Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό."

Transcript

1 Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx) προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα (Δ) που

2 Κεφάλαιο 1ο 5 χρειάστηκε για τη μετατόπιση αυτή. υ = Δ x. Δ Η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος (υ ). Η κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας συμπίπτει με την κατεύθυνση της κίνησης. Ερωτήσεις σύνδεσης με τα προηγούμενα Σε μία ευθύγραμμη κίνηση η οποία γίνεται με σταθερή ταχύτητα: α) Ποια είναι η σχέση που μας δίνει τη μετατόπιση του κινητού σε σχέση με το χρόνο; β) Τι μορφή έχει η γραφική παράσταση Χ της θέσης του κινητού σε σχέση με το χρόνο; ΑΠΑΝΤΗΣΗ - ΣΧΟΛΙΟ α) Η σχέση αυτή είναι η Δx = υ όπου Δx: η μετατόπιση του κινητού υ: η σταθερή του ταχύτητα : ο χρόνος β) Η γραφική παράσταση θέση χρόνος σε μία τέτοια κίνηση (με σταθερή ταχύτητα) είναι ευθεία γραμμή. Εάν περνάει από την αρχή των αξόνων σημαίνει ότι τη στιγμή που αρχίζει να μετράει ο χρόνος, το κινητό βρίσκεται στο σημείο αναφοράς, δηλαδή στη θέση που αντιστοιχεί στην ένδειξη μηδέν του χάρακα ή της μετροταινίας με την οποία μετράμε τις θέσεις. Θέση Χ Χρόνος

3 Κεφάλαιο 1ο 6 Επιτάχυνση Σε μία ευθύγραμμη κίνηση, η ταχύτητα συνήθως δεν παραμένει σταθερή αλλά η τιμή της αλλάζει καθώς περνάει ο χρόνος. Επιτάχυνση, είναι το φυσικό μέγεθος που μας δείχνει πόσο γρήγορα ή αργά μεταβάλλεται η ταχύτητά του. Όταν ένα κινητό έχει σε μία χρονική στιγμή ( 1 ) ταχύτητα (υ 1 ) και σε επόμενη υ υ1 χρονική στιγμή ( ) έχει ταχύτητα (υ ) η επιτάχυνσή του είναι α = (α = συμ- βολισμός της επιτάχυνσης, από το αρχικό του αγγλικού όρου: επιτάχυνση = acceleraion). Η επιτάχυνση εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. 1

4 Κεφάλαιο 1ο 7 Όταν ένα οποιοδήποτε φυσικό μέγεθος (Α), μεταβάλλεται καθώς περνάει ο χρόνος, το πηλίκο ΧΡΟΝΟΣ Α ΜΕΤΑΒΟΛΗ Α 1 1 ΠΟΥ ΤΟΥ (Α ) ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ (τελική μείον αρχική τιμή τουα ) (τελική μείον αρχική χρονική στιγμή) ονομάζεται χρονικός ρυθμός ή απλά ρυθμός μεταβολής του φυσικού μεγέθους Α. Άλλωστε η ίδια η λέξη "ρυθμός" σημαίνει ακριβώς "μεταβολή στο χρόνο". = Ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης: ταχ ύτητα = αλλαγή θέσης χρόνος που απαιτείται : Επιτάχυνση ονομάζουμε το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Δυ α = ή μέτρο α = Δυ Δ Δ (Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος γιατί ορίζεται μέσω της ταχύτητας που είναι διανυσματικό μέγεθος).

5 Κεφάλαιο 1ο 8 Μονάδες επιτάχυνσης Δυ Με βάση τη σχέση α =, υπολογίζοντας από τις αντίστοιχες μονάδες για την Δ ταχύτητα (m/s) και το χρόνο (s) στο S.I. προκύπτει για την επιτάχυνση η μονάδα m/s ως εξής: m m μονάδες (υ) Μονάδες (α) = = s m = s = = μονάδες () s s s s 1 m s και λέμε μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο. Έτσι όταν η ταχύτητα ενός κινητού αυξάνεται κατά m/s σε ένα δευτερόλεπτο (1s) η επιτάχυνσή του είναι α = m/s. km / h Χρησιμοποιούμε ακόμα για την επιτάχυνση τη μονάδα, που δηλώνει κατά s πόσα km/h αλλάζει η ταχύτητα σε ένα δευτερόλεπτο. Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση : Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζουμε μια ευθύγραμμη κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα του κινητού μεταβάλλεται κατά ίσες ποσότητες σε ίσα χρονικά διαστήματα. Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. Για απλότητα θα μελετήσουμε ευθύγραμμες ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις στις οποίες, ο χρόνος αρχίζει και μετράει τη στιγμή που το σώμα αρχίζει να κινείται. Δηλαδή το σώμα είναι αρχικά ακίνητο (υ = 0) και η ταχύτητά του αρχίζει και μεταβάλλεται από την αρχική αυτή τιμή μηδέν.

6 Κεφάλαιο 1ο 9 Έτσι λοιπόν σε μια τέτοια κίνηση, το κινητό τη χρονική στιγμή 1 = 0, έχει αρχική ταχύτητα υ 1 = 0 και κινούμενο με επιτάχυνση α, μια επόμενη χρονική στιγμή, έχει αποκτήσει ταχύτητα υ. Η επιτάχυνση του σώματος τότε είναι: Δυ α = Δ ή υ υ1 α= 1 Eίπαμε όμως ότι 1 = 0, υ 1 = 0, οπότε γράφουμε α = υ ή α = υ Έτσι παίρνουμε την απλή αυτή σχέση που συνδέει την επιτάχυνση (α) με την ταχύτητα (υ) που έχει το κινητό τη χρονική στιγμή () σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Προσέξτε όμως: Τη σχέση αυτή για να τη χρησιμοποιήσουμε πρέπει το κινητό να είναι αρχικά ακίνητο, δηλαδή τη χρονική στιγμή = 0 να έχει υ = 0 και τότε να ξεκινάει. Σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις που θα ασχοληθούμε φέτος κάτι τέτοιο θα ισχύει, όμως θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί μήπως σε κάποιο πρόβλημα το σώμα δεν είναι αρχικά ακίνητο. Νόμοι της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης α. Νόμος της επιτάχυνσης: «Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή». Το διάγραμμα της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα του χρόνου. α Η σταθερή τιμή της επιτάχυνσης 1 3

7 Κεφάλαιο 1ο 10 Η γραφική παράσταση α προκύπτει έτσι, διότι για κάθε χρονική στιγή ( 1,, 3, ) έχουμε την ίδια επιτάχυνση (τη σταθερή επιτάχυνση της κίνησης). β. Νόμος της ταχύτητας: Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση παίρνουμε από τη σχέση α = υ, τη σχέση για την ταχύτητα υ = α. Το κινητό είναι αρχικά ακίνητο Αφού η επιτάχυνση είναι σταθερή (α = σταθερό), η ταχύτητα προκύπτει ανάλογη του χρόνου. Για παράδειγμα, εάν η επιτάχυνση είναι α = m/s βλέπουμε ότι: τη χρονική στιγμή = 1s υ = m/s τη χρονική στιγμή = s υ = 4m/s τη χρονική στιγμή = 3s υ = 6m/s Παρατηρούμε την αναλογία: Σε διπλάσιο χρόνο η ταχύτητα είναι διπλάσια και σε τριπλάσιο χρόνο η ταχύτητα είναι τριπλάσια. Έτσι ο νόμος της ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, είναι: «Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, η ταχύτητα είναι ανάλογη με το χρόνο στον οποίο αποκτήθηκε». Το διάγραμμα της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση είναι μια ευθεία γραμμή. Πράγματι εάν κατασκευάζουμε το διάγραμμα υ με βάση τις τιμές του προηγούμενου παραδείγματος:

8 Κεφάλαιο 1ο 11 (s) υ(m/s) υ(m/s) (s) Προσέξτε ότι η γραφική παράσταση περνάει από το σημείο τομής των αξόνων. Αυτό σημαίνει ότι ανήκει στη γραφική παράσταση υ το σημείο (0, 0). Δηλαδή για = 0 είναι υ = 0. Αυτό δηλώνει ότι το σώμα είναι αρχικά ακίνητο, κάτι που είχαμε παραδεχτεί από την αρχή. Ταχύτητα και διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, στο διάγραμμα επιτάχυνσης χρόνου (α ), το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου, ανάμεσα σε δύο χρονικές στιγμές 1 και είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας στο αντίστοιχο αυτό χρονικό διάστημα (Δ = 1 ). α α E = Δυ 1

9 Κεφάλαιο 1ο 1 Όμοια στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (υ = σταθερή), υπολογίζουμε από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) τη μετατόπιση (μεταβολή της θέσης): υ υ = σταθερή E = Δx 1 Επιτάχυνση και διάγραμμα ταχύτητας χρόνου Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) υπολογίζουμε την επιτάχυνση. υ A υ Α 0 φ B Η επιτάχυνση ισούται με την κλίση της ευθείας της γραφικής παράστασης. Για να υπολογίσουμε την κλίση παίρνουμε στο διάγραμμα ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η υποτείνουσα να είναι η ευθεία του διαγράμματος και έτσι οι κάθετες πλευρές ορίζονται από τις τιμές της ταχύτητας και του χρόνου αντίστοιχα. Τέτοιο είναι το τρίγωνο ΟΑΒ στο σχήμα. Τότε η κλίση της ευθείας, δηλαδή η επιτάχυνση, ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει το διάγραμμα με τον άξονα του χρόνου, δηλαδή της γωνίας φ του τριγώνου. Κλίση = εφφ. A

10 Κεφάλαιο 1ο 13 Την εφφ την υπολογίζουμε με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ και είναι απέναντι κάθετη AB υ εφφ = = = Α προσκείμενη κάθετη OB Έτσι έχουμε: AB Επιτάχυνση (α) = κλίση = εφφ = OB A Όμοια στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση υπολογίζαμε από την κλίση του διαγράμματος θέσης χρόνου (x ) τη σταθερή ταχύτητα της κίνησης. x εφφ = κλίση = ταχύτητα (υ) φ γ. Νόμος της μετατόπισης. Ερώτηση: Πώς μεταβάλλεται η μετατόπιση του σώματος σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση; Ας παρατηρήσουμε την κίνηση που κάνει ένα αεροπλάνο στο διάδρομο απογείωσης. Είναι μια κίνηση με σταθερή επιτάχυνση, δηλαδή ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη: = 0 = 5 = 10 = 15 = x(m) Καταγράφουμε τα αποτελέσματα των μετρήσεων του χρόνου () και των αντίστοιχων θέσεων (x) σε έναν πίνακα:

11 Κεφάλαιο 1ο 14 Χρόνος (s) Θέση x (m) Παρατηρούμε ότι η θέση (x) του κινητού συμπίπτει με τη μετατόπιση (Δx) από την αρχική θέση, όταν η αρχική αυτή θέση έχει επιλεγεί να είναι το σημείο αναφοράς. (Αρχική θέση εννοούμε τη θέση του σώματος την αρχική χρονική στιγμή, = 0) Θέση σημείου αναφοράς: x = 0 = 0 Σημ. αναφ. 0 Δx Δx = x τελ x αρχ = x 0 = x Ανάλυση των αποτελεσμάτων του πίνακα: Σε χρόνο = 5s: Μετατόπιση Δx = x = 50 m Σε χρόνο = 10s: Μετατόπιση Δx = x = 00 m Συμπέρασμ α: Σε διπλάσιο χρόνο () έχουμε τετραπλάσια μετατόπιση (4) (4 = ) Σε χρόνο = 15s: Μετατόπιση Δx = x = 450 m

12 Κεφάλαιο 1ο 15 Συμπέρασμα: Σε τριπλάσιο χρόνο (3) έχουμε εννιαπλάσια μετατόπιση (9) (9 = 3 ) Σε χρόνο = 0s: Μετατόπιση Δx = x = 800 m Συμπέρασμα: Σε τετραπλάσιο χρόνο (4) έχουμε δεκαεξαπλάσια μετατόπιση (16) (16 = 4 ) Με βάση τα παραπάνω διατυπώνουμε τώρα το νόμο της μετατόπισης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: "Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, η μετατόπιση από την αρχική θέση είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου κίνησης". Με τη βοήθεια των τιμών του παραπάνω πίνακα φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση θέσης - χρόνου (x ): 750 x(m) (s) Η μορφή της είναι καμπύλη, η οποία ονομάζεται παραβολή. Σχέση της μετατόπισης (Δx) και χρόνου () στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: Όταν ένα κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, τότε η μετατόπισή του σε χρόνο είναι Δx = 1/ α

13 Κεφάλαιο 1ο 16 Στη σχέση αυτή καταλήγουμε ως εξής: Χρησιμοποιούμε το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) το οποίο είναι μια ευθεία γραμμή που περνάει από την αρχή των αξόνων: υ υ = α υ E = Δx 0 Ισχύει γενικά ότι σε διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου ισούται με τη μετατόπιση. Στην παραπάνω γραφική παράσταση έχουμε σημειώσει μια τυχαία χρονική στιγμή για την οποία η ταχύτητα είναι υ. Oι δύο αυτές τιμές συνδέονται με την (σταθερή) επιτάχυνση με τη σχέση υ = α. Η μετατόπιση Δx από την αρχή ( = 0) έως τη χρονική στιγμή, ισούται με το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τριγώνου στο παραπάνω διάγραμμα: Έτσι: Δx = ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ = 1/ (βάση ύψος) = 1/ υ, όπου υ = α. Άρα Δx = 1/ α ή Δx = 1/ α. Η σχέση αυτή λοιπόν μας δίνει τη μετατόπιση ενός κινητού από τη θέση x = 0, οπότε ισοδύναμα μας δίνει τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή : x = 1/ α

14 Κεφάλαιο 1ο 17 Προσοχή όμως: Για να καταλήξουμε σ' αυτή έχουμε παραδεχτεί ότι: τη χρονική στιγμή = 0, είναι x = 0 και υ = 0. Δηλαδή: Το κινητό είναι αρχικά ( = 0) ακίνητο (υ = 0) και ξεκινάει από το σημείο αναφοράς (x = 0). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Έστω δύο κινητά Α και Β. Σε μία χρονική στιγμή η ταχύτητα του Α είναι U Α1 = 0m/s και του Β είναι U Β1 = 30m/s. Σε μία επόμενη χρονική στιγμή, η ταχύτητα του Α έχει αλλάξει σε U Α = 40m/s και η ταχύτητα του Β έχει αλλάξει και έχει γίνει και αυτή U Β = 40m/s. Λέμε, ότι το κινητό Α κινήθηκε με μεγαλύτερη επιτάχυνση από ότι το κινητό Β, γιατί στο ίδιο χρονικό διάστημα, η ταχύτητά του αυξήθηκε περισσότερο (κατά 0m/s) από ότι του Β (κατά 10m/s). Βλέπουμε ότι η επιτάχυνση δεν έχει να κάνει με το πόση είναι η ταχύτητα του κινητού αλλά με το πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα του κινητού. Σε μία ευθύγραμμη κίνηση, στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά ίσα ποσά σε ίσα χρονικά διαστήματα, δηλαδή μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο η γραφική παράσταση U είναι ευθεία γραμμή: ταχύτητα Α 1. χρόνος Όσο πιο "απότομα" ανεβαίνει η ευθεία στο διάγραμμα, τόσο γρηγορότερα αυξάνει η ταχύτητα, δηλαδή, τόσο μεγαλύτερη είναι η επιτάχυνση του κινητού. Έτσι, στη γραφική παράσταση η ευθεία Α εκφράζει μεγαλύτερη επιτάχυνση από την ευθεία Β.

15 Κεφάλαιο 1ο 18 Επιβραδυνόμενη κίνηση Ασχολούμαστε με την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. «Ομαλά μεταβαλλόμενη» σημαίνει πώς κατά την κίνηση η ταχύτητα του κινητού δεν παραμένει σταθερή αλλά μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό. Μεταβολή στην ταχύτητα μπορεί να σημαίνει αύξηση ή μείωση του μέτρου της. Όταν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, τότε η κίνηση γίνεται όλο και γρηγορότερα και ονομάζεται επιταχυνόμενη. Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, τότε η κίνηση γίνεται όλο και ποιο αργή και ονομάζεται επιβραδυνόμενη. Ο ρυθμός της ταχύτητας, δηλαδή το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα Δυ υ υ1 (αυξάνεται ή μειώνεται) είναι το πηλίκο = που το έχουμε ονομάσει Δ επιτάχυνση. (α = Δ υ ) Δ Για την ακρίβεια, λέμε ότι έχουμε «επιτάχυνση» στην επιταχυνόμενη κίνηση (το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται), ενώ στην επιβραδυνόμενη κίνηση την επιτάχυνση την ονομάζουμε «επιβράδυνση». Δυ υ υ Ο ρυθμός α = Δ 1 αρνητικός. Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος όπως η θέση, η μετατόπιση και η ταχύτητα. Οπότε το πρόσημο στην τιμή της θα πρέπει να δηλώνει την κατεύθυνσή της σε σχέση με τον άξονα αναφοράς της κίνησης: 1 = (επιτάχυνση ή επιβράδυνση) μπορεί να είναι θετικός ή i) Όταν η κίνηση γίνεται κατά τη θετική φορά του άξονα: τότε η ταχύτητα είναι θετική και: α) Όταν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται: υ > υ 1 ή υ υ 1 > 0. 1 Ακόμα: > 1 (η επόμενη χρονική στιγμή είναι πάντα μεγαλύτερη από την προηγούμενη). Άρα 1 > 0 Τότε υ υ 1 1 > 0 (το πηλίκο δύο θετικών αριθμών είναι θετικός)

16 Κεφάλαιο 1ο 19 Δηλαδή α = Δ υ > 0. Δ Συμπέρασμα: Όταν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, η μεταβολή της είναι θετική, το ίδιο και η επιτάχυνση. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. α υ 1 υ 1 Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά τη θετική φορά του άξονα. Το μέτρο της αυξάνεται (θετικές τιμές). Θετική α > 0, οπότε το διάνυσμά της έχει τη θετική κατεύθυνση, όπως και η ταχύτητα. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. β) Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται: υ < υ 1 ή υ υ 1 < 0. Όπως πάντα: > 1 ή 1 > 0. Και τότε: υ υ 1 1 < 0 (το πηλίκο δύο ετερόσημων είναι αρνητικό). Οπότε α = Συμπέρασμα: Δ υ < 0. Δ Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, η μεταβολή της είναι αρνητική, το ίδιο και η επιτάχυνση. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη.

17 Κεφάλαιο 1ο 0 α υ 1 υ 1 Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά τη θετική φορά του άξονα. Το μέτρο της μειώνεται (θετικές τιμές). Αρνητική α < 0, οπότε το διάνυσμά της έχει την αρνητική κατεύθυνση, αντίθετα από την ταχύτητα. (επιβράδυνση) Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. ii) Όταν η κίνηση γίνεται κατά την αρνητική φορά του άξονα. Ας μελετήσουμε την περίπτωση αυτή με τη βοήθεια ενός παραδείγματος. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α: Κίνηση προς τα πίσω και επιτάχυνση. Ένα αυτοκίνητο καθώς κινείται σε στενό δρόμο βρίσκεται μπροστά σε αδιέξοδο. Ο οδηγός του σταματάει, βάζει την όπισθεν και αρχίζει να κινείται προς τα πίσω με ταχύτητα που το μέτρο της διαρκώς αυξάνεται. Θεώρησε θετική την κατεύθυνση προς τα εμπρός, τότε η ταχύτητα του αυτοκινήτου που κινείται προς τα πίσω είναι αρνητική. Σε χρονικό διάστημα s, η ταχύτητα του αυτοκινήτου μεταβάλλεται από m/s σε 9m/s. Υπολόγισε την επιτάχυνση του αυτοκινήτου. υ =-9m/s υ 1 =-m/s 1 + x(m) Δεδομένα υ 1 = -m/s υ = -9m/s Δ = 1 = s α = ; Ζητούμενα

18 Κεφάλαιο 1ο 1 Απάντηση: Για να βρούμε την (μέση) επιτάχυνση Δ υ α = : Δ Δ υ α = = υ Δ Δ υ 1 θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση Αντικαθιστώντας έχουμε: ( 9)m / s ( )m / s α = s ή 9 + m α = s 7 m ή α = s ή α = - 3,5m/s Ανάλυση του αποτελέσματος: Εδώ βλέπουμε ότι η ταχύτητα είναι συνεχώς αρνητική (λόγω της φοράς κίνησης προς την αρνητική φορά του άξονα). α) Στην περίπτωση του παραδείγματος, το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται και η μεταβολή της είναι αρνητική. (Δυ = υ υ 1 = -9 (-) = -9 + = -7m/s). Αρνητική είναι και η επιτάχυνση. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. υ =-9m/s α=3,5 m/s υ 1 =- m/s + 1 Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά την αρνητική φορά του άξονα. Το μέτρο της αυξάνεται (αρνητικές τιμές). Αρνητική α < 0, οπότε το διάνυσμά της έχει την αρνητική κατεύθυνση, όπως και η ταχύτητα. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

19 Κεφάλαιο 1ο β) Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα η ταχύτητα μεταβάλλεται από υ 1 = -9m/s σε υ = -m/s στο ίδιο χρονικό διάστημα Δ = s. υ υ 1 Η κίνηση όπως φαίνεται είναι επιβραδυνόμενη. Η ταχύτητα παίρνοντας συνεχώς αρνητικές τιμές, μικραίνει κατά μέτρο. Η μεταβολή της: Δυ = υ υ 1 = (-) (-9) = = 7m/s είναι θετική. Όμοια είναι θετική και η επιτάχυνση: α = Δ υ 7 m = Δ s = 3,5m/s α=3,5 m/s υ = -m/s υ 1 =-9 m/s + 1 x Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά την αρνητική φορά του άξονα. Το μέτρο της μειώνεται (αρνητικές τιμές) Θετική α > 0, οπότε το διάνυσμά της έχει τη θετική κατεύθυνση, αντίθετα από την ταχύτητα (επιβράδυνση). Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Όταν λέμε λοιπόν μεταβαλλόμενη κίνηση μπορεί να είναι επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη. Προσοχή όμως: Από το πρόσημο και μόνο της επιτάχυνσης, δηλαδή από τη φορά του διανύσματός της δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εάν έχουμε επιτάχυνση ή επιβράδυνση. (Δηλαδή α > 0 δεν σημαίνει πάντα επιτάχυνση, όπως και α < 0 δεν σημαίνει πάντα επιβράδυνση. Για να γνωρίζουμε εάν η μεταβαλλόμενη κίνηση είναι επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη πρέπει να γνωρίζουμε το διάνυσμα της επιτάχυνσης και το διάνυσμα της ταχύτητας. Γενικά ισχύει:

20 Κεφάλαιο 1ο 3 Στην επιταχυνόμενη κίνηση: Η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν την ίδια φορά. (α > 0 και υ > 0 ή α< 0 και υ < 0). Στην επιβραδυνόμενη κίνηση: Η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν αντίθετη φορά. (α > 0 και υ < 0 ή α< 0 και υ > 0) και τότε η επιτάχυνση ονομάζεται επιβράδυνση. Όταν ένα κινητό κινείται με σταθερή επιβράδυνση, η ταχύτητά του μειώνεται με σταθερό ρυθμό και κάποια στιγμή σταματάει. Η ταχύτητά του πέφτει, ανάλογα με το χρόνο, από μία αρχική τιμή στην τιμή μηδέν. Αυτό φαίνεται και στη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου: U (σταθερή επιβράδυνση α < 0) υ = 0 = 0

21 Κεφάλαιο 1ο 4 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ Έχουμε πλέον κατανοήσει ότι σε μια κίνηση, το χρόνο το συμβολίζουμε με (), τη μετατόπιση (αλλαγή θέσης) με Δx, την ταχύτητα με (υ) και την επιτάχυνση με (α). Έχουμε δει δύο είδη ευθύγραμμης κίνησης: α) με σταθερή ταχύτητα β) με σταθερή επιτάχυνση (ή επιβράδυνση). Σε μια κίνηση, μας ενδιαφέρει πώς μεταβάλλονται τα μεγέθη Δx, υ, α καθώς περνάει ο χρόνος, ή, σε σχέση με το χρόνο όπως λέμε. Όταν η κίνηση ξεκινάει τη χρονική στιγμή = 0 και τότε το κινητό έχει θέση x = 0 χρησιμοποιούμε τις σχέσεις που μας δίνουν τα: x η θέση που βρίσκεται το κινητό στη τυχαία χρονική στιγμή (συμπίπτει με τη μετατόπιση από τη θέση 0). υ η ταχύτητα που έχει το κινητό τη χρονική στιγμή (όταν αυτή αλλάζει). Για κάθε σχέση προκύπτει και η αντίστοιχη γραφική παράσταση: α) Ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμη ομαλή) x x = υ (θέση ή μετατόπιση α- πό τη θέση 0) υ = σταθερή = κλίση Στο διάγραμμα αυτό, η κλίση της ευθείας ισούται με την ταχύτητα της υ x υ = = σταθερή υ σταθερή τιμή της ταχύτητας Ε = Δx 1 κίνησης.

22 Κεφάλαιο 1ο 5 * Από το διάγραμμα αυτό υπολογίζουμε μέσω του εμβαδού, τη μετατόπιση του κινητού από τη χρονική στιγμή 1 έως.

23 Κεφάλαιο 1ο 6 α α = 0 α = 0 β) Ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση (ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη) x 1 x = α (θέση ή μετατόπιση από τη θέση 0) υ = α υ α = σταθερή = κλίση Ε = Δx 1 * Από το διάγραμμα αυτό υπολογίζουμε: i) τη μετατόπιση (Δx) μέσω του εμβαδού και ii) τη (σταθερή) επιτάχυνση της κίνησης η οποία ισούται με την κλίση της ευθείας. α σταθερή τιμή της επιτάχυνσης α = σταθερή α Ε = Δυ 1 * Στο διάγραμμα αυτό, το εμβαδόν μας δίνει τη μεταβολή της ταχύτητας από τη χρονική στιγμή 1 έως (χρονικό διάστημα Δ = 1 ).

24 Κεφάλαιο 1ο 7 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Περιγραφή της κίνησης με βάση το διάγραμμα ταχύτητας (υ) χρόνου (). υ(m/s) Α Γ 0 10 Ο Β Δ Ε (s) Παρατηρούμε τη γραφική παράσταση: Η ταχύτητα παίρνει συνεχώς θετικές τιμές που σημαίνει ότι το κινητό κινείται συνεχώς προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. α) Από 1 = 0s έως = s η ταχύτητα αυξάνεται ανάλογα με το χρόνο αφού το διάγραμμα είναι ευθεία γραμμή, άρα έχουμε κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Σε χρονικό διάστημα Δ = 1 = s 0s = s η ταχύτητα έχει αυξηθεί από υ 1 = 0m/s σε υ = 30m/s, δηλαδή έχουμε μεταβολή : Δυ = υ υ 1 = 30m/s 0m/s = 30m/s. Η σταθερή λοιπόν επιτάχυνση του κινητού είναι α = Δ υ 30m / s = = 15m/s. Δ s Η μετατόπιση του κινητού από την αρχική του θέση είναι τη χρονική στιγμή = s: α τρόπος: Δx = 1 α (χρησιμοποιούμε τη σχέση για τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση) ή Δx = 1 15m/s (s) = ( )m = 30m

25 Κεφάλαιο 1ο 8 β τρόπος: Βρίσκουμε τη μετατόπιση μέσω του εμβαδού μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου από τη χρονική στιγμή 1 = 0 έως τη χρονική στιγμή = s, Είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ: Δx = 1 1 E = OÂB (βάση) (ύψος) = (s / ) (30m/s) = 30m. / β) Από = s έως 3 = 5s, δηλαδή στη χρονική διάρκεια των επόμενων τριών δευτερολέπτων: Δ = 3 = 5s s = 3s, κινείται με ταχύτητα σταθερή υ = 30m/s. Βρίσκουμε τη μετατόπιση για το χρονικό αυτό διάστημα: α τρόπος: Χρησιμοποιώντας τη σχέση για τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Δx = υ Δ ή Δx = 30m/s 3s = 90m. β τρόπος: Μέσω του εμβαδού της γραφικής παράστασης. Είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ: Δx = E ABΓΔ = (βάση) (ύψος) = 3s 30m/s = 90m. γ) Από 3 = 5s έως 4 = 8s, δηλαδή για τα επόμενα 3s η ταχύτητα μειώνεται με σταθερό ρυθμό (ευθεία γραμμή) από υ = 30m/s σε υ = 0m/s. Που σημαίνει ότι τη χρονική στιγμή 4 = 8s το κινητό σταματάει: κατά το χρονικό διάστημα Δ = 4 3 = 8s 5s = 3s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. Μεταβολή ταχύτητας: Δυ = 0m/s 30m/s = -30m/s οπότε η (σταθερή) Δυ 30m / s επιβράδυνση είναι: α = = = -10m/s. Δ 3s Για να βρούμε τη μετατόπιση Δx κατά το χρονικό αυτό διάστημα ( 3 = 5s έως 4 = 8s) καλύτερα είναι να χρησιμοποιήσουμε το εμβαδόν της γραφικής παράστασης (είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ). Δx = 1 1 E = ΓΔˆ Ε (βάση) (ύψος) = (3s) (30m/s) = 45m. Παρατηρήστε ότι: Η συνολική μετατόπιση από = 0s έως = 8s ισούται με 30m + 90m + 45m = 165m. Τόσο είναι το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση (υ ) και τον άξονα του χρόνου, δηλαδή το εμβαδόν του τραπεζίου ΟΑΓΕ. Υπολογίστε το.

26 Κεφάλαιο 1ο 9 Εμβ. τραπεζίου = ( βάση μικρή + βάση μεγάλη) (ύψος) ή E τραπ = ( β + Β) υ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Ονομάζουμε διανυσματικά μεγέθη, τα φυσικά μεγέθη εκείνα που για να καθοριστούν πλήρως μας χρειάζεται εκτός από την τιμή τους και η κατεύθυνσή τους. Τέτοια είναι τα μεγέθη μετατόπιση, ταχύτητα και επιτάχυνση. Έτσι ένα αυτοκίνητο που κινείται βόρεια με ταχύτητα 80km/h και ένα άλλο που κινείται ανατολικά με ταχύτητα 80km/h αυτά λέμε ότι δεν έχουν ίδια ταχύτητα αλλά έχουν ίδιο, μόνο το μέτρο της ταχύτητας. (Μέτρο = Τιμή + Μονάδα μέτρησης) Δύο διανυσματικά μεγέθη είναι ίδια -ίσα - όταν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια κατεύθυνση.

27 Κεφάλαιο 1ο Ποια κίνηση ονομάζουμε μεταβαλλόμενη;. α) Δώστε τον ορισμό του φυσικού μεγέθους «επιτάχυνση». Είναι μονόμετρο ή διανυσματικό φυσικό μέγεθος; β) Τι εκφράζει η επιτάχυνση ώστε την ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας; γ) Ποια είναι η μονάδα μέτρησής της στο S.I.; 3. Δύο οδηγοί συζητούν: Α: Χτες οδηγούσα με 160Km/h για 60 λεπτά. Β: Εγώ έπιασα τα 160km/h σε 10 δευτερόλεπτα. Ποιος από τους δύο μιλάει για επιτάχυνση; 4. Επιτάχυνση m/s δηλώνει ότι: α) Σε χρόνο 1s το κινητό μετατοπίζεται κατά m. β) Το κινητό διατηρεί ταχύτητα m/s για χρόνο 1s. γ) Η ταχύτητα του κινητού μεταβάλλεται κατά m/s σε κάθε 1s. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 5. Ποια κίνηση ονομάζουμε ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη; 6. α) Ποιος είναι ο νόμος της επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση;

28 Κεφάλαιο 1ο 31 β) Τι είναι η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση; γ) Πώς παίρνουμε πληροφορίες για τη μεταβολή της ταχύτητας από το διάγραμμα επιτάχυνσης χρόνου; Μία κίνηση στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται ονομάζεται μεταβαλλόμενη. Ονομάζουμε επιτάχυνση το φυσικό μέγεθος που ορίζεται από το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα στο οποίο έγινε η μεταβολή αυτή: επιτάχυνση = μεταβολή ταχύτητας χρονικό διάστημα. Η επιτάχυνση εκφράζει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα. Αποτελεί το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. Εφόσον η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος τότε και η επιτάχυνση είναι διανυ-σματικό μέγεθος: α = Δυ Δ υ και μέτρο α =. Δ Δ Σε μια ευθύγραμμη κίνηση που γίνεται χωρίς αλλαγή κατεύθυνσης έχουμε: α Δυ = και θεωρώντας την κατεύθυνση της κίνησης θετική: Δ Αν α > 0, τότε η ταχύτητα αυξάνεται.

29 Κεφάλαιο 1ο 3 Αν α < 0, τότε η ταχύτητα μειώνεται καθώς το σώμα κινείται προς την καθορισμένη αυτή κατεύθυνση. Ονομάζουμε ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη την ευθύγραμμη κίνηση, στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά ίσες ποσότητες σε ίσα χρονικά διαστήματα. Σε μια τέτοια κίνηση, η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. Σε μία ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, όπου το σώμα είναι αρχικά ακίνητο, δηλαδή τη χρονική στιγμή = 0 έχει ταχύτητα υ = 0 (αρχική ταχύτητα ίση με μηδέν), τότε η ταχύτητα (υ) που έχει το σώμα σε κάθε χρονική στιγμή () συνδέονται με την επιτάχυνση μέσω της σχέσης : α = υ. Νόμος της επιτάχυνσης: «Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή». Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης (α) σε σχέση με το χρόνο () είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα του χρόνου. α = σταθ. Νόμος της ταχύτητας: «Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση (α = σταθερή), χωρίς αρχική ταχύτητα (για = 0, υ = 0), η ταχύτητα του σώματος είναι ανάλογη του χρόνου στον οποίο αποκτήθηκε». υ = α. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας (υ) σε σχέση με το χρόνο () είναι ευθεία γραμμή.

30 Κεφάλαιο 1ο 33 υ υ = α (α = σταθ.) Σε ένα διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου, το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ της γραμμής που παριστάνει την επιτάχυνση και τον άξονα του χρόνου, ανάμεσα σε δύο χρονικές στιγμές 1 και, είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. (από 1 σε ). α α Ε = Δυ 1 Στο διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου, η κλίση της ευθείας ισούται με την επιτάχυνση. υ υ Γ υ 1 Κλίση ευθείας = εφ φ (εφαπτομένη της γωνίας φ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ: ΒΓ Κλίση ευθείας = ή κλίση της ευθείας = ΑΒ Α φ Δ Β Δυ 1 Δ υ = α. Δ

31 Κεφάλαιο 1ο 34 Νόμος της μετατόπισης: «Όταν ένα σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, η μετατόπισή του από την αρχική θέση είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου κίνησης». Το διάγραμμα θέσης - χρόνου (x - ), όταν τη χρονική στιγμή = 0 το κινητό ξεκινάει από τη θέση του σημείου αναφοράς (x = 0), έχει τη μορφή: x 0 Η μετατόπιση που έχει το σώμα κατά τη χρονική διάρκεια από τη χρονική στιγμή = 0 έως τη χρονική στιγμή είναι: Δx = 1 α. Καθώς δεχτήκαμε ότι το κινητό την αρχική χρονική στιγμή = 0 ξεκινάει από το σημείο αναφοράς (x = 0), τότε η μετατόπισή του τη χρονική στιγμή συμπίπτει με τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή αυτή. Οπότε, στην περίπτωση αυτή (όταν τη χρονική στιγμή = 0 έχουμε x = 0 και υ = 0) μπορούμε ισοδύναμα να γράφουμε: x = 1 α και να υπολογίζουμε με τη σχέση αυτή τη θέση x του κινητού πάνω στον άξονα, μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή κατά την κίνησή του. Επιβράδυνση ονομάζουμε την επιτάχυνση που έχει ένα κινητό του οποίου το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται. Ονομάζουμε τότε την κίνησή του επιβραδυνόμενη. Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος, όπως και η ταχύτητα. Το διάνυσμά της δηλώνει το εξής: παίρνουμε άξονα για σύστημα αναφοράς και θεωρούμε ότι η κίνηση γίνεται κατά τη θετική φορά του άξονα.

32 Κεφάλαιο 1ο 35 Τότε: i) Εάν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, έχουμε επιτάχυνση: α υ 1 υ x 1 Επιτάχυνση: Διάνυσμα κατά τη θετική φορά του άξονα οπότε α > 0. ii) Εάν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, έχουμε επιβράδυνση: α υ 1 υ x 1 Επιτάχυνση: Διάνυσμα κατά την αρνητική φορά του άξονα οπότε: α < 0 (επιβράδυνση) Γενικά: στην επιταχυνόμενη κίνηση, η επιτάχυνση και η ταχύτητα, ως διανύσματα, έχουν την ίδια φορά, στην επιβραδυνόμενη κίνηση η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν αντίθετη φορά (και τότε η επιτάχυνση λέγεται επιβράδυνση). 1. Μεταβαλλόμενη ονομάζεται μία κίνηση στην οποία η ταχύτητα δεν παραμένει σταθερή αλλά μεταβάλλεται.

33 Κεφάλαιο 1ο 36. α) Η επιτάχυνση ορίζεται από το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας (Δυ) προς τον αντίστοιχο χρόνο στον οποίο έγινε η μεταβολή. Επιτάχυνση = μεταβολή ταχύτητας χρονικό διάστημα ή α = Δ υ. Δ β) Η επιτάχυνση εκφράζει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός κινητού και λέμε ότι είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. γ) Μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι το 1m/s. 3. Για επιτάχυνση μιλάει ο οδηγός Β. Αυτός σχολιάζει πόσο γρήγορα η ταχύτητά του μεταβλήθηκε από 0km/h σε 160Km/h. Ο οδηγός Α λέει πως κινήθηκε για 60 λεπτά με σταθερή ταχύτητα 160km/h, δε μιλάει για επιτάχυνση. 4. Η σωστή απάντηση είναι η (γ). 5. Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη ονομάζουμε την ευθύγραμμη κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά ίσες τιμές σε ίσα χρονικά διαστήματα. Σε μια τέτοια κίνηση η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. α = σταθερή. 6. α) Ο νόμος της επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση λέει πως η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. β) Ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα του χρόνου. α γ) Στο διάγραμμα α, το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου μεταξύ δύο

34 Κεφάλαιο 1ο 37 χρονικών στιγμών 1 και ισούται με τη μεταβολή της ταχύτητας κατά το χρονικό διάστημα από 1 έως. α Ε = Δυ 1 Συμπλήρωσε το παρακάτω κείμενο: Η επιτάχυνση ορίζεται ως το πηλίκο της μεταβολής της. προς το αντίστοιχο. Μια κίνηση στην οποία η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή ονομάζεται ευθύγραμμη..... Όταν το μέτρο της ταχύτητας η κίνηση λέγεται επιβραδυνόμενη. Η επιτάχυνση ορίζεται ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Μια κίνηση στην οποία η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη. Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται η κίνηση λέγεται επιβραδυνόμενη.

35 Κεφάλαιο 1ο 38 Διάλεξε τη σωστή απάντηση. Α. Η μονάδα της επιτάχυνσης είναι: α) m/s, β) m /s, γ) m/s, δ) m /s Β. Σε μια ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η σχέση μεταξύ των μεγεθών ταχύτητα (υ), επιτάχυνση (α) και χρόνος () είναι: α α) υ = α, β) υ =, γ) υ = δ) α = υ. α Α. Σωστή είναι η απάντηση (γ) m/s. Δυ Αυτό προκύπτει από τη σχέση α = όπου εάν θέσουμε μονάδες m/s για Δ το Δυ, και μονάδες s για το χρονικό διάστημα Δ προκύπτει για την επιτάχυνση: m Μονάδες α: s m =. s s Β. Σωστή είναι η απάντηση (α) υ = α. Αυτό προκύπτει από τη σχέση α = Δυ Δ ή α = υ. Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση να αντιστοιχίσεις τα διαγράμματα σε σχέση με το χρόνο των μεγεθών που δείχνονται στην αριστερή στήλη με τις γεωμετρικές μορφές της δεξιάς στήλης. ΜΕΓΕΘΗ Γραφική παράσταση σε σχέση με το χρόνο α) επιτάχυνση β) Ταχύτητα β) Παραβολή α) Ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. γ) Θέση γ) Ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των χρόνων. Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο είναι ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των χρόνων:

36 Κεφάλαιο 1ο 39 α α = σταθερά Η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο είναι ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων: υ υ = α Η γραφική παράσταση της θέσης σε σχέση με το χρόνο είναι μια παραβολή. x x = 1 α

37 Κεφάλαιο 1ο 40 ÁóêÞóåéò Ένα αυτοκίνητο αγώνων, που τρέχει ευθύγραμμα με ταχύτητα μέτρου 10m/s προς βορρά, αυξάνει την ταχύτητα του σε 16m/s πάντα προς βορρά, μέσα σε χρόνο 3s. Ποια είναι η μέση επιτάχυνσή του σ αυτό το χρονικό διάστημα; Ποια είναι η κατεύθυνση της επιτάχυνσης; Διαβάζοντας πολλές φορές και προσεκτικά το πρόβλημα φτιάχνουμε πίνακα με τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης: Δεδομένα υ 1 = 10m/s υ = 16m/s Δ = 3s Ζητούμενα i) α = ; ii) α = ; (κατεύθυνση) Απάντηση: i) Βλέπουμε ότι έχουμε αύξηση της ταχύτητας οπότε έχουμε επιτάχυνση. Δ υ υ Θα την υπολογίσουμε μέσω της σχέσης α = : α = υ1 ή Δ Δ m α = ή 3 s 6 m α = ή 3 s α = m/s

38 Κεφάλαιο 1ο 41 ii) Αφού έχουμε αύξηση του μέτρου της ταχύτητας, η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι ίδια με της ταχύτητας, δηλαδή προς βορρά. Μετά τον ήχο του πιστολιού του αφέτη ένας δρομέας των 100m χρειάζεται 0,8s για να αποκτήσει ταχύτητα 10m/s. Να υπολογίσεις τη μέση επιτάχυνση του δρομέα. Η άσκηση μας περιγράφει μια κίνηση κατά την οποία το κινητό (δρομέας) μέσα στο χρόνο Δ = 0,8s, αυξάνει την ταχύτητά του από υ 1 = 0m/s σε υ = 10m/s. Δηλαδή έχει μεταβολή Δυ = υ υ 1 = (10 0)m/s = 10m/s. Οπότε η μέση επιτάχυνσή του είναι α = Δ υ 10m / s = Δ 0,8s = 1,5m/s. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση 1m/s. Μετά από 5s από τη στιγμή που ξεκίνησε να βρεθούν: α) η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή = 5s. β) η μετατόπισή του από την αφετηρία. Δεδομένα Αρχικά ηρεμία (για = 0 υ = 0) Ζητούμενα i) υ = ; α = 1m/s = 5s ii) Δx = ; για = 5s Απάντηση: Το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία, δηλαδή για = 0 έχει ταχύτητα υ = 0. Αν θεωρήσουμε (μπορούμε να επιλέξουμε ελεύθερα) ότι η αρχική του θέση είναι το σημείο αναφοράς (x = 0) τότε μπορούμε να υπολογίζουμε την ταχύτητά του και τη μετατόπισή του από την αφετηρία σημείο αναφοράς σε κάθε 1 χρονική στιγμή, μέσω των σχέσεων υ = α και Δx = α αντίστοιχα. i) υ = α. Αντικαθιστούμε α = 1m/s και = 5s οπότε: υ = 1m / s / 5 s/ ή υ = 5m/s

39 Κεφάλαιο 1ο 4 ii) Δx = 1 α. Αντικαθιστούμε πάλι α = 1m/s και = 5s οπότε: 1 Δx = 1m/s (5s) 5 ή Δx = m ή Δx = 1,5m Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση 3m/s μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα 18m/s. Να υπολογίσεις το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να αποκτήσει την παραπάνω ταχύτητα. Η άσκηση περιγράφει μια κίνηση κατά την οποία με σταθερή επιτάχυνση α = 3m/s η ταχύτητα μεταβάλλεται από υ 1 = 0m/s (ηρεμία) σε υ = 18m/s. Οπότε έχουμε μεταβολή Δυ = υ υ 1 = 18m/s. H σχέση που ισχύει για την Δ υ επιτάχυνση είναι α =. Δ Γνωρίζοντας: Δυ = 18m/s και α = 3m/s λύνουμε και βρίσκουμε το ζητούμενο χρονικό διάστημα: α = Δ = Δυ Δ m/ 18 s/ m/ 3 / s ή Δ = = 6s Δυ α οπότε: Ένα αμαξίδιο, που ήταν αρχικά ακίνητο, αρχίζει να κατεβαίνει κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου. Στο πρώτο δευτερόλεπτο της κίνησής του διανύει 3m. Πόση είναι η επιτάχυνσή του; Αναζητώντας τα δεδομένα ζητούμενα της άσκησης: Το αμαξίδιο είναι αρχικά ακίνητο. Θεωρώντας ότι ο χρόνος αρχίζει να μετράει στην αρχή της κίνησης έχουμε: Για = 0 : υ = 0 Παίρνουμε ακόμα ως σημείο αναφοράς των θέσεων την αρχική θέση του σώματος οπότε για = 0 έχουμε και x = 0. Δεδομένα Για = 0s : x = 0 και υ = 0 Για = 1s : Δx = 3m α = ; Ζητούμενα

40 Κεφάλαιο 1ο 43 1ο βήμα: Στην κίνηση αυτή, η μετατόπιση του κινητού από την αρχική του θέση σε κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση: Δx = 1 α. ο βήμα: Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς α: Δx = 1 α ή (πολλαπλασιάζουμε χιαστί) Δx = α ή (διαιρούμε και τα δύο μέλη με ) Δx α/ = / Δx α = / / ή (τα στο ο μέλος διαγράφονται) 3ο βήμα: Αντικαθιστούμε Δx = 3m και = 1s και βρίσκουμε την επιτάχυνση: 3m 6m α = = = 6m/s (1s) 1s

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2.

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2. 1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr γ) πr 2 δ) καµία από τις παραπάνω τιµές Το µέτρο της µετατόπισης που έχει υποστεί

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 1 2 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εκπαιδευτικό υλικό. Τρόπος βαθµολόγησης. http://www.pi-schools.gr/lessons/physics/ Βαθµολογία Φυσικά. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να έχετε: Τετράδιο εργαστηρίου (Physics book) File για φυλλάδια Απλό υπολογιστή (calculator) Οι σηµειώσεις του µαθήµατος βρίσκονται στην προσωπική µου ιστοσελίδα:http://www.pantelis.net

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8)

ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1 Β1. Στο σχολικό εργαστήριο μια μαθήτρια περιεργάζεται ένα ελατήριο και λέει σε συμμαθητή της: «Θα μπορούσαμε να βαθμολογήσουμε αυτό το ελατήριο και με τον τρόπο αυτό να κατασκευάσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛΥΚΕΙΟΥ: ΦΥΣΙΚΗ. Ημερομηνία 16 Νοεμβρίου 2014

Α ΛΥΚΕΙΟΥ: ΦΥΣΙΚΗ. Ημερομηνία 16 Νοεμβρίου 2014 Α ΛΥΚΕΙΥ: ΦΥΣΙΚΗ Διαγωνίσματα 13-14 Θεματικό πεδίο: 1 ο Διαγώνισμα Ευθύγραμμη κίνηση Ημερομηνία 16 Νοεμβρίου 14 Διάρκεια Ώρες ΘΕΜΑ 1 5 μονάδες Α. Ερωτήσεις κλειστού τύπου (4x5= Μονάδες) 1. Αν το πουλί-δρομέας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Β. διπλανό διάγραμμα. Αν t 2 =2 t 1 και t 3 =3 t 1 τότε -F

ΘΕΜΑ Β. διπλανό διάγραμμα. Αν t 2 =2 t 1 και t 3 =3 t 1 τότε -F ΘΕΜΑ Β Β 1. Ένας μικρός μεταλλικός κύβος βρίσκεται αρχικά ακίνητος σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στον κύβο ασκείται την χρονική στιγμή t= 0 s οριζόντια δύναμη της οποίας η τιμή σε συνάρτηση με το χρόνο παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Φυσική Β Γυμνασίου. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Φυσική Β Γυμνασίου Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 2 Εισαγωγή 1.1 Οι φυσικές επιστήμες και η μεθοδολογία τους Φαινόμενα: Μεταβολές όπως το λιώσιμο του πάγου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

β) το αυτοκίνητο τη χρονική στιγμή t = 2 s έχει ταχύτητα μέτρου υ 4. s γ) στο αυτοκίνητο ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη μέτρου 1 Ν.

β) το αυτοκίνητο τη χρονική στιγμή t = 2 s έχει ταχύτητα μέτρου υ 4. s γ) στο αυτοκίνητο ασκείται σταθερή συνισταμένη δύναμη μέτρου 1 Ν. ΘΕΜΑ Β Β 1. Ένα παιγνίδι - αυτοκινητάκι μάζας 1 Kg είναι ακίνητο στη θέση x = 0 m. Την χρονική στιγμή t = 0 s ξεκινά να κινείται ευθύγραμμα. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές της θέσης του αυτοκινήτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 19 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 3 Απριλίου, 5 Ώρα: 1: - 13: Προτεινόµενες Λύσεις ΘΕΜΑ 1 (1 µονάδες) (α) Το διάστηµα που διανύει ο κάθε αθλητής είναι: X A = υ Α

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Θέση, μετατόπιση και διάστημα Όταν ένα σημειακό αντικείμενο κινείται ευθύγραμμα, για να μελετήσουμε την κίνησή του θεωρούμε σαν σύστημα αναφοράς έναν άξονα χ χ. Στην αρχή του

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΙΝΗΣΕΙΣ 1. ΘΕΜΑ Β (5323, 9074) Β1.

1. ΚΙΝΗΣΕΙΣ 1. ΘΕΜΑ Β (5323, 9074) Β1. 1. ΚΙΝΗΣΕΙΣ 1. ΘΕΜΑ Β (5323, 9074) Β1. Από ένα σημείο του εδάφους εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω μια πέτρα. Η πέτρα κινείται κατακόρυφα, φτάνει σε ύψος 6 m από το έδαφος και στη συνέχεια πέφτει στο

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ. 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος;

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ. 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος; ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ 1. Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος; 2. Ποιο από τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Φυσική Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Φυσική Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Φυσική Α Λυκείου Στο παρών παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 2 ο, 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 50. Σε ένα σώμα μάζας m=2kg που ηρεμεί σε λείο επίπεδο ενεργεί οριζόντια δύναμη F=10Ν για χρόνο t=20s. Να βρεθεί πόσο διάστημα διανύει το σώμα σε χρόνο 25s και να γίνει γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΡΟΓΡΑΜΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ - 1 - ΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ Σελ. ερ. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη. 4 0,5 1.2 Το Διεθνές

Διαβάστε περισσότερα

(ΙΙ) τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α = 2g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

(ΙΙ) τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α = 2g, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ΘΕΜΑ Β Β 1. Μικρή σφαίρα αφήνεται να πέσει από αρχικό μικρό ύψος H, πάνω από το έδαφος και εκτελώντας ελεύθερη πτώση πέφτει στο έδαφος. K (Ι) K (ΙΙ) K (ΙΙΙ) 0 Η y 0 H y 0 H y Α) Να επιλέξετε την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ

ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Α Λυκείου Σαλαμίνα Φυσική Α Λυκείου 2 ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ ΤΣΙΛΙΒΙΓΚΟΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με το μικρό αυτό βιβλίου θα ήθελα να βοηθήσω τους μαθητές της Α τάξης του Ενιαίου Λυκείου να οργανώσουν

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη στις πιο κάτω περιπτώσεις.

Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη στις πιο κάτω περιπτώσεις. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ Να σχεδιάσετε και να υπολογίσετε τη συνισταμένη δύναμη στις πιο κάτω περιπτώσεις. F 2=2N F 1=6N F 3=3N F 4=5N (α) (β) F 5=4N F 6=1N F 7=3N (γ) Να σχεδιάσετε και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Β1) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου 4 m/s με την επίδραση οριζόντιας σταθερής δύναμης μέτρου ίσου με 40 N.

Β1) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου 4 m/s με την επίδραση οριζόντιας σταθερής δύναμης μέτρου ίσου με 40 N. ΘΕΜΑ Β Β1) Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο δάπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου 4 m/s με την επίδραση οριζόντιας σταθερής δύναμης μέτρου ίσου με 40 N. Α) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Ο ρυθμός με τον οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα προς ανάλυση: Κινηµατική ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ

Θέµατα προς ανάλυση: Κινηµατική ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ, ΠΘ - ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ «Αρχές Βιοκινητικής» Μάθηµα του βασικού κύκλου σπουδών (Γ εξάµηνο)

Διαβάστε περισσότερα

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει.

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης 1. Τι είναι δύναμη; Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. 2. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Φυσικά μεγέθη

Κεφάλαιο 1 ο. Φυσικά μεγέθη Κεφάλαιο 1 ο Φυσικά μεγέθη 1.1. Μέγεθος Μέγεθος είναι κάθε ποσότητα η οποία μπορεί να μετρηθεί. 1.2. Μέτρηση Είναι η διαδικασία που χρησιμοποιούμε για να συγκρίνουμε όμοια μεγέθη. 1.. Φυσικά μεγέθη Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης.

Δ 4. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βέλους που μεταφέρεται στο περιβάλλον του συστήματος μήλο-βέλος κατά τη διάρκεια της διάτρησης. Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητο ένα μήλο μάζας Μ = 200 g. Ένα μικρό βέλος μάζας m = 40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου, υ 1 = 10 m / s, χτυπά το μήλο με αποτέλεσμα να το διαπεράσει. Αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Φυσική Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ GI_A_FYS_0_4993

ΘΕΜΑ GI_A_FYS_0_4993 ΘΕΜΑ GI_A_FYS_0_4993 ΘΕΜΑ Β Β Ένας αλεξιπτωτιστής που έχει μαζί με τον εξοπλισμό του συνολική μάζα Μ, πέφτει από αεροπλάνο που πετάει σε ύψος Η Αφού ανοίξει το αλεξίπτωτο, κινούμενος για κάποιο χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1.1. Στιγμιότυπο κύματος Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,2ημπt (μονάδες στο

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος.

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2008 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος. Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1o A Λυκείου 22 Μαρτίου 28 Στις ερωτήσεις Α,Β,Γ,Δ,E μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής απάντησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΥΝΑΜΕΙΣ Μέρος 1ο Φυσική Β Γυμνασίου Βασίλης Γαργανουράκης http://users.sch.gr/vgargan Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε τις κινήσεις των σωμάτων. Το επόμενο βήμα είναι να αναζητήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα δυνάµεων

Παραδείγµατα δυνάµεων ΥΝΑΜΕΙΣ Παραδείγµατα Ορισµός της δύναµης Χαρακτηριστικά της δύναµης Μάζα - Βάρος Μέτρηση δύναµης ράση - αντίδραση Μέτρηση δύναµης Σύνθεση - ανάλυση δυνάµεων Ισορροπία δυνάµεων 1 Ανύψωση βαρών Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1 Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα