ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β."

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός)

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για να βοηθήσουν αποτελεσματικά τους μαθητές της Γ Λυκείου στο δύσκολο έργο τους. Οι σημειώσεις περιέχουν βασικές λυμένες ασκήσεις που καλύπτουν όλες τις κατηγορίες ασκήσεων των μιγαδικών αριθμών, καθώς και άλυτες προτεινόμενες ασκήσεις (με τις απαντήσεις) όλων των επιπέδων, με αυξανόμενο βαθμό δυσκολίας. Από τη θέση αυτή ευχαριστώ τους φίλους και συναδέλφους μου για την πολύτιμη βοήθειά τους στη συγγραφή των σημειώσεων αυτών. Κάθε πρόταση-παρατήρηση που σκοπό έχει τη βελτίωση των σημειώσεων αυτών με χαρά θα γίνει δεκτή. Γ. Π. Β

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθεί στο η εξίσωση: 6 Λύση: Θέτουμε x yi με x, y πραγματικούς και αντικαθιστούμε στην εξίσωση: x yi ( x yi) 6 3x yi 6 3 x ( y) i 6 0i 3x 6 και y 0 x και y 0 Άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι ο.. Να λυθεί στο η εξίσωση Λύση: Αρχικά υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου: Δ=...=-4<0. 4 i ( 4) Άρα οι λύσεις δίνονται από τη θεωρία:, i.

4 3. Να λυθεί στο η εξίσωση Λύση: Στην εξίσωση θέτουμε x yi οπότε έχουμε: 4 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 0. ( x yi) ( x yi) 3 0 x xyi y x yi 3 0 x y x 3 (xy y) i 0 0i 3 0 () και yx ( ) 0 () x y x Από την () προκύπτει ότι: y 0 ή x Για y 0 έχουμε () x x x ή x 3 Άρα προκύπτουν δύο λύσεις: και 3. Για x έχουμε () y 0 y 0 Άρα προκύπτει Να λυθεί στο η εξίσωση Λύση: 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση και έχουμε: ( ) 4

5 5. Να λυθεί στο η εξίσωση Λύση: Α τρόπος Έχουμε ότι: i i i i i 5 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ i ( i) 0. ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( i )( ) 0 ή i i Β τρόπος Θέτουμε x yi οπότε έχουμε: i( x yi) ( i)( x yi) 0 i( x xyi y ) x yi xi y 0 ( xy x y ) ( x y)( x y ) i 0 ( xy x y ) (x y y x) i 0 xy x y 0 () και ( x y)( x y ) 0 () Από την () προκύπτει ότι: y x ή y x Για y x έχουμε () x x 0 (αδύνατη) Για y x έχουμε ()... xx ( ) 0 x 0 ή x Άρα οι λύσεις είναι οι μιγαδικοί i και.

6 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 6. Αν είναι γνωστό ότι 0 τότε να δείξετε ότι 003 την τιμή της παράστασης 003. Λύση: Έχουμε ότι: 6 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 και να υπολογίσετε ( )( ) 0 ( ( )( ) ) Για να υπολογίσουμε την τιμή της δοθείσας παράστασης θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση που δείξαμε: Έχουμε ότι: 3. ( ) ( ) Επομένως:

7 7. Αν τα σημεία Α( ), Β( ), Γ( 3 ) ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ= και επιπλέον ισχύει ότι 3 0, τότε να δείξετε ότι: Α.,, 3 B Γ. Δ. 3 0 Λύση: Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 Α. Από την εκφώνηση είναι γνωστό ότι: 3 Επομένως έχουμε: Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν ότι: Β. Από τη δοθείσα σχέση έχουμε: και Γ. Θεωρούμε την ταυτότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

8 Δ. Έχουμε ότι: ( ) 0 ( 3 0, επειδή 3 ) 0 ( ) ( ) Με αντίστοιχο τρόπο προκύπτουν ότι: και Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

9 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟΙ Βασικές Προτάσεις: & i * 8. Αν w με και i, τότε να δείξετε ότι ο w είναι φανταστικός i αριθμός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. Λύση: Έχουμε διαδοχικά: i i w w w i i i i ( i)( i ) ( i )( i) i i i i i i ( 0 ) 9. Να δειχθεί ότι για κάθε και για κάθε ( i) ( i) είναι πραγματικός. Λύση: 9 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ * ο αριθμός ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) ( i) Επομένως.

10 ΔΥΝΑΜΕΙΣ 0. Να υπολογίσετε τo παρακάτω άθροισμα: Λύση: Έχουμε διαδοχικά: 0 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ i i i i i i i i i i i i 4 3 i i i i i i i i i i i i i i i. Να υπολογίσετε την παράσταση που ακολουθεί: Λύση: Έχουμε: Επομένως: ( i) ( i ) ( ) 0 0 i i i i i και 0 i i i i ( ) i i i i i ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) i i i 006 i i i 006 0

11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Μ( ) του μιγαδικού όταν είναι γνωστό ότι: Λύση: i i. Παρατηρούμε ότι είναι i. Άρα το σημείο Μ δεν μπορεί να είναι το (0,-). Θέτουμε x yi και έχουμε: i x yi i x ( y ) i i x yi i x ( y ) i x ( y) x ( y) 4 x ( y) x ( y) x y x y x y y x y y ( ) 4[ ( ) ] x 3y y 0 x y 4y 0 x y y x ( y ) 4 0 x ( y ) 4 x ( y ) Άρα το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(0,-) και ακτίνα ρ=. Ο κύκλος αυτός δεν περιλαμβάνει το σημείο (0,-). Προσοχή στους περιορισμούς! Αν το (0,-) βρισκόταν πάνω στον κύκλο, τόπος δεν θα ήταν όλος ο κύκλος γιατί θα έπρεπε να εξαιρεθεί το σημείο (0,-). Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ 3. Αν 0 και να δείξετε ότι τα σημεία: O(0), Α( ), Β( ) είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Λύση: Αρκεί να δείξουμε ότι: ΟΑ=ΟΒ=ΑΒ. Άρα πρέπει:. Θέτουμε w, ( 0 ) Τότε θέλουμε να δείξουμε: w w Από τη δοθείσα σχέση έχουμε διαδοχικά: w w w w 0 i 3 Οι λύσεις του τριωνύμου είναι: w, Επομένως εύκολα επαληθεύεται ότι w w που είναι το ζητούμενο. Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

13 Εναλλακτικός τρόπος επίλυσης της άσκησης: Έχουμε ότι: ( ) ( ) () Αντίστοιχα έχουμε: ( ) ( ) () Από τις () και () με διαίρεση κατά μέλη ( 0, 0 ) έχουμε: 3 3 Aπό την () έχουμε: 3 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Επομένως αποδείχτηκε το ζητούμενο:.

14 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 4. Να δείξετε ότι Λύση: ( ) ( ) για κάθε 0. Αν 0 η ανισότητα είναι προφανής Έστω 0 τότε θέτουμε w ( ) ( ) 4 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ και έχουμε: ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) w ( ) w ( ) w ( ) w w w w 0 w ( w w ) 0 () Όμως είναι: w w w ( w)( w) w ww w w w w ( w w) Re( w) Επομένως η () γίνεται: w Re( w) 0 Για να ισχύει η παραπάνω ανίσωση, αρκεί η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι μη θετική. Πράγματι έχουμε με w x yi : 4x 4( x y ) 4y 0

15 Εναλλακτικός τρόπος επίλυσης της άσκησης: Έχουμε διαδοχικά: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0, που ισχύει. 5 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

16 ΜΕΓΙΣΤΑ & ΕΛΑΧΙΣΤΑ 5. Αν 6 i 3 να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης 3 5i καθώς και οι αντίστοιχοι μιγαδικοί. Λύση: Έχουμε ότι: 3 5i 3 3 i 4i 3 6 i 4i 3 Από την τριγωνική ανισότητα ( ) έχουμε: 6 i 4i 3 6 i 4i 3 6 i 4i i 4i i 4i i 4i i 8 Για να βρούμε τις συντεταγμένες του που καθιστούν ελάχιστη ή μέγιστη την ζητούμενη παράσταση πρέπει να λύσουμε τα παρακάτω συστήματα: 6 i i και i 3 5i 8 6 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

17 6. Αν, ώστε 3i, τότε να δείξετε ότι: 5. Λύση: Α τρόπος 3 i ( 3 i) οπότε με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας έχουμε: 3 i ( 3 i) 3i 3 ( 3 i) () και 3 () Από την () έχουμε, που ισχύει. Από την () έχουμε Β τρόπος Ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση 3i είναι κύκλος κέντρου (0,3) και ακτίνας ρ=, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ο μιγαδικός που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η εικόνα είναι το Α(0,) δηλαδή ο 0 i. Ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το Β(0,5) δηλαδή ο 0 5i 5. Άρα για κάθε μιγαδικό του κύκλου έχουμε 5. 7 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

18 7. Δίνονται οι μιγαδικοί w, για τους οποίους ισχύουν: 8 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 4i 5 και w 6 8i 0 Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w., Β. Να βρείτε το μέγιστο μέτρο των w., Γ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Δ. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο και ελάχιστο. Λύση: Α. Έστω ότι: x yi και w i. Έχουμε ότι: 3 4i 5 (3 4 i) 5 Άρα οι εικόνες των είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο Κ(3,4) και ακτίνα ρ=5 και η εξίσωση του κύκλου είναι: Αντίστοιχα έχουμε: w 6 8i 0 w (6 8 i) 0 ( x3) ( y 4) 5 Επομένως οι εικόνες του w είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου κέντρου Λ(6,8) και ακτίνας ρ =0 και η εξίσωση του κύκλου είναι: ( 6) ( 8) 00

19 4 Β. Η ευθεία ΟΚ έχει εξίσωση y x. Για να βρούμε το μέγιστο φέρνουμε την 3 ΟΚ που τέμνει τον κύκλο κέντρου Κ στο Α ( Το Α συμπίπτει με το Λ). Τότε το μέγιστο μέτρο είναι max =ΟΚ+ΚΑ=ρ=0. Αντίστοιχα το μέγιστο μέτρο w είναι 9 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ w max Γ. Το μέγιστο w είναι w =ΟΒ=0 max Το ελάχιστο w είναι w =0 min = ρ =0 Δ. Για να βρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο πρέπει να βρούμε τους μιγαδικούς που έχουν εικόνες το Ο και το Β. Ο μιγαδικός που έχει εικόνα το Ο είναι ο 0 0i ενώ για τον μιγαδικό που έχει εικόνα το Β πρέπει να λύσουμε το σύστημα: Κάνουμε τις απαραίτητες πράξεις: 4 y x 3 ( x 6) ( y 8) ( x 6) ( x 8) 00 x x 36 x x x x x x x x x x 9x 08x 6x 9x 0 5x 300x 0 5 x( x ) 0 x 0 ή x Για x 0 είναι y 0, ενώ για x είναι 4 y 6 3 Επομένως ο ένας είναι ο 0 0i και ο άλλος είναι ο 6i.

20 0 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Αν 5i και w 3i τότε να υπολογίσετε τις παρακάτω ποσότητες: A. w Β. w Γ. w Δ. w (Απ. Α. i, Β. 8i, Γ. 5 (3 5)i, Δ.. Να βρείτε το μέτρο των παρακάτω μιγαδικών αριθμών: Α. i Β. 3 Γ. 3 3i i Δ. 4 ( i)( 3 i) 5 (Απ. Α. 5, Β. 3, Γ. 3 3, Δ. 4 ) i ) 0 0

21 3. Στις περιπτώσεις που ακολουθούν να κάνετε τις απαραίτητες πράξεις και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή x yi. Α. Β. i ( )( ) ( ) i i i i i 3i w 3i 3i (Απ. Α. 3 4i, Β. w i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y για τους οποίους ισχύει: A. 3x y yi 9 7i B. i ( x 3) i 3x x 6 (Απ. Α. ( xy, ) ( 5,7), Β. x ) 5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y έτσι ώστε οι w, να είναι συζυγείς μιγαδικοί. (Απ. ( xy, ) (, ) ) x i y Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( 3 ) 38 και w ( x y) ( i)( x y)

22 6. Να γράψετε τον μιγαδικό που ακολουθεί στη μορφή x yi (Απ. 7 7 i 3 3 ) Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3i 6 i i i 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: A. I i i i i i i I i i i i Β Γ. Δ. Ε. I3 ( i) i 7 I4 ( i) ( i) 5 I i i i i i (Απ. Α. I 0, Β. I i, Γ. I3 0, Δ. I4 0, Ε. I5 i) 8. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: A. Β. I ( i) ( i) I ( i) ( i) (Απ. Α I, Β. I 4 )

23 9. Να βρείτε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει ότι: (Απ. ) 3 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( i) 3 i 0. Να βρείτε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει ότι: (Απ. 3 i ή 3 i, ή ). Να λύσετε τις εξισώσεις που ακολουθούν: A. iw w 3i Β. w iw i (Απ. Α. 5 w3 i, Β. 4 3 w i). Να λύσετε το παρακάτω σύστημα: i w i w 4 i (Απ. 3 i, 7 w i)

24 3. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: Α. Β. 0 0 ( x yi) ( y xi) 0 ( i) ( i) Να αποδείξετε ότι Α. Re( ) Β. Im( ) 5. Έστω ότι των x, y. (Απ. i w 3i και x yi. Να εκφράσετε το w x y x y 6x y 6y 9x 9y ) 4 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ w σαν συνάρτηση 6. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω ισότητα: Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών:.

25 7. Έστω ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει w5 w 3. Να αποδείξετε ότι θα ισχύει και w 8. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. Α. Β. Γ. Δ. Ε. i Πανελλαδικές Εξετάσεις 00 (Απ. Α. Σωστό, Β. Λάθος, Γ. Λάθος, Δ. Σωστό, Ε. Σωστό) 5 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

26 9. Αν 3 4i και 3i να κάνετε την αντιστοίχιση στον πίνακα που ακολουθεί. Πανελλαδικές Εξετάσεις 00 (Απ.. ζ,. γ, 3. α, 4. δ, 5. β) 0. Αν ισχύουν τα παρακάτω: τότε: i w, i 6 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ * και i Α. να αποδειχθεί ότι ο w είναι φανταστικός αριθμός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. Β. να αποδειχθεί ότι ισχύει w αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός αριθμός. Υπόδειξη: Ισχύει από τη θεωρία ότι:. Αν τότε και αντίστροφα. Αν τότε και αντίστροφα

27 . Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με 9 Α. Δείξτε ότι: Β. Δείξτε ότι ο αριθμός 7 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 3 είναι πραγματικός Γ. Δείξτε ότι: Πανελλαδικές Εξετάσεις 005. Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση: Αν x i και y h() i τότε Α. Να δείξετε ότι xy 3 4i ( 4) i h ( ), όπου μιγαδικός με i i Β. Να βρείτε το x αν είναι γνωστό ότι x y. Γ. Να λύσετε την εξίσωση h( ) i (Απ. Β. x y i ή x y i, Γ. 3 i) 5 5

28 3. Έστω ότι ισχύουν τα παρακάτω: x yi, 0 και w Να δείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων. (Απ. Η εικόνα του w κινείται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=) 4. Nα παραστήσετε γραφικά το σύνολο των τιμών του μιγαδικού για τις οποίες ισχύει ότι: (Απ. ( x 5) y Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ, κύκλος με κέντρο (-5,0) και ακτίνα 4) 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w για τους οποίους ισχύει ότι: A. Β. Re( w ) 5Re( w) w Im( w ) 3Im( w) w (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ρ=, Β. Κύκλος με κέντρο το (0,0) και ακτίνα ρ= )

29 6. Έστω ότι w x yi με y 0 και σταθερός πραγματικός αριθμός με 0. Να κάνετε τις αντιστοιχίσεις στον πίνακα που ακολουθεί. Σχέση που ικανοποιεί ο w Im( w) 9 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρικός τόπος του w y x Re( w) y x Re( w) Im( w) x Re( w) Im( w) y 7. Θεωρούμε τους μιγαδικούς w, και w τέτοιους ώστε w i και w i, *. Να δείξετε ότι, αν το μεταβάλλεται στο P του στο μιγαδικό επίπεδο, κινείται σε μια υπερβολή. Πανελλαδικές Εξετάσεις 994 (Απ. Η εικόνα του κινείται στην υπερβολή με εξίσωση: * και ισχύει w w, τότε η εικόνα του x y )

30 8. Δίνεται ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: w x 3 (y ) i, όπου xy, Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ( xy, ) με w 3i 3 είναι κύκλος. (Απ. Κύκλος με κέντρο ( 7 4, ) και ακτίνα ρ= ) 9. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w, k με k w. Α. Αν ισχύει ότι w w () τότε να δείξετε ότι ο k είναι φανταστικός αριθμός. B. Αν ακόμα ισχύει ότι w i τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Υπόδειξη: Α. Υψώστε στο τετράγωνο την () και κατόπιν χρησιμοποιήστε την ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών: (Απ. Β. Ευθεία με εξίσωση: y x) 30. Δίνεται η παρακάτω σχέση: 30 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Αρκεί να δείξετε ότι: k k ( i ) 5 h( ), i i Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στην περίπτωση που ο h () είναι πραγματικός. (Απ. Κύκλος με κέντρο 5 ( 3, ) και ακτίνα ) 4 4

31 3. Έστω ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: 3 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ i f ( ), 0 Α. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w f() 00 είναι φανταστικός. Β. Να βρείτε την εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του για την οποία ισχύει ότι (Απ. Β. Ευθεία με εξίσωση: y ) f( ) 3. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: Re( ) Im( ) 33. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: Re( ) Im( ) 34. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει η παρακάτω σχέση: i i Im( ) 0

32 35. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν τότε να βρείτε: 3 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( i ) 6 και w ( i) w (3 3 i) Α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. Γ. την ελάχιστη τιμή του w. Δ. την ελάχιστη τιμή του w. Πανελλαδικές Εξετάσεις 008 Υπόδειξη: Δ. Για να λύσετε το ερώτημα αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσετε την παρακάτω ιδιότητα των μιγαδικών αριθμών: w w (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ=, Β. Ευθεία με εξίσωση: x y 4, Γ., Δ. )

33 36. Έστω ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η παρακάτω σχέση: 33 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( w i) 8( w i) 4 4 Α. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w βρίσκονται πάνω σε κύκλο. Β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Υπόδειξη: Ισχύει ότι: ( w i) 8( w i) ( w i) 8( w i) ( w i) 3( w i) ( w i) 3( w i) (Απ. Α. Κύκλος με κέντρο (0, ) και ακτίνα, Β. w 4., w ). 37. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός i, με. i Α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. Β. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για 0 και για αντίστοιχα. i i Ι. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. ΙΙ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: Πανελλαδικές Εξετάσεις 007 (Απ. Β. I. ) ( ) ( ) για κάθε φυσικό αριθμό ν.

34 38. Έστω ένας μιγαδικός αριθμός και 34 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ f ( ) i, Να δείξετε ότι f (3) f (8) f (3) f (8) 0. Πανελλαδικές Εξετάσεις Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί Α. Αν x yi,, Β. Αν μια ρίζα της εξίσωσης είναι η i και 3 4i *. xy, να αποδείξετε ότι x και y. x x 0, όπου,, να βρείτε τις τιμές των και. Γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίου ισχύει Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 00 (Απ. Β. 5,, Γ. Κύκλος με κέντρο (,-4) και ακτίνα ρ=5)

35 40. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i, και 3 i. Α. Να αποδείξετε ότι: Β. Αν για το μιγαδικό ισχύει τότε να αποδείξετε ότι: I. Re( ) Im( ). 35 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. 3 II. Για 0 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 007 (Απ. Β. ΙΙ. A 0 ) 4. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ( ) i, όπου. Α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Β. Αν ισχύει να βρείτε το Re( ). Γ. Αν και Im( ) 0, να βρείτε το. Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 007 (Απ. Α. Ευθεία με εξίσωση: y x 4, B. Re( ) 4, Γ. ) 37 5

36 4. Δίνεται η εξίσωση 3 0, όπου, είναι πραγματικοί αριθμοί Α. Αν ο αριθμός i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι 36 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 6, 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι: Ι. ΙΙ Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 008 (Απ. Α. i) 43. Α. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ( ) i,. I. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία y x II. Ποιοι από αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς έχουν ; Β. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει να δείξετε ότι και ( i) ( i) Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού 008 (Απ. Α. ΙΙ. i ή )

37 44. Έστω μιγαδικός αριθμός, με i και w. Α. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός, τότε ο είναι πραγματικός ή. Β. Να λύσετε, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, την εξίσωση 37 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 3 3 Γ. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (Β), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) K 4 ( ) Εξετάσεις Ελλήνων του Εξωτερικού (Απ. Β. i ή i, Γ. 3 i i K ) 7

38 45. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς x yi, όπου x, y πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους υπάρχει ώστε να ισχύει: Να αποδείξετε ότι: Α. αν Im( ) 0, τότε, Β. αν 0, τότε 0, 38 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ i ( ) i i Γ. για τον πραγματικό αριθμό ισχύει: 0, Δ. οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Πανελλαδικές Εξετάσεις Εσπερινών Λυκείων 004 (Απ. Δ. Κύκλος με κέντρο (0,0) και ακτίνα ρ=)

39 46. Αν Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ * με , να αποδείξετε ότι ισχύουν τα παρακάτω: Β. 39 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Υπόδειξη: Για να αποδείξετε το ζητούμενο να χρησιμοποιήσετε τον παρακάτω μετασχηματισμό: 0 ( )( ) Αν Μ και Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα και ισχύει 4 ότι τότε να αποδείξετε ότι: Όταν το Μ κινείται σε ένα κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα 4 τότε το Μ κινείται σε μια έλλειψη. (Απ. Έλλειψη με εξίσωση: x y ) Έστω ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού: w Υπόδειξη: Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα αν λύσετε την παραπάνω σχέση ως προς και χρησιμοποιήσετε το δεδομένο της άσκησης:. (Απ. Κύκλος με κέντρο (,0) και ακτίνα ρ=)

40 49. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί w, για τους οποίους ισχύει η παρακάτω σχέση: 40 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ iw 6w i 3 Αν η εικόνα του ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ= τότε: A. να δείξετε ότι η εικόνα του w ανήκει σε ομόκεντρο κύκλο ακτίνας, Β. να υπολογίσετε το w. Υπόδειξη: Β. Ισχύει ότι: w w (Απ. Β. w ) 50. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: I. II (Απ. I. i ή 3i, II. ή ή i 3 ) 4 5. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύουν Να αποδείξετε ότι: ( i 3 ) και

41 5. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί 0, w τέτοιοι ώστε οι εικόνες των και w σχηματίζουν με την αρχή των αξόνων Ο, ορθογώνιο τρίγωνο στο Ο. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι οι διχοτόμοι των αξόνων χωρίς το σημείο τομής τους. Υπόδειξη: Ισχύει ότι: Υπενθύμιση: Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος έστω ( xy, ) y δίνεται από τον τύπο:. x 4 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

42 53. Να βρείτε τα, 5 (Απ., 0 ) 54. Έστω ότι x yi, με xy, 55. Έστω η παρακάτω ισότητα: 4 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ, αν ισχύει η παρακάτω σχέση: 8 8 i i i. Να αποδείξετε ότι ισχύει η παρακάτω σχέση: x y 3 8 x i y x ( x ) i με, xy, Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του x yi. (Απ. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το διάγραμμα της συνάρτησης: 3 y( x) x x x ) 56. Αρχικά να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης 3, όταν ισχύει ότι 4i και στη συνέχεια να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όταν το 3 είναι ίσο με το μέγιστό του. Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα: (Απ. 3 6, Κύκλος με κέντρο το (3,0) και ακτίνα 6)

43 57. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς Να αποδείξετε ότι: A. ( t) ( t) 4 ( t) ( t) 43 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( t), t it Β. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών t () είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο (,0) και ακτίνα. 4 4 Γ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών t () και σημεία του προηγούμενου κύκλου. 4 ( ), t. * t είναι αντιδιαμετρικά Δ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών (), ( 4) και (00) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. Υπόδειξη: Γ. Αρκεί να δείξετε ότι: 4 ( t) ( ) t Δ. Σύμφωνα με το ερώτημα Γ. τα (), ( 4) είναι αντιδιαμετρικά σημεία και επομένως οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών (), ( 4) και (00) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζεται από τις εικόνες των (), ( 4). Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 00

44 58. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης 44 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ τότε να δείξετε ότι. Υπόδειξη: Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας και απαγωγή σε άτοπο (Αρχική υπόθεση: Έστω ). 59. Έστω ότι, είναι ρίζες της εξίσωσης Να αποδείξετε ότι ο w 4i 8i 60. Έστω ο μιγαδικός ( i) i, είναι φανταστικός αριθμός. Α. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκει η εικόνα του. Β. Για ποια τιμή του, το γίνεται ελάχιστο; Γ. Υποθέτουμε ότι 0. Αν και w I. Να αποδείξετε ότι 3. 3 i τότε: II. Να βρείτε τις τιμές του θετικού ακέραιου αριθμού ν, ώστε Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 00 (Απ. Α. y x, Β. 0, Γ. ΙΙ. ν άρτιος) w.

45 6. Έστω ότι ισχύει η σχέση: i 6 0 με Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του για. (Απ. Κύκλος με κέντρο (,) και ακτίνα ρ=4) 6. Δίνεται ο παρακάτω μιγαδικός αριθμός: 45 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ln i( ), 0 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. (Απ. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το διάγραμμα της συνάρτησης: ln x y( x) x, x 0 ) x 63. Έστω ο μιγαδικός αριθμός με 0. Α. να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών, και i 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Β. Στην περίπτωση που το εμβαδόν του ισοπλεύρου είναι ίσο με 3, τότε να υπολογίσετε το μέτρο του. (Απ. Β. )

46 64. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0 και μιγαδικών και w είναι κάθετες. 46 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ w. Οι διανυσματικές ακτίνες των Α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του κινούνται σε δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Β. Να αποδείξετε ότι 4 0. Γ. Έστω ότι, επιπλέον ισχύει: Ι. Να αποδείξετε ότι:. ΙΙ. Να αποδείξετε ότι: i 5 m i. 0 5 ΙΙΙ. Να βρείτε το μέτρο του u για τον οποίο ισχύει: 3 4. u ( i). Υπόδειξη: Β. Το ζητούμενο αποδεικνύεται εύκολα με τη βοήθεια του Α. Ερωτήματος και πράξεις ( 4 ( x xi) ). (Απ. Α. Ο γεωμετρικός τόπος είναι οι ευθείες y=x, y=-x (εκτός από την αρχή των αξόνων) που προφανώς είναι κάθετες, Γ. ΙΙΙ. u ) 5

47 65. Δίνονται οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύουν: Α. Να αποδείξετε ότι (7 ) (3 4 i)( 7) 0 και 47 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ i 4 w ( ) 5 Β. Να βρείτε την απόσταση των εικόνων Α, Β των μιγαδικών και 5iw αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Υπόδειξη: Β. Πρόταση: Η απόσταση των εικόνων δύο μιγαδικών ισούται με το μέτρο της διαφοράς τους. (Απ. Β. 5iw 4) 66. Δίνεται ο μιγαδικός 5 i, με πραγματικό αριθμό. i Α. Να αποδειχθεί ότι όταν ο είναι φανταστικός, τότε ισχύει ότι 0 i. Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός των σημείων του επιπέδου που είναι οι εικόνες των μιγαδικών. Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί w 3 i. Δ. Για τους μιγαδικούς u, u, u 3 έχουμε u u u3 u με ( u), ( u), ( u3). Έστω ότι 3 w o u u u u i w είναι μια μη φανταστική λύση της εξίσωσης του Γ. ερωτήματος με o. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. (Απ. Β. Κύκλος με κέντρο Κ(0,-) και ρ=3, Γ. w i, 3 w i)

48 67. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, w και w τέτοιους ώστε w i και * w i με. Α. Να δείξετε ότι, αν ο μεταβάλλεται στο εικόνα Ρ του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή. Β. Να βρεθεί το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού. 48 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ * και ισχύει ότι w w, τότε η Γ. Αν οι μιγαδικοί και κινούνται σε διαφορετικούς κλάδους της υπερβολής τότε να βρεθεί το ελάχιστο του καθώς και οι και. (Απ. Α. y x, Β., Γ. min i, i, ) min

49 49 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Πράξεις στο σύνολο των μιγαδικών Πρόσθεση: ( i) ( i) ( ) ( ) i Πολλαπλασιασμός: ( i)( i) ( ) ( ) i Διαίρεση: i i i Δυνάμεις μιγαδικών αριθμών i i... Αν 4 0 τότε i Αν 4 τότε Αν 4 τότε i Αν 4 3 τότε i 0 i i i i 3 i i i

50 50 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ιδιότητες συζυγών Αν x yi και x yi τότε ισχύουν τα παρακάτω: x y x Re( ) yi Im( ) i Έστω ότι x yi, τότε:. Αν τότε και αντίστροφα. Αν τότε και αντίστροφα

51 Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Έστω 0 () στο μιγαδικό επίπεδο με,, και 0 Αρχικά υπολογίζουμε την διακρίνουσα: 5 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 Αν 0 τότε η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες:, Αν 0 τότε η () έχει μια διπλή πραγματική ρίζα: i Αν 0 τότε η () έχει δύο ρίζες μιγαδικούς συζυγείς:,

52 5 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μέτρο μιγαδικών αριθμών Έστω ο μιγαδικός αριθμός x yi και M( ) η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Μέτρο του x yi ονομάζεται η απόσταση του M( ) από την αρχή (0,0) των αξόνων. ( ) x y

53 Ιδιότητες μέτρου μιγαδικών αριθμών 53 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Έστω ότι x yi, τότε:......, με

54 Εξίσωση κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο Έστω ο μιγαδικός αριθμός o xo yoi και ένας θετικός πραγματικός αριθμός ρ. Η εξίσωση και ακτίνα ρ. o είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο την εικόνα ( x, y ) του o 54 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ o o

55 Εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,. Η εξίσωση είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα ( ) και ( ). 55 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

56 Εξίσωση έλλειψης στο μιγαδικό επίπεδο Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία (εστίες Ε, Ε) είναι σταθερό και ισούται με. Η αναλυτική εξίσωση της έλλειψης είναι: 56 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ x y με και εστίες Ε (-,0) και Ε(,0)

57 Εξίσωση υπερβολής στο μιγαδικό επίπεδο Υπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία έχουν απολύτως σταθερή διαφορά. Τα σταθερά σημεία Ε και Ε λέγονται εστίες της υπερβολής. Η απόσταση των εστιών Ε και Ε λέγεται εστιακή απόσταση και συμβολίζεται γ, ενώ η σταθερή διαφορά συμβολίζεται α<γ. 57 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ε Ε=γ και ΜΕ - ΜΕ =α Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες Ε (-γ,0) και Ε(γ,0) και σταθερή διαφορά α είναι: x y με Ε (-γ,0) Α Ο Α Μ(x,y) Ε(γ,0)

58 Απόσταση των εικόνων Α, Β δύο μιγαδικών και w Η απόσταση ( ) των εικόνων Α, Β δύο μιγαδικών και w είναι ίση με w. Προσοχή: H παράσταση w παριστάνει την απόσταση της εικόνας του από την εικόνα του w, διότι: w ( w). 58 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

59 Ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο στο μιγαδικό επίπεδο Το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές με κορυφή το A αν ισχύει: 3. Το τρίγωνο ABC θα ήταν ισόπλευρο αν επιπλέον: Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

60 Συνευθειακά σημεία στο μιγαδικό επίπεδο Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τρία διαφορετικά ανά δύο σημεία A, B, C εικόνες των μιγαδικών,, 3 αντιστοίχως να είναι συνευθειακά είναι: 3 60 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Απόδειξη: Αρκεί να υπάρχει τέτοιος ώστε: C ( C ) ( 3 ) 3 3 Αν το Β είναι το μέσο του AC με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: ( ) 3

61 Καθετότητα διανυσματικών ακτίνων στο μιγαδικό επίπεδο Με προϋπόθεση ότι τα σημεία Ο, Α, Β είναι διαφορετικά ανά δύο ισχύει: 6 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ w Απόδειξη: w w w ( w)( w) w w w w w w w w w Αντίστοιχα ισχύει ότι: C 3

62 6 Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Μιγαδικοί Αριθμοί μεθοδολογία: Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης. Άλγεβρα ης Δέσμης: Κωνικές τομές Μιγαδικοί Πιθανότητες 3. Μιγαδικές Μεταβλητές, McGraw-Hill, New York, ΕΣΠΙ, Αθήνα Γιώργος Α. Καρεκλίδης Κ. Γκατζούλης Murray R. Spiegel 4. Μιγαδικοί αριθμοί + Εφαρμογές στην Γεωμετρία + μετασχηματισμοί Mobius Ρ. Μπόρης 5. Μιγαδικές Συναρτήσεις και Εφαρμογές, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης R. Churchill & J. Brown 6. Θεωρία Μιγαδικών Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής, Εκδόσεις Συμμετρία 7. Μαθηματικά Γ Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής κατεύθυνσης 8. Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση, Εκδόσεις Συμμετρία Στ. Νεγρεπόντη Βασίλης Παπαδάκης Σ. Κ. Μερκουράκη & Τ. Ε. Χατζηαφράτη 9. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z). εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις. ν α,β,γ,δ και ο OA, w a βi γ δi OB, των a βi, γ δi. α λυθεί η ανίσωση 0 πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (000-03) ΘΕΜΑ 000 α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ - - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ 1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θ ω μ ά ς Μιγαδικοί αριθμοί Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Θ ω μ ά ς Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Βασικές TAYTOΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα