέλος του πίνακα διαγραφή μεγίστου: γραμμική αναζήτηση μέγιστου στον πίνακα κ.τ.λ Άλλες απλές υλοποιήσεις είναι με διατεταγμένο πίνακα (πίνακα όπου τα στοιχεία είναι ταξινομημένα με βάση τα κλειδιά) με λίστες με διατεταγμένες λίστες Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 6/19

7 Χρόνοι Υλοποιήσεων εισαγωγή διαγραφή διαγραφή εύρεση αλλαγή ένωση μέγιστου μέγιστου προτερ. πίνακας 1 n 1 n 1 n διατετ. n 1 n 1 n n πίνακας λίστα 1 n 1 n 1 1 διατετ. λίστα n n n Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 7/19

8 Δυαδικός Σωρός Ένα δέντρο είναι διατεταγμένο σε σωρό (heap-ordered) αν το κλειδί κάθε κόμβου είναι μεγαλύτερο ή ίσο από τα κλειδιά όλων των παιδιών του. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/19

9 Δυαδικός Σωρός Ένα δέντρο είναι διατεταγμένο σε σωρό (heap-ordered) αν το κλειδί κάθε κόμβου είναι μεγαλύτερο ή ίσο από τα κλειδιά όλων των παιδιών του. Δυαδικός Σωρός (binary heap) O σωρός είναι ένα σύνολο κόμβων με κλειδιά τοποθετημένα σε ένα πλήρες δυαδικό δέντρο το οποίο είναι διατεταγμένο σε σωρό και αναπαριστάται ως πίνακας. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 8/19

10 Πλήρες Δυαδικό Δέντρο Ορισμός Ένα δυαδικό δέντρο όπου όλα τα επίπεδα, εκτός ίσως του τελευταίου, είναι συμπληρωμένα, το οποίο συμπληρώνεται από τα αριστερά προς τα δεξιά Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 9/19

11 Πλήρες Δυαδικό Δέντρο σε Πίνακα parent(i) = i/2 left child(i) = 2i right child(i) = 2i Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 10/19

12 Ύψος Πλήρους Δυαδικού Δέντρου με n κόμβους Επειδή κάθε φορά οι κόμβοι του δέντρου μοιράζονται περίπου στα δύο, ένα τέτοιο δέντρο έχει περίπου log n επίπεδα. Σε αυτή την ιδιότητα βασίζονται οι δυαδικοί σωροί Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 11/19

13 Παράδειγμα Δυαδικού Σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 12/19

14 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

15 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

16 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

17 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

18 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

19 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

20 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

21 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

22 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

23 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό κάτω-πάνω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 13/19

24 Εισαγωγή σε Δυαδικό Σωρό Χρόνος Ο χρόνος εκτέλεσης είναι ανάλογος του μήκους του μέγιστου μονοπατιού από ένα φύλλο μέχρι την ρίζα, δηλαδή O(log n) Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 1/19

25 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

26 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

27 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

28 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

29 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

30 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

31 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

32 Αφαίρεση Μέγιστου από Δυαδικό Σωρό πάνω-κάτω τακτοποίηση δυαδικού σωρού Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 15/19

33 Πάνω-κάτω Τακτοποίηση Δυαδικού Σωρού λάθος προτεραιότητα πάνω κάτω τακτοποίηση σωστός σωρός σωστός σωρός σωστός σωρός Άμα τα δύο υποδέντρα ενός κόμβου είναι σωροί, τότε με μία εκτέλεση της πάνω-κάτω τακτοποίησης σωρού από αυτόν τον κόμβο παίρνουμε ένα σωρό. Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 16/19

34 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

35 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

36 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

37 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

38 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

39 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

40 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

41 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Έστω ένας πίνακας με n στοιχεία τον οποίο θέλουμε να μετατρέψουμε σε σωρό. Όλα τα φύλλα του δέντρου είναι σωροί. Μπορούμε να φτιάχνουμε και το υπόλοιπο δέντρο με διαδοχικές πάνω-κάτω τακτοποιήσεις. Ξεκινάμε από την μέση του πίνακα και εκτελούμε πάνω-κάτω τακτοποιήσεις για ένα ένα τα στοιχεία μέχρι να φτάσουμε στην ρίζα (το πρώτο στοιχείο του πίνακα). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 17/19

42 Κατασκευή Δυαδικού Σωρού από Πίνακα heapify Πόσο κοστίζει αυτή η διαδικασία; Ο πίνακας έχει n στοιχεία και κάνουμε πάνω-κάτω τακτοποίηση το πολύ σε k = log n επίπεδα. Κάθε επίπεδο i έχει το πολύ 2 i κόμβους Η πάνω-κάτω τακτοποίηση ξεκινώντας από ένα κόμβο στο επίπεδο i έχει το πολύ κόστος O(k i). Προσθέτοντας: O 2 i (k i) = O 2 k 0 i<k 0 i<k k i = O 2 k i 2 k j 1 j = O(n) 2 j Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 18/19

43 Ταξινόμηση με Δυαδικό Σωρό Έστω ένας πίνακας με n ακεραίους. Θέλουμε να τυπώσουμε τους ακεραίους από τον μεγαλύτερο ως τον μικρότερο με την σειρά. Αλγόριθμος φτιάξε ένα σωρό από τον πίνακα όσο ο σωρός δεν είναι άδειος βγάλε το μεγαλύτερο στοιχείο και εκτύπωσε το Ο αλγόριθμος αυτός λέγεται Heap-Sort και βάζει n αριθμούς στη σειρά σε χρόνο O(n log n). Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο 19/19