Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0."

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α + β + γ με α 0 είναι παραβολή με : β Δ Κορυφή το σημείο Κ,, όπου Δ = β αγ και α α Άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από την κορυφή της Κ και έχει εξίσωση =. β α Αν α > 0, η συνάρτηση = α + β + γ παίρνει ελάχιστη τιμή Δ β =, όταν = α α Αν α < 0, η συνάρτηση = α + β + γ παίρνει μέγιστη τιμή Δ β =, όταν = α α Στο διπλανό σχήμα υπάρχουν 8 οι γραφικές παραστάσεις δύο f ( ) = τετραγωνικών συναρτήσεων η μια με α = >0 και η δεύτερη με α = -1<0. Η πρώτη παίρνει ελάχιστη τιμή το -1 για = -1 και η δεύτερη παίρνει Κ(-1,-1) μέγιστη τιμή το -3 για = 1. Η πρώτη έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1 και η δεύτερη την ευθεία = 1. Οι κορυφές τους είναι αντίστοιχα Κ(-1,-1) και Λ(1,-3) Λ(1,-3) g ( ) = (- + )-

2 338 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = 3. Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η γραφική παράσταση είναι με κορυφή το σημείο και άξονα συμμετρίας την ευθεία β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει.. τιμή =, όταν = γ) Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία, και τον άξονα στο σημείο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γραφική παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο (1, ) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1. β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει ελάχιστη τιμή = όταν = 1. γ) Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στα σημεία ( 1,0), (3,0) και τον άξονα στο σημείο (0, 3).. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η παραβολή = + έχει : i) Κορυφή το σημείο α. (, ) β. (0, ) γ. ( 0, ) δ. (, 0 ) ii ) Άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση α. = β. = 0 γ. = 0 δ. = ΑΠΑΝΤΗΣΗ i ) Η κορυφή της καμπύλης είναι το σημείο (0,), δηλαδή το γ. ii ) Άξονα συμμετρίας έχει την ευθεία με εξίσωση = 0,δηλαδή το γ. 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Η συνάρτηση = 5 + παίρνει ελάχιστη τιμή. β) Η παραβολή = + τέμνει τον άξονα στο σημείο A(0, ). γ) Ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής = 3 7. δ) Η παραβολή = ( +1) έχει κορυφή πάνω στον άξονα. ε) Η συνάρτηση = + έχει κορυφή πάνω στον άξονα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α α) Είναι λάθος (Λ),γιατί η συνάρτηση = 5 + έχει α=-<0. β) Είναι σωστό (Σ), γιατί για =0 έχουμε =0-0+=. β 0 γ) Είναι σωστό (Σ), γιατί έχει άξονα συμμετρίας = = = 0 α 6 (α=3,β=0) β Δ 0 δ) Είναι σωστό (Σ), γιατί Κ(, ) =, = ( 1,0)το οποίο είναι α α πάνω στον άξονα. Είναι ( + 1) = (α=1,β=,γ=1 και Δ=0) β Δ 0 8 ε) Είναι σωστό (Σ), γιατί Κ(, ) =, = ( 0, )το οποίο είναι πάνω στον άξονα. Είναι = + (α=1,β=0,γ= και α α Δ=-8).. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή της πρώτης γραμμής την εξίσωσή της από τη δεύτερη γραμμή. α. β. γ. δ. 1. = ( + 1). = 1 3. = +1 = ( 1) ΑΠΑΝΤΗΣΗ α β γ δ 1 3

4 30 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 5. Ορισμένες τιμές της συνάρτησης = α + β + γ με α < 0 φαίνονται στον πίνακα Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία και κορυφή το σημείο β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη τιμή =.., όταν =.. γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στα σημεία,. και τον άξονα στο σημείο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1 και κορυφή το σημείο (1,) β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη τιμή =, όταν = 1 γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα στα σημεία ( 1,0), (3,0) και τον άξονα στο σημείο (0,3). Όλα τα παραπάνω προκύπτουν από τον πίνακα τιμών της συνάρτησης.

5 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 31 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να σχεδιάσετε τις παραβολές α) = + 3 β) = α) Η συνάρτηση = +-3 είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = και γ = -3, οπότε έχουμε β = = 1 α 1 και Δ 1 ( 3) 16 = = =. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + 3 που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = = Κ(-1,-) β) Η συνάρτηση = είναι της μορφής = α + β + γ με α = -, β = και γ = 6, οπότε έχουμε β = = 1 α ( ) και Δ ( ) = = = 8. α ( ) 8 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 8) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1.

6 3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Κ(1,8) =- ++6 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 8) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =1. Ο(0,0) ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης... α) = β) = 8 +1 γ) = ( 6) + 7. α) Επειδή στην παραβολή = ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = 3>0 αυτή έχει ελάχιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ( min = = = 1 ) = = = 1 α α β) Επειδή στην παραβολή = 8 +1 ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = <0 αυτή έχει μέγιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ( ma = = = 8 ) ( ) = = 5 α α ( ) = γ) Κάνουμε τις σχετικές πράξεις και η παραβολή γίνεται : = ( 6) + 7 ή = ( 1+3 6) + 7 ή = ή = + 65 Επειδή στην παραβολή = + 65 ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι α = <0 αυτή έχει μέγιστη τιμή η οποία είναι Δ β αγ ma = = = ( ) ( 65) = = 7 α α 8 8 = ( ) -8

7 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 33 ΑΣΚΗΣΗ 3 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = + για και με τη βοήθεια αυτής να βρεθούν οι τιμές του για τις ο- ποίες + = 3. Η συνάρτηση = + είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = και γ = 0, οπότε έχουμε β = = 1 α 1 και Δ 1 0 = = = 1. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = -1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (-1, -1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = = + O(0,0) -5 5 K(-1,-1) Για να είναι + = 3 πρέπει να βρούμε τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων = + και =3. Από το διπλανό σχήμα φαίνεται ότι αν φέρουμε την ευθεία =3 αυτή τέμνει την παραβολή σε σημεία με τετμημένες -3,1 δηλαδή στα σημεία (-3,3) και (1,3), δηλαδή τα σημεία της παραβολής που έχουν τεταγμένη 3 έχουν τετμημένες -3,1-3 K(-1,-1) 8 6 = + = O(0,0) -

8 3 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΑΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης = + και με τη βοήθεια αυτής να αποδείξετε ότι + > για κάθε πραγματικό αριθμό. Η συνάρτηση = -+ είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = - και γ =, οπότε έχουμε β = α 1 = 1 και Δ ( ) 1 = = = 1. α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 1. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = - + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (1, 1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία =1. Επίσης παρατηρούμε ότι όλες οι τιμές του είναι θετικές (πάνω από τον άξονα ), δηλαδή >0 ή - + >0 ή +> Κ(1,1) Ο(0,0) = ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση = λ. α) Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού λ το σημείο Α ( 1, 6 ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ; β) Αν λ =, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για 1 και να βρείτε τα κοινά της σημεία με τους άξονες. α) Για να ανήκει το σημείο Α στην γραφική παράσταση της συνάρτησης

9 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 35 = +3 + λ πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Α να την επαληθεύουν. Επομένως έχουμε : 6 = λ ή 6 = 1+3+λ ή 6 = +λ ή λ = 6 = β) Η συνάρτηση για λ= γίνεται = οπότε είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = 3 και γ =, επομένως έχουμε β 3 3 Δ = = και = =. α 1 α 1 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ, και άξονα συμμετρίας την ευθεία =. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης = +3 + που είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο 3 1 Κ, και άξονα συμμετρίας 3 την ευθεία =. Επίσης παρατηρούμε ότι τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(-,0) και Β(-1,0) και τον άξονα στο σημείο Γ(0,). ΑΣΚΗΣΗ Κ(- 3,-1 ) - - Γ(0,) Ο(0,0) Α(-,0) Β(-1,0) = +3+ Να σχεδιάσετε την παραβολή = Αν Α, Β, Γ είναι τα κοινά της σημεία με τους άξονες, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Η συνάρτηση = -6+5 είναι της μορφής = α + β + γ με α = 1, β = -6 και γ = 5, οπότε έχουμε β 6 = = 3 α 1 και Δ ( 6) = = =. α 1

10 36 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Άρα η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ (3, -) και άξονα συμμετρίας την ευθεία = 3. Επίσης κατασκευάζουμε και τον πίνακα τιμών της παίρνοντας και μερικά επιπλέον σημεία για να την σχεδιάσουμε καλύτερα Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης = τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(1,0) και Β(5,0) τον άξονα και το σημείο Γ(0,5) τον άξονα. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι : 8 6 Γ(0,5) = -6+5 Ο(0,0) A(1,0) Β(5,0) Κ(3,-) E ΑΒΓ = β.υ =.5 = = 10 τ.μ ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε τους αριθμούς β και γ, ώστε η συνάρτηση = + β + γ για = να παίρνει ελάχιστη τιμή την = 7. β Επειδή η τιμή της μεταβλητής = για την οποία η συνάρτηση παίρνει α Η συ- β την ελάχιστη πρέπει να είναι, προκύπτει ότι = ή β = 8 1 νάρτηση τότε γράφεται : = 8 + γ. Αφού η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι 7 έχουμε : 8 +γ = 7 ή γ = 7 ή 16+γ = 7 ή γ = 9.

11 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 37 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένας ποδοσφαιριστής έδιωξε την μπάλα από το σημείο Ο, η οποία αφού διέγραψε μια παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος 10 m έφτασε σε απόσταση 0 m. α) Να αποδείξετε ότι η παραβολή έχει εξίσωση 1 = + με β) Ποια ήταν η απόσταση της μπάλας από το έδαφος, όταν αυτή βρισκόταν στο σημείο Μ και σε ποιο άλλο σημείο της τροχιάς η μπάλα απείχε από το έδαφος την ίδια απόσταση; α) Εφόσον η τροχιά της μπάλας είναι παραβολική θα έχει εξίσωση της μορφής = α + β + γ. Το γεγονός ότι περνά από τα σημεία (0,0), (0,10) και (0,0) σημαίνει ότι: 0=α.0 +β.0+γ οπότε γ=0 (1) 10=α.0 +β.0+γ ή 10=00α+0β ή 0α +β=1 () 0=α.0 +β.0+γ ή 1600α +0β=0 ή 0α +β=0 (3) Από τις () και (3) έχουμε ότι: 0α + β = 0 β = -0α β = -0α ή ή ή 0α + β = 1 0α + ( - 0α) = 1 0α - 80α = 1 1 β = -0α β = β = -0α 0 α = - ή 1 ή ή 0-0α = 1 α = α = β = 1 0 Άρα η εξίσωση της παραβολικής τροχιάς θα είναι: 1 = α + β + γ = + με β) Η απόσταση της μπάλας από το έδαφος, όταν αυτή βρισκόταν στο σημείο Μ ήταν = = + 30 =, = 7,5 m Από το σχήμα φαίνεται ότι το συμμετρικό του σημείου (30,7,5) ως προς την ευθεία =0 είναι αυτό με τετμημένη 10 άρα είναι το σημείο (10,7,5)

12 38 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α γιατί = = + 10 = 7, Γενικές ασκήσεις του ου Κεφαλαίου 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9 = παριστάνει δύο παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα, τις οποίες και να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων. 9 = ή 9 =0 ή (3) ( ) = 0 ή (3 + )( 3 ) = 0 (1) ή = 0 = 0 ή = 3 ή = + 3 () (3) Από την δοσμένη εξίσωση μεταφέροντας όλους τους όρους στο 1 ο μέλος προκύπτει η εξίσωση (1) Από αυτήν συμπεραίνουμε ότι πρέπει τουλάχιστον ένας από τους όρους του γινομένου να ισούται με μηδέν, οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις () και (3). Κάθε μία όμως από αυτές έχει ως γραφική παράσταση μία παραβολή. Οι δύο δε αυτές παραβολές είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα αφού έχουν αντίθετους συντελεστές.. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε οι εξισώσεις = (α 1) και = (1 α ) να παριστάνουν παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα. Για να είναι οι παραβολές, που αποτελούν τις γραφικές παραστάσεις των δύο παραπάνω εξισώσεων, συμμετρικές ως προς τον άξονα, πρέπει οι συντελεστές του δευτεροβάθμιου όρου να είναι αντίθετοι. Επομένως : (1 α ) = α 1 ή α 1 α + 1 = 0 ή α α = 0 ή α(α 1) = 0. Για να αληθεύει η εξίσωση αυτή πρέπει ένας τουλάχιστον από τους όρους του γινομένου α(α 1) να ισούται με μηδέν οπότε έχουμε : α = 0 ή α = 0 1 α 1 = 0 ή α = απορρίπτεται 3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων =, = 3 και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων. -5 =- Ο(0,0) - - Α(1,-1) = Β(-3,-9) -8 10

13 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 39 Οι συντεταγμένες των κοινών τους σημείων,δηλαδή των σημείων τομής, αφού θα ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις θα είναι η λύση του συστήματος των εξισώσεων αυτών. Θεωρούμε το σύστημα : = = ή = 3 3 = θα επιλύσουμε την εξίσωση Δ = 1 έχουμε : Για ( 3) = = = = = = = = 3 1 Αντικαθιστώντας τις τιμές του στην1η εξίσωση σημείο Α(1, 1) Για = 3 τότε = ( 3) σημείο Β( 3, 9) ή = + 1 = 16. = + 3 = + 3 = 0 ή 0 = 1 τότε = 1οπότε προκύπτει το = 9 οπότε προκύπτει το Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της α- ντικατάστασης. Επιλύοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση βρίσκουμε τις τιμές του αγνώστου και στην συνέχεια του και τέλος τα ζητούμενα σημεία.. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή το σημείο Κ (, 3) και τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (0, 5). Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + β + γ. Επειδή η παραβολή τέμνει τον άξονα των στο σημείο Α(0,5) πρέπει για = 0 η τιμή της συνάρτησης να είναι = 5. Επομένως 5 = α 0 + β 0 + γ ή γ = 5 οπότε η εξίσωση της παραβολής γίνεται : = α + β +5. Επειδή η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Κ προκύπτει ότι : 3 = α + β +5 ή α +β = 8 (1) Επειδή η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραβολή παίρνει την μέγιστη τιμή είναι η προκύπτει ότι = ή β = α () β β α α Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και ()

14 350 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ( α) α + β = 8 α + = 8 ή ή β = α β = α α 8α = 8 α = 8 ή ή β = α β = α 8 α = = α = ή β α β = = 8 = 5. Το άθροισμα των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10 cm. α ) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ως Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την τιμή του αγνώστου β στην 1 η εξίσωση μετά από τις σχετικές πράξεις έχουμε α = και β = 8. Η εξίσωση της ζητούμενης παραβολής είναι = συνάρτηση της πλευράς του ΑΒ = είναι = + 5 με 0 < < 10. β ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. γ) Nα αποδείξετε ότι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, όταν το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές. α) Αφού η κάθετη πλευρά ΑΒ έχει μήκος και το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών είναι 10 cm η κάθετη πλευρά ΑΓ έχει μήκος 10. Θεωρώντας την μία κάθετη πλευρά ως βάση και την άλλη κάθετη ως ύψος το εμβαδόν δίνεται από την σχέση. 1 1 = +. = ( 10 ) ή 5 β) 1 10 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της 1 συνάρτησης = + 5 Με 0 < < K(5, 1,5) = O(0,0) A(10,0)

15 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α γ) Η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραπάνω παραβολή έχει την β 5 5 μέγιστη τιμή είναι = = = = 5 α 1 1 ( ) Όταν όμως ΑΒ = = 5 τότε και ΑΓ = 10 5 = 5 οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισοσκελές. 6. Ένα κατάστημα σχήματος ορθογωνίου σχεδιάστηκε, ώστε να κατασκευαστεί με διαστάσεις 6 m και 3 m. Ο ιδιοκτήτης όμως σκέφτηκε να μειώσει το μήκος του και ταυτόχρονα να αυξήσει το πλάτος του κατά τα ίδια μέτρα. Ποια πρέπει να είναι η μεταβολή κάθε διάστασης, ώστε το εμβαδόν του να γίνει μέγιστο; Εάν συμβολίσουμε με μεταβολή κάθε μίας των διαστάσεων του ορθογωνίου τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από την σχέση: = (6-)(3+) ή = ή = Η μεταβολή κάθε διάστασης που πρέπει να συμβεί ώστε το εμβαδόν να γίνει μέγιστο είναι = = = = 1,5 m β 3 3 α ( 1) 7. Σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 10 cm παίρνουμε σημείο Μ και κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΜΓΔ και ΒΜΕΖ. Πού πρέπει να βρίσκεται το σημείο Μ, ώστε το ά- θροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων να γίνεται ελάχιστο; Εάν υποθέσουμε ότι το μήκος του ΑΜ είναι τότε το μήκος του ΜΒ θα είναι 10cm.

16 35 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Επομένως το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων είναι = + (10 ) ή = ή = Η ζητούμενη τιμή της μεταβλητής για την οποία το άθροισμα των εμβαδών γίνεται ελάχιστο είναι = = = 5. α β 0 Επομένως το Μ πρέπει να βρεθεί στο μέσο του ΑΒ. 8. Από το μπαλκόνι ενός σπιτιού και από ύψος 6 m από το έδαφος πετάμε μία μπάλα η οποία διαγράφει παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος από το έδαφος 8 m. Αν η μπάλα προσκρούσει στο έδαφος σ ένα σημείο που απέχει 6 m από το σπίτι, τότε : α) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση της τροχιάς της μπάλας στο σύστημα αξόνων που φαίνεται στο σχήμα είναι 1 = + + 6, με 0 6. β) Να βρείτε την απόσταση της μπάλας από το σπίτι, όταν βρεθεί και πάλι σε ύψος 6 m από το έδαφος. α) Αρχικά θα θεωρήσουμε ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + β + γ. Επειδή η παραβολή τέμνει τον άξονα των στο σημείο (0,6) πρέπει για = 0 η τιμή της συνάρτησης να είναι = 6. Επομένως 6 = α 0 + β 0 + γ ή γ = 6 οπότε η εξίσωση της παραβολής γίνεται : = α + β +6. Επειδή η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Κ προκύπτει ότι : 8 = α + β +6 ή α +β = (1) Επειδή η τιμή της μεταβλητής για την οποία η παραβολή παίρνει την μέγιστη τιμή είναι η προκύπτει ότι = ή β = α () β β α α Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και ()

17 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α α β = ή β = α α 8α = ή β = α 1 α = = β = α ( α) α + = ή β = α α = ή β = α 1 α = ή 1 β = = + Θα επιλύσουμε το σύστημα με την μέθοδο της αντικατάστασης. Αντικαθιστώντας την τιμή του αγνώστου β στην 1 η εξίσωση μετά από τις σχετικές 1 πράξεις έχουμε α = και β =. Η εξίσωση της ζητούμενης παραβολής 1 είναι = + +6 β) Όταν το ύψος είναι πάλι 6m η απόσταση είναι: 6 = 1 + = 0 ή ( οποία έχουμε ή = 0 ή = 0 από την οποία προκύπτει =. Επομένως η απόσταση από το σπίτι είναι m ή + ) = 0 ή = 0 ή ( ) = 0 από την 9. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάθετη τομή μιας σήραγγας που κατασκευάστηκε σε σχήμα παραβολής με μέγιστο πλάτος ΑΒ = 16 m και μέγιστο ύψος 0Γ = 6 m. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής στο σύστημα αξόνων του 3 σχήματος, είναι = + 6, με β) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος ενός φορτηγού που μπορεί να διασχίσει τη σήραγγα, όταν το πλάτος του φορτηγού είναι 3, m και ο δρόμος είναι μιας κατεύθυνσης. α) Αρχικά από την μορφή της καμπύλης η οποία έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα προκύπτει ότι η εξίσωση της παραβολής είναι η = α + γ. Επειδή για = 0 η τιμή του = 6 έχουμε 6 = α 0 + γ ή γ = 6, οπότε η εξίσωση γίνεται = α + 6.

18 35 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 Ακόμα παρατηρούμε ότι όταν = 8 (απόσταση ΟΒ) τότε το ύψος είναι μηδέν, οπότε έχουμε :0 = α ή 6 = 6α ή α = = Από τα παραπάνω προκύπτει ότι = + 6. Ακόμα από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι η μεταβλητή μεταβάλλεται έτσι ώστε β) Το μέγιστο ύψος του φορτηγού όταν το πλάτος του είναι 3, m θα προκύψει όταν το = = 1,6 m,δηλαδή όταν 3, 3 =.1, = 0, + 6 = 5,76 m ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Β ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. Τι είναι συνάρτηση και τι γραφική παράσταση συνάρτησης; Β. Θεωρούμε τη ευθεία ε με εξίσωση +3=1 i) Nα κατασκευάσετε την ευθεία ε. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της ε με τους άξονες και. iii) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΟΑΒ. iv) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. ΘΕΜΑ Ο : Α. Ποια συνάρτηση λέγεται τετραγωνική; Β. i) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης = 1 0 για 5 5.

19 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α ii) Κατόπιν, να σχεδιάσετε τη συμμετρική της προς τον άξονα και να βρείτε την εξίσωση της συνάρτησης αυτής. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Β ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. i) Τι ονομάζουμε παραβολή; ii) Πότε η συνάρτηση =α έχει ελάχιστο και πότε μέγιστο; Β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: i) ii) =- 1 iii) = = 3 1 iv) = ΘΕΜΑ Ο : Α. i) Τι ονομάζουμε υπερβολή; ii) Τι ονομάζονται ασύμπτωτοι της υπερβολής; Β. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ έχουν μήκος 10 cm.να βρείτε ποια τιμή πρέπει να πάρει το έτσι ώστε το ορθογώνιο ΑΔΕΖ να έχει μέγιστο εμβαδόν. Β Ζ Α Ε Δ Γ

20 356 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο ΤΑΞΗ-ΤΜΗΜΑ:... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Ονομάζουμε συνάρτηση την... με την οποία σε... τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε τιμή της μεταβλητής.. Ονομάζουμε γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f (, f()) του επιπέδου. 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο =α είναι μια ευθεία που περνά από την Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο =α+β είναι μια ευθεία, η οποία είναι... προς την ευθεία =α. 5. Η εξίσωση =κ παριστάνει μια...,η οποία είναι... προς τον άξονα και περνά από το σημείο (...,...). 6. Η εξίσωση =λ παριστάνει μια...,η οποία είναι... προς τον άξονα και περνά από το σημείο (...,...). 7. H γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια... γραμμή,η οποία λέγεται....

21 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = α είναι μία... γραμμή η οποία αποτελείται από δύο κλάδους... ως προς την αρχή των αξόνων. Η καμπύλη αυτή λέγεται.... ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν είναι τύπος συνάρτησης; =5 = = =5. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι το f() της συνάρτησης; f ( ) = Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν περνά από το ίδιο σημείο που περνούν οι άλλες; = = 3 = = + 1. Ποιο από τα παρακάτω σημεία δεν ανήκει στην ευθεία =+3. ( 03), ( 15, ) ( 38, ) ( 11, ) 5. Ποια από τις παρακάτω ευθείες δεν είναι παράλληλη προς τις άλλες. =05, = 1 = = Να βρείτε ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει ελάχιστο. = = 3 = = ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΣ Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Η συνάρτηση = έχει ελάχιστο = 0 για = 0 Σ Λ. Η συνάρτηση = - έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα Σ Λ 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = 3+5 είναι Σ Λ παράλληλη προς την ευθεία = 3.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = είναι υπερβολή με τους δύο κλάδους της στο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο αντίστοιχα. Σ Λ 5. Η συνάρτηση = έχει ελάχιστο, που είναι ίσο τετμημένη της κορυφής της παραβολής. Σ Λ ΤΕΣΤ ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις που βρίσκονται δεξιά.

22 358 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 1. = α,α>0 Ο. = α,α<0 Ο 3. = α+β,α>0, β>0 β Ο. = β,β>0 -β/α β O

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ. Τρίτη 25 η Ιουνίου 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)

ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ. Τρίτη 25 η Ιουνίου 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΑΡΧΗ 1 ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ Τρίτη 5 η Ιουνίου 013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Θέμα ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) 1. Να υπολογίσετε το εξαγόμενο 1 9 1 9.. Αν = 1 x και y =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας για την y=αx 2

Φύλλο Εργασίας για την y=αx 2 Πρόβλημα Σε ένα τετραγωνικό περιβόλι πλευράς 10m πρόκειται να χτιστεί μια αποθήκη σχήματος ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Α) Να βρεθούν οι διαστάσεις της αποθήκης συναρτήσει του x, αν γνωρίζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα