) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ") = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A"

Transcript

1 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών του να ϖροσδιορίζει γεωµετρικούς τόϖους µε χρήση των τύϖων αϖόστασης σηµείου αϖό ευθεία και εµβαδού τριγώνου. να ϖροσδιορίζει εξίσωση ευθείας ϖου ϖληροί κάϖοια ιδιότητα εµβαδού ή αϖόστασης Απόσταση σημείου από ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση A + B+ Γ = και M, ) ( ένα σημείο εκτός αυτής. Για την απόσταση d ( M, ε ) του σημείου M από την ευθεία ε, έχουμε: d( M A + B + Γ, ε) = A + B Για παράδειγμα, η απόσταση του σημείου M (,) από την ευθεία ε : + + 8= είναι ίση με ( ) d ( M, ε) = = 5 =. + Σχόλια: - Για να εφαρμοστεί ο παραπάνω τύπος η ευθεία πρέπει υποχρεωτικά να έχει τη μορφή A+B+Γ=. - Για δύο παράλληλες ευθείες ε : = λ+ β και ε : = λ+ β, η απόσταση τους β β δίνεται από τον τύπο d( ε, ε ) = + λ - Ισχύει d(m,ε) = M ( ε) Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου Έστω A (, ), B (, ) και Γ (, ) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ( AB Γ ) = det( AB, AΓ ). Γ(, ) Δ B(, ) A(, ) Η η γραμμή της ορίζουσας είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB και η η γραμμή οι συντεταγμένες του διανύσματος A Γ. Για παράδειγμα, αν A (,), B(,) και Γ (, 8) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε AB = (, ) και A Γ =(, 9), οπότε το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι Βασίλης Μαυροφρύδης

2 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ( AB Γ ) = det( AB, AΓ ) = = = 6. 9 Σχόλιο: Για το εμβαδό τριγώνων αλλά είναι αυτονόητο ότι ισχύουν και οι γνωστοί τύποι από την Ευκλείδια Γεωμετρία. Εγκυκλοπαιδικά Η κανονική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας είναι η συνφ + ηµφ = c c= d O,ε η απόσταση της αρχής των + =, όπου ( ) αξόνων Ο από την ευθεία και φ η γωνία της κάθετης στην ευθεία με τον θετικό ημιάξονα O Μέθοδοι και τεχνικές για την εϖίλυση των ασκήσεων η Κατηγορία: Θέλουµε να υϖολογίσουµε την αϖόσταση δύο ϖαραλλήλων ευθειών Α τρόπος Γράφουμε τις ευθείες στην ανηγμένη μορφή και χρησιμοποιούμε τον τύπο Β τρόπος d( ε, ε β β ) = + λ Βρίσκουμε πρώτα ένα τυχαίο σημείο μιας ευθείας και έπειτα παίρνουμε την απόσταση αυτού του σημείου από την άλλη ευθεία. Η απόσταση του σημείου από την άλλη ευθεία ισούται με την απόσταση των παραλλήλων ευθειών. Παράδειγμα Να βρείτε την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε : = και ε : =. Λύση Α τρόπος Βρίσκουμε ένα σημείο της ε. Για = έχουμε + + = = άρα το σημείο Α, ανήκει στην ε. Η απόσταση του σημείου Α από την ε, ισούται με: d(a,ε )= = = =, οπότε d (ε,ε) = d( A,ε) = µ.µ. 5 Β τρόπος Είναι ε : = =,β =,λ = και ε : = =,β =, λ = Βασίλης Μαυροφρύδης

3 [Επιλογή Ιαν. Οπότε d. Εμβαδόν Τριγώνου,ε β β = = = = λ (ε ) = = = = µ.µ. ( ) η Κατηγορία: Θέλουµε να βρούµε την µεσοϖαράλληλο δύο ϖαράλληλων ευθειών ή την διχοτόµο δύο µη ϖαραλλήλων ευθειών - εϖί της ουσίας ψάχνουµε συγκεκριµένο γεωµετρικό τόϖο. Ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στην μεσοπαράλληλο των παραλλήλων ε και ε αν και μόνο αν d( M,ε ) = d( Μ,ε ). Βρίσκουμε μία εξίσωση που είναι αυτή της μεσοπαραλλήλου. Ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στην διχοτόμο των μή παραλλήλων ε και ε αν και μόνο αν d( M,ε ) = d( Μ,ε ). Βρίσκουμε δύο εξισώσεις, που είναι οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας των ευθειών. Για να προσδιορίσουμε ποια διχοτόμος είναι η εσωτερική και ποια η εξωτερική, παίρνουμε τυχαίο σημείο πάνω σε μία από τις δύο ευθείες και υπολογίζουμε τις αποστάσεις του από τις διχοτόμους. Η μεγαλύτερη απόσταση αντιστοιχεί στην διχοτόμο της αμβλείας και η μικρότερη στην διχοτόμο της οξείας. Αν οι αποστάσεις είναι ίσες προφανώς οι ευθείες είναι κάθετες. Παράδειγμα Έστω οι ευθείες ε : + + = και ε : κ + + =. Α) Αν κ =, να δείξετε ότι ε //ε και να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου τους. Β) Αν κ =, να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε,ε Α) Είναι Λύση λε = Α = = λ ε ε //ε. Β Έστω Μ(, ) ένα τυχαίο σημείο που ανήκει στην μεσοπαράλληλο των ε και ε. Για να συμβαίνει αυτό, πρέπει και αρκεί: ( ) d( M,ε ) = d Μ,ε + + = = = + + ή + + = + + = Άρα η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ε,ε είναι η + + = Β) Έστω Μ(, ) ένα τυχαίο σημείο που ανήκει στις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ε. Για να συμβαίνει αυτό, πρέπει και αρκεί: ( ) d( M,ε ) = d Μ,ε = ( ) + 5 Βασίλης Μαυροφρύδης

4 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου + + = = + + ή + + = = ή = Άρα οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε,ε είναι οι = και =. η Κατηγορία: Εύρεση γεωµετρικού τόϖου ϖου ϖληροί ιδιότητα εµβαδού ή ιδιότητα αϖόστασης Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(, ) του γ. τόπου Εκφράζουμε με αλγεβρικές σχέσεις (αποστάσεις - εμβαδά), την ιδιότητα που έχει μόνο το σημείο Μ Εκτελούμε τις πράξεις και παίρνουμε την-ις εξίσωση-εις ως προς, που εκφράζει-ουν κάποιο γ.τ. Παράδειγμα Θεωρούμε τα σημεία Α(-,), Β(-,) και Γ(-,). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,) για τα οποία ισχύει: (ΜΒΓ)=(ΑΒΓ) ΛΥΣΗ Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με ( AB Γ ) = det( AB, AΓ ) = =, ενώ του (ΜΒΓ) είναι ίσο με ( MBΓ ) = det( BΓ, BM ) = = Γ Α Β Μ Ο Επομένως, το Μ(, ) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν ισχύει + + = ή + + = = ή =. Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από τις ευθείες = και =, οι οποίες είναι παράλληλες προς τη ΒΓ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Α (,) από την ευθεία (i) + += (ii) = (iii) + = (iv) = 6 Βασίλης Μαυροφρύδης

5 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου. Δίνονται οι ευθείες ε :5 8 5= και ε : =. (i) Να δείξετε ότι ε //ε (ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις ε και ε (iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των ε και ε.. Δίνονται οι ευθείες ε : 9= και ε : =. (i) Να δείξετε ότι ε //ε (ii) Να βρείτε ένα σημείο της ε και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των ε και ε. 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχει από τα σημεία Α (,) και Β (,). 7. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5 μονάδες.. Να βρείτε το σημείο του άξονα, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων Ο και από την ευθεία 5 + 6=.. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο και απέχουν από το σημείο Α (,) απόσταση ίση με. 5. Να βρείτε τα σημεία της ευθείας +=, τα οποία απέχουν από την ευθεία 5+ 6= απόσταση ίση με. 6. Η ευθεία ε : + = είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών ε και ε, που απέχουν 8 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών. 7. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες + = και =. 8. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές: (i) Α (,), Β (6,), Γ (,) (ii) Α(,), Β (, 6), Γ (5,) (iii) Α (,), Β (,), Γ ( 5, ). 9. Δίνονται τα σημεία Α (5, ) και Β (, ). Να βρείτε το σημείο Μ του άξονα, για το οποίο το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι ίσο με 7.. Δίνονται τα σημεία Α (,) και Β ( 5, ). Να βρείτε το σημείο Μ, τέτοιο, ώστε ΜΑ= ΜΒ και ( ΜΑΒ ) =.. Ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓ οι τρεις κορυφές του έχουν συντεταγμένες (,), (,) και (, 5). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου. 5. Δίνονται τα σημεία Α (, ) και Β (, ). Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ( ΜΑΒ ) = 8 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 7 += και + 5= και απέχει από το σημείο Α (,) απόσταση ίση με. 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΟΜΑΔΑΣ. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) αν: α. απέχει απόσταση d = από την ευθεία (ε ) : + =. β. απέχει απόσταση d = από την ευθεία (ε ) : =.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) αν: α. διέρχεται απ' το σημείο Α (, ) και απέχει απόσταση d = από το σημείο Β (, ). 7 Βασίλης Μαυροφρύδης

6 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου β. διέρχεται απ' το σημείο Α (, ) και απέχει απόσταση d = από το σημείο Β (, ).. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες + = και + 6 =.. Το σημεία Α (, ) είναι κορυφή του τετραγώνου, του οποίου μία πλευρά έχει εξίσωση 5 =. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του. 5. Οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου είναι : + 7 =, + + = και + 5 =. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου και το εμβαδόν του. 6. Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο Α (, 6 ) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο Π ( λ, + λ ), λ R. α. Για ποιες τιμές του λ το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη ου Α; β. Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι Α, όταν κινείται ευθύγραμμα. γ. Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 7. Δίνονται οι ευθείες (ε) : 5 + = και (ζ) : 5 =. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (η), η οποία είναι παράλληλη προς την (ε) και η απόσταση των (η) και (ε) είναι διπλάσια από την απόσταση των (η) και (ζ). 8. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα σημεία Α (, - ), Β (-, ), Γ (-, - ) και Δ (5, ). 9. Μια τριγωνική κατασκήνωση διαθέτει τρεις εισόδους, μία σε κάθε κορυφή. Ο αρχηγός της κατασκήνωσης (του οποίου η σκηνή βρίσκεται κάπου μέσα στην κατασκήνωση) θέλοντας να βρει το εμβαδόν της κατασκήνωσης, αποστέλλει τρεις κατασκηνωτές (εφοδιασμένους με πυξίδες και χιλιομετρητές) να μετρήσουν τις αποστάσεις των εισόδων από τη σκηνή του. Ο πρώτος προχωρά km βόρεια και αμέσως μετά km ανατολικά και εκεί συναντά την πρώτη είσοδο. Ο δεύτερος προχωρά km ανατολικά και km νότια και εκεί συναντά τη δεύτερη είσοδο. Ο τρίτος προχωρά km δυτικά και συναντά την τρίτη είσοδο. α) Να τοποθετήσετε, σε ένα πρόχειρο σχέδιο, τη σκηνή του αρχηγού και τις εισόδους, αφού πρώτα χαράξετε τις πορείες. β) Να θεωρήσετε κατάλληλο σύστημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες των τριών εισόδων σ αυτό το σύστημα. γ) Να βρείτε το εμβαδόν της κατασκήνωσης. 8 Βασίλης Μαυροφρύδης

7 [Επιλογή Ιαν. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Εμβαδόν Τριγώνου. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M (, ) και τέμνει τις ευθείες = + και = στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι, ώστε ( ΑΒ ) =.. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λ+ ( λ ) = λ και ( λ + ) + λ= λ+ τέμνονται για όλες τις τιμές του λ R. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους;. Αν οι τρεις ευθείες ακ + βκ =, με κ =,,, διέρχονται από το ίδιο σημείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία ( α κ, β κ ), κ =,,, είναι συγγραμμικά.. Να βρείτε την ευθεία η οποία συνδέει το σημείο Α ( α, β) με το σημείο τομής των ευθειών + α β = και + =. β α 5. Αν οι ευθείες + = και + = είναι παράλληλες με Α> α και β >, να δείξετε α β Α Β ότι η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι β( Α α). α + β 6. Να δείξετε ότι: (i) Η εξίσωση + = παριστάνει δύο ευθείες. (ii) Καθεμιά σχηματίζει με την = γωνία. 7. Να βρείτε συνθήκη, ώστε: (i) Η ευθεία α + β+ γ = να ορίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο (ii) Ο άξονας να διχοτομεί τη γωνία των ευθειών με εξισώσεις ε : α+ β = και ε : α + β =. 8. Να βρείτε συνθήκη μεταξύ των α, β, γ, έτσι ώστε η ευθεία α + β+ γ = (i) Να τέμνει το θετικό ημιάξονα Ο και τον αρνητικό Ο (ii) Να μην έχει κανένα σημείο της στο (Ι) τεταρτημόριο. 9 Βασίλης Μαυροφρύδης

8 [Επιλογή Ιαν. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Εμβαδόν Τριγώνου. Σε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς να κυκλώσετε το Α, αν είναι αληθής, και το Ψ, αν είναι ψευδής: Η ευθεία = + 5σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα Α Ψ Οι ευθείες = 5 και = είναι κάθετες Α Ψ Η εξίσωση ( α +) + ( α ) + =, a R παριστάνει πάντοτε ευθεία Α Ψ Η ευθεία + = δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων Α Ψ Η εξίσωση = λ( ), λ R παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λ όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(, ). Α Ψ. Να αντιστοιχίσετε κάθε σημείο της πρώτης στήλης στην ευθεία της δεύτερης στήλης στην οποία ανήκει: Σημείο Α(,) Β(,) Γ(,) Δ(,) Ε(,) Ζ(,8) Ευθεία = = - = - 5 = -8. Να κυκλώσετε τη σωστή κάθε φορά απάντηση: Οι ευθείες = και + = τέμνονται στο σημείο: Ο(,) Α(,) Β(,) Γ(,) Δ(,) Αν η ευθεία A + B+ Γ = έχει συντελεστή διεύθυνσης, τότε συμπεραίνουμε ότι: Γ = A B A = Μια ευθεία κάθετη στην ευθεία ε : = είναι η : = +5, =, + = 8, =, =.. Δίνεται η ευθεία ε : = + 8. Να γράψετε : Δύο ευθείες παράλληλες στην ε Δύο ευθείες κάθετες στην ε Την ευθεία την παράλληλη στην ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Την ευθεία την κάθετη στην ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5. Να κυκλώσετε την ευθεία που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων: ε : ε : 6 = = ε : 9 ε : + 6. = = 6. Οι ευθείες + + = και + =, είναι: Α. Παράλληλες Β. Κάθετες Γ. Συμμετρικές ως προς τον άξονα Δ. Συμμετρικές ως προς τον άξονα. Βασίλης Μαυροφρύδης

9 [Επιλογή Ιαν. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». Εμβαδόν Τριγώνου. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (, ) και Β (, ) ορίζεται πάντα ως λ = - -. * Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α (, ). και Β (, ) έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν. Σ Λ. * Υπάρχουν δύο ευθείες ε, ε με συντελεστές διεύθυνσης λ, λ αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει συγχρόνως λ = λ και λ. λ = -. Σ Λ 5. ** Οι ευθείες με εξισώσεις = λ και = - λ είναι κάθετες για κάθε λ. 6. * Οι ευθείες + = και - = τέμνονται. Σ Λ 7. * Οι ευθείες = + και - = τέμνονται. Σ Λ 8. * Οι ευθείες = - κ + και = - λ + είναι παράλληλες. Ισχύει κ = λ. Σ Λ 9. * Οι ευθείες = + και = είναι παράλληλες. Σ Λ. * Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, έχουν εξισώσεις = και = - και τέμνονται κάθετα. Σ Λ. * Οι ευθείες = και = είναι παράλληλες. Σ Λ. * Οι ευθείες 5 + = και = είναι κάθετες. Σ Λ. * Τα σημεία Α (-, - ), Β (, ) και Γ (-, ) είναι συνευθειακά. Σ Λ. * Τα σημεία Α (κ, α), Β (λ, α), Γ (μ, α) είναι συνευθειακά. Σ Λ 5. ** Τα σημεία Α (α + β, γ), Β (β + γ, α), Γ (γ + α, β) είναι συνευθειακά με α β γ α. Σ Λ 6. * Η ευθεία που περνά από τα σημεία Α (, ) και Β (, ) έχει εξίσωση: - = - - ( - ) με ( ). Σ Λ 7. * Από το σημείο Α (, ) περνά μία μόνο ευθεία με δεδομένο συντελεστή διεύθυνσης λ. Σ Λ 8. * Η ευθεία που περνά από το σημείο (, ) και είναι Σ Σ Λ Λ Βασίλης Μαυροφρύδης

10 [Επιλογή Ιαν. παράλληλη προς την ευθεία = - +, έχει εξίσωση. Εμβαδόν Τριγώνου - = - ( - ). Σ Λ 9. * Η ευθεία ΑΒ με Α (, - ) και Β (-, - 5) είναι παράλληλη προς την ευθεία = +. Σ Λ. ** Δίνονται τα σημεία Α (-, - ), Β (, ), Γ (-, ) και Δ (, - 6). Η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ. Σ Λ. ** Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο (, ) και σχηματίζει με τον άξονα γωνία ίση με 5 είναι + =. Σ Λ. * Η ευθεία β + α = με α, β τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (α, ) και Β (, β). Σ Λ. * Η ευθεία - + = τέμνει τον άξονα στο σημείο (, ). Σ Λ. * Όταν ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν ορίζεται, τότε η εξίσωσή της είναι της μορφής =. Σ Λ 5. * Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία + = με τον άξονα είναι 5. Σ Λ 6. ** Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία + + = με τον άξονα είναι. 7. * Η εξίσωση Α + B + Γ = με Α είναι πάντα εξίσωση ευθείας. Σ Λ 8. ** Αν Α Β, τότε η εξίσωση Α + B + Γ = παριστάνει πάντοτε ευθεία. Σ Λ 9. ** Στην ευθεία με εξίσωση Α + B + Γ = δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Ισχύει Β =. Σ Λ. * Κάθε εξίσωση ευθείας μπορεί να γραφεί στη μορφή Α + B =. Σ Λ. * Το διάνυσμα n =(-, ) είναι κάθετο στην ευθεία + + =. Σ Λ. * Η ευθεία με εξίσωση Α + B + Γ = είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (Β, - Α). Σ Λ. * Η ευθεία με εξίσωση A + B + Γ = είναι κάθετη στο διάνυσμα n = (Α, - Β). Σ Λ Σ Λ. Δύο ευθείες παράλληλες προς τα διανύσματα δ = (Α, Β) και δ = (- Β, Α) αντίστοιχα είναι μεταξύ τους Σ Λ Βασίλης Μαυροφρύδης

11 [Επιλογή Ιαν. κάθετες.. Εμβαδόν Τριγώνου 5. ** Μια ευθεία κάθετη στο διάνυσμα δ = (Α, Β) με Β έχει εξίσωση της μορφής: Α + B + Γ =. Σ Λ 6. * Η απόσταση του σημείου Μ (, ) από την ευθεία (ε): Α + B + Γ = δίνεται από τον τύπο d (Μ, ε) = A + Α B + Β + Γ. 7. * Η απόσταση d (Μ, ε) του σημείου Μ (, ) από την ευθεία (ε): A + B + Γ = επαληθεύει την ισότητα A + B + Γ = d (Μ, ε) Α + Β. 8. * Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με την ορίζουσα det (ΑΒ,ΑΓ ). Σ Λ 9. * Όλα τα διανύσματα με κοινό φορέα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Σ Λ. * Η ευθεία = κ + σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα για κάθε κ. Σ Λ. * Η ευθεία + λ ( - ) - λ = τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας O για κάθε τιμή του αριθμού λ. Σ Λ. ** Οι ευθείες ε : = +, ε : = -, ε : + + = και ε : + + = τεμνόμενες ορίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Σ Λ. ** Η απόσταση των ευθειών ε : = λ + β και ε : = λ + β δίνεται από τον τύπο: d (ε, ε ) = β β + λ.. * Η εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ευθεία ε : + = και περνά από το σημείο (, ), είναι =. Σ Λ 5. * Οι ευθείες - = και = έχουν κοινό σημείο το (-, ). Σ Λ 6. Η ευθεία = λ + έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα για κάθε λ R. Σ Λ 7. * Αν οι ευθείες (μ + ) - = και = είναι παράλληλες, τότε μ =. Σ Λ 8. ** Οι ευθείες ε : = και ε : = είναι κάθετες. Σ Λ 9. * Η εξίσωση = παριστάνει μια μόνο ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου. Σ Λ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Βασίλης Μαυροφρύδης

12 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου 5. * Το σημείο Α (ημθ, ) με θ = 7 π ανήκει στην ευθεία + κ =. Σ Λ 5. * Η απόσταση των παράλληλων ευθειών = και = + είναι. Σ Λ 5. ** Η εξίσωση = + β με β R παριστάνει οικογένεια ευθειών παράλληλων προς την ευθεία =. Σ Λ 5. * Ορίζεται τρίγωνο με πλευρές που έχουν εξισώσεις - =, = - 5 -, = + 5. Σ Λ 5. ** Η συμμετρική της ευθείας = ως προς τον άξονα έχει εξίσωση = +. Σ Λ 55. ** Η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές Α (5, ), Β (6, ) και Γ (, ) είναι - = - ( - ). Σ Λ 56. ** Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από την ευθεία + 5 = και τους άξονες και, είναι 5 τ.μ. Σ Λ 57. ** Όλες οι ευθείες της οικογένειας ευθειών: ( + + ) + λ ( - - ) = περνούν από το σημείο (, ). Σ Λ 58. * Το σύστημα των εξισώσεων δύο παράλληλων ευθειών είναι αδύνατο. Σ Λ 59. ** Η εξίσωση της ευθείας Α + B + Γ = μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή δ.ν + Γ =, όπου δ = (Α, Β) και ν = (, ). 6. * Οι ευθείες A + B + Γ = και A + B + Γ = είναι κάθετες. Ισχύει Α.Α = Β.Β. Σ Λ 6. * Αν Α, Β, Γ τρία σημεία του επιπέδου και (ΑΒΓ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, τότε: det (ΑΒ,ΑΓ ) = (ΑΒΓ) ή det (ΑΒ,ΑΓ ) = - (ΑΒΓ). Σ Λ 6. ** Τα σημεία Α (, ), Β (-, ) και Γ (, - ) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. Σ Λ 6. * Για την απόσταση d (Α, ε) του σημείου Α από την ευθεία ε ισχύει d (Α, ε) =. Το σημείο Α ανήκει στην ευθεία ε. Σ Λ 6. * Η εξίσωση = για παριστάνει μια ημιευθεία. Σ Λ 65. * Η εξίσωση = παριστάνει μία μόνο ημιευθεία. Σ Λ Σ Λ Βασίλης Μαυροφρύδης

13 [Επιλογή Ιαν. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Εμβαδόν Τριγώνου. ** Αν η εξίσωση με δύο αγνώστους f (, ) = () είναι εξίσωση μιας γραμμής C, τότε Α. οι συντεταγμένες μόνο μερικών σημείων της C επαληθεύουν την () Β. οι συντεταγμένες των σημείων της C δεν επαληθεύουν την () Γ. το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την () δεν ανήκει στην C Δ. όλα τα σημεία που επαληθεύουν την () ανήκουν στην C Ε. υπάρχουν σημεία της C των οποίων οι συντεταγμένες δεν επαληθεύουν την (). ** Δίνεται ένα σημείο M μιας ευθείας, η οποία είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (, - ). Ξεκινώντας από το σημείο Μ θα ξαναβρεθούμε σε σημείο της ευθείας, όταν Α. κινηθούμε μονάδες αριστερά και μονάδες κάτω Β. κινηθούμε μονάδες αριστερά και μονάδες πάνω Γ. κινηθούμε μονάδες κάτω και μονάδες δεξιά Δ. κινηθούμε μονάδες κάτω και μονάδες αριστερά Ε. κινηθούμε μονάδες δεξιά και μονάδες πάνω. * Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) ισούται Α. με το συνημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζει η (ε) με τον Β. με την εφαπτομένη της συμπληρωματικής γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον Γ. με το συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος κάθετου στην (ε) Δ. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον Ε. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με το θετικό ημιάξονα Ο. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας 7 + = - είναι Α. - Β. 7 Γ. - Δ. - 7 Ε * Η ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης -. Μια άλλη ευθεία (ε ), που είναι κάθετη στην (ε), έχει συντελεστή διεύθυνσης Α. - Β. - Γ. Δ. Ε * Μια ευθεία (ε) έχει συντελεστή και διέρχεται από τη σημείο (-, ). Η εξίσωσή της είναι Α. + = ( - ) Β. - = ( + ) Γ. + = ( - ) Δ. - = ( + ) Ε. καμία από τις παραπάνω 5 Βασίλης Μαυροφρύδης

14 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου 7. * Στο διπλανό σχήμα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΓ είναι 6 Α. 5 5 Β. Γ. 5 Δ. 5 Ε. 6 6 Γ A 5 8. * Στο διπλανό σχήμα η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι =. Η γωνία ΟΑΒ ισούται με Α. Β. 6 Γ. 5 Δ. 9 Ε. 5 α A α B 9. * Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον ισούται με π Α. Β. - Γ. Δ. εφ Ε. δεν ορίζεται. * Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε), που διέρχεται από τα σημεία Α (, ) και Β (, ) ορίζεται πάντα όταν Α. Β. = και Γ. - και Δ. = και = Ε.. ** Η εξίσωση Α + Β + Γ = παριστάνει πάντα ευθεία με Α. Α = και Β = Β. Α = ή Γ Γ. Α + Β Δ. Α + Β > Ε. Α + Β <. * Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΟΑΒ είναι ορθή. Η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι α Α. = β β Β. = α Γ. = α Δ. = αβ Ε. = A α α B. * Το κοινό σημείο του άξονα και της ευθείας ΑΒ με Α (, ) και Β (, 5) είναι Α. (, ) Β. (, ) Γ. (5, ) Δ. (-, ) Ε. (, - ). * Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (, - ) και είναι παράλληλη στην ευθεία + 6 = είναι Α. - = - ( + ) Β. + = - ( - ) Γ. - = ( - ) Δ. + = - ( + ) Ε. + = ( + ) 6 Βασίλης Μαυροφρύδης

15 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου 5. * Αν Α (, ) και Β (-, ), τότε η εξίσωση ΑΒ έχει εξίσωση Α. + = - ( - ) Β. - = - ( + ) Γ. - = - ( - ) Δ. = - + Ε. + - = 6. ** Η ευθεία = λ + Α. είναι κάθετη στον για κάποια τιμή του λ R Β. είναι κάθετη στον για κάποια τιμή του λ R Γ. για λ περνάει από το σημείο ( λ, 5) Δ. περνάει από την αρχή των αξόνων Ε. για λ = είναι κάθετη στην = 7. ** Οι ευθείες + + = και + λ - = Α. τέμνονται για κάθε λ R Β. είναι και οι δύο κάθετες στην = - Γ. είναι κάθετες μεταξύ τους για λ = - Δ. είναι παράλληλες για λ = Ε. τέμνονται στο σημείο (-, ) για λ = 8. ** Το διάνυσμα δ (-, ) είναι κάθετο στην ευθεία Α. - + = Β. + + = Γ. + + = Δ. - + = Ε. - - = 9. ** Έστω (ε): A + B + Γ = (με Α ή Β ), τότε: Α. το διάνυσμα ν = (Β, Α) είναι κάθετο στην (ε) Β. το διάνυσμα ν = (Α, - Β) είναι παράλληλο στην (ε) Γ. το διάνυσμα ν = (- Β, Α) είναι παράλληλο στην (ε) Δ. το διάνυσμα ν = (Α, Β) είναι παράλληλο στην (ε) Ε. το διάνυσμα ν = (- Α, Β) είναι κάθετο στην (ε). * Η ευθεία που περνά από το σημείο (-, 5) και είναι κάθετη στην ευθεία = - 7 έχει εξίσωση Α. = Β. + = - ( - 5) Γ. - 5 = - ( + ) Δ. - 5 = ( + ) Ε. + = ( + 5). * Η εξίσωση της ευθείας ΑΒ με Α (998, ), Β (, 998) είναι Α = Β = Γ. 998 Δ = Ε. = * Στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α (, 5) και Β (-, 8). Η προβολή του ΑΒ στον άξονα έχει μήκος Α. Β. 5 Γ. - Δ. 8 Ε. = 7 Βασίλης Μαυροφρύδης

16 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου. ** Έστω ευθεία (ε) που διέρχεται από το Α (, ) και είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (α, β) με αβ. Τότε η εξίσωση της ευθείας είναι - Α. = β - α Β. - = β ( - ) Γ. Δ. = α β ( - ) Ε. - = - α β ( - ) - -. ** Η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία είναι Α. = λ - Β. = Γ. = + Δ. = λ + β με λ < Ε. η κάθετη στην - + = 5. ** Αν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες, στα Α (α, ), Β (, β) αντίστοιχα με α = β. Τότε Α. η (ε) σχηματίζει γωνία 6 με τον Β. η (ε) σχηματίζει γωνία 9 με τον Γ. η (ε) σχηματίζει γωνία οξεία με τον Δ. η (ε) σχηματίζει γωνία αμβλεία με τον Ε. ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι = α β 6. ** Στο διπλανό σχήμα η ευθεία (ε) έχει εξίσωση Α. = + Β. = - Γ. = + Δ. = - Ε. = (ε) 7. * Αν το σημείο (, κ) ανήκει στην ευθεία (ε) =, τότε Α. κ = Β. κ = Γ. κ = Δ. κ = 5 Ε. κ = 8. Στο καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση = παριστάνει Α. μια ευθεία κάθετη στον Β. τη διχοτόμο της γωνίας Ο Γ. τη διχοτόμο της γωνίας O Δ. τις διχοτόμους των γωνιών Ο και O Ε. μια ευθεία κάθετη στον 9. ** Δίνονται τα σημεία Α (8, ), Β (7, ), Γ (, 5). Η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ είναι Α. - 5 = - ( + ) Β. - 5 = ( + ) Γ. - 5 = - ( - ) Δ. - 5 = ( - ) Ε. καμία από τις προηγούμενες 8 Βασίλης Μαυροφρύδης

17 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου. * Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (- 8, ) και Β (- 6, - ) είναι Α. (, - 7) Β. (,- ) Γ. (- 5, - ) Δ. (- 7, ) Ε. (-, - ). * Στο διπλανό σχήμα το μέσο Μ του ΚΛ έχει προβολή στον άξονα το σημείο Α. (, β -δ ) Β. ( α -γ, α+ γ α - Γ. (, ) Δ. (, ) γ α+ γ β+ Ε. (, ) δ β -δ ) β δ Κ γ Μ α Λ. * Αν Α (, ) και Β (5, ), το συμμετρικό του μέσου του ΑΒ ως προς τον άξονα είναι το Α. (, ) Β. (,- ) Γ. (, - ) Δ. (-, ) Ε. (-, - ). * Δίνονται τα σημεία Α (, ) και Β (, ). Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΟΑΒ είναι (Ο το σημείο τομής των, ) Α. Β. Γ. Δ. - Ε. -. ** Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α (, ), Β (, ), Γ (5,) και Δ (κ, κ). Η τιμή του κ είναι Α. Β. Γ. Δ. - Ε * Τα σημεία Α (, ), Β (, ) και Γ (5, κ) είναι συνευθειακά. Η τιμή του κ είναι Α. - Β. Γ. Δ. 5 Ε * Το σημείο Μ (, - 9 ) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (-, - 5). Το σημείο Β είναι το 9 9 Α. (, - 5) Β. (-, - ) Γ. (-, ) Δ. (, - ) Ε. (-, - ) 7. * Δίνεται ευθεία (ε): = και το σημείο Μ (, - ). Τότε η απόσταση του Μ από την (ε) είναι Α. - 6 Β. 6 Γ. - 6 Δ. 6 Ε * * Η απόσταση του σημείου Α (-, ) από την ευθεία α + β = με α > β είναι Α. (α+ β) α α + β + β Β. (α β) α α + β + β Γ. - β -α α + β Δ. α+ β α + β Ε. (α β) α α+ β + β 9 Βασίλης Μαυροφρύδης

18 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου 9. * Τα σημεία Α (α, α + ), Β (α +, α + ) και Γ (α +, α + ) είναι Α. συνευθειακά Β. κορυφές τυχαίου ορθογωνίου τριγώνου Γ. κορυφές ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου Δ. κορυφές ισόπλευρου ορθογωνίου τριγώνου Ε. κορυφές ισοσκελούς οξυγωνίου τριγώνου. * Τα σημεία Ο (, ), Α (κ, ), Β (, λ) με κ, λ. > ορίζουν τρίγωνο με εμβαδόν Α. κλ Β. (κ + λ) κ Γ. κλ Δ. (κ - λ) (κ + λ) Ε. κλ. * Το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές Α (, ), Β (α, ) και Γ (α, β) είναι Α. αβ Β. αβ Γ. αβ Δ.. * Η απόσταση του σημείου (5, - ) από την ευθεία - - = είναι Α. 5 Β. 5 Γ. 5 Δ. αβ 5 5 Ε. Ε. αβ 5 5. ** Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία + = 6 είναι σε τετραγωνικές μονάδες Α. 9 Β. 9 Γ. Δ. Ε.. * Το συμμετρικό του σημείου (, ) ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων είναι Α. (-, ) Β. (, - ) Γ. (-, - ) Δ. (, ) Ε. (, ) 5. * Οι ευθείες = και = - σχηματίζουν μεταξύ τους οξεία γωνία ίση με Α. Β. 6 Γ. 5 Δ. 75 Ε * Δυο ευθείες (ε ) και (ε ) τέμνονται. Τότε το σύστημα των εξισώσεων τους Α. έχει άπειρες λύσεις Β. έχει μοναδική λύση Γ. δεν έχει λύση Δ. έχει δύο λύσεις Ε. έχει άπειρες λύσεις της μορφής (, ) 7. * Μια ευθεία δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης όταν Α. η εξίσωσή της είναι της μορφής = c Β. έχει συντελεστή διεύθυνσης Γ. είναι παράλληλη με τον Δ. δεν ορίζεται ο συντελεστής της Ε. έχει εξίσωση = λ 8. * Η ευθεία λ + + μ = είναι κάθετη στην =. Τότε ο λ είναι ίσος με Α. - Β. - Γ. Δ. Ε. 5 Βασίλης Μαυροφρύδης

19 [Επιλογή Ιαν. Ερωτήσεις αντιστοίχισης. Εμβαδόν Τριγώνου. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη στήλη (Α) με τον συντελεστή της που βρίσκεται στη στήλη (Β) (α, β ). στήλη Α ) ε : = α + β ) ε : = ) ε : = ) ε : α + β + γ =, στήλη Β Α) Β) δεν ορίζεται Γ) Δ) β Ε) α β ΣΤ) - α 5) ε 5 : α + β = Ζ) - β α. ** Η πρώτη στήλη περιέχει τους συντελεστές διεύθυνσης κάποιων ευθειών και η δεύτερη τις γωνίες που σχηματίζουν οι ίδιες ευθείες με τον άξονα. Να συνδέσετε με μια γραμμή τα αντίστοιχα στοιχεία. στήλη Α στήλη Β ) Α) Β) π ) - ) δεν ορίζεται ) - Γ) Δ) Ε) π π 6 π 5 Βασίλης Μαυροφρύδης

20 [Επιλογή Ιαν. 5). Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤ) π Ζ) 5π 6 Η) π. ** Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις των ευθειών της στήλης (Α) με τη γωνία που σχηματίζουν με τον άξονα της στήλης (Β). στήλη Α στήλη Β ) = - Α) 5 ) = + Β) 5 Γ) 5 ) = - + α Δ) Ε). ** Να αντιστοιχίσετε τις ευθείες της στήλης (Α) με τα κάθετα σ αυτές διανύσματα της στήλης (Β). στήλη Α στήλη Β ) = - Α) δ = (, ) ) + + = Β) δ = (, - ) Γ) δ = (, ) ) = Δ) δ = (, ) ) = - Ε) δ 5 = (, - ) ΣΤ) δ 6 = (-, - ) 5 Βασίλης Μαυροφρύδης

21 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου 5. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ζεύγος ευθειών της στήλης (Α) με το συνημίτονο της οξείας γωνίας τους στη στήλη (Β). στήλη Α στήλη Β ) ε : =, ε : = 5 Α) ) ε : =, ε : = + 5 ) ε : = -, ε : - = Β) Γ) Δ) Ε) 6. ** Στο καρτεσιανό επίπεδο Ο να αντιστοιχίσετε κάθε ζεύγος γωνίας - σημείου στη στήλη (Α) με την αντίστοιχη ευθεία που ορίζεται από αυτό το ζεύγος και βρίσκεται στη στήλη (Β). στήλη Α στήλη Β ) 5, (, ) Α) = - ( + ) ) 6, (, ) Β) = ( - ) + ) 5, (-, ) Γ) = - ), (, ) Δ) = Ε) = + 5 Βασίλης Μαυροφρύδης

22 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου 7. ** Να αντιστοιχίσετε σε κάθε ευθεία της στήλης (Α) την απόσταση της αρχής των αξόνων από αυτή, που εμφανίζεται στη στήλη (Β). στήλη Α στήλη Β ) = ) = - ) - = ) = Α) Β) - Γ) Δ) Ε) - ΣΤ) 8. ** Κάθε σημείο της στήλης (Α) βρίσκεται σε μια ευθεία της στήλης (Β). Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε σημείο με την ευθεία στην οποία ανήκει. στήλη Α στήλη Β σημεία ευθείες ) (-, ) ) (, - ) ) (5, ) ) (-, - ) Α) - = 9 Β) + = 5 Γ) + = Δ) + = Ε) + + = ΣΤ) = 5 9. ** Κάθε ευθεία της στήλης (Α) περιέχει ένα σημείο που βρίσκεται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε ευθεία με το αντίστοιχο σημείο. στήλη Α στήλη Β ) = - + Α) (, ) Β) (, ) ) + = 6 Γ) (, ) 5 Βασίλης Μαυροφρύδης

23 [Επιλογή Ιαν. ) =. Εμβαδόν Τριγώνου Δ) (, ) Ε) (, 7) ΣΤ) (7, ) ε. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της στήλης (Α) με την εξίσωσή της που βρίσκεται στη στήλη (Β). ε στήλη Α στήλη Β ) ε Α) = Β) + = ) ε Γ) + = ) ε Δ) = Ε) = ) ε ΣΤ) = 5) Ζ) = - 6) Η) = Θ) = +. ** Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε ευθεία της στήλης (Α) με μια ευθεία της στήλης (Β) στην οποία είναι κάθετη. 55 Βασίλης Μαυροφρύδης

24 [Επιλογή Ιαν. στήλη Α. Εμβαδόν Τριγώνου στήλη Β ) - = Α) = ) = Β) + = ) + = Γ) - = ) - = Δ) = Ε) - = ΣΤ) + =. ** Στη στήλη (Α) δίνεται ο χαρακτηρισμός του ε ε ε ε συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας που βρίσκεται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με μια γραμμή τα αντίστοιχα στοιχεία των δύο στηλών. ε 5 στήλη Α στήλη Β ) αρνητικός Α) ε Β) ε ) μηδέν Γ) ε Δ) ε ) δεν ορίζεται Ε) ε 5 56 Βασίλης Μαυροφρύδης

25 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου. ** Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε σημείο της στήλης (Α) με την εξίσωση της οικογένειας ευθειών της στήλης (Β), της οποίας αποτελεί το κέντρο. στήλη Α στήλη Β κέντρο εξίσωση οικογένειας ευθειών ) (, ) ) (7, ) ) (-, ) Α) ( + 6-7) + λ ( ) = Β) ( + + ) + λ ( ) = Γ) ( + - ) + λ ( - - ) = Δ) ( + - ) + λ ( + - ) = Ε) ( + - 8) + λ ( ) =. ** Δίνονται οι ευθείες ε: = λ + 7 και δ: = -. Για κάθε τιμή του λ που βρίσκεται στη στήλη (Α), η ευθεία ε παίρνει μια θέση στο καρτεσιανό επίπεδο που περιγράφεται στη στήλη (Β). Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε φορά τα αντίστοιχα στοιχεία. Στήλη Α στήλη Β ) λ = - ) λ = Α) ε // δ Β) ε // Γ) ε // ) λ = Δ) ε δ Ε) ε // διχοτόμος της O Ερωτήσεις διάταξης. ** Να γράψετε σε μια σειρά τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών: ε : = ε : = π ε : = εφ + ε : παράλληλη με το διάνυσμα δ = (, 7) ε 5 : κάθετη στο διάνυσμα δ = (, ) ε 6 : + (ημα) + 5 = ώστε καθένας να είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενό του.. ** Δίνονται οι ευθείες: ε : = ε : = + ε : = ε : - + = ε 5 : = ε 6 : = 57 Βασίλης Μαυροφρύδης

26 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου Να τις γράψετε σε μια σειρά, ώστε κάθε επόμενη να σχηματίζει με τον άξονα γωνία μεγαλύτερη από την προηγούμενή της.. ** Δίνονται τα σημεία Α (, ), Β (, ), Γ (-, ) και Δ (-, ). Να γράψετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΔ, ΒΓ, ΒΔ και ΓΔ σε μια σειρά, έτσι ώστε καθένα από το προηγούμενό του να έχει μεγαλύτερο μήκος.. ** Δίνονται οι ευθείες: ε : - - = ε : - + = ε : + - = ε : = Να τις γράψετε σε μια σειρά, έτσι ώστε καθεμιά να έχει συντελεστή διεύθυνσης μεγαλύτερο από την προηγούμενή της. 5. ** Να γραφούν τα σημεία Α (, ), Β (-, ) και Γ (, ) σε μια σειρά, έτσι ώστε καθένα να απέχει από την ευθεία = απόσταση μεγαλύτερη από την απόσταση του προηγούμενού του. 6. ** Στο διπλανό σχήμα να γράψετε σε μια σειρά τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α, έτσι ώστε καθεμιά να έχει συντελεστή μικρότερο της προηγούμενής της. ε ε ε A ε Ερωτήσεις συμπλήρωσης. ** Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: ευθεία = = = - κλίση ευθείας σχετική θέση ευθείας ως προς σχετική θέση ευθείας ως προς. ** Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: κορυφές τριγώνου ΑΒΓ Α (-, ) Β (5, ) Γ (-, 6) Α (, ) Β (-, ) Γ (-,) ορθογώνιο Είδος τριγώνου ισοσκελές εμβαδόν τριγώνου 58 Βασίλης Μαυροφρύδης

27 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου Α (, ) Β (, ) Γ (,) Α (, ) Β (, ) Γ (-, ). * Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας (ε) που υπάρχει σε καθένα από τα επόμενα σχήματα: A(,) (ε) α) ε: (ε) β) ω ω ε: (ε) γ) φ φ ε: (ε) δ) 6 ε: 59 Βασίλης Μαυροφρύδης

28 [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου A(,) ε) ε: A(-,5) στ) 5 ε: ζ) (ε) A(-,-) ε: B(,) ΠΗΓΕΣ - Σχολικό βιβλίο μαθηματικών θετικού προσανατολισμού β λυκείου, έκδοση Σημειώσεις ΚΕΕ - Θέματα πανελλαδικών 6 Βασίλης Μαυροφρύδης

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1) 7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5.

ΛΥΣΗ Έστω x = λ-1 και y = 2λ+3, τότε λ = x+1 (1) και λ = (2). Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y = 2x+5. . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα.

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα. Κεφάλαιο ο : Η ευθεία στο επίπεδο Θέµατα «Ανάπτυξης» Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγµένες (,5) και οι διάµεσοι ΒΕ και ΓΖ έχουν εξισώσεις x 4y + = 0

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης

2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ

ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου. επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ ΜαθηΜατικα κατεύθύνσησ β λυκείου επιμέλεια: Βρύσαλησ ΔηΜητρησ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΒΡΥΣΑΛΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις

( ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) ( ) λx + 2 λ y + λ + 4 = 0. Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. Ενδεικτικές Λύσεις ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.....................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 10/4/017 ΕΩΣ /4/017 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τετάρτη 1 Απριλίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε.

Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) c πάνω στην οποία κινείται το σημείο Μ. M x, y. x 2λ 1 και. 3 λ Υπάρχει λ ώστε. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ (εχθροί ή φίλοι;) Του Κώστα Βακαλόπουλου Στο άρθρο που ακολουθεί παραθέτουμε μια σειρά από ασκήσεις στις οποίες συνυπάρχουν άλλοτε αρμονικά και άλλοτε ανταγωνιστικά οι δύο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα