ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Transcript

1 Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΘΕΜΑΤΑ ΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΩΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : ΘΕΩΡΙΑ Έστω η εξίσωση δευτέρου βαθμού : a με a β γ (). α) Ποια παράσταση λέγεται Διακρίνουσα τι γνωρίζετε για το πλήθος των λύσεων της (), σε σχέση με τη Διακρίνουσα; β) Ποιες είναι οι λύσεις της () σε κάθε μία από τις περιπτώσεις του ερωτήματος α); γ) Συμπληρώστε στο γραπτό σας την παρακάτω πρόταση : «Αν ρ, ρ οι λύσεις της εξίσωσης (), τότε το τριώνυμο παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο» a β γ ΘΕΩΡΙΑ α) Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή (να γίνει σχήμα). β) Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ, τότε γράψτε με τι ισούται : i) ο λόγος των Περιμέτρων τους ii) ο λόγος των Εμβαδών τους. γ) Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας, το κενό της παρακάτω πρότασης: «Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε...» ΑΣΚΗΣΗ Δίνονται οι ρητές παραστάσεις : 9. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται αυτές να τις απλοποιήσετε. β) Να λύσετε την εξίσωση :. Χρήστος Μουρατίδης Σελίδα από

2 Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΑΣΚΗΣΗ y ( ε) Δίνεται το γραμμικό σύστημα :. y ( ε ) α) Βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών (ε ) (ε ). β) Βρείτε το σημείο Β, στο οποίο η ευθεία (ε ) τέμνει τον άξονα χ χ. γ) Αν είναι η κορφή της παραβολής τριγώνου ΑΒ. y, υπολογίστε το εμβαδόν του ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒΑ) ΒΔ, Ε οι διχοτόμοι των γωνιών του Β αντίστοιχα. Αν Αε//Β η προέκταση της ΒΔ τέμνει την Αε στο Ζ, να αποδείξετε ότι : α) ΒΔ Ε β) Τα τρίγωνα ΒΑΖ ΒΙ είναι όμοια, να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από αυτήν την ομοιότητα. Z ε Ε I Δ Απαντήστε μόνο σε μία Θεωρία δύο Ασκήσεις Χρήστος Μουρατίδης Σελίδα από

3 Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ a β γ με a α) Έστω η εξίσωση. () Διακρίνουσα λέγεται η παράσταση : Δ β - αγ. Αν Δ> η εξίσωση () έχει δύο λύσεις, πραγματικές άνισες. Αν Δ η εξίσωση () έχει μία διπλή πραγματική λύση. Αν Δ< η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές λύσεις. β) Όταν Δ>, οι λύσεις δίνονται από τη σχέση : Όταν Δ, η λύση δίνεται από τη σχέση : ρ ρ, β ± Δ α β α γ) «Αν ρ, ρ οι λύσεις της εξίσωσης (), τότε το τριώνυμο α βγ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο : α βγ α(-ρ )(-ρ ). ΘΕΩΡΙΑ α) Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες ε, ε, ε, τέμνουν δύο άλλες δ, δ, τότε ορίζουν σ αυτές τμήματα ανάλογα. δ δ Α' Β' ε ε ΑΒ Β Α' Β' Β' ' Α Α' ' ' ε β) Αν Π Π είναι οι Περίμετροι Ε, Ε τα Εμβαδά των δύο ομοίων τριγώνων τότε : Π i) λ ii) Π' Ε λ. Ε' γ) «Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή τέμνει την τρίτη πλευρά στο μέσο της». Χρήστος Μουρατίδης Σελίδα από

4 Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 Χρήστος Μουρατίδης Σελίδα από ΑΣΚΗΣΗ α). Η παράσταση αυτή ορίζεται για : 9. Η παράσταση αυτή ορίζεται για :. β) Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος της εξίσωσης που δόθηκε. -(-)(), διότι Δ > ±, Τότε η εξίσωση γίνεται : () Ε.Κ.Π. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών η () γίνεται : 8 8 με Δ >, λύσεις : ±,, από τις οποίες δεκτή είναι μόνο η.

5 Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΑΣΚΗΣΗ α) Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων : y y ( ) ( ) y y ( ) Άρα το σημείο τομής των ευθειών ε ε είναι το Α(,). 7 y y y β) Η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χ χ, όταν y, άρα αντικαθιστώντας στην ε έχουμε :. Άρα το σημείο στο οποίο η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χ χ είναι το Β(,). γ) Η κορυφή της παραβολής y - β Δ - βρίσκεται στο σημείο,, α α άρα σημείο (,-). y ( ) ( ), οπότε η κορυφή της είναι το 8 y ε ε Δ Οπότε το Εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ είναι : - Ε ΑΒ β υ ( Α) ( ΔΒ) τμ. Χρήστος Μουρατίδης Σελίδα από

6 Δ 8 Α Β Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΑΣΚΗΣΗ α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα : ΑΒΔ ΑΕ, αυτά έχουν Z ε ΑΒ Α από υπόθεση ωνία ˆΑ κοινή Β ˆ ˆ ως μισά των ίσων Ε I Δ γωνιών της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒ. Σύμφωνα με το κριτήριο -Π- τα τρίγωνα είναι ίσα, επομένως τα αντίστοιχα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα ΒΔ Ε. β) Τα τρίγωνα ΒΑΖ ΒΙ έχουν : Β ˆ Β ˆ αφού ΒΔ διχοτόμος ˆ Ζ ˆ αφού ˆ ˆ Β ως μισά ίσων γωνιών, ˆΒ Ζˆ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων Αε//Β που τέμνονται από τη ΒΖ. Αφού τα τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, είναι όμοια. Η αναλογία των πλευρών που προκύπτει είναι : ΒΑ ΒΖ ΑΖ ΒΙ Β Ι. ενικά Σχόλια :. Η λύση του συστήματος στην Άσκηση, μπορεί να γίνει με όποια μέθοδο θέλετε. Εδώ προτιμήσαμε τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών.. Στην ίδια άσκηση, δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσει κανείς τις ευθείες το τριώνυμο, για να βρει το εμβαδόν του τριγώνου. Θα μπορούσε να σχεδιάσει ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με τα συγκεκριμένα σημεία, που βρήκε είναι οι κορυφές του τριγώνου. Χρήστος Μουρατίδης Σελίδα από