ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1

3 Εκφώνηση Από την υπαίθρια έρευνα σε μία περιοχή προέκυψε ο γεωλογικός χάρτης του σχήματος 1. Σε αυτόν φαίνεται ότι ο γρανίτης έρχεται σε επαφή με σχιστόλιθο, όπου σχηματίζεται μια κερατιτική ζώνη, και με μάρμαρο, όπου σχηματίζεται μια ζώνη skarn. Επίσης, από γεωλογικά στοιχεία προκύπτει ότι ο σχιστόλιθος έχει Κάμβρια ηλικία. Για τη μελέτη των πετρωμάτων συλλέχθηκαν πέντε δείγματα από τον γρανίτη (G-1 έως G-5) και δύο από τον σχιστόλιθο (S-1, S-2). Τα δείγματα αναλύθηκαν ισοτοπικά με τις μεθόδους Rb-Sr και K-Ar αντίστοιχα.

4 Εκφώνηση Δείγμα Πίνακας 1 Rb/ 86 Sr Sr/ 86 Sr Γρανίτης G G G G G λ = 1, έτη -1

5 Εκφώνηση Ηλικία του γρανίτη Τα ισοτοπικά αποτελέσματα Rb-Sr των γρανιτικών πετρωμάτων δίνονται στον πίνακα 1. A) Να προβάλετε τα ισοτοπικά δεδομένα Rb-Sr στο διάγραμμα του σχήματος 2 και να χαράξετε την ισόχρονη ευθεία. Σημ. i) Με βάση τις τιμές του πίνακα 1, επιλέξτε τις κατάλληλες υποδιαιρέσεις στους άξονες. ii) Η ευθεία να χαραχτεί με το μάτι. Β) Γράψτε τοσο την κανονική όσο και την προσεγγιστική εξίσωση γεωχρονολόγησης Rb-Sr. Γ) Με τη βοήθεια της ισόχρονης και της προσεγγιστικής εξίσωσης, να υπολογίσετε την ηλικία του γρανίτη και τον αρχικό λόγο ( Sr/ 86 Sr) ο. Σημ. i) Η ηλικία να δοθεί σε Ma και σε ακέραιο αριθμό χωρίς δεκαδικά. ii) Ο αρχικός λόγος να δοθεί με τρία δεκαδικά.

6 Εκφώνηση Προέλευση του γρανίτη Δ) Με βάση τον αρχικό ισοτοπικό λόγο Sr, τι συμπεραίνετε για την προέλευση του γρανιτικού μάγματος; Σχέση του γρανίτη με τον σχιστόλιθο Όπως φαίνεται στον χάρτη του σχήματος 1, το σχιστολιθικό δείγμα S-1 βρίσκεται δίπλα στην επαφή με τον γρανίτη, ενώ το δείγμα S-2 αρκετά μακριά από αυτήν. Η ισοτοπική ανάλυση K-Ar έδωσε για τον βιοτίτη του S-1 ηλικία 260 Ma και για τον βιοτίτη του S-2 ηλικία 500 Ma αντίστοιχα. Ε) Λαμβάνοντας υπόψη τις υπαίθριες παρατηρήσεις και την ηλικία του γρανίτη, πως εξηγείτε τις ηλικίες των δειγμάτων S-1 και S-2;

7 Απάντηση Α A) Να προβάλετε τα ισοτοπικά δεδομένα Rb-Sr στο διάγραμμα του σχήματος 2 και να χαράξετε την ισόχρονη ευθεία. Σημ. i) Με βάση τις τιμές του πίνακα 1, επιλέξτε τις κατάλληλες υποδιαιρέσεις στους άξονες. ii) Η ευθεία να χαραχτεί με το μάτι.

8 Απάντηση Α Sr /86 Sr Rb /86 Sr Στον άξονα Χ γράφουμε Rb/ 86 Sr και στον άξονα Υ Sr/ 86 Sr.

9 Απάντηση Α Πίνακας Δείγμα Rb/ 86 Sr Sr/ 86 Sr Γρανίτης Sr /86 Sr G G G G G Rb /86 Sr λ = 1, έτη -1 Για τις υποδιαιρέσεις επιλέγουμε τιμές με βάση τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές στις στήλες Rb/ 86 Sr και Sr/ 86 Sr του πίνακα. Επιλέγουμε στρογγυλές τιμές για τις υποδιαιρέσεις. Επειδή ο υπολογισμός της ηλικίας γίνεται γραφικά καλόν είναι να χρησιμοποιήσουμε όλο το εύρος του διαγράμματος. Οι τιμές στον άξονα Rb/ 86 Sr πρέπει να ξεκινούν από το 0.

10 Απάντηση Α Πίνακας Δείγμα Rb/ 86 Sr Γρανίτης Sr/ 86 Sr Sr /86 Sr G G G G G λ = 1, έτη Rb /86 Sr Προβάλουμε τα σημεία στο διάγραμμα.

11 Απάντηση Α Sr /86 Sr Rb /86 Sr Χαράζουμε την ισόχρονη ευθεία με έναν χάρακα (με το μάτι). Η ευθεία πρέπει να περνάει όσο πιο κοντά γίνεται απο τα σηµεία, έτσι ώστε το άθροισμα των αποστάσεων των σημείων πάνω από την ευθεία να ισούται περίπου με αυτό των σημείων κάτω από την ευθεία. Η ευθεία πρέπει να χαραχτεί από άκρη σε άκρη.

12 Απάντηση Α Sr /86 Sr Rb /86 Sr ΛΑΘΟΣ Sr /86 Sr ΛΑΘΟΣ Rb /86 Sr Sr /86 Sr Rb /86 Sr ΛΑΘΟΣ Sr /86 Sr Rb /86 Sr ΛΑΘΟΣ

13 0,730 0,725 ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΩΣΤΟ μεν, αλλά... 0,730 0,725 Απάντηση Α Sr /86 Sr 0,730 0,720 0,720 0,715 0,710 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 Rb /86 Sr Sr /86 Sr 0,720 0,715 ΣΩΣΤΟ μεν, αλλά... 0,710 0,0 1,0 2,0 1,0 3,0 4,0 2,0 3,0 4,0 Rb /86 Sr 0,730 0,725 ΣΩΣΤΟ μεν, αλλά... 0,730 0,725 0,730 ΣΩΣΤΟ μεν, αλλά... Sr /86 Sr 0,720 0,730 Sr /86 Sr 0,720 0,715 0,720 0,715 0,710 0,710 0,0 1,0 2,0 1,0 3,0 4,0 2,0 3,0 4,0 Rb /86 Sr 0,710 0,0 0,0 1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 3,0 4,0 Rb /86 Sr

14 Απάντηση Α Sr /86 Sr Rb /86 Sr Η απάντηση στο θέμα Α δεν χρειάζεται να έχει λόγια. Αρκεί να είναι ένα σωστό διάγραμμα, όπως το εικονιζόμενο.

15 Απάντηση Β Β) Γράψτε τόσο την κανονική όσο και την προσεγγιστική εξίσωση γεωχρονολόγησης Rb-Sr.

16 Απάντηση Β Κανονική εξίσωση Sr/ 86 Sr = ( Sr/ 86 Sr) ο + Rb/ 86 Sr (e λt 1) Προσεγγιστική εξίσωση Sr/ 86 Sr = ( Sr/ 86 Sr) ο + Rb/ 86 Sr λt

17 Απάντηση Γ Γ) Με τη βοήθεια της ισόχρονης και της προσεγγιστικής εξίσωσης, να υπολογίσετε την ηλικία του γρανίτη και τον αρχικό λόγο ( Sr/ 86 Sr) ο. Σημ. i) Η ηλικία να δοθεί σε Ma και σε ακέραιο αριθμό χωρίς δεκαδικά. ii) Ο αρχικός λόγος να δοθεί με τρία δεκαδικά.

18 Απάντηση Γ Β Sr /86 Sr Α Rb /86 Sr Για τον υπολογισμό της ηλικίας παίρνουμε δύο σημεία πάνω στην ευθεία. Tα σημεία καλόν είναι να έχουν απόσταση μεταξύ τους, για να μειώσουμε το σφάλμα υπολογισμού. Γ

19 Απάντηση Γ Για την εύρεση της ηλικίας χρησιμοποιούμε την προσεγγιστική εξίσωση: Sr/ 86 Sr = ( Sr/ 86 Sr) ο + Rb/ 86 Sr λt Η εξίσωση έχει τη μορφή ευθείας y = A + x k, όπου x = Rb/ 86 Sr, y = Sr/ 86 Sr, k (κλίση της ευθείας) = λt και A (τεταγμένη επί την αρχή του άξονα y) = ( Sr/ 86 Sr) ο Για τον γραφικό υπολογισμό της κλίσης k επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β πάνω στην ευθεία. Η κλίση k της ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας ΒÂΓ. k = εφ ΒÂΓ = ΒΓ/ΑΓ = (y B -y A )/(x B -x A ) => k = (0,725-0,712)/(3,6-0,1) = 0,013/3,5 => k = 0, Εφόσον k = λt => t = k/λ = 0, /1, έτη -1 = έτη Άρα η ηλικία t του γρανίτη είναι 262 Ma. Ο αρχικός λόγος ( Sr/ 86 Sr) ο δίνεται από την τεταγμένη επί την αρχή του άξονα y. Άρα ( Sr/ 86 Sr) ο = 0,7117 = 0,712.

20 Απάντηση Γ ΛΑΘΟΣ Δεν είναι σωστό στην εξίσωση Sr/ 86 Sr = ( Sr/ 86 Sr) ο + Rb/ 86 Sr λt να χρησιμοποιούμε τις τιμές από ένα μόνο δείγμα, ακόμα κι αν το σημείο φαινομενικά πέφτει πάνω στην ευθεία. Για παράδειγμα, αν χρησιμοποιήσουμε το δείγμα G-3, η εξίσωση γίνεται: t = [( Sr/ 86 Sr) - ( Sr/ 86 Sr) ο ]/[( Rb/ 86 Sr) λ] t = (0,722-0,7117)/(3,0 1, ) => t = 242 Ma

21 Απάντηση Δ Προέλευση του γρανίτη Δ) Με βάση τον αρχικό ισοτοπικό λόγο Sr, τι συμπεραίνετε για την προέλευση του γρανιτικού μάγματος;

22 Απάντηση Δ Η τιμή του αρχικού λόγου ( Sr/ 86 Sr) ο είναι χαρακτηριστική της προέλευσης των πυριγενών (π.χ. γρανίτες) και αντίστοιχων μεταμορφωμένων πετρωμάτων (π.χ. γνεύσιοι). Πετρώματα με τιμές αρχικού ισοτοπικού λόγου Sr μικρότερες από 0,705 δείχνουν προέλευση από τήγματα του μανδύα, ενώ με τιμές μεγαλύτερες από 0,705 δείχνουν προέλευση από τήγματα υλικών του φλοιού ή από μείξη υλικών του μανδύα και του φλοιού. Στην περίπτωση της άσκησης ο αρχικός ισοτοπικός λόγος Sr είναι 0,712, δηλαδή ο γρανίτης προέρχεται από τήξη υλικών του φλοιού.

23 Απάντηση Ε Σχέση του γρανίτη με τον σχιστόλιθο Όπως φαίνεται στον χάρτη του σχήματος 1, το σχιστολιθικό δείγμα S-1 βρίσκεται δίπλα στην επαφή με τον γρανίτη, ενώ το δείγμα S-2 αρκετά μακριά από αυτήν. Η ισοτοπική ανάλυση K-Ar έδωσε για τον βιοτίτη του S-1 ηλικία 260 Ma και για τον βιοτίτη του S-2 ηλικία 500 Ma αντίστοιχα. Ε) Λαμβάνοντας υπόψη τις υπαίθριες παρατηρήσεις και την ηλικία του γρανίτη, πως εξηγείτε τις ηλικίες των δειγμάτων S-1 και S-2;

24 Απάντηση Ε Οι γεωλογικές παρατηρήσεις δείχνουν ότι ο γρανίτης διείσδυσε στο μεταμορφωμένο υπόβαθρο και προκάλεσε φαινόμενα θερμομεταμόρφωσης επαφής (κερατίτης, skarn). Ο βιοτίτης του σχιστολιθικού δείγματος S-1 έδωσε ηλικία K-Ar 260 Ma, δηλαδή όση και η ηλικία του γρανίτη. To δείγμα βρίσκεται δίπλα στην επαφή με τον γρανίτη και επηρεάστηκε θερμικά από τη διείσδυση του γρανιτικού μάγματος. Η θερμοκρασία αυξήθηκε πάνω από τη θερμοκρασία κλεισίματος του βιοτίτη (300 ºC). Έτσι, το ισοτοπικό σύστημα K-Ar του βιοτίτη άνοιξε εντελώς, και διέφυγε όλο το ραδιογενές Ar που είχε συσσωρευτεί μέχρι τη στιγμή της διείσδυσης του γρανίτη. Ακολούθως το σύστημα K-Ar έκλεισε ξανά, και επανεκκίνησε η συσσώρευση ραδιογενούς Ar στον βιοτίτη με αποτέλεσμα να δώσει ηλικία όση και η ηλικία του γρανίτη. Η ηλικία 260 Ma είναι, επομένως, η ηλικία ψύξης του βιοτίτη. Το σχιστολιθικό δείγμα S-2 είναι μακριά από την επαφή και δεν επηρεάστηκε θερμικά. Επομένως ο βιοτίτης του έδωσε την ηλικία σχηματισμού του, δηλαδή 500 Ma (Κάμβριο).

25 ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 2

26 ΑΣΚΗΣΗ 2 Εκφώνηση Κατά τη γεωχρονολόγηση με τη μέθοδο K-Ar ενός αμφιβολίτη από τη μάζα της Ροδόπης, η κεροστίλβη έδωσε ηλικία 60 Ma. Η χημική σύσταση της κεροστίλβης έδειξε ότι αυτή σχηματίστηκε σε ένα βάθος μέσα στο φλοιό που αντιστοιχεί σε πίεση 5 kilobars. Δεδομένου ότι η πίεση στο φλοιό μεταβάλλεται με το βάθος κατά 1 kilobar/3 km και λαμβάνοντας υπόψη τη θερμοκρασία κλεισίματος της κεροστίλβης, να υπολογιστούν: Α) Ο ρυθμός ανόδου της μάζας της Ροδόπης (σε mm/έτος). Β) Η γεωθερμική βαθμίδα στον φλοιό της Ροδόπης (σε ο C/km).

27 ΑΣΚΗΣΗ 2 Απάντηση Α Ρυθμός ανόδου Η κεροστίλβη σχηματίστηκε σε βάθος που αντιστοιχεί σε πίεση 5 kilobars. Εφόσον η πίεση στο φλοιό μεταβάλλεται με το βάθος κατά 1 kilobar/3 km, η κεροστίλβη σχηματίστηκε σε βάθος 5 3 = 15 km. Η κεροστίλβη έδωσε ηλικία 60 Ma. Δηλαδή, στα 60 Ma η κεροστίλβη, και κατά συνέπεια ο αμφιβολίτης, βρισκόταν σε βάθος 15 km. Σήμερα ο αμφιβολίτης βρίσκεται στην επιφάνεια της Ροδόπης. Επομένως στα 60 Ma ο φλοιός ανυψώθηκε κατά 15 km. Άρα, ο ρυθμός ανόδου της μάζας της Ροδόπης είναι: Ρυθμός ανόδου = 15 km/60 Ma = mm/ έτη Ρυθμός ανόδου = 15/60 mm/έτος = 0,25 mm/έτος.

28 ΑΣΚΗΣΗ 2 Απάντηση Β Γεωθερμική βαθμίδα Η κεροστίλβη, όπως υπολογίστηκε προηγουμένως, σχηματίστηκε σε βάθος 15 km. Η ηλικία της κεροστίλβης αντιστοιχεί στη στιγμή που έκλεισε το ισοτοπικό σύστημα K-Ar, δηλαδή, όταν η κεροστίλβη είχε 500 ºC (θερμοκρασία κλεισίματος). Άρα, η γεωθερμική βαθμίδα στη μάζα της Ροδόπης είναι: Γεωθερμική βαθμίδα = 500 ºC/15 km = 33,3 ºC/km.

ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ. Β) Τι ονομάζουμε μαζικό αριθμό ενός στοιχείου και με ποιο γράμμα συμβολίζεται;

ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ. Β) Τι ονομάζουμε μαζικό αριθμό ενός στοιχείου και με ποιο γράμμα συμβολίζεται; ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ Α) Τι ονομάζουμε ατομικό αριθμό ενός στοιχείου και με ποιο γράμμα συμβολίζεται; Β) Τι ονομάζουμε μαζικό αριθμό ενός στοιχείου και με ποιο γράμμα συμβολίζεται; Γ) Πως συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΓΕΩΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1. 23 α) Στο στοιχείο π.χ. 11Na τι συμβολίζουν οι αριθμοί 23 και 11 αντίστοιχα; β) Τι ονομάζουμε ισότοπα στοιχεία; 39 87 235 87 86 85 40 γ) Με τα ακόλουθα στοιχεία σχηματίστε ζεύγη

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος χρονολόγησης Rb-Sr

Μέθοδος χρονολόγησης Rb-Sr Μέθοδος χρονολόγησης Rb-Sr Γεωχημεία του Rb και του Sr To Rb ανήκει στα αλκάλια, όπως και το Κ. To Sr ανήκει στις αλκαλικές γαίες, όπως και το μαγνήσιο και το ασβέστιο. Τα ουδέτερα άτομα των αλκαλίων έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Γεωχρονολόγησης Lu-Hf

Μέθοδος Γεωχρονολόγησης Lu-Hf Μέθοδος Γεωχρονολόγησης Lu-Hf Lu HREE Hf HFSE Γεωχημεία Lu-Hf Γεωχημεία Lu-Hf Lu 4+ Hf 3+ Ca 3+ Zr 4+ 0.93 Å 0.81 Å 0.99 Å 0.79 Å Οι ιδιότητες τους μοιάζουν αρκετά με αυτές του Sm-Nd διότι το Hf προτιμά

Διαβάστε περισσότερα

Σε ανθρακικά πετρώματα η επιτυχία της μεθόδου ήταν μέτρια, με σχετική επιτυχία στην χρονολόγηση κοραλλιών

Σε ανθρακικά πετρώματα η επιτυχία της μεθόδου ήταν μέτρια, με σχετική επιτυχία στην χρονολόγηση κοραλλιών Οι εξισώσεις χρονολόγησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν όπως φαίνεται στο σχήμα για την κατασκευή ισοχρόνων παρόμοια με το σύστημα Rb-Sr Απαραίτητη προϋπόθεση είναι το σύστημα να έχει μείνει κλειστό ως προς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ ΙΣΟΤΟΠΩΝ. Ενότητα 1: Βασικές αρχές γεωχρονολόγησης. Γεωχημεία (Υ 4203) Επικ. Καθ. Χριστίνα Στουραϊτη Τμήμα Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος

ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ ΙΣΟΤΟΠΩΝ. Ενότητα 1: Βασικές αρχές γεωχρονολόγησης. Γεωχημεία (Υ 4203) Επικ. Καθ. Χριστίνα Στουραϊτη Τμήμα Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ ΙΣΟΤΟΠΩΝ Ενότητα 1: Βασικές αρχές γεωχρονολόγησης Γεωχημεία (Υ 4203) Επικ. Καθ. Χριστίνα Στουραϊτη Τμήμα Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Περιεχόμενα Ραδιενέργεια Βασικές αρχές γεωχρονολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΕΠΑ.Λ. 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι: ( f (x) + g (x)) = f (x) + g(x) Μονάδες 0 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 1. Εισαγωγή ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι γραφικές παραστάσεις (ή διαγράμματα) χρησιμεύουν για την απεικόνιση της εξάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Γεωχρονολόγησης Re-Os

Μέθοδος Γεωχρονολόγησης Re-Os Μέθοδος Γεωχρονολόγησης Re-Os Γεωχημεία Re-Os Γεωχημεία Re-Os Το όσμιο είναι ένα ευγενές μέταλλο και ανήκει στην ομάδα των μετάλλων του λευκόχρυσου (PGE) Έχει θερμοκρασία τήξης 3033 C, το 4o κατά σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ ΙΣΟΤΟΠΩΝ. Ενότητα 2: Εφαρμογές ραδιενεργών ισοτόπων στην προέλευση των πετρωμάτων & ιζημάτων. Γεωχημεία (Υ 4203)

ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ ΙΣΟΤΟΠΩΝ. Ενότητα 2: Εφαρμογές ραδιενεργών ισοτόπων στην προέλευση των πετρωμάτων & ιζημάτων. Γεωχημεία (Υ 4203) ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ ΙΣΟΤΟΠΩΝ Ενότητα 2: Εφαρμογές ραδιενεργών ισοτόπων στην προέλευση των πετρωμάτων & ιζημάτων Γεωχημεία (Υ 4203) Επικ. Καθ. Χριστίνα Στουραϊτη Τμήμα Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Περιεχόμενα Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ Δ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Χριστίνα Στουραϊτη

ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ Δ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Χριστίνα Στουραϊτη 1 ΓΕΩΧΗΜΕΙΑ Δ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χριστίνα Στουραϊτη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΓΕΩΧΗΜΕΙΑΣ Δ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2016-2017 ΕΒΔΟΜΑΔΑ ΗΜ/ΝΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ 1 η Τετ 22/2/17 Εισαγωγή-

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 8 ο. Ισοτοπική Γεωχημεία. 1. Βασικές αρχές

Μάθημα 8 ο. Ισοτοπική Γεωχημεία. 1. Βασικές αρχές Μάθημα 8 ο Ισοτοπική Γεωχημεία 1. Βασικές αρχές Επικ. Καθ. Χ. Στουραϊτη Τομέας Οικονομικής Γεωλογίας - Γεωχημείας Θεωρία - Ισότοπα - Ραδιενέργεια - Ο φασματογράφος μάζας Περιεχόμενα Βασικές αρχές ραδιοχρονολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2016 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3:

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

I. Προέλευση μαγμάτων ΙΙ.Μαγματικές σειρές. Χριστίνα Στουραϊτη Τμήμα Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος

I. Προέλευση μαγμάτων ΙΙ.Μαγματικές σειρές. Χριστίνα Στουραϊτη Τμήμα Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος I. Προέλευση μαγμάτων ΙΙ.Μαγματικές σειρές Χριστίνα Στουραϊτη Τμήμα Γεωλογίας και Γεωπεριβάλλοντος Μερική τήξη του μανδύα & τεκτονικό περιβάλλον 2 Βασάλτες Ωκεάνιων Νησιών (OIB) Οι Θερμές κηλίδες (Hotspots)

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Σάββατο 11 Νοεμβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Σάββατο 11 Νοεμβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Νοεμβρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 13/1/13 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου 9/11/2014

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου 9/11/2014 1 Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου 9/11/2014 Ζήτημα 1 o Α) Να επιλέξτε την σωστή απάντηση 1) Η μετατόπιση ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα σε άξονα Χ ΟΧ είναι ίση με μηδέν : Αυτό σημαίνει ότι: α) η αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ» ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Επικ. Καθ. Δ. ΜΑΘΙΟΥΛΑΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2. Ατομικά βάρη στοιχείων από φάσματα μάζας

2. Ατομικά βάρη στοιχείων από φάσματα μάζας Σκοπός 2. Ατομικά βάρη στοιχείων από φάσματα μάζας Με βάση το φάσμα του αερίου νέου (Ne) και την εκατοστιαία φυσική αναλογία των ισοτόπων του, θα βρείτε μια μέθοδο μέτρησης των ισοτοπικών αφθονιών από

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (4-6-000) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο : Α.1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο ( x, ) K 0 y 0 και ακτίνα ρ. Μονάδες Α.. Πότε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 2

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 2 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Άσκηση η : Φασματοφωτομετρικός Προσδιορισμός Σακχάρων σε Τοματοχυμό Μετρήσεις Πειράματος Πίνακας Τιμών 1 Διάλυμα Απορρόφηση Τυφλό 0 Πρότυπο Α ( γλυκόζη) 0,008 Πρότυπο Β (5 γλυκόζη)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

13/11/2013. Η Μάζα της Ροδόπης

13/11/2013. Η Μάζα της Ροδόπης Η Μάζα της Ροδόπης 1 Γεωτεκτονική θέση Περιλαμβάνει τον ορεινό όγκο της Ροδόπης, στη Θράκη, Ν. Βουλγαρία, Αν. Μακεδονία και τη Θάσο Παλιότερα συμπεριλάμβανε την Σερβομακεδονική Βρίσκεται μεταξύ ιναρικού

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι. Πηγή του υλικού Μάγμα Τήξη πετρωμάτων στο θερμό κάτω φλοιό ή άνω μανδύα. ιαδικασία γένεσης Κρυστάλλωση (στερεοποίηση μάγματος)

Τι είναι. Πηγή του υλικού Μάγμα Τήξη πετρωμάτων στο θερμό κάτω φλοιό ή άνω μανδύα. ιαδικασία γένεσης Κρυστάλλωση (στερεοποίηση μάγματος) Πυριγενή πετρώματα Τι είναι Πηγή του υλικού Μάγμα Τήξη πετρωμάτων στο θερμό κάτω φλοιό ή άνω μανδύα. ιαδικασία γένεσης Κρυστάλλωση (στερεοποίηση μάγματος) Είδη πυριγενών πετρωμάτων Ηφαιστειακά ή εκρηξιγενή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος =================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Μεταμορφωμένα Πετρώματα

Μεταμορφωμένα Πετρώματα Μεταμορφωμένα Πετρώματα Προέρχονται από προϋπάρχοντα πετρώματα όταν βρεθούν σε συνθήκες P - T διαφορετικές από αυτές που επικρατούσαν κατά τη δημιουργία τους. Μεταμόρφωση Ορυκτολογική, ιστολογική ή/και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή θερμικού διαγράμματος ισορροπίας διμερούς κράματος Α,Β σύνθετου ευτηκτικού τύπου. Οδηγίες για την κατασκευή του διαγράμματος

Κατασκευή θερμικού διαγράμματος ισορροπίας διμερούς κράματος Α,Β σύνθετου ευτηκτικού τύπου. Οδηγίες για την κατασκευή του διαγράμματος Μεταλλογνωσία Εργασίες μέσα στην τάξη σελίδα 1 ΜΕΤΑΛΛΟΓΝΩΣΙΑ Γ. Δ. ΠΛΑΪΝΑΚΗΣ Εργασία 01 Κατασκευή θερμικού διαγράμματος ισορροπίας διμερούς κράματος Α,Β σύνθετου ευτηκτικού τύπου για την κατασκευή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚHΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚHΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΚHΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΦΥΛΧΤΟΣ Π. ΣΜΪΛΗ. ΜYΡΙΙΝΝΗΣ. 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) χ (χ 1) 3 = (1+5χ) β) x (3 3 x) 1 3(1 x) γ ) χ 3(χ ) +7 =( 3)( 5) 3χ δ) 5χ 19 3-(4χ-5) =χ (6χ 5) ε) 4 x 5 x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΑΠΘ ΤΟΜΕΑΣ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑΣ-ΠΕΤΡΟΛΟΓΙΑΣ-ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΑΠΘ ΤΟΜΕΑΣ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑΣ-ΠΕΤΡΟΛΟΓΙΑΣ-ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΑΠΘ ΤΟΜΕΑΣ ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑΣ-ΠΕΤΡΟΛΟΓΙΑΣ-ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΑΙΘΡΟΥ: ΣΤΡΑΤΩΝΙ ΕΞΑΜΗΝΟ: Α ΜΑΘΗΜΑ: ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΜΕΙΚΤΑ ΘΕΙΟΥΧΑ ΟΡΥΚΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ Αναχώρηση με λεωφορείο

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Α ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΥΠΕΔΑΦΟΣ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΓΙΑ: ΘΕΡΜΑΝΣΗ & ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΑΤΜΟΥ, ΟΠΩΣ ΜΕ ΤΗΝ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Α ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΥΠΕΔΑΦΟΣ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΓΙΑ: ΘΕΡΜΑΝΣΗ & ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΑΤΜΟΥ, ΟΠΩΣ ΜΕ ΤΗΝ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΕΩΘΕΡΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Α ΓΕΩΘΕΡΜΙΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΥΠΕΔΑΦΟΣ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗ ΓΙΑ: ΘΕΡΜΑΝΣΗ & ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΑΤΜΟΥ, ΟΠΩΣ ΜΕ ΤΗΝ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΠΑΡΑΓΩΓΗ 1 ΓΕΩΘΕΡΜΙΑ : πώς γίνεται αντιληπτή στην επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Μαγματικά, πλουτώνια πετρώματα ΓΡΑΝΙΤΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΝΙΤΟΕΙΔΗ ΡΥΟΛΙΘΟΣ

Μαγματικά, πλουτώνια πετρώματα ΓΡΑΝΙΤΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΝΙΤΟΕΙΔΗ ΡΥΟΛΙΘΟΣ Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης, 2011 Μαγματικά, πλουτώνια πετρώματα ΓΡΑΝΙΤΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΝΙΤΟΕΙΔΗ ΡΥΟΛΙΘΟΣ Καλιούχος Άστριος ή Πλαγιόκλαστο Χαλαζίας Βιοτίτης ή Κεροστίλβη + Μοσχοβίτης (όχι με Κεροστλίβη) + Μαγνητίτης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ 9 o Ε.Λ. ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα: Α 2 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ονοµατεπώνυµο:.. Πειραιάς 4 /12 / 2006 Οδηγίες: Στις τρεις πρώτες ερωτήσεις, να επιλέξτε την σωστή πρόταση. Προσοχή!! Υπάρχει και η πίσω σελίδα. Μην ξεχάσετε

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (Προκαταρκτικές ασκήσεις για εξάσκησης)

2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (Προκαταρκτικές ασκήσεις για εξάσκησης) 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (Προκαταρκτικές ασκήσεις για εξάσκησης) 1. Χρησιμοποιώντας τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα που δείχνουν τις ζητούμενες ποσότητες του αγαθού Χ από τρεις διαφορετικούς καταναλωτές, οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Διπλή διάθλαση είναι το φαινόμενο, κατά το οποίο το φως διερχόμενο μέσα από έναν ανισότροπο κρύσταλλο

Διπλή διάθλαση είναι το φαινόμενο, κατά το οποίο το φως διερχόμενο μέσα από έναν ανισότροπο κρύσταλλο ΠΕΤΡΟΓΕΝΕΤΙΚΑ ΟΡΥΚΤΑ ΙΟΥΝΙΟΣ 2009 ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΣΩΣΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ 1. Συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω ερωτήσεις με τους σωστούς όρους. (30 μονάδες) Οι κρύσταλλοι, στους οποίους το φως διαδίδεται με ίδια ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα : Πρότυπο Πρότυπα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Φυσική για να ερμηνεύσει τα φαινόμενα, δημιουργεί τα πρότυπα ή μοντέλα. Τα πρότυπα αποτελούνται από ένα πλέγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Θέση Μετατόπιση Ταχύτητα Διαγράμματα

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Θέση Μετατόπιση Ταχύτητα Διαγράμματα Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Θέση Μετατόπιση Ταχύτητα Διαγράμματα 1. Ένας πεζοπόρος κινείται σε ευθύ δρόμο με σταθερό μέτρο ταχύτητας υ = 2m/s. Την χρονική στιγμή t o = 0 βρίσκεται στην θέση x αρχ = 10m. Α.

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2013 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2013 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 013 Θεωρητικό Μέρος Β Λυκείου 9 Μαρτίου 013 Θέμα 1 ο A. Ένα σωματίδιο με μάζα m και ηλεκτρικό φορτίο q επιταχύνεται από διαφορά δυναμικού V, κινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Είναι μίγματα ορυκτών φάσεων Οι ορυκτές φάσεις μπορεί να είναι ενός είδους ή περισσότερων ειδών Μάρμαρο

Είναι μίγματα ορυκτών φάσεων Οι ορυκτές φάσεις μπορεί να είναι ενός είδους ή περισσότερων ειδών Μάρμαρο Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης, 2011 Είναι μίγματα ορυκτών φάσεων Οι ορυκτές φάσεις μπορεί να είναι ενός είδους ή περισσότερων ειδών Μάρμαρο Πολλοί κρύσταλλοι ασβεστίτη Γρανίτης Κρύσταλλοι χαλαζία, πλαγιοκλάστου,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1 2.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΘΕΩΡΙ Εφαπτοµένη οξείας γνίας : Έστ ένα ορθογώνιο τρίγνο και µία από τις οξείες γνίες του. Ονοµάζουµε εφαπτοµένη της γνίας και συµβολίζουµε µε εφ το λόγο της απέναντι κάθετης

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες . Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός για την επιλογή στη 13η Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Επιστημών - EUSO 2015 Σάββατο 07 Φεβρουαρίου 2015 ΦΥΣΙΚΗ

Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός για την επιλογή στη 13η Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Επιστημών - EUSO 2015 Σάββατο 07 Φεβρουαρίου 2015 ΦΥΣΙΚΗ Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός για την επιλογή στη 13η Ευρωπαϊκή Ολυμπιάδα Επιστημών - EUSO 2015 Σάββατο 07 Φεβρουαρίου 2015 ΦΥΣΙΚΗ Σχολείο: Ονόματα των μαθητών: 1) 2)...... 3) 1 Πειραματικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1

Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1 Ειδικά Θέματα Ηλεκτρονικών 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3...2 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΕΝΙΣΧΥΤΩΝ...2 3.1 Απόκριση συχνότητας ενισχυτών...2 3.1.1 Παραμόρφωση στους ενισχυτές...5 3.1.2 Πιστότητα των ενισχυτών...6 3.1.3

Διαβάστε περισσότερα