Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0."

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α + β + γ με α 0 είναι παραβολή με : β Δ Κορυφή το σημείο Κ,, όπου Δ = β αγ και α α Άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από την κορυφή της Κ και έχει εξίσωση =. β α Αν α > 0, η συνάρτηση = α + β + γ παίρνει ελάχιστη τιμή Δ β =, όταν = α α Αν α < 0, η συνάρτηση = α + β + γ παίρνει μέγιστη τιμή Δ β =, όταν = α α Στο διπλανό σχήμα υπάρχουν 8 οι γραφικές παραστάσεις δύο f ( ) = τετραγωνικών συναρτήσεων η μια με α = >0 και η δεύτερη με α = -1<0. Η πρώτη παίρνει ελάχιστη τιμή το -1 για = -1 και η δεύτερη παίρνει Κ(-1,-1) μέγιστη τιμή το -3 για = 1. Η πρώτη έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1 και η δεύτερη την ευθεία = 1. Οι κορυφές τους είναι αντίστοιχα Κ(-1,-1) και Λ(1,-3) Λ(1,-3) g ( ) = (- + )-

2 338 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = 3. Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η γραφική παράσταση είναι με κορυφή το σημείο και άξονα συμμετρίας την ευθεία β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει.. τιμή =, όταν = γ) Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία, και τον άξονα στο σημείο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γραφική παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο (1, ) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1. β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει ελάχιστη τιμή = όταν = 1. γ) Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία ( 1,0), (3,0) και τον άξονα στο σημείο (0, 3).. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η παραβολή = + έχει : i) Κορυφή το σημείο α. (, ) β. (0, ) γ. ( 0, ) δ. (, 0 ) ii ) Άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση α. = β. = 0 γ. = 0 δ. = ΑΠΑΝΤΗΣΗ i ) Η κορυφή της καμπύλης είναι το σημείο (0,), δηλαδή το γ. ii ) Άξονα συμμετρίας έχει την ευθεία με εξίσωση = 0,δηλαδή το γ. 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Η συνάρτηση = 5 + παίρνει ελάχιστη τιμή. β) Η παραβολή = + τέμνει τον άξονα στο σημείο A(0, ). γ) Ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής = 3 7. δ) Η παραβολή = ( +1) έχει κορυφή πάνω στον άξονα. ε) Η συνάρτηση = + έχει κορυφή πάνω στον άξονα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α α) Είναι λάθος (Λ),γιατί η συνάρτηση = 5 + έχει α=-<0. β) Είναι σωστό (Σ), γιατί για =0 έχουμε =0-0+=. β 0 γ) Είναι σωστό (Σ), γιατί έχει άξονα συμμετρίας = = = 0 α 6 (α=3,β=0) β Δ 0 δ) Είναι σωστό (Σ), γιατί Κ(, ) =, = ( 1,0)το οποίο είναι α α πάνω στον άξονα. Είναι ( + 1) = (α=1,β=,γ=1 και Δ=0) β Δ 0 8 ε) Είναι σωστό (Σ), γιατί Κ(, ) =, = ( 0, )το οποίο είναι πάνω στον άξονα. Είναι = + (α=1,β=0,γ= και α α Δ=-8).. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή της πρώτης γραμμής την εξίσωσή της από τη δεύτερη γραμμή. α. β. γ. δ. 1. = ( + 1). = 1 3. = +1 = ( 1) ΑΠΑΝΤΗΣΗ α β γ δ 1 3

4 30 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 5. Ορισμένες τιμές της συνάρτησης = α + β + γ με α < 0 φαίνονται στον πίνακα Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία και κορυφή το σημείο β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη τιμή =.., όταν =.. γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στα σημεία,. και τον άξονα στο σημείο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1 και κορυφή το σημείο (1,) β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη τιμή =, όταν = 1 γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στα σημεία ( 1,0), (3,0) και τον άξονα στο σημείο (0,3). Όλα τα παραπάνω προκύπτουν από τον πίνακα τιμών της συνάρτησης.

5 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 31 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να σχεδιάσετε τις παραβολές α) = + 3 β) = α) Η συνάρτηση = +-3 είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = και γ = -3, οπότε έχουμε β = = 1 α 1 και Δ 1 ( 3) 16 = = =. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + 3 που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = = Κ(-1,-) β) Η συνάρτηση = είναι της μορφής = α + β + γ με α = -, β = και γ = 6, οπότε έχουμε β = = 1 α ( ) και Δ ( ) = = = 8. α ( ) 8 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 8) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1.

6 3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Κ(1,8) =- ++6 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 8) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =1. Ο(0,0) ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης... α) = β) = 8 +1 γ) = ( 6) + 7. α) Επειδή στην παραβολή = ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = 3>0 αυτή έχει ελάχιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ( min = = = 1 ) = = = 1 α α β) Επειδή στην παραβολή = 8 +1 ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = <0 αυτή έχει μέγιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ( ma = = = 8 ) ( ) = = 5 α α ( ) = γ) Κάνουμε τις σχετικές πράξεις και η παραβολή γίνεται : = ( 6) + 7 ή = ( 1+3 6) + 7 ή = ή = + 65 Επειδή στην παραβολή = + 65 ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = <0 αυτή έχει μέγιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ma = = = ( ) ( 65) = = 7 α α 8 8 = ( ) -8

7 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 33 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = + για και με τη βοήθεια αυτής να βρεθούν οι τιμές του για τις ο- ποίες + = 3. Η συνάρτηση = + είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = και γ = 0, οπότε έχουμε β = = 1 α 1 και Δ 1 0 = = = 1. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = = + O(0,0) -5 5 K(-1,-1) Για να είναι + = 3 πρέπει να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων = + και =3. Από το διπλανό σχήμα φαίνεται ότι αν φέρουμε την ευθεία =3 αυτή τέμνει την παραβολή σε σημεία με τετμημένες -3,1 δηλαδή στα σημεία (-3,3) και (1,3), δηλαδή τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη 3 έχουν τετμημένες -3,1-3 K(-1,-1) 8 6 = + = O(0,0) -

8 3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = + και με τη βοήθεια αυτής να αποδείξετε ότι + > για κάθε πραγματικό αριθμό. Η συνάρτηση = -+ είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = - και γ =, οπότε έχουμε β = α 1 = 1 και Δ ( ) 1 = = = 1. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = - + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =1. Επίσης παρατηρούμε ότι όλες οι τιμές του είναι θετικές (πάνω από τον άξονα ), δηλαδή >0 ή - + >0 ή +> Κ(1,1) Ο(0,0) = ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση = λ. α) Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού λ το σημείο Α ( 1, 6 ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; β) Αν λ =, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 1 και να βρείτε τα κοινά της σημεία με τους άξονες. α) Για να ανήκει το σημείο Α στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

9 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 35 = +3 + λ πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Α να την επαληθεύουν. Επομένως έχουμε : 6 = λ ή 6 = 1+3+λ ή 6 = +λ ή λ = 6 = β) Η συνάρτηση για λ= γίνεται = οπότε είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = 3 και γ =, επομένως έχουμε β 3 3 Δ = = και = =. α 1 α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ, και άξονα συμμετρίας την ευθεία =. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = +3 + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο 3 1 Κ, και άξονα συμμετρίας 3 την ευθεία =. Επίσης παρατηρούμε ότι τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(-,0) και Β(-1,0) και τον άξονα στο σημείο Γ(0,). ΑΣΚΗΣΗ Κ(- 3,-1 ) - - Γ(0,) Ο(0,0) Α(-,0) Β(-1,0) = +3+ Να σχεδιάσετε την παραβολή = Αν Α, Β, Γ είναι τα κοινά της σημεία με τους άξονες, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Η συνάρτηση = -6+5 είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = -6 και γ = 5, οπότε έχουμε β 6 = = 3 α 1 και Δ ( 6) = = =. α 1

10 36 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (3, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 3. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης = τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(1,0) και Β(5,0) τον άξονα και το σημείο Γ(0,5) τον άξονα. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι : 8 6 Γ(0,5) = -6+5 Ο(0,0) A(1,0) Β(5,0) Κ(3,-) E ΑΒΓ = β.υ =.5 = = 10 τ.μ ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε τους αριθμούς β και γ, ώστε η συνάρτηση = + β + γ για = να παίρνει ελάχιστη τιμή την = 7. β Επειδή η τιμή της μεταβλητής = για την οποία η συνάρτηση παίρνει α Η συ- β την ελάχιστη πρέπει να είναι, προκύπτει ότι = ή β = 8 1 νάρτηση τότε γράφεται : = 8 + γ. Αφού η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι 7 έχουμε : 8 +γ = 7 ή γ = 7 ή 16+γ = 7 ή γ = 9.

11 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 37 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένας ποδοσφαιριστής έδιωξε την μπάλα από το σημείο Ο, η οποία αφού διέγραψε μια παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος 10 m έφτασε σε απόσταση 0 m. α) Να αποδείξετε ότι η παραβολή έχει εξίσωση 1 = + με β) Ποια ήταν η απόσταση της μπάλας από το έδαφος, όταν αυτή βρισκόταν στο σημείο Μ και σε ποιο άλλο σημείο της τροχιάς η μπάλα απείχε από το έδαφος την ίδια απόσταση; α) Εφόσον η τροχιά της μπάλας είναι παραβολική θα έχει εξίσωση της μορφής = α + β + γ. Το γεγονός ότι περνά από τα σημεία (0,0), (0,10) και (0,0) σημαίνει ότι: 0=α.0 +β.0+γ οπότε γ=0 (1) 10=α.0 +β.0+γ ή 10=00α+0β ή 0α +β=1 () 0=α.0 +β.0+γ ή 1600α +0β=0 ή 0α +β=0 (3) Από τις () και (3) έχουμε ότι: 0α + β = 0 β = -0α β = -0α ή ή ή 0α + β = 1 0α + ( - 0α) = 1 0α - 80α = 1 1 β = -0α β = β = -0α 0 α = - ή 1 ή ή 0-0α = 1 α = α = β = 1 0 Άρα η εξίσωση της παραβολικής τροχιάς θα είναι: 1 = α + β + γ = + με β) Η απόσταση της μπάλας από το έδαφος, όταν αυτή βρισκόταν στο σημείο Μ ήταν = = + 30 =, = 7,5 m Από το σχήμα φαίνεται ότι το συμμετρικό του σημείου (30,7,5) ως προς την ευθεία =0 είναι αυτό με τετμημένη 10 άρα είναι το σημείο (10,7,5)

12 38 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α γιατί = = + 10 = 7, Γενικές ασκήσεις του ου Κεφαλαίου 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 = παριστάνει δύο παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα, τις οποίες και να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων. 9 = ή 9 =0 ή (3) ( ) = 0 ή (3 + )( 3 ) = 0 (1) ή = 0 = 0 ή = 3 ή = + 3 () (3) Από την δοσμένη εξίσωση μεταφέροντας όλους τους όρους στο 1 ο μέλος προκύπτει η εξίσωση (1) Από αυτήν συμπεραίνουμε ότι πρέπει τουλάχιστον ένας από τους όρους του γινομένου να ισούται με μηδέν, οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις () και (3). Κάθε μία όμως από αυτές έχει ως γραφική παράσταση μία παραβολή. Οι δύο δε αυτές παραβολές είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα αφού έχουν αντίθετους συντελεστές.. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε οι εξισώσεις = (α 1) και = (1 α ) να παριστάνουν παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα. Για να είναι οι παραβολές, που αποτελούν τις γραφικές παραστάσεις των δύο παραπάνω εξισώσεων, συμμετρικές ως προς τον άξονα, πρέπει οι συντελεστές του δευτεροβάθμιου όρου να είναι αντίθετοι. Επομένως : (1 α ) = α 1 ή α 1 α + 1 = 0 ή α α = 0 ή α(α 1) = 0. Για να αληθεύει η εξίσωση αυτή πρέπει ένας τουλάχιστον από τους όρους του γινομένου α(α 1) να ισούται με μηδέν οπότε έχουμε : α = 0 ή α = 0 1 α 1 = 0 ή α = απορρίπτεται 3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων =, = 3 και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων. -5 =- Ο(0,0) - - Α(1,-1) = Β(-3,-9) -8 10

13 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 39 Οι συντεταγμένες των κοινών τους σημείων,δηλαδή των σημείων τομής, αφού θα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις θα είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων αυτών. Θεωρούμε το σύστημα : = = ή = 3 3 = θα επιλύσουμε την εξίσωση Δ = 1 έχουμε : Για ( 3) = = = = = = = = 3 1 Αντικαθιστώντας τις τιμές του στην1η εξίσωση σημείο Α(1, 1) Για = 3 τότε = ( 3) σημείο Β( 3, 9) ή = + 1 = 16. = + 3 = + 3 = 0 ή 0 = 1 τότε = 1οπότε προκύπτει το = 9 οπότε προκύπτει το Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της α- ντικατάστασης. Επιλύοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση βρίσκουμε τις τιμές του αγνώστου και στην συνέχεια του και τέλος τα ζητούμενα σημεία.. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το σημείο Κ (, 3) και τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (0, 5). Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + β + γ. Επειδή η παραβολή τέμνει τον άξονα των στο σημείο Α(0,5) πρέπει για = 0 η τιμή της συνάρτησης να είναι = 5. Επομένως 5 = α 0 + β 0 + γ ή γ = 5 οπότε η εξίσωση της παραβολής γίνεται : = α + β +5. Επειδή η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Κ προκύπτει ότι : 3 = α + β +5 ή α +β = 8 (1) Επειδή η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραβολή παίρνει την μέγιστη τιμή είναι η προκύπτει ότι = ή β = α () β β α α Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και ()

14 350 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ( α) α + β = 8 α + = 8 ή ή β = α β = α α 8α = 8 α = 8 ή ή β = α β = α 8 α = = α = ή β α β = = 8 = 5. Το άθροισμα των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10 cm. α ) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ως Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την τιμή του αγνώστου β στην 1 η εξίσωση μετά από τις σχετικές πράξεις έχουμε α = και β = 8. Η εξίσωση της ζητούμενης παραβολής είναι = συνάρτηση της πλευράς του ΑΒ = είναι = + 5 με 0 < < 10. β ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. γ) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, όταν το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές. α) Αφού η κάθετη πλευρά ΑΒ έχει μήκος και το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών είναι 10 cm η κάθετη πλευρά ΑΓ έχει μήκος 10. Θεωρώντας την μία κάθετη πλευρά ως βάση και την άλλη κάθετη ως ύψος το εμβαδόν δίνεται από την σχέση. 1 1 = +. = ( 10 ) ή 5 β) 1 10 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της 1 συνάρτησης = + 5 Με 0 < < K(5, 1,5) = O(0,0) A(10,0)

15 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α γ) Η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραπάνω παραβολή έχει την β 5 5 μέγιστη τιμή είναι = = = = 5 α 1 1 ( ) Όταν όμως ΑΒ = = 5 τότε και ΑΓ = 10 5 = 5 οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. 6. Ένα κατάστημα σχήματος ορθογωνίου σχεδιάστηκε, ώστε να κατασκευαστεί με διαστάσεις 6 m και 3 m. Ο ιδιοκτήτης όμως σκέφτηκε να μειώσει το μήκος του και ταυτόχρονα να αυξήσει το πλάτος του κατά τα ίδια μέτρα. Ποια πρέπει να είναι η μεταβολή κάθε διάστασης, ώστε το εμβαδόν του να γίνει μέγιστο; Εάν συμβολίσουμε με μεταβολή κάθε μίας των διαστάσεων του ορθογωνίου τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από την σχέση: = (6-)(3+) ή = ή = Η μεταβολή κάθε διάστασης που πρέπει να συμβεί ώστε το εμβαδόν να γίνει μέγιστο είναι = = = = 1,5 m β 3 3 α ( 1) 7. Σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 10 cm παίρνουμε σημείο Μ και κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΜΓΔ και ΒΜΕΖ. Πού πρέπει να βρίσκεται το σημείο Μ, ώστε το ά- θροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων να γίνεται ελάχιστο; Εάν υποθέσουμε ότι το μήκος του ΑΜ είναι τότε το μήκος του ΜΒ θα είναι 10cm.

16 35 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων είναι = + (10 ) ή = ή = Η ζητούμενη τιμή της μεταβλητής για την οποία το άθροισμα των εμβαδών γίνεται ελάχιστο είναι = = = 5. α β 0 Επομένως το Μ πρέπει να βρεθεί στο μέσο του ΑΒ. 8. Από το μπαλκόνι ενός σπιτιού και από ύψος 6 m από το έδαφος πετάμε μία μπάλα η οποία διαγράφει παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος από το έδαφος 8 m. Αν η μπάλα προσκρούσει στο έδαφος σ ένα σημείο που απέχει 6 m από το σπίτι, τότε : α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση της τροχιάς της μπάλας στο σύστημα αξόνων που φαίνεται στο σχήμα είναι 1 = + + 6, με 0 6. β) Να βρείτε την απόσταση της μπάλας από το σπίτι, όταν βρεθεί και πάλι σε ύψος 6 m από το έδαφος. α) Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + β + γ. Επειδή η παραβολή τέμνει τον άξονα των στο σημείο (0,6) πρέπει για = 0 η τιμή της συνάρτησης να είναι = 6. Επομένως 6 = α 0 + β 0 + γ ή γ = 6 οπότε η εξίσωση της παραβολής γίνεται : = α + β +6. Επειδή η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Κ προκύπτει ότι : 8 = α + β +6 ή α +β = (1) Επειδή η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραβολή παίρνει την μέγιστη τιμή είναι η προκύπτει ότι = ή β = α () β β α α Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και ()

17 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α α β = ή β = α α 8α = ή β = α 1 α = = β = α ( α) α + = ή β = α α = ή β = α 1 α = ή 1 β = = + Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την τιμή του αγνώστου β στην 1 η εξίσωση μετά από τις σχετικές 1 πράξεις έχουμε α = και β =. Η εξίσωση της ζητούμενης παραβολής 1 είναι = + +6 β) Όταν το ύψος είναι πάλι 6m η απόσταση είναι: 6 = 1 + = 0 ή ( οποία έχουμε ή = 0 ή = 0 από την οποία προκύπτει =. Επομένως η απόσταση από το σπίτι είναι m ή + ) = 0 ή = 0 ή ( ) = 0 από την 9. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάθετη τομή μιας σήραγγας που κατασκευάστηκε σε σχήμα παραβολής με μέγιστο πλάτος ΑΒ = 16 m και μέγιστο ύψος 0Γ = 6 m. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής στο σύστημα αξόνων του 3 σχήματος, είναι = + 6, με β) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος ενός φορτηγού που μπορεί να διασχίσει τη σήραγγα, όταν το πλάτος του φορτηγού είναι 3, m και ο δρόμος είναι μιας κατεύθυνσης. α) Αρχικά από την μορφή της καμπύλης η οποία έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα προκύπτει ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + γ. Επειδή για = 0 η τιμή του = 6 έχουμε 6 = α 0 + γ ή γ = 6, οπότε η εξίσωση γίνεται = α + 6.

18 35 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Ακόμα παρατηρούμε ότι όταν = 8 (απόσταση ΟΒ) τότε το ύψος είναι μηδέν, οπότε έχουμε :0 = α ή 6 = 6α ή α = = Από τα παραπάνω προκύπτει ότι = + 6. Ακόμα από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι η μεταβλητή μεταβάλλεται έτσι ώστε β) Το μέγιστο ύψος του φορτηγού όταν το πλάτος του είναι 3, m θα προκύψει όταν το = = 1,6 m,δηλαδή όταν 3, 3 =.1, = 0, + 6 = 5,76 m ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Β ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. Τι είναι συνάρτηση και τι γραφική παράσταση συνάρτησης; Β. Θεωρούμε τη ευθεία ε με εξίσωση +3=1 i) Nα κατασκευάσετε την ευθεία ε. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της ε με τους άξονες και. iii) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΟΑΒ. iv) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. ΘΕΜΑ Ο : Α. Ποια συνάρτηση λέγεται τετραγωνική; Β. i) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης = 1 0 για 5 5.

19 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α ii) Κατόπιν, να σχεδιάσετε τη συμμετρική της προς τον άξονα και να βρείτε την εξίσωση της συνάρτησης αυτής. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Β ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. i) Τι ονομάζουμε παραβολή; ii) Πότε η συνάρτηση =α έχει ελάχιστο και πότε μέγιστο; Β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: i) ii) =- 1 iii) = = 3 1 iv) = ΘΕΜΑ Ο : Α. i) Τι ονομάζουμε υπερβολή; ii) Τι ονομάζονται ασύμπτωτοι της υπερβολής; Β. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ έχουν μήκος 10 cm.να βρείτε ποια τιμή πρέπει να πάρει το έτσι ώστε το ορθογώνιο ΑΔΕΖ να έχει μέγιστο εμβαδόν. Β Ζ Α Ε Δ Γ

20 356 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο ΤΑΞΗ-ΤΜΗΜΑ:... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Ονομάζουμε συνάρτηση την... με την οποία σε... τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε τιμή της μεταβλητής.. Ονομάζουμε γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f (, f()) του επιπέδου. 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο =α είναι μια ευθεία που περνά από την Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο =α+β είναι μια ευθεία, η οποία είναι... προς την ευθεία =α. 5. Η εξίσωση =κ παριστάνει μια...,η οποία είναι... προς τον άξονα και περνά από το σημείο (...,...). 6. Η εξίσωση =λ παριστάνει μια...,η οποία είναι... προς τον άξονα και περνά από το σημείο (...,...). 7. H γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια... γραμμή,η οποία λέγεται....

21 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α είναι μία... γραμμή η οποία αποτελείται από δύο κλάδους... ως προς την αρχή των αξόνων. Η καμπύλη αυτή λέγεται.... ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν είναι τύπος συνάρτησης; =5 = = =5. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι το f() της συνάρτησης; f ( ) = Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν περνά από το ίδιο σημείο που περνούν οι άλλες; = = 3 = = + 1. Ποιο από τα παρακάτω σημεία δεν ανήκει στην ευθεία =+3. ( 03), ( 15, ) ( 38, ) ( 11, ) 5. Ποια από τις παρακάτω ευθείες δεν είναι παράλληλη προς τις άλλες. =05, = 1 = = Να βρείτε ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει ελάχιστο. = = 3 = = ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΣ Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Η συνάρτηση = έχει ελάχιστο = 0 για = 0 Σ Λ. Η συνάρτηση = - έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα Σ Λ 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = 3+5 είναι Σ Λ παράλληλη προς την ευθεία = 3.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = είναι υπερβολή με τους δύο κλάδους της στο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο αντίστοιχα. Σ Λ 5. Η συνάρτηση = έχει ελάχιστο, που είναι ίσο τετμημένη της κορυφής της παραβολής. Σ Λ ΤΕΣΤ ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις που βρίσκονται δεξιά.

22 358 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 1. = α,α>0 Ο. = α,α<0 Ο 3. = α+β,α>0, β>0 β Ο. = β,β>0 -β/α β O

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0

4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0 1. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + + γ µε α 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Τετραγωνική συνάρτηση : Ονοµάζεται κάθε συνάρτηση της µορφής y = α + + γ, α 0. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε:

Φύλλο εργασίας Νο1. Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων, Συντεταγμένες Σημείου. Το ορθοκανονικό σύστημα αποτελείται από δύο ημιευθείεςοχ και Οy ώστε: 9 ο Γυμνάσιο Αθηνών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο 6: ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Φύλλο εργασίας Νο1 1 Ονοματεπώνυμο μαθητή : Ημερομηνία :.../.../20... Μαθηματικές έννοιες: Ορθοκανονικό Σύστημα Ημιαξόνων,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0

, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x. 0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x. 0 την παράγωγο f ( x 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ : Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f (, όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 6 185 ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / / 0 1 7 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15.06.2012 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση, Τιμές συνάρτησης, Πίνακας Τιμών. Τι ονομάζουμε πίνακα τιμών μιας συνάρτησης;

Συνάρτηση, Τιμές συνάρτησης, Πίνακας Τιμών. Τι ονομάζουμε πίνακα τιμών μιας συνάρτησης; ΣΤΟΛΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ 1 Ονοματεπώνυμο μαθητή : Ημερομηνία :.../.../20... Μαθηματικές έννοιες: Συνάρτηση, Τιμές συνάρτησης, Πίνακας Τιμών. Θυμόμαστε- Μαθαίνουμε: Τι ονομάζουμε συνάρτηση;.. Τι ονομάζουμε πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα