ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. Διπλωματική Εργασία

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Διπλωματική Εργασία ΤΙΤΛΟΣ: ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ TOY ΠΡΟΒΛΗΜΑΤOΣ ΟΜΑΔΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ :,, A, ΚΕΡΑΜΙΩΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ, 006

2 Στην οικογένεια μου και στους φίλους μου

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ πολύ τον καθηγητή κ. Ιωάννη Μίνη για την καθοδήγηση του κατά την ανάπτυξη των ιδεών και τη συγγραφή της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Ευχαριστώ πολύ τον υποψήφιο διδάκτορα κ. Κων/νο Μαμάση για την επίβλεψη της εργασίας και τις συμβουλές του. Ευχαριστώ πολύ τον υποψήφιο διδάκτορα κ. Βασίλη Ζεϊμπέκη για την πολύτιμη βοήθεια του. Επίσης ευχαριστώ πολύ τα μέλη του εργαστηρίου ΣυΣΠαΛ του Τμήματος Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης και συγκεκριμένα τον υποψήφιο διδάκτορα κ. Ταξιάρχη Κουρούνη, την κ. Λεμονιά Αμυγδάλου, τον Αλέξη Ασημακόπουλο, την Κατερίνα Ανδρίτσου, την Νανά Νεαμονίτου, την Ελένη Λημναίου και την Καλιόπη Κύρου. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την αγάπη και την συμπαράσταση τους.

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ, Mamassis et al. (006).. (ANOVA)..

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή (TSP) Το Πρόβλημα της Δρομολόγησης Οχημάτων (VRP) Το Πρόβλημα του Ομαδικου Προσανατολισμού (TOP) Εισαγωγή Βασικές παραλλαγές Γενετικών Αλγορίθμων Γενετικός Αλγόριθμος για το Πρόβλημα Προσανατολισμού ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΟΜΑΔΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΑΙ Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ (.. ) ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Μέθοδος Πειραματικής Διερεύνησης Επιλογή πειραματικού σχεδίου τύπου ( factorial design) Διαμόρφωση υποθέσεων προ της εκτέλεσης των πειραμάτων Εκτέλεση των πειραμάτων και αποτελέσματα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ (ANOVA) Στατιστική ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων (πρόβλημα 7.4.l) Στατιστική ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων (πρόβλημα 5..x) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.1 Αναπαράσταση Υποψήφιων Λύσεων Α. Συνάρτηση καταλληλότητας... 7 Α.3 Επιλογή Γονέων... 7 Α.4 Αναπαραγωγή (TASGETIREN, 000) 80 Β.1 Ψευδοκώδικας του Γενετικού Αλγορίθμου για το Πρόβλημα του Προσανατολισμού Β. Ψευδοκώδικας υπολογισμού της πιθανότητας του σημείου εισαγωγής Β.3 Ψευδοκώδικες των μηχανισμών τοπικής αναζήτησης για το Πρόβλημα του Προσανατολισμού ΠΙΝΑΚΑΣ Γ ΠΙΝΑΚΑΣ Γ ΠΙΝΑΚΑΣ Γ-3. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Γ-4. ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Γ-5. ΜΕΣΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 88

6 Κεφάλαιο 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Chopra Meindl (004),,,.,,,, Κίνητρα για έρευνα, Chopra Meindl (004),, «διαφορά της αξίας του τελικού προϊόντος για τον πελάτη από την προσπάθεια που καταβάλει η εφοδιαστική αλυσίδα για την εξυπηρέτηση του πελάτη». (Chopra Meindl, 004)., Πρόβλημα Ομαδικού Προσανατολισμού (Team Orienteering Problem).. (Mamassis et al, 006).,... ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 1 από 9

7 ,.. 1. Δομή διπλωματικής εργασίας :. 3. 4, ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα από 9

8 Κεφάλαιο. ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ.1 Προβλήματα Δρομολόγησης Οχημάτων και Προσανατολισμού [Clarke G and Wright J (1964), Lin and Kernighan (1973), Christofides N. (1979), Christofides et al. (1979)]: Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή (Traveling Salesman Problem) Πρόβλημα της Δρομολόγησης Οχημάτων (Vehicle Routing Problem). Πρόβλημα του Ομαδικού Προσανατολισμού (Team Orienteering Problem) Πρόβλημα Προσανατολισμού (Orienteering Problem). Πρόβλημα του Ομαδικού Προσανατολισμου..1.1 Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή (TSP) Περιοδεύοντος Πωλητή. Hurkens et al. (004), (symmetric TSP) (asymmetric TSP). : G = ( V, A) V = v, v,..., v ),, ( 1 n A = {( v, v ) v, v V, i j},., i j i j C = ( c ij ),, ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 3 από 9

9 Α. c = c. ij ji, c + c > c. ij jk ik Περιοδεύοντος Πωλητή ( ) G = ( V, A). Hurkens et al. (004), Hamilton,., ΑΡΧΙΚΗ ΘΕΣΗ 1 5 ΑΡΧΙΚΗ ΘΕΣΗ 1 5 C15 C41 C54 C13 C53 3 TSP 3 4 C34 C56 4 C5 C16 C1 C64 C4 C36 C3 6 C6 6 Σχήμα Christofides N. (1979) Hurkens et al. (004), (Nearest neighbor rule). : n ( ), v,..., 1, v vn, ( v i, v j ) d v 1 vi, v j vn. -, v 1,. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 4 από 9

10 - k = 1,,..., n 1: v 1,...,vk, v k + 1, v k k + 1 v v,...,vk 1. - v n v 1. Rosenkrantz et al. (1977) ( log n ). μέθοδος της Παρεμβολής (Insertion method) Mole Jameson (1976) μέθοδος Εξοικονόμησης Απόστασης των Clark and Wright (Clark and Wright saving algorithms) (1964). Christofides N. (1979). Gamboa et al. (005), Lin Kernighan (Lin Kernighan, 1973) μέθοδο της αποβολής αλυσίδας τύπου «στέμματος κύκλου» (stemand-cycle (S&C) ejection chain method),.. Gamboa et al. (005),...,, ST = v t,..., v ),, CY = v, v,..., v, v ). ( r ( r s1 s r ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 5 από 9

11 ( ). v t. v r, Vr Vs1 Vs Vt Σχήμα (Gamboa et al, 005) Vr Vr Vs1 Vs Vs1 Vs Vt Vt Σχήμα (Gamboa et al, 005). Gamboa et al. (005), (Cycle-ejection move) (Stem-ejection move) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 6 από 9

12 Vr Vr Vs1 Vs Vs1 Vs Vt Vp Vt Vp Σχήμα (Gamboa et al, 005). (Cycleejection move) (Stem-ejection move). n..1. Το Πρόβλημα της Δρομολόγησης Οχημάτων (VRP) (Toth et al, 00).,., Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων με περιορισμούς χωρητικότητας (capacitated VRP). Toth et al. (00), Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων (VRP)...., ( ). Golden et al. (1998) Laporte et al. (000), ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 7 από 9

13 ... (Toth et al, 00) Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων με περιορισμούς χωρητικότητας (Capacitated VRP). d8=00 d15=130 d6=130 d10=170 d11=00 d4=00 d3=150 d7=100 d5=150 d1=190 d9=150 d13=170 d1=10 d14=100 d=10 d16=00 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΑΠΟΘΗΚΗ d0=100 d18=150 d17=190 d19=10 Σχήμα G = ( V, A), V = { 0,..., n} Α. i = 1,..., n 0. i ( i = 1,..., n ) d i, d = 0 0. c ij ( i, j) A ( ) i j. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 8 από 9

14 ( c ij ) i j., ( c ij ) c ik + c c i, j, k V. kj ij CVRP., c = c ( i, j) A Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων με ij ji περιορισμούς χωρητικότητας συμμετρικό (SCVRP) Α Ε. c c, μη συμμετρικό ( CVRP). (Distance Constrained VRP),.. Πρόβλήμα Δρομολόγησης Οχημάτων με περιορισμούς χωρητικότητας και συνολικής απόστασης (Distance Constrained CVRP)., VRP (VRP with Time Windows), ( )., (VRP with Pick up and Delivery). ij ji Laporte et al. (000),, κατασκευαστικές (constructive heuristics), δύο φάσεων (two phase heuristics) (improvement methods). μετα-ευρετικοί μέθοδοι,. Baker et al. (003) Tasgetiren (000). αλγόριθμος «Clarke and Wright» (1964) αλγόριθμος εισαγωγής κόμβων ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 9 από 9

15 Mole Jameson (1976). Clark Wright (1964), ( 0,..., i,0) ( 0, j,...,0) ( 0,..., i, j,...,0), sij = ci0 + c0 j cij. «Clarke and Wright»: Εναρξη αλγορίθμου - Βήμα 1 n ( 0, i,0) i = 1,..., n. s ij = ci0 + c0 j cij i j 1,..., n, = i j.. - Βημα, s ij, Τέλος αλγορίθμου, ( 0, j ) (i,0),., ( 0, j) (i,0) ( i, j). (parallel version), (sequential version). «Clarke and Wright», Mole Jameson (Mole and Jameson Sequential Insertion Heuristic),.. Mole Jameson (1976), λ μ : a( i, k, j) = c ik + c λc, β ( i, k, j) = µ c0k a( i, k, j). kj ij ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 10 από 9

16 Έναρξη αλγορίθμου - Βήμα 1,. ( 0, k,0) k. - Βήμα k (insertion cost) a ( r, k, s) r s ( 0, k,0). k a * ( ik, k, jk ) = min{ a( r, k, s)}, i k j k.., 1., k*, β ( i, k*, j ) = max{( b( i, k, j )} * k* k* k k. k* i k* j k*. - Βημα 3 Τέλος αλγορίθμου 3-opt.., Christofides, Mingozzi and Toth (1979), Bodin et al (1983), Christofides (1985), Golden and Assad (1988) Fisher (1995). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 11 από 9

17 .1.3 Το Πρόβλημα του Ομαδικου Προσανατολισμού (TOP) Πρόβλημα του Ομαδικού Προσανατολισμού (Team Orienteering Problem) m, (. ), ( ). ( ). Πρόβλημα του Ομαδικού Προσανατολισμού (TOP), Πρόβλημα Δρομολόγησης Οχημάτων (VRP)...,. Tang Miller-Hooks (005), (VRP). διαδικασία κατασκευής λύσεων (greedy construction procedure) ευρετικός αλγόριθμος πέντε βημάτων (5-step heuristic) Butt et al. (199) Chao et al. (1996). [Golden et al. (1998), Gendreau et al. (00), Tang Miller-Hooks (005)]. μετα-ευρετικοί μέθοδοι επίλυσης,., Golden et al. (1998) Gendreau et al. (00),. αλγόριθμος «ταμπού» (Tabu search heuristic) Πρόβλημα του ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 1 από 9

18 Ομαδικού Προσανατολισμού (Tang Miller-Hooks, 005).,.,.. (TOP) 3.. Γενετικοί Αλγόριθμοι..1 Εισαγωγή,,., Friedberg Holland (, 00).. (Chatterjee et al, 1996) (Baker et al, 003)., Tasgetiren (000) Πρόβλημα Προσανατολισμού (Orienteering Problem), (penalty function). (Levitin, 006) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 13 από 9

19 ,. (Pourzeynali et al, 006).,,. (, 00) (crossover operation).,..,,..,. Mitchel (1996), (Steady State genetic algorithms), (generational genetic algorithms). (Steady State),..,.,.. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 14 από 9

20 (generational genetic algorithms),..,..,..... Βασικές παραλλαγές Γενετικών Αλγορίθμων (, 00): Έναρξη Γενετικού Αλγορίθμου. - Δημιουργία Αρχικού πληθυσμού P Ν. - Υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης καταλληλότητας για καθένα από τα Ν χρωμοσώματα. - Όσο ο πληθυσμός P δεν συγκλίνει σε μία βέλτιστη λύση: - βήμα 1:,. - βήμα :. - βήμα 3:. - βήμα 4:. - βήμα 5: P. - Έλεγχος κριτηρίου τερματισμού. Τέλος Γενετικού Αλγόριθμου. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 15 από 9

21 (Mitchel, 1996): Έναρξη Γενετικού Αλγορίθμου. - Δημιουργία Αρχικού πληθυσμού. P 0 Ν ( ). Όσο πληθυσμός P i, όπου i=αριθμός γενεών, δεν συγκλίνει σε μία βέλτιστη λύση, επαναλαμβάνονται N/ φορές τα ακόλουθα βήματα: - Επιλογή των Γονέων. P i-1,.,. ( ). P i-1. ( ). ( ) ( ). - Διασταύρωση., P c.,. - Μετάλλαξη.,, P m P i. ( ). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 16 από 9

22 - Υπολογισμός της Συνάρτησης Καταλληλότητας και Έλεγχος του Κριτηρίου Τερματισμού. P i Ν. P i P i-1. (generation)..,. Τέλος Γενετικού Αλγόριθμου. (Mamassis et al, 006).., (Orienteering Problem) Tasgetiren (000)...3 Γενετικός Αλγόριθμος για το Πρόβλημα Προσανατολισμού..3.1 Εισαγωγή Tasgetiren (000), o λ.,. : (population size * crossover probability).,,, (tournament selection size of ).. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 17 από 9

23 . +,. ( ),, (Local Search Methods).,, (add, omit, replace, swap operators). (tournament selection size of ). +,,.,...1 ψευδοκώδικας του Γενετικού Αλγόριθμου Πρόβλημα του Προσανατολισμού (Orienteering Problem) Tasgetiren (000)...3. Δημιουργία Αρχικού Πληθυσμού Tasgetiren (000),, - - l.... ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 18 από 9

24 n [0, 1]. n, ( )., n, Διαδικασία Διασταύρωσης (Injection Crossover Operator), (insertion point) -., -. -, (proto child).., ,. Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 19 από 9

25 ..3.4 Μηχανισμοί τοπικής αναζήτησης (mutation operators),., (Tasgetiren, 000)., (Tasgetiren, 000).., ( ), ,. (add operator), (omit operator), (replace operator) (swap operator).,....3 Πρόβλημα του Προσανατολισμού (Orienteering Problem). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 0 από 9

26 Σχήμα Σχήμα Απόγονος : 1,3,11,18,16,15,13,,5,6,1,8,10,0,1 - Βρές ένα σημείο που δεν είναι στον απόγονο, π.χ το 4. - Επέλεξε τυχαία ένα σημείο απο τον απόγονο, π.χ το 15, και αντικατέστησε το με το τυχαία επιλεγμένο σημείο που δεν είναι στον απόγονο, δηλαδή το 4. Τροποποιημένος απόγονος : 1,3,11,16,4,13,,5,6,1,8,10,0,1 - Αξιολόγησε τον απόγονο. - Επανέλαβε την διαδικασία 10 φορές. - Επέλεξε τον καλύτερο και τοποθέτησε τον στον πληθυσμό των απογόνων στη θέση του αρχικού. Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 1 από 9

27 Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα από 9

28 Κεφάλαιo 3. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΟΜΑΔΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΑΙ Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 3.1 Μαθηματικό μοντέλο του Προβλήματος Ομαδικού Προσανατολισμού (Π.Ο.Π), (..1.3). Tang Miller-Hooks (005)., : - G = ( V, A) V ( ) A, - K Κ, - E. ε ε = V \ E. - 0.,, - x ijk 1 k ( i, j)., 0. { 0,1} - { 0,1} i 0, ik x i, j V, ijk y 1 k ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 3 από 9

29 - s i i V \ {0}. - P i ( ) i. (.. ). Tang Miller-Hooks (005) : : Max K P i y i V k =1 ik x ijk = i V x ijk = j V y y jk ik k K, j ε (3.1) { 0} k K, i V \ (3.) K k = 1 k k = 1 K y 1 i ε \ { 0} (3.3) ik y = 1 i E (3.4) ik k = 1 i V i S j S xi 0 k = K (3.5) xijk y ik 1 S V, k K, S 0 (3.6) i S yik d i i ε Q k k K (3.7) x c + y ijk ij i V j ε i ε ik s i T max k K (3.8) { 0,1} x ij, y ik A i ε x ij, (3.9) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 4 από 9

30 (3.1) ( ). (3.) ( ). (3.3). {0}. (3.4) k k. (3.5) Κ. (3.6) (sub tour elimination).. S V. (3.7) k ( ) (Q k ). d = 0 0. k. (3.8) (Tmax). s = 0 0., (3.9) x ij y ik. x ijk 1 k x ij., y ik 1 k i. 0. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 5 από 9

31 3. Βασικά βήματα του προτεινόμενου Γενετικού Αλγόριθμου Mamassis et al. (006) (.. ). (..1.3) (. 3.1). (solution strings) :, k k. ( ). : -. k, «999» ( ),.. «-#» «-100 -#», «#». 1. «-1» «-101». ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 6 από 9

32 Mamassis et al. (006), : { } 4 1, 1, «-1», 3,10,4,5,14,1,3,8 «-101». 1 «-1»,,7,15,9,0,8,5 «-11». 5 «-5», 11 «-105»., 7 «-7» «-107». ( ).. (Mamassis et al, 006): ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 7 από 9

33 Έναρξη Αλγόριθμου - Βήμα 1 : Δημιουργία αρχικού πληθυσμού P μεγέθους λ. λ. - Βήμα : Αξιολόγηση λ λύσεων απο το σύνολο των λύσεων του πληθυσμού P.,. - Βήμα 3 : Όσο δεν ενεργοποιείται το κριτήριο τερματισμού: (n) (00 ). Έναρξη βρόγχου - Βήμα 3.1 : Επιλογή *μ λύσεων (γονέων) απο τον πληθυσμό P. μ ( ) μ.. (μ) P. μ., λ=100, μ=100. *μ=00 P. - Βήμα 3. : Διασταύρωση των λύσεων και παραγωγή μ απογόνων. μ (πιθανότητα διασταύρωσης). (Injection Crossover Operation). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 8 από 9

34 .,, (1) () (3) (4). Σχήμα Βήμα 3.3 : Μετάλλαξη μερικών απο τους μ απογόνους. (πιθανότητα μετάλλαξης).,, (μ). (μ) P. 4 (sub-operators).,,. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 9 από 9

35 ..,,, μ. - Βήμα 3.4 : Προσθήκη των μ απογόνων στις λ λύσεις του πληθυσμού P. μ λ, λ+μ. - Βήμα 3.5 : Αξιολόγηση λ+μ λύσεων του πληθυσμού P. λ+μ P. ( ) λ+μ., -opt. (VRP exchange). -opt (Kindervater Savelsbergh, 1997). - Βήμα 3.6 : Επιλογή λ λύσεων απο τις λ+μ του πληθυσμού P. λ λ+μ P.. Τέλος βρόγχου - Βήμα 4 : Ελεγχος κριτηρίου τερματισμού. Τέλος Αλγόριθμου ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 30 από 9

36 ,, 3.., Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 31 από 9

37 Έναρξη διασταύρωσης Διασταύρωση δύο λύσεων απο τις *μ λύσεις Εφικτός απόγονος OXI ΝΑΙ Παραγωγή ενός εφικτού απογόνου ΟΧΙ Παραγωγή μ απογόνων ΝΑΙ Τέλος διασταύρωσης Σχήμα Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 3 από 9

38 Κεφάλαιο 4. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 4.1 Βασικές Παράμετροι Προτεινόμενου Γενετικού Αλγόριθμου,., πιθανότητα διασταύρωσης πιθανότητα μετάλλαξης.,., Σχεδιαστικές Παράμετροι.,, Λειτουργικές Παράμετροι Σχεδιαστικές Παράμετροι. Πίνακας ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ (desirability power) (infeasibility switch percent) ( ) ( ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΙΜΗ p = 0, ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 33 από 9

39 (Tsiligirides S-Algorithm), Tsiligirides (1984). A ij X s j = ( ). c ij s j j cij j i. παράμετρος Χ «desirability power». παραμέτρου Χ. Tasgetiren (000), μέγεθος του πληθυσμού (population size),,,., μέγεθος του πληθυσμού 100., Mitchell (1996) Baker (003),. τεχνική για την επιλογή. Προσανατολισμού Tasgetiren (000), (roulette wheel). Πρόβλημα του Ομαδικού Προσανατολισμού (tournament selection).. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 34 από 9

40 , πιθανότητα με την οποία μια λύση του πληθυσμού είναι μη εφικτή κατά ένα προκαθορισμένο ποσό. (infeasibility switch percent) 0, επιτρεπόμενο ποσοστό μη εφικτότητας (infeasibility percent),... ( ),.,.. αριθμός των διαδοχικών επαναλήψεων (feasibility loops crossover),,.., 500., μέγιστος αριθμός επαναλήψεων (feasibility loops). μέγιστο αριθμό επαναλήψεων της μετάλλαξης., μέγιστος αριθμός επαναλήψεων (feasibility loops) (500). κριτήριο τερματισμού,. Tasgetiren (000) Baker (003), ( ). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 35 από 9

41 , (00 ) Λειτουργικές Παράμετροι,. Πίνακας ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ μ. μ.. ΤΙΜΗ ( = 0,3) ( = 0,9) ( = 0,) ( = 0,9) ( 3%) 3., ( ). πιθανότητα διασταύρωσης (crossover probability) μ., μ. (μ) [37].,,., μ.. (00) Mitchell (1996) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 36 από 9

42 . πιθανότητα μετάλλαξης (mutation probability). (μ).,. [37]., (exploration),,,.,, (exploitation) Σχήμα , ( ). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 37 από 9

43 . ποσοστό μη εφικτότητας (infeasibility percent),.. ( 5%).,.,..,. μ μ.... ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 38 από 9

44 4. Σχεδιασμός των Πειραμάτων 4..1 Μέθοδος Πειραματικής Διερεύνησης.. Montgomery (005), (Factorial experiments).. Montgomery (005),. (Montgomery, 005): 1. Αναγνώριση και περιγραφή του προβλήματος. Πρόβλημα του Ομαδικού Προσανατολισμού... Επιλογή της εξερχόμενης μεταβλητής (response variable). ( ).. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 39 από 9

45 3. Επιλογή παραγόντων, επιπέδων και εύρους., πιθανότητα διασταύρωσης, πιθανότητα μετάλλαξης ποσοστό μη εφικτότητας.,. 4. Επιλογή του πειραματικού σχεδίου.,, 3 3 ( factorial experiment) Εκτέλεση του πειράματος. α) Διαμόρφωση των υποθέσεων... β) Παραγωγή πειραματικών αποτελεσμάτων.,. Montgomery (005), ( ) Στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων.. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 40 από 9

46 ,. 7. Συμπεράσματα και προτάσεις., Επιλογή πειραματικού σχεδίου τύπου 3 3 ( factorial design) 3 ( ). πιθανότητα διασταύρωσης, πιθανότητα μετάλλαξης ποσοστό μη εφικτότητας A, B C , «+» «-». (Montgomery, 005)., Πίνακας Πειράματα Παράμετροι 3. A B C Σύμβολο (1) a b ab c ac bc abc Σχήμα (Montgomery, 005) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 41 από 9

47 , (. 4...)... Πίνακας ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΣΕΝΑΡΙΑ A B C 1 0,3 0, 1 0,9 0, 1 3 0,3 0, ,9 0, ,3 0, 1,03 6 0,9 0, 1,03 7 0,3 0,9 1,03 8 0,9 0,9 1,03, 3. Montgomery (005), (effects model) (means model). y ijkl πιθανότητα διασταύρωσης ( ) i (i =1, ), πιθανότητα μετάλλαξης ( B) j ( j =1, ) ποσοστό μη εφικτότητας ( C) k (k=1, ) l (l=1, ). T (effects model) : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 4 από 9

48 yijkl i j k ( τβ ) + ( τγ ) + ( βγ ) + ( τβγ ) ε ijkl = µ + τ + β + γ + + ij ik jk ijk i = 1, j = 1, k = 1, l = 1, (4.1) μ, τ i i, β j j γ k k. ) ij ( τβ i j, ( τγ i k ( βγ j k ) jk. ( τβγ i j k. y ijkl. ) ik ) ijk ε ijkl Montgomery (005),. : i= 1 τ = 0 i (4.) j= 1 β j = 0 (4.3) k = 1 γ = 0 : k (4.4) ( τβ ) ( τβ ) = 0 (4.5) = ij i= 1 j= 1 ij ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 43 από 9

49 ( τγ ) ( τγ ) = 0 (4.6) = ik i= 1 k = 1 ik ( βγ ) ( βγ ) = 0 (4.7) = jk j = 1 k = 1 : jk ( τβγ ) ( τβγ ) = ( τβγ ) = 0 (4.8) = ijk ijk i= 1 j= 1 k = 1 ijk 4..3 Διαμόρφωση υποθέσεων προ της εκτέλεσης των πειραμάτων 3 (testing hypotheses)... ( τ i ), : H H 0 1 : τ = τ = 0 : τ i 1 0, i = 1, (4.9) ( β j ), : H H 0 1 : β = β = 0 : 1 β j 0, j = 1, (4.10) ( γ k ), : H H 0 1 : γ = γ = 0 : γ i 1 0, i = 1, (4.11) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 44 από 9

50 . ( ) ( ) τβ : ij ( ) 0 H 0 : τβ ij = i, j H : ( τβ ) 0 ( 4.1) 1 (( ) ) : ij τγ, ik H 0 : ( τγ ) ik = 0 i, j H : ( ) 0 1 τγ ( 4.13) ( ) : ik ( ) βγ, jk ( ) 0 H 0 : βγ jk = i, j H : ( βγ ) 0 ( 4.14) 1, ( ). : jk ( ) τβγ ijk ( ) 0 H 0 : τβγ ijk = i, j, k H : ( τβγ ) 0 ( 4.15) 1 πιθανότητα διασταύρωσης, πιθανότητα μετάλλαξης ποσοστό μη εφικτότητας (three-factor analysis of variance)., 5, MINITAB. ijk ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 45 από 9

51 4..4 Εκτέλεση των πειραμάτων και αποτελέσματα, (Tang Miller-Hooks, 005).. Tang Miller-Hooks (005). «l. m. n», l ( l = 1,...,7 ), m ( m =1,...,4 ) n ( ).,. «7.4. i», i = a,..., j,..., t, 7 4 ( 7.4.a) ( 7.4.t ) ( 7.4.t ) a 7 4 5% l 5.. x l %. : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 46 από 9

52 Πίνακας l. txt. Κανονική σειρά Σειρά εκτέλεσης Πιθανότητα διασταύρωσης Αρχείο εισόδου: p7.4.l.txt Πιθανότητα μετάλλαξης Ποσοστό μη εφικτότητας Ποιότητα λύσης Χρόνος σύγκλισης (sec) 1 5 0,3 0, ,9 0, ,3 0, ,9 0, ,3 0, 1, ,9 0, 1, ,3 0,9 1, ,9 0,9 1, ,3 0, ,9 0, ,3 0, ,9 0, ,3 0, 1, ,9 0, 1, ,3 0,9 1, ,9 0,9 1, Tang Miller-Hooks (005), (Tabu search heuristic), 590. Tsiligirides (Tsiligirides stochastic method) 576 (. Chao et al, 1996). Chao (Chao et al, 1996) Chao.,3,5,6,7,11,15, x 66 9% ( 5..z). : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 47 από 9

53 Κανονική σειρά Πίνακας x. txt. Σειρά εκτέλεσης Πιθανότητα διασταύρωσης Αρχείο εισόδου: p5..x.txt Πιθανότητα μετάλλαξης Ποσοστό μη εφικτότητας Ποιότητα λύσης Χρόνος σύγκλισης (sec) 1 5 0,3 0, ,9 0, ,3 0, ,9 0, ,3 0, 1, ,9 0, 1, ,3 0,9 1, ,9 0,9 1, ,3 0, ,9 0, ,3 0, ,9 0, ,3 0, 1, ,9 0, 1, ,3 0,9 1, ,9 0,9 1, Tang Miller-Hooks (005), (Tabu search heuristic), Tsiligirides (Tsiligirides stochastic method), 1610 (. Chao et al, 1996). Chao (Chao et al, 1996) Tsiligirides 3,4,5 14. Chao. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 48 από 9

54 Κεφάλαιο 5. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 5.1 Ανάλυση της Διακύμανσης για τις Λειτουργικές παραμέτρους (ANOVA) 4, (ANOVA). Montgomery (005), ( H 0 ) (. 4..3),,,.,,.. : MS MS i E i = A, B, C, AB, AC, BC, ABC., F (Montgomery, 005)., F, ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 49 από 9

55 Σχήμα F-.. (ANOVA). ( y i, y.... j..,, y... ), ( SS, SS,, SS ),, T A E ( MS MS,... MS ) F- A, B E MINITAB. 5. Στατιστική ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων (Montgomery, 005): 1. Ανάλυση μοντέλου με όλες τις λειτουργικές παραμέτρους (full model)... ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 50 από 9

56 . Δημιουργία μοντέλου για τις στατιστικά σημαντικές παραμέτρους (reduced model).. 3. Αξιολόγηση του μοντέλου με τις στατιστικά σημαντικές παραμέτρους.. 4. Συμπεράσματα σχετικά με το μοντέλο Στατιστική ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων (πρόβλημα 7.4.l) Ανάλυση μοντέλου με όλες τις Λειτουργικές παραμέτρους (full model) 4... P, H 0. P ( P -values) a = 0. 05,. P a, P 7.4. l. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 51 από 9

57 P a. Πίνακας Κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση Παράγοντας P 0,750 0,46 0,09 * 0,69 * 0,898 * 0,61 * * 0,168 (Normal Probability Plot)..., Pareto Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Score, Alpha =,05) Percent Effect Type Not Significant Significant Factor Name A Crossover probability B Mutation probability C Infeasibility percent Standardized Effect 3 Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 5 από 9

58 Pareto. Pareto Pareto. a = 0, 05.,. Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Score, Alpha =,05),306 C ABC Factor A B C Name Crossov er probability Mutation probability Inf easibility percent B Term AB BC A AC 0,0 0,5 1,0 1,5 Standardized Effect,0,5 Σχήμα Pareto (Pareto Diagram)., 7.4. l , P a = 0, 05. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 53 από 9

59 Πίνακας Κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση Παράγοντας P 0,000 0,000 0,97 * 0,000 * 0,40 * 0,474 * * 0, (Normal Probability Plot) Pareto Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Time spent, Alpha =,05) Effect Type Not Significant Significant Percent AB A B Factor A B C Name Crossover probability Mutation probability Inf easibility percent Standardized Effect 0 5 Σχήμα (Normal Probability Plot) Pareto.,,. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 54 από 9

60 Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Time spent, Alpha =,05),31 B A Factor A B C Name Crossov er probability Mutation probability Inf easibility percent AB Term AC BC ABC C Standardized Effect 0 5 Σχήμα Pareto (Pareto Diagram) Δημιουργία μοντέλου για τις στατιστικά σημαντικές παραμέτρους (reduced model), (reduced model). (ANOVA), 5.1. σ.., σ.,. (ANOVA) H 0 F 0 > F a, a 1, N a, α (α=0.05), α-1 N-a (, 00). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 55 από 9

61 (ANOVA) l Πίνακας Ανάλυση της Διακύμανσης για τον Χρόνο Σύγκλισης (ANOVA) Βαθμοί Άθροισμα Μέσα Μεταβλητότητα Ελευθερίας (DF) Τετραγώνων (SS) Τετράγωνα (MS) ,94 0, ,16 0, F 0 P F 0 F 0,05,,1 = 3, 89. F = 559, 0 94 F 3, 89 0,05,,1 =., F =106, 0 16 F 4, 75 0,05,1,1 = Αξιολόγηση του μοντέλου με τις στατιστικά σημαντικές παραμέτρους (residuals): 1. Το διάγραμμα κανονικής πιθανότητας των υπολοίπων (Normal Probability Plot)..,. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 56 από 9

62 . Το ιστόγραμμα των υπολοίπων (Histogram of the residuals) Υπόλοιπα σε σχέση με τις προβλεπόμενες τιμές (Residuals versus the fitted values) Υπόλοιπα σε σχέση με την σειρά εμφάνισης (Residuals versus order) Residual Plots for Time spent Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values Percent Residual Residual Fitted Value Frequency 4,8 3,6,4 1, 0,0 Histogram of the Residuals Residual Residual Residuals Versus the Order of the Data Observ ation Order Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 57 από 9

63 Συμπεράσματα σχετικά με το μοντέλο Main Effects Plot (data means) for Time spent Crossover probability Mutation probability Mean of Time spent ,3 0,9 0, 0,9 Σχήμα , Interaction Plot (data means) for Time spent Crossover probability 0,3 0, Mean , Mutation probability 0,9 Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 58 από 9

64 , 0,9 (0,3 0,9). 0, 0,9 0,9 0, l ( 0,) ( 0,3). 5.. Στατιστική ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων (πρόβλημα 5..x) Ανάλυση μοντέλου με όλες τις Λειτουργικές παραμέτρους (full model) P 5.. x., P α. Πίνακας Κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση Παράγοντας P 0,817 0,367 0,367 * 0,817 * 0,817 * 0,189 * * 0,817 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 59 από 9

65 (Normal Probability Plot) Pareto Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Score, Alpha =,05) Percent Effect Type Not Significant Significant Factor Name A Crossov er probability B Mutation probability C Infeasibility percent Standardized Effect 3 Σχήμα (Normal Probability Plot) Pareto.,. Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Score, Alpha =,05),306 BC C Factor A B C Name Crossov er probability Mutation probability Inf easibility percent B Term AC ABC AB A 0,0 0,5 1,0 1,5 Standardized Effect,0,5 Σχήμα Pareto (Pareto Diagram)., 5.. x ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 60 από 9

66 5...1., P a = 0, 05. Πίνακας Κύρια επίδραση ή αλληλεπίδραση Παράγοντας P 0,000 0,000 0,890 * 0,000 * 0,577 * 0,79 * * 0, (Normal Probability Plot) Pareto Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Time spent, Alpha =,05) Effect Type Not Significant Significant Percent AB A B Factor A B C Name Crossov er probability Mutation probability Inf easibility percent Standardized Effect 15 0 Σχήμα (Normal Probability Plot) ,,., ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 61 από 9

67 . Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Time spent, Alpha =,05),31 B A Factor A B C Name Crossov er probability Mutation probability Inf easibility percent AB Term AC BC ABC C Standardized Effect 15 0 Σχημα Pareto (Pareto Diagram) Δημιουργία μοντέλου για τις στατιστικά σημαντικές παραμέτρους (reduced model) (reduced model).. (ANOVA) x Πίνακας Ανάλυση της Διακύμανσης για τον Χρόνο Σύγκλισης (ANOVA) Βαθμοί Άθροισμα Μέσα Τετράγωνα Μεταβλητότητα Ελευθερίας (DF) Τετραγώνων (SS) (MS) ,94 0, ,58 0, F 0 P ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 6 από 9

68 F 0 F 0,05,,1 = 3, 89. F = 415, 0 94 F 3, 89, 0,05,,1 =., F 0 F 0,05,1,1 = 4,75. F = 87, 0 58 F 4, 0,05,1,1 = Αξιολόγηση του μοντέλου με τις στατιστικά σημαντικές παραμέτρους (residuals). 5.. x ,. Residual Plots for Time spent 99 Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values Percent 50 Residual Residual Fitted Value Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data Frequency 4,8 3,6,4 1, Residual , Observation Order Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 63 από 9

69 Συμπεράσματα σχετικά με το μοντέλο Main Effects Plot (data means) for Time spent Crossover probability Mutation probability Mean of Time spent ,3 0,9 0, 0,9 Σχήμα , ,. 0, 0,9 (0,3 0,9). 0, 0,9 0,9 0,3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 64 από 9

70 Interaction Plot (data means) for Time spent Crossover probability 0,3 0, Mean , Mutation probability 0,9 Σχήμα x ( 0,) ( 0,3) l 5.. x (. 4..4) ,.,. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 65 από 9

71 Κεφάλαιο 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 6.1 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 7.4. l ( ). ( )., 7.4. l. 5..x, ( ). ( ). 5.. x.., ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 66 από 9

72 ( ) -. (ANOVA) l. Πίνακας ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΛΛΑΞΗΣ 0,3 0, 576 0,3 0, 557 0,3 0, 560 0,3 0, 570 0,3 0, 554 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΛΥΣΗΣ y 563, 4, = 11. σ = 85,8 σ = 9, ( ) l. Πίνακας ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΛΛΑΞΗΣ 0,9 0, ,9 0, ,9 0,9 57 0,9 0, ,9 0,9 576 ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΛΥΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 67 από 9

73 y 570, =. σ = 43,5 σ = 6, (. 6.1.) Πίνακας ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗΣ* ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΛΛΑΞΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΛΥΣΗΣ 0, , , , , , , , , , P a = 0, 05 ( ). Πίνακας Ανάλυση της Διακύμανσης για τον Χρόνο Σύγκλισης (ANOVA) Μεταβλητότητα Βαθμοί Ελευθερίας Άθροισμα Τετραγώνων Μέσα Τετράγωνα F 0 P (DF) (SS) (MS) * 1 108,9 108,9 1,68 0, , 64,6 9 66,1 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 68 από 9

74 R = 17,39%. 17,39% , Individual Value Plot of Score vs Crossover*Mutation Score ,06 Crossover*Mutation 0,81 Σχήμα Boxplot of Score by Crossover*Mutation Score ,06 Crossover*Mutation 0,81 Σχήμα ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 69 από 9

75 Residual Plots for Score 99 Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values Percent Residual Residual ,0 565,5 567,0 Fitted Value 568,5 570,0 Frequency Histogram of the Residuals Residual Residuals Versus the Order of the Data Residual Observation Order ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ( ).,. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 70 από 9

76 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γενετικοί Αλγόριθμοι Α.1 Αναπαράσταση Υποψήφιων Λύσεων. (string). (gene). (Mitchell, 1996) (Baker et al, 003). : (bits string) (real number string)... 1,3,7,3,8,,1 (Permutation of elements) (List of rules).. R1 R R3 R R3 (Program Element)..,.,, Boolean 1 short integer 73, 9 bits bit-string ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 71 από 9

77 Α. Συνάρτηση καταλληλότητας (fitness). (fitness function), [0, 1] R.., (, 00)..,., (, 00).,,,,. Α.3 Επιλογή Γονέων.,. (pool) P. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 7 από 9

78 . (00) (roulette wheel) (tournament selection). (Tasgetiren, 000). (, 00): 1. S.. n [0, S].. 3.,. a),. b) n, K.,.... (, 00): a) (premature convergence) b) (slow convergence). ( ). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 73 από 9

79 (, 00).,, (, 00). (fitness remapping)... (, 00). Α.4 Αναπαραγωγή,. Mitchell (1996), (crossover operation) (mutation operation). ( ).,. ΔΙΑΣΤΑΥΡΩΣΗ,. ( ) (crossover point), 1 L (strings). (00), ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 74 από 9

80 ,. : L-N. L-N. πιθανότητα διασταύρωσης (crossover probability),.., ( ).. = = =4., : (crossover point),,3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 75 από 9

81 (, 00). (Uniform Crossover).. (Two-Point Crossover) -. 1: : : : (Uniform Crossover). 1: : : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 76 από 9

82 , (TSP)., p 1 p. p 1 = ( ) p = ( ).. : p 1 = ( ) p = ( ).. : 1 = (xx 3765 xxx) = (xx 678 xxx) p 1,,,..,.. 1, p : , : 1948 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 77 από 9

83 1 =5. 1 : 1 = ( ), p 1 : , : =9. : = ( ) ΜΕΤΑΛΛΑΞΗ,. (, 00)..,. 4 : (omit operator), (add operator), (replace operator) (swap operator). (VRP) (TSP). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 78 από 9

84 , πιθανότητα μετάλλαξης (mutation probability). πιθανότητα μετάλλαξης [37]., ( )., (Mitchell, 1996). ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 79 από 9

85 Β. Επίλυση του Προβλήματος Προσανατολισμού με Γενετικό Αλγόριθμο (Tasgetiren, 000) Β.1 Ψευδοκώδικας του Γενετικού Αλγορίθμου για το Πρόβλημα του Προσανατολισμού ψευδοκώδικας του Γενετικού Αλγόριθμου Πρόβλημα του Προσανατολισμού (Orienteering Problem) Tasgetiren (000). Έναρξη Γενετικού Αλγορίθμου - P. - P.. - : Έναρξη βρόγχου. a) (*µ) P. b) ( ) µ. c) µ. d) µ P. P ( + ). e) ( + ) P. P. f) ( + ) P. Τέλος βρόγχου. Τέλος Γενετικού Αλγορίθμου. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 80 από 9

86 Β. Ψευδοκώδικας υπολογισμού της πιθανότητας του σημείου εισαγωγής ψευδοκώδικας υπολογισμού της πιθανότητας του σημείου εισαγωγής Tasgetiren (000): Έναρξη ψευδοκώδικα. - (DMAX). - (maxloop). - count = 0 loop = 0. - loop maxloop. Έναρξη βρόγχου. a), R N, [1, N], N. b), R L, [1, N]. c) -, R S, R N R L. d), d RS, - R S. e) d RS DMAX, count = count+1. f) loop = loop+1. Τέλος βρόγχου. - = 1 - count maxloop. Τέλος ψευδοκώδικα. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 81 από 9

87 Β.3 Ψευδοκώδικες των μηχανισμών τοπικής αναζήτησης για το Πρόβλημα του Προσανατολισμού Tasgetiren (000).,,. ψευδοκώδικας του μηχανισμού προσθήκης σημείου : Έναρξη ψευδοκώδικα. - Loop = 0; maxloop = 10; -,,. - Loop < maxloop Έναρξη βρόγχου. a),. b) add. c) add. d) Loop = Loop + 1 Τέλος βρόγχου Τέλος ψευδοκώδικα. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 8 από 9

88 Ψευδοκώδικας του μηχανισμού διαγραφής σημείου : Έναρξη ψευδοκώδικα. - Loop = 0; maxloop = 10; -,,. - Loop < maxloop Έναρξη βρόγχου. a),. b) omit. c) omit. d) Loop = Loop + 1 Τέλος βρόγχου Τέλος ψευδοκώδικα. Ψευδοκώδικας του μηχανισμού αντικατάστασης σημείου : Έναρξη ψευδοκώδικα. - Loop = 0; maxloop = 10; -,,. - Loop < maxloop Έναρξη βρόγχου. a). b) rep. c) rep. d) Loop = Loop + 1 Τέλος βρόγχου. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 83 από 9

89 -. -. Τέλος ψευδοκώδικα. Ψευδοκώδικας του μηχανισμού ανταλλαγής σημείων : Έναρξη ψευδοκώδικα. - Loop = 0; maxloop = 10; -,,. - Loop < maxloop Έναρξη βρόγχου. a). b), swap. c) swap. e) Loop = Loop + 1 Τέλος βρόγχου Τέλος ψευδοκώδικα. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 84 από 9

90 Γ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Γ-1 y i. i... y j.. j.. y..k. k. y ij ij... y ik i.k.. y jk. jk.. y ijk ijk.,. y.... ΠΙΝΑΚΑΣ Γ- yi... y y i... i... y ijkl, y i... =, i =1, 8 y i.... = j= 1 k = 1 l= 1 y. j.. y, y. j.. =, j = 1, 8 y. k.. y.. k. y ijkl, y. k.. =, k = 1, 8 y. j... j.. = y ijkl i= 1 k = 1 l y =..k. i= 1 j= 1 l= 1 yij.. i = 1, y, y ij.. =, 4 j = 1, y i = 1, i. k. y i. k. yijkl, y i. k. =, 4 k = 1, y ij.. ij.. = y ijkl k = 1 l = 1 y = i.k. j= 1 l = 1 y. jk. j = 1, y, y. jk. =, 4 k = 1, i = 1, yijk. y ijk. y ijk. = y ijkl, y ijk. =, j = 1, l = 1 k = 1, y. jk.. jk. = y ijkl i= 1 l = 1 y = y ijkl i= 1 j= 1 k = 1 l = 1 y, y =... y y. j... y..k.. y ij... y i.k.. y. jk.. y ijk.. y.... ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 85 από 9

91 ΠΙΝΑΚΑΣ Γ-3. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ SS T ( ) y... SS T = yijkl y... SST = yijkl i= 1 j= 1 k = 1 l = 1 i= 1 j= 1 k = 1 l= y... SS A SS A = yi... 8 i= SS B SS C SS SS B C 1 = y 8 j= 1 1 = y 8 k = 1. j.... k. y y y... SS AB SS AB = yij.. SS A SS B 4 1 i= 1 j= SS AC SS AC = yi. k. SS A SS C 4 i= 1 k = y... SS BC SS BC = y. jk. SS B SS C 4 y j= 1 k = 1 16 y 1... SS ABC SS ABC = yijk. SS A SS B SS C SS AB SS AC SS BC i= 1 j = 1 k = 1 16 SS E SS E = SS T SS A SS B SS C SS AB SS AC SS BC SS ABC ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 86 από 9

92 ΠΙΝΑΚΑΣ Γ-4. ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 1 1 C 1 AB 1 AC 1 BC 1 ABC 1 Error 8 Σύνολο 15 ΠΙΝΑΚΑΣ Γ-5. ΜΕΣΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ MS A MS B MS C MS AB MS AC MS BC MS ABC E E E E E E E ( MS ) A ( MS ) B ( MS ) C ( MS ) AB ( MS ) AC ( MS ) BC ( MS ) ABC SS = E 1 SS = E 1 SS = E 1 A B C SS = E 1 SS = E 1 SS = E 1 = σ 8 + = σ + AB AC BC SS = E 1 = σ = σ = σ = σ ABC + i= 1 1 j = 1 1 k = = σ + τ β γ i j k i= 1 j= 1 1 i= 1 k = 1 1 j = 1 k = 1 ( τβ ) 1 ( τγ ) ij ik ( βγ ) i= 1 j= 1 k = 1 1 jk ( τβγ ) ijk ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 87 από 9

93 E MS ( ) E E MS E SS = E 8 = σ. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1..,.,.,.,.. (00),,,...,. (00),,.,,, Baker B. et al. (003), A Genetic algorithm for the vehicle routing problem, Computers & Operation Research, volume 30, issue 5, pp Bodin L. et al. (1983), Routing and scheduling of vehicles and crews, the state of the art, Computers and Operations Research, 10: Butt and Cavalier (199), A heuristic for the multiple tour maximum collection problem, Computers and Operations Research, 1: Chao I. et al. (1996), The team orienteering problem, European Journal of Operational Research, 88: Chatterjee S. et al (1996), Genetic algorithms and traveling salesman problems, European Journal of Operational Research, volume 93, issue 3, pp Chopra S. and Meindl P. (004), Supply Chain Management, Strategy, Planning and Operations, Edited by S. Chopra, P. Meindl, Pearson Prentice Hall, second edition. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 88 από 9

94 9. Christofides N. (1976), Worst case analysis of a new heuristic for the traveling salesman problem, Report 388, Graduate School of Industrial Administration, Carnegie Mellon University. 10. Christofides N. (1979), The traveling salesman problem, Edited by N. Christofides, R. Mingozzi, P. Toth and C. Sandi, Combinatorial Optimization, Wiley, New York. 11. Christofides N., Mingozzi A. and Toth P. (1979), The vehicle routing problem, In Christofides N., Mingozzi A., Toth P. and Sandi C., editors, Combinatorial Optimization, Wiley, Chichester, UK, pp Christofides N. (1985), Vehicle routing, In Lawler E., Lenstra J., Kan R. and Shmoys D.,editors, The traveling Salesman Problem, Wiley, Chichester, UK, pp Clarke G. and Wright J. (1964), Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points, Operations Research, Fisher M. (1995), Vehicle Routing, In Ball M., Magnanti T., Monma C., Nemhauser G., editors, Network Routing, Handbooks in Operations Research and Management Science 8, North-Holland, Amsterdam, pp Gamboa et al. (005), Implementation analysis of efficient heuristic algorithms for the traveling salesman problem, Computers & Operation Research, pp Gendreau et al. (00), Metaheuristics for the capacitated VRP, In: Toth P, Vigo D, editors, The vehicle routing problem, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, pp ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 89 από 9

95 17. Golden B. and Assad A. (1988), Vehicle Routing: Methods and Studies, North- Holland, Amsterdam. 18. Golden et al. (1998), The impact of metaheuristics on solving the vehicle routing problem: algorithms, problem sets, and computational results, In: Crainic T, Laporte G, editors. Fleet management and logistics, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp Hurkens A. et al. (004), On the nearest neighbor rule for the traveling salesman problem, Operations Research Letters, volume 3, issue 1, pp Kindervater et Savelsbergh (1997), Vehicle routing: handling edge exchanges, E. H. Aarts, J. K. Lenstra, Local Search in Combinatorial Optimization, John Wiley & Sons, Chichester, UK, pp Laporte et al. (000), Classical and modern heuristics for the vehicle routing problem, International Transactions in Operational Research 7, pp Laporte and Semet (001), Classical Heuristics for the Capacitated VRP, The Vehicle Routing Problem, Edited by Toth and Vigo, University of Bologna, Society for Industrial and Applied Mathematics. 3. Levetin G. (006), Genetic algorithms in reliability engineering, Reliability Engineering & System Safety, volume 91, issue Lin et Kernighan (1973), An effective heuristic Algorithm for the traveling salesman problem, Operations Research Letter, 1: Mamassis et al. (006), A Genetic Algorithm for the Team Orienteering Problem. Working Paper. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 90 από 9

96 6. Mitchell M. (1996), An Introduction to Genetic Algorithms, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 7. Mole R. and Jameson S. (1976), A sequential route-building algorithm employing a generalized savings criterion, Operational Research Quarterly, 7: Montgomery D.C. (005), Design and Analysis of Experiments, 6 th Edition, John Wiley & Sons Inc. 9. Pourzeynali S. (006), Active control of high rise building structures using fuzzy logic and genetic algorithms, Engineering Structures, in press. 30. Rosenkrantz D., Stearns R., Lewis P. (1977), An analysis of several heuristics for the travelling salesman problem, SIAM J. Comput. 6, pp Tang H. and Miller-Hooks E. (005), A TABU search heuristic for the team orienteering problem, Computers & Operations Research, 3: Tasgetiren M. F. (000), A Genetic Algorithm with an Adaptive Penalty Function for the Orienteering Problem, Journal of Economic and Social Research 4 (), pp Tsiligirides T. (1984), Heuristic methods applied to orienteering", Journal of the Operations Research Society 35 (9), pp Toth P. et al. (00), An Overview of Vehicle Routing Problems, Edited by Toth and Vigo, University of Bologna, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 91 από 9

97 P8OeYJ: Algorithms&hl=el&gl=gr&ct=clnk&cd= Operator ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΝΕΤΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Σελίδα 9 από 9