ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Β Λυκ. Κατ/νση

Transcript

1 Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΝΩ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Β Λυκ. Κατ/νση ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Ειδικά θέματα Τρίγωνο Curry άσκηση 38 σημειώσεις σελίδα 14 1) ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Να προσαρμώσουν την λύση προβλήματος σε πραγματικά δεδομένα. Να αντικαθιστούν μεθόδους υπολογισμού οι οποίες αποτυγχάνουν να δώσουν την απαιτούμενη ακρίβεια με μεθόδους περισσότερο ισχυρές. 2) ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Να μπορούν να χρησιμοποιούν με ακρίβεια τις αποκτηθείσες δεξιότητες των προηγουμένων παραγράφων, ιδίως την μoντελοποίηση προβλήματος. Χρήση της μεθόδου Pick για τον υπολογισμό εμβαδού τριγώνου. 3) ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ:, Τρίγωνο Curry, πρόβλημα της πλάνης της διαμέρισης (Dissection Fallacy), Εμβαδόν τριγώνου, μέθοδος Pick. 4) ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Το φαινόμενο της πλάνης της διαμέρισης είναι ένα οπτικό παράδοξο που προκύπτει όταν ενώσουμε με διαφορετικό τρόπο το ίδιο πεπερασμένο σύνολο τμημάτων μιας επιφάνειας έτσι ώστε σε κάθε νέο σχήμα που προκύπτει να μην είναι το ίδιο με το προηγούμενο. Προκειμένου να παραχθεί αυτή η ψευδαίσθηση, τα κομμάτια θα πρέπει να κοπούν και να ενωθούν τόσο επιδέξια, ώστε αυτά που λείπουν να είναι κρυμμένα από μικροσκοπικές ατέλειες του σχήματος. Για τον λόγο αυτό τίθεται εύλογα και πρόβλημα της προσέγγισης. Τέτοια παραδείγματα μπορούμε εύκολα να βρούμε στην βιβλιογραφία, για παράδειγμα:

2 Page2 Το πρόβλημα του υπολογισμού της μικροσκοπικής ατέλειας έχει σχέση με την ακρίβεια των υπολογισμών. Ένας τέτοιος υπολογισμός θα προκύψει όταν θελήσουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός αρκετά δισδιάκριτου τριγώνου. Το πρόβλημα μπορεί να ξεπερασθεί με δύο τρόπους: υπολογισμός εμβαδού με την βοήθεια διανυσμάτων ή με την εισαγωγή της μεθόδου Pick. To Θεώρημα Pick λέει ότι: Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας με κορυφές πάνω σε ένα ακέραιο δίκτυο είναι ίσο με 1 Εμβαδόν B I 1 2 όπου: Β = ο αριθμός των σημείων του δικτύου που βρίσκονται στην περίμετρο της επιφάνειας Ι = ο αριθμός των σημείων του δικτύου που βρίσκονται στο εσωτερικό της επιφάνειας. Για παράδειγμα: περ. 1 Β = 14 Ι = 6 Εμβαδόν = 7+6-1=12 περ. 2 Β = 8 Ι = 3 Εμβαδόν = 4+3-1=6 περ. 3a Β = 4 Ι = 3 Εμβαδόν = 2+3-1=4 περ. 3b Β = 3 Ι = 2 Εμβαδόν = =2.5 Τα εργαλεία αυτά είναι αρκετά. Βιβλιογραφία: 1. Aδαμόπουλος Λ, Βισκαδουράκης Β. κ.αλ. Μαθηματικά Β Ταξη Γενικού Λυκείου, Θετική και Τεχνολογική κατ/νση, ΟΕΔΒ. 2. Gardner, M. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. New York: Simon and Schuster, pp , A video explaining Curry's Paradox and Area by James Τanton

3 Page3 ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ Tα δύο σχήματα Τ 1 και Τ 2 έχουν παραχθεί συνθέτοντας τις ίδιες επίπεδες επιφάνειες. Παρ όλα αυτά στο δεύτερο σχήμα έχει σχηματισθεί ένα κενό 2 τετραγώνων. Θέλουμε να δικαιολογήσετε το φαινόμενο αυτό. Εικόνα 1 1) Να αναπαραχθεί το σχήμα στο Geogebra. Εικόνα 2 2) Αθροίστε το εμβαδόν των ευθ. επιφανειών που συνθέτουν τα δύο τριγωνικά σχήματα. Βρείτε επίσης το εμβαδόν των 2 τριγώνων Τ 1 και Τ 2.

4 Page4 Το εμβαδόν των επιπέδων σχημάτων που συνθέτουν το σχήμα είναι = 59 τμ Τα εμβαδά των 2 τριγώνων Τ 1 και Τ 2 είναι 60 τμ έκαστο. Έτσι το πρώτο τρίγωνο φαίνεται να είναι μεγαλύτερο κατά 1 τμ και το δεύτερο μικρότερο κατα 2 τμ. Η διαφορά αυτή οφείλεται στο ότι τα σημεία Ο, Α, Β και Ε, Δ, Γ δεν είναι συνευθειακά. Έτσι, τα δύο σχήματα Τ 1 και Τ 2 δεν είναι τρίγωνα. Για να δείτε ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά, αρκεί να μετρήσετε την κλίση των ευθειών ΟΑ, ΑΒ και ΕΔ, ΔΓ. 3) Σκοπός μας είναι να βρούμε πως προκύπτουν οι διαφορές αυτές. Βρείτε το εμβαδόν των δύο (πενταγώνων Τ 1 και Τ 2 ) με την μέθοδο Pick. Eίναι η καλύτερη μέθοδος για να φανερώσει την αιτία της ψευδαίσθησης. Το (Τ 1 ) : 14*1/ = 59 τμ Το (Τ 2 ) : (14*1/ ) 2 = 59 τμ το τρίγωνο με κορυφή το Α έχει εμβαδόν (12*1/2+55-1) = 60 τμ Όπως βλέπετε από την μέθοδο Pick το δεύτερο πεντάγωνο έχει 2 εσωτερικά σημεία παραπάνω από το πρώτο. Η διαφορά αυτή οφείλεται στο ότι τα σημεία Ο, Α, Β και Ε, Δ, Γ δεν είναι συνευθειακά. Άρα, το Τ 1 θα έχει εμβαδόν 60 2 ( ΑΒΟ) = 60 2* 0,5 = 59 τμ και το Τ 2 έχει εμβαδόν (ΕΔΓ) 2 = * 0,5 2 = 59 τμ. 4) Δικαιολογήστε τις διαφορές. Αν πούμε Ε το εμβαδόν του ισοσκελούς τριγώνου με κορυφή Α, τότε Ε = 60τμ και (Τ 1 ) = Ε 2 ( ΑΒΟ) = 60 2* 0,5 = 59 τμ (Τ 2 ) = Ε + 2 ( ΕΓΔ ) 2 = * 0,5 2 = 59 τμ. Eπομένως η διαφορά που προκύπτει από την μη-συγγραμμικότητα των σημείων δημιουργεί αυτή την οπτική ψευδαίσθηση, η οποία στην πραγματικότητα δεν υφίσταται.

5 Page5 ΓΙΑ ΤΟΝ ΜΑΘΗΤΗ

6 Page6 ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ «το τρίγωνο Curry» ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Πρόκειται για το πρόβλημα 38 των σημειώσεων ΦΑΣΗ 1 Ψάξτε στην Wikipedia στο λήμμα Missing square puzzle για να βρείτε την περιγραφή του προβλήματος. Επίσης επισκεφθείτε τα: την ιστοσελίδα του Mark Wieczorek: το video του James Τanton που εξηγεί το παράδοξο: ή επίσης, για να ανακαλύψετε και άλλες μορφές του παραδόξου, την ιστοσελίδα της Therese Eveilleau : Paradoxes (τελευταίο πάνω αριστερά) PARADOXES GEOMETRIQUES (πρώτο στο κέντρο) Autres triangles de Gardner (προτελευταίο) Να κάνετε μια αναπαραγωγή στο Geogebra των προβλημάτων (ιδίως αυτών που παρουσιάζει η Therese Eveilleau) που σχετίζονται με το πρόβλημά μας.

7 Page7 ΦΑΣΗ 2 Εδώ ας επιχειρήσουμε να δώσουμε μια εξήγηση του παραδόξου με τα μαθηματικά που έχουμε διδαχθεί, δηλαδή το κεφάλαιο της ευθείας των μαθηματικών κατ/νσης Β Λυκείου. 1 ο Εργαλείο : Η κλίση ευθείας. 2 ο Εργαλείο : Η μέθοδος υπολογισμού του εμβαδού τριγώνου (ή πολυγώνου). Έχετε στην διάθεσή σας 2 μεθόδους: την χρήση ορίζουσας όπως περιγράφεται στο βιβλίο σας και την μέθοδο του Pick. Σκοπός είναι να περιγράψουμε το παράδοξο καθώς και την ερμηνεία του, πάρτε σαν πρότυπο τον τρόπο παρουσίασης του Mark Wieczorek. ΒΗΜΑ 1: Πρώτα, πρέπει να αναπαραχθεί το σχήμα στο Geogebra. ΒΗΜΑ 2: Στην κατασκευή που κάνατε, να επαναλάβετε το trick της μεγέθυνσης, όπως κάνει ο Mark Wieczorek στην ιστοσελίδα του. ΒΗΜΑ 3: Αρχίστε να δίνεται την εξήγηση. Διαπιστώστε την παραδοξολογία μετρώντας τα εμβαδά. Σας συνιστούμε την μέθοδο Pick η οποία είναι περισσότερο αποκαλυπτική για την αιτία της πλάνης, ιδίως όταν μετράται τα εσωτερικά σημεία του ακεραίου δικτύου των δύο σχημάτων Τ 1 και Τ 2. ΦΑΣΗ 3 ΒΗΜΑ 4: Δώστε ηλεκτρονικά την παρουσίαση της εργασίας. Το κείμενο θα είναι σε pdf και word με χαρακτήρες τύπου Times New Roman σε 12pt. Ότι χρησιμοποιείται και δεν είναι δικό σας πρέπει να έχει την αντίστοιχη παραπομπή.