Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Transcript

1 Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

2 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της τετραγωνική συνάρτησης είναι μία καμπύλη γραμμή που ονομάζεται παραβολή. Όταν β = γ = 0 τότε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή y = α. Στη γλώσσα της Γεωμετρίας η παραβολή είναι ένα σύνολο σημείων καθένα από τα οποία ισαπέχει από ένα γεωμετρικό σημείο Ε ( την εστία ) και από μία ευθεία ( τη διευθετούσα ). Η γραφική της παράσταση είναι παραβολή, έχει κορυφή το σημείο 0(0,0) ( ελάχιστη τιμή ) και εξαρτάται από το α. Σελίδα 1

3 Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν α > 0, τότε η παραβολή και έχει την παρακάτω μορφή: Ο άξονας yy (κατακόρυφος) άξονας είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής. H συνάρτηση έχει ελάχιστο y = 0 για = 0. Αν α < 0, τότε η παραβολή και έχει την παρακάτω μορφή: Σελίδα

4 3 Ο άξονας yy (κατακόρυφος) άξονας είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής. H συνάρτηση έχει μέγιστο y = 0 για = 0. Επομένως έχει μέγιστο στο σημείο Ο(0,0). Η κλίση της γραφικής παράστασης σε κάποιο σημείο της, καθορίζεται από την γωνία που σχηματίζει με τον άξονα των ' η ευθεία που εφάπτεται της παραβολής στο σημείο αυτό. Συγκεκριμένα ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας αυτής. Σημείωση: Η εφαπτομένη μιας αμβλείας γωνίας είναι αρνητικός αριθμός, ενώ η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι θετικός αριθμός. Αν η παραβολή μας παρουσιάζει ελάχιστο, τότε σε όλα τα σημεία αριστερά του ελάχιστου έχει αρνητική κλίση, ενώ σε όλα τα σημεία δεξιά του ελάχιστου έχει θετική κλίση. Αν η παραβολή μας παρουσιάζει μέγιστο, τότε σε όλα τα σημεία αριστερά του μέγιστου έχει θετική κλίση, ενώ σε όλα τα σημεία δεξιά του μέγιστου έχει αρνητική κλίση. Σελίδα 3

5 4 Οι παραβολές ψ = α και ψ = - α είναι συμμετρικές ως προς άξονα συμμετρίας τον '. Σελίδα 4

6 5 Για να κάνουμε την γραφική παράσταση της y = α Βρίσκουμε το πρόσημο του α. Δίνουμε στη μεταβλητή συμμετρικές τιμές ως προς το Ο για να προσδιορίσουμε τις αντίστοιχες τιμές του y. Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών για τις διάφορες τιμές του. Εφαρμογές Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η παραβολή y = α να διέρχεται από το σημείο Α(-,8). Η παραβολή περνάει από το Α(-,8) άρα: 8 = α(-) ή 8 = 4α οπότε α =. Να σχεδιάσετε τις παραβολές: y =, y = 1, y = 3 Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του είναι σε όλες τις παραβολές θετικός, επομένως οι γραφικές τους παραστάσεις θα βρίσκονται πάνω από τον άξονα y. Σχηματίζουμε τους πίνακες τιμών: y y 1/ 0 1/ Σελίδα 5

7 y Σχεδιάζουμε τις παραβολές: y = y = 3 y = 1 Σελίδα 6

8 7 Δίνεται η παραβολή: y = β 1 3 Βρείτε για ποιες τιμές του β η παραβολή έχει ελάχιστο. Η παραβολή έχει ελάχιστο όταν ο συντελεστής του είναι θετικός αριθμός. Θα πρέπει, λοιπόν να ισχύει: β 1 3 > 0 β 1 3 > 0 ή β 1 β 7 > 0 ή β > 7 Άρα όταν β > 7, η παραβολή έχει ελάχιστο. 3 > 0 ή β 1 6 > 0 ή Έστω η παραβολή y = 3 και η ευθεία y = 3 1. Να βρείτε αν υπάρχουν τα σημεία στα οποία τέμνονται οι γραφικές τους παραστάσεις. Έστω ( 0,y 0 )σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων. Επειδή το Μ ανήκει και στην παραβολή και στην ευθεία θα έχουμε: y 0 = 3 και y 0 = 3 1 Aφού τα πρώτα μέλη είναι ίσα, είναι και τα δεύτερα. Έτσι 3 = 3 1 ή = 0 Λύνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση και οι ρίζες της είναι: Σελίδα 7

9 8 Mία διπλή : 0 = 0,5 Για 0 = 0,5 έχουμε: y 0 = 3 0,5 = 0,75 και y 0 = = 0,5 Επομένως οι γραφικές παραστάσεις της παραβολής και της ευθείας τέμνονται στα σημεία Α(0,5, 0,75) και Β(0,5, 0,5). y 0 = 3 y 0 = Σελίδα 8

10 9 Μελέτη της συνάρτησης f() = α, α 0 Η συνάρτηση αυτή ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό. Άρα έχει πεδίο ορισμού Α = R Σύνολο Τιμών: f(a) = [0,+ ), αν α > 0 f(a) = (-,0], αν α < 0 Είναι άρτια συνάρτηση. Για κάθε R και το - R. Ακόμα f(-) = α(-) = α = f() Δηλαδή, η γραφική παράσταση τη f θα έχει τον άξονα y y ως άξονα συμμετρίας. Σημεία Τομής με Άξονες: Για =0 βρίσκουμε y = 0. Έτσι η παραβολή διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και δεν τέμνει τους άξονες σε κανένα άλλο σημείο. Αν α > 0, είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, 0], γνησίως φθίνουσα στο [0, + ) και παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 =0, το f(0)=0, όπως προαναφέραμε. Αν α < 0, είναι γνησίως αύξουσα στο (-, 0], γνησίως φθίνουσα στο [0, + ) και παρουσιάζει μέγιστο στο 0 =0, το f(0)=0. Καθώς η α μεγαλώνει η παραβολή πλησιάζει τον άξονα y y Σημείωση Η παραβολή δεν έχει ασύμπτωτες, αφού: αν + τότε α + (αν α > 0) ή α - (αν α < 0) αν - τότε α + (αν α > 0) ή α - (αν α < 0) Σελίδα 9

11 10 Ειδικές περιπτώσεις της f() = α, α 0 Αν α =1 >0, τότε f() = Αν α = -1<0, τότε f() = - Εφαρμογές A Ομάδας Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του y διπλανού σχήματος. Επειδή είναι παραβολή με ελάχιστο f( 0) = 0, ( ) θα έχει εξίσωση της μορφής f = α, α> 0. Αφού διέρχεται από το σημείο (1, ), θα επαληθεύεται απ αυτό : = α.1 α=. O 1 Άρα ( ) f = Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις i) φ() = 0,5, f() = 0,5 + και g() = 0,5 3 ii) ψ() = 0,5, h() = 0,5 και q() = 0, Σελίδα 10

12 11 i) Η C ϕ είναι γνωστή από τη θεωρία. y 6 4 C f C φ Η C f προκύπτει από τη μετατόπιση της O - C g C ϕ κατά μονάδες προς τα πάνω. Η C g προκύπτει από τη μετατόπιση της C ϕ κατά 3 μονάδες προς τα κάτω. ii) Η C ψ είναι γνωστή από τη θεωρία. y C q Η C h προκύπτει από τη μετατόπιση της O - C ψ C ψ κατά μονάδες προς τα κάτω. -4 C h Η C q προκύπτει από τη μετατόπιση της -6 C ψ κατά 3 μονάδες προς τα πάνω. Σελίδα 11

13 1 Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις i) φ() = 0,5, f() = 0,5 ( ) και g() = 0,5 ( + ) ii) ψ() = 0,5, h() = 0,5 ( ) και q() = 0,5 ( + ) i) Η C ϕ είναι γνωστή από τη θεωρία. y 4 C g C φ Η C f προκύπτει από τη μετατόπιση της C f C ϕ κατά μονάδες προς τα δεξιά. -5 O 5 Η C g προκύπτει από τη μετατόπιση της C ϕ κατά μονάδες προς τα αριστερά. ii) Η C ψ είναι γνωστή από τη θεωρία. y O C h Η C h προκύπτει από τη μετατόπιση της -4-6 C q C ψ C ψ κατά μονάδες προς τα δεξιά. Σελίδα 1

14 13 Η C q προκύπτει από τη μετατόπιση της C ψ κατά μονάδες προς τα αριστερά. i) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = και g() = 1 και με τη βοήθεια αυτών να λύσετε τις ανισώσεις 1 και > 1 ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα. i) Έστω Α, Β τα σημεία τομής των δύο συναρτήσεων. Οι τετμημένες των Α, Β είναι 1 και 1 Λ y y = αντίστοιχα. Κ A 1 B y = 1 Από τυχαίο σημείο Μ() του άξονα, φέρνουμε κατακόρυφη ευθεία, που τέμνει Μ() -1 O 1 τη C g στο Κ και τη C f στο Λ. Τότε είναι (ΜΚ) = g() και (ΜΛ) = f(). Η ανίσωση 1 γράφεται Σελίδα 13

15 14 f() g() (ΜΛ) (ΜΚ) (1) Οι τιμές του για τις οποίες ισχύει η (1) είναι 1 1. Ομοίως, οι τιμές του για τις οποίες ισχύει > 1 δηλαδή (ΜΛ) > (ΜΚ), είναι < 1 ή > 1 ii) > 1 > 1 < 1 ή > 1 Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = ( ), < 0 Η συνάρτηση γράφεται f() =., 0, < 0 f() =, 0 y y =, > 0 O y = -, < Σελίδα 14

16 15 Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, 0 f() = <, 0 και με τη βοήθεια αυτής να βγάλετε τα συμπεράσματα τα σχετικά με τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f. Η f είναι γν.φθίνουσα στο διάστημα (, ] και γν.αύξουσα στο διάστημα [0, + ) Παρουσιάζει ελάχιστο, το f(0) = 0. y = -, < 0 y y =, > 0 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές O παραστάσεις των συναρτήσεων : y y = 3 y = y = f() =, g() =, y = 3 h() = και φ() = 1 A(1, 1) στο διάστημα [0, + ). i) Να διατάξετε από τη μικρότερη στη O 1 3 μεγαλύτερη τις τιμές,, και των συναρτήσεων f, g, h και φ : α) για 0 < < 1 και β) για > 1 Σελίδα 15

17 16 ii) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα συμπεράσματα στα οποία καταλήξατε προηγουμένως. i) Από το τυχαίο σημείο Μ() του άξονα φανταζόμαστε κατακόρυφη ευθεία ε. 3 α) Όταν είναι 0 < < 1, η ε διαδοχικά θα τμήσει τη,,,. 3 Άρα θα είναι < < < β) Όταν είναι > 1, η ε διαδοχικά θα τμήσει τη,,, 3. ii) 3 Άρα θα είναι < < < α) Όταν είναι 0 < < 1 3 < < 1 που ισχύει (διαιρέσαμε με ) < < 1 που ισχύει (διαιρέσαμε με ) < < που ισχύει (υψώσαμε στο τετράγωνο) β) Όταν είναι > 1 < < 1 < που ισχύει < 1 < που ισχύει 3 < 1 < που ισχύει Σελίδα 16

18 17 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. Να βρεθεί η τετμημένη του σημείο Α. Έστω > 0 η τετμημένη του Α Α(, ) Λόγω συμμετρίας, - θα είναι η τετμημένη του Β και άρα Β(, ( ) ) = B(, ) (AB) = (AO) = + ( ) 4 = = = = 3 = 3 Σελίδα 17

19 18 Σελίδα 18