Terminal Velocity of Solid Spheres Falling in Newtonian and non Newtonian Liquids

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Terminal Velocity of Solid Spheres Falling in Newtonian and non Newtonian Liquids"

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No Terminal Velocity of Solid Spheres Falling in Newtonian and non Newtonian Liquids VASSILIOS C. KELESSIIS Assistant Professor Technical University of Crete Abstract The prediction of the terminal velocity of solid spheres falling in non-newtonian shear thinning stagnant liquids is required in many industrial applications. Various correlations have been proposed but an accurate and comprehensive equation covering the whole range of ynolds numbers is not yet available. Furthermore, there is scarcity of much needed experimental data to aid in the derivation of the optimal correlation. Many investigators opt for using correlations derived for Newtonian liquids. However, there is a great variety of such correlations and not much is known about the optimal one or about the differences among them. The scope of this work was to propose an equation for predicting the terminal velocity of solid spheres falling in non-newtonian shear thinning stagnant liquids. The equation is firstly chosen by comparing the various proposed correlations using three indicators. It is then compared to experimental data taken using solid spheres falling through water solutions of Carboxylmethylcellulose of various concentrations and Newtonian fluids. The equation proposed compares favorably both to the experimental data presented and to experimental data reported by other investigators. 1. INTROUCTION Knowledge of the terminal velocity of solids falling in liquids is required in many industrial applications. Typical examples include hydraulic transport slurry systems for coal and ore transportation, thickeners, mineral processing, solid liquid mixing, fluidization equipment, drilling for oil and gas, geothermal drilling. In many of these processes it is the hindered falling velocity that is of interest, hindered by the presence of walls or by other particles [1]. Many observations show that the hindered falling velocity is proportional to the free (terminal) falling velocity of the solid particles. For this reason, there has been a great interest in predicting the free falling velocity of solid particles in liquids. Previous experimental and theoretical approaches have been reviewed as in [2]. The type of movement of a single solid sphere falling in Newtonian and non-newtonian liquids is well known; after a short acceleration time, it will fall at its terminal falling velocity V. For an unbounded liquid, V can be calculated from the knowledge of the liquid and solid physical properties and from the drag coefficient, C, defined as, C so that 4 gd (1) 3 2 V 4 gd V 3 C 0.5 Numerous attempts have been made to establish theoretical relationships of the terminal falling velocity of solid spheres but the theoretical and semi-theoretical expressions are normally only valid for < 1. For higher, resort must be made to experimental and empirical relationships. 2. CORRELATIONS FOR THE TERMINAL VELOCITY IN NEWTONIAN FLUIS There are over 50 correlations published for predicting a solid s terminal falling velocity with most of the work covering the case of Newtonian fluids. The standard approach is through an empirical expression relating the drag coefficient C to the particle ynolds number. The estimation of the velocity V is then done via a trial and-error procedure. Experimental data and theoretical analysis shows that for very low, C A while for very large, C B where Α, Β are constants. Past attempts were aiming at deriving correlations covering the entire range, for example, 0,01 < < Literature review reveals that the most comprehensive equation set for predicting C from for Newtonian (2)

2 44 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No 1-2 0, Table 1: Correlation set for rag Coefficient [3]. Πίνακας 1: Συσχετίσεις για το Συντελεστή Οπισθέλκουσας Δύναμης [3]. Range log Equations C ,881 0,82w 0, C log 1 0,7133 0, w 24 2 log C 1,6435 1,1242w 0, w ,2*10 4 1,2*10 4,4*10 4 4,4*10 3,38* log10 C 2,4571 2,5558w 0,9295w 0, 1049w log10 C 1,9181 0,6370w 0, 0636w log10 C 4,3390 1,5809w 0, 1546w with w log w 2 3 fluids has been published in [3] and the equations covering the range 0,01 < < 3,38*10 5 are shown in Table 1. The correlation was established from a critical review of available experimental data, and consists of six polynomial equations with 18 fitted constants for this ynolds range. While the predictions were quite accurate, efforts continued for the development of simpler equations with less fitted constants. Such expressions would be welcome in situations when the prediction of the terminal velocity is required several times (e.g. for when resolving timedependent solid liquid flows). Simpler correlations have been proposed [4, 5], in the form C 24 B C 1 A* E 1 / Using 408 available data points (and with E 1) the final form of the equation in [5] is ,6459 C 1 0,186 (3) 2,6*10 0, ,95/ Even simpler expressions have been used [6, 7, 8]. In [6] reference is made to empirical expressions for predicting the drag coefficient, C, of varying degrees of complexity and accuracy and with a reasonable compromise, the equation proposed, attributed to allavalle, is given by 2 4,8 C 0,63 (4) In [7] a three part expression is proposed, C ; 3, C ; (5) 1/ , C 0,44; 500 while in [8] a two part expression is used, 0,6 C 18,5 ; 0,1 500; (6) C 5 0,44; *10 3. CORRELATIONS FOR THE TERMINAL VELOCITY IN NON-NEWTONIAN FLUIS In contrast to the vast work on Newtonian fluids there is less work related to the terminal velocity of solid spheres falling through non-newtonian fluids. Processes of interest include drilling applications, hydraulic conveying of non-newtonian slurries, mineral processing, waste water processing. A major hurdle with non-newtonian fluids is defining the proper rheology of the fluid for the appropriate shear rate. Most of the work has covered shear thinning fluids described by the power law equation for the shear rate shear stress relationship although there is also work covering Bingham plastics [9, 10, 11]. The most common approach taken by previous investigators is through the use of standard Newtonian relationships (C - ) but using a modified (non Newtonian or generalized) ynolds number, which for power law fluids is defined as 2n n V d gn (7) K This definition stems from the standard definition of the ynolds number, but using an apparent viscosity, μ α, i.e. Vd gn (8) a For a power law fluid, the apparent viscosity is

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No K a n K n1 The appropriate average shear rate for the case of motion of solid spheres in liquids over the entire particle surface is assumed as [12] V (10) d Combination of (9) and (10) gives n1 V a K (11) d Finally, substitution of (11) in (8) gives equation (7) for the generalized ynolds number. In experiments reported in [12] five different CMC solutions and one guar-gum solution was used, covering the range of flow behavior index n = [0,55 0,84] and flow consistency index of K =[0,03 4,22 P a *s n ]. The terminal falling velocities of spheres were measured in different cylindrical columns. The solids were glass beads (1.2 to 25 mm in diameter) and steel balls (0,8 to 20 mm in diameter), thus covering a range of gn = [0,1 200]. The data correlated very well with the Newtonian curve defined by, 0, 1 0,15 ; 0, C (12) with = gn. The agreement between experiment and the Newtonian curve was extremely good for gn > 0,1. At lower ynolds, the drag coefficient for the non-newtonian fluids was lower than for the Newtonian fluids. Measurements of terminal velocities of glass beads and steel balls falling through suspensions of kaolinite and titanium dioxide in water solutions of glycerol have been reported [13]. Testing various correlations proposed either for Newtonian or for non-newtonian fluids it was found that the Newtonian curve, with = gn, proposed elsewhere [14], 0,31 0,06 C 2,25 0,36 (13) ,45 yielded quite accurate results for the non-newtonian fluids tested. The relative error on the velocity prediction was around 9.3%. ported measurements of terminal velocity of single particles in non-newtonian fluids [15] were compared with correlation proposed for Newtonian fluids [16] given as, C 0,4 10 (14) assuming that the same equation can be extended to non-newtonian fluids with = gn, as in the previous study. asonable agreement was found suggesting that (9) the assumption made was acceptable for most engineering purposes. Measurements of terminal falling velocities in a still liquid were also reported [17] and compared with the predicted drag coefficient using various expressions available in the literature for pseudoplastic fluids. The agreement between the experimental and theoretical values was fair for < 0,2, and acceptable in the intermediate regime. From the above discussion it is apparent that the majority of the investigators conclude that the use of Newtonian correlations for non-newtonian fluids is justified, with an engineering accuracy, provided that the apparent viscosity is used. However, there is still a question as to which is the most proper correlation proposed for Newtonian fluids, as there are so many in the literature. In what follows a comparison will be made of the various available correlations aiming at finding the most suitable for use. The experimental data from this work will be then presented and compared both to experimental data from other investigators and to the predictions from the best available correlation. 4. ISCUSSION ON THE USE OF VARIOUS CORRELATIONS In order to choose the best available correlation, it is very beneficial to compare the various correlations and determine whether there is any large difference among them. Such a comparison is performed here below. The procedure was as follows: for a given set of values of input variables, ρ, ρ s, d, μ, μ α, the variables V,, C are determined from each of the proposed correlations by trial and error, and are then compared to the derived results using four methods. Firstly, a graphical method is used, by plotting C values taken from the various correlations, a commonly followed practice, which however, may be questionable since it is a log log plot and small differences on the graph may indeed be large differences in the falling velocities. To avoid this uncertainty the RMS value is also used, given as the differences of the drag coefficient predicted in [3] and the drag coefficient of the other correlations, since the correlation in [3] is recognized as the most accurate correlation. This RMS value is, as in [4], QCd RMS _ C ; (15) N Q C C C 2 log 10 C log 10 where C C is the drag coefficient predicted from [3] and C i is the drag coefficient predicted from the other stated correlations. The ultimate comparison test, however, is made when the variable of interest is compared, that is, the terminal falling i

4 46 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No 1-2 velocity. For this, two indicators are used, the RMS error in velocity and the relative difference in velocity. The RMS error in velocity is defined as QV RMS _ V ; Q 2 V VC Vi (16) N with V C the velocity predicted from [3] and V i the velocity predicted from the other stated correlations. Lastly, the relative difference in velocity is defined as in [13], 1 _ / * N V VC Vi V (17) C N The results, covering the range 0,1 < < 1,4*10 5 and using 126 computed data points are presented below Clift Heider Felice Cherem oron Lali Machac Miura 10 C 1 0,1 0, , gn Figure 1: Log Log graph of C - from various correlations; Clift [3], Heider [5], Felice [6], Cherem [7], oron [8], Lali [12], Machac [13], Miura [15]. Σχήμα 1: Λογαριθμικό γράφημα C - για τις διάφορες συσχετίσεις. In Figure 1 the correlations in terms of the - C relationship are compared in a log - log graph. It is evident that the match is good for almost all correlations. Only the one used in [8] deviates from the others for < 2. Of course this seemingly good match should be expected given the large range covered and plotted. In Figure 2 a comparison is made between the velocities of the various correlations and the velocity predicted in [3]. A relative good match is seen between the velocities predicted from the stated simpler correlations and the velocity predicted by the more complex equation set [3], particularly for terminal velocity values less than 1 m/s. In Table 2 the different indicators, RMS_C, RMS_V and δ_v are compared, computed as stated above. Table 2: Comparison of various error parameters among different correlations. Πίνακας 2: Σύγκριση διαφόρων παραμέτρων λάθους για τις διαφορετικές συσχετίσεις. f. 5 f. 6 f. 7 f. 8 f. 12 f. 13 f. 15 RMS_C (-) 0,0145 0,0840 0,0408 0,1673 0,0262 0,0319 0,0505 RMS_V (m/s) 0,0154 0,1090 0,0506 0,0590 0,0484 0,0482 0,0806 _V (%) 1,30 8,45 3,38 12,80 2,48 3,06 5,23

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No All three indicators show different behavior for the various correlations. Except for the correlation used by [8], which shows larger deviations, the other correlations compare favorably with the most accurate but cumbersome correlation [3]. It is also apparent that the most accurate is the one proposed in [5] giving an RMS value for the difference in logarithms of drag coefficient between their proposal and that of [3] of only 0,0145, an RMS value for the difference in velocity of 0,0154 and a relative velocity error of only 1,3% for the 126 data points covering almost the entire range of interest. The equation proposed in [12] appears to be a good second choice. Furthermore, this analysis indicates that the RMS_C indicator is as good an indicator as the RMS_V and particularly the relative error in velocity δ_v. 3,0 2,5 Velocity (m/s) 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Velocity, Clift (m/s) 'Heider' 'Felice' 'Cherem' 'oron' 'Lali' 'Machac' 'Miura' Figure 2: Comparison of terminal velocities predicted from stated correlations versus velocity predicted by [3] Heider [5], Felice [6], Cherem [7], oron [8], Lali [12], Machac [13], Miura [15]. Σχήμα 2: Σύγκριση προβλέψεων οριακών ταχυτήτων από τις αναφερόμενες συσχετίσεις με ταχύτητες πρόβλεψης από [3]. The above comparison showed that the correlation proposed in [5] performed better, but the correlation used in [12] also performed acceptably. Furthermore, the correlation in [12] has also been tested in non-newtonian fluids. Hence, both of these correlations will be used to determine whether they can also describe Newtonian and non Newtonian data collected from this work. 5. EXPERIMENTAL ETERMINATION OF SOLI VELOCITIES FALLING IN NEWTONIAN & NON NEWTONIAN LIQUIS ata has been collected for the falling velocities of single spheres in liquids using glass beads of different diameters. Through careful examination for the sphericity of the beads using a micrometer, five beads were chosen with corresponding diameters d 1, d 2, d 3, d 4, d 5. The density was determined by first measuring the mass of each bead on an electronic scale, giving masses m 1, m 2, m 3, m 4, m 5 and dividing by the volume of each sphere. The data are shown in Table 3. The liquids used were water and CMC solutions in water of 0,5%, 0,7%, 0,9% and 1,1% w/v concentrations. The solutions were prepared in batches of about 9 l by adding the necessary amounts of CMC in tap water, stirring continuously and letting the mixture age for 24 hrs. The solution was agitated prior to each set of measurements and a small sample was taken just before the experiments to determine the rheological properties using a coaxial rotating viscometer (Grace M3500a) having a continuously varying rotational speed of 0, RPM. The liquid density is the water density at the experiment temperature. All measurements were done at room temperature of 21 0 C. Rheometric data for the non-newtonian liquids were fitted to the power law to determine the power law parameters shown

6 48 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No 1-2 in Table 3. The 0,5% CMC solution exhibited Newtonian behavior while the other solutions exhibited power law behavior. The terminal velocity data was obtained in a cylindrical column of length of 1 m and a diameter of 0,1 m filled with the appropriate liquid. The particles were carefully dropped in the center of the column. The time of travel, t i, was determined with an electronic stop watch (accuracy 0,01 s) when the sphere passed between two fixed points, 0,10 m below the top of the column and 0,20 m above the bottom of Table 3: Experimental results of terminal falling velocities. Πίνακας 3: Πειραματικά δεδομένα οριακών ταχυτήτων καθίζησης. the column, so as to avoid acceleration and end effects. Thus, the total effective travel length was L = 0,60 m. Each sphere was dropped 5 to 10 times and the velocities were calculated from V i = L / t i. From the measurements, an average velocity and a standard deviation are computed for each combination sphere solution. Using the average velocities so determined and the solid liquid properties, the parameters of interest, C,, gn are estimated. The results are summarized in Table 3. Solid Liquid Measurements Calculations s d Soln. K n V s.dev C or gn 3 ( g / cm ) (cm) n ( Pa * s ) () ( cm / s) ( cm / s) () () 2,609 0,303 Water 0,001 1,0 34,72 0,64 0,69 190,1 2,572 0,345 36,89 0,92 0,61 566,7 2,727 0,205 27,71 0,58 0,51 671,9 2,449 0,230 29,29 1,01 0, ,6 2,260 0,115 16,56 0,11 0, ,5 2,609 0,303 0,5 % 0, ,34 0,37 1,17 120,2, 0 2,572 0,345 26,33 0,53 1,03 154,4 2,727 0,205 15,85 0,14 1,85 55,2 2,449 0,230 17,29 0,20 1,46 67,6 2,260 0,115 7,99 0,07 3,57 15,6 2,609 0,303 0,7 % 0,0165 0, ,50 0,14 1,68 50,9 2,572 0,345 21,96 0,32 1,47 64,2 2,727 0,205 12,75 0,12 2,85 22,1 2,449 0,230 14,03 0,18 2,21 27,3 2,260 0,115 5,98 0,06 6,94 7,3 2,609 0,303 0,9 % 0,0353 0, ,92 0,11 2,52 22,7 2,572 0,345 18,25 0,07 2,13 29,6 2,727 0,205 10,08 0,10 4,56 9,6 2,449 0,230 11,19 0,05 3,48 12,0 2,260 0,115 4,40 0,02 12,77 2,9 2,609 0,303 1,1 % 0,2648 0,7529 6,64 0,09 14,46 1,6 2,572 0,345 8,02 0,08 11,03 2,3 2,727 0,205 3,61 0,01 35,53 0,6 2,449 0,230 4,09 0,02 26,06 0,7 2,260 0,115 1,19 0,01 174,57 0,1 ata were not corrected for wall effect as explained in the Appendix. 6. ATA AN PREICTION COMPARISON The Newtonian as well as the non-newtonian data is plotted in Figure 3. ata from other investigators are also plotted, both non-newtonian data [15, 17] and Newtonian data [6, 18]. The predictions of C of the two similar correlations, equations (3) and (12), from the measured or gn are also shown in Figure 3. The lines corresponding to the two predictions coincide; hence no real difference is expected from the two correlations. Both Newtonian and non-newtonian fall around the two curves, with the non-newtonian data falling slightly below the curves and the Newtonian data falling slightly above. This is true both for data from this work (a set of 25 pairs) and for data from other investigators (a set of 48 pairs) for a total number of 73 pairs.

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No TUC-water TUC-0,5% TUC-0,7% TUC-0,9% TUC-1,1% Miura Pinelli Felice Hartman eqn.3 eqn.12 C 1 Hence, both correlations can predict with good accuracy the drag coefficient and predictions compare well with data from this work as well as data from other investigators, both for Newtonian and non- Newtonian fluids. 7. CONCLUSIONS 0,1 0, The foregoing analysis has indicated that the terminal falling velocity of solid spheres through stagnant non- Newtonian shear thinning fluids can be predicted with engineering accuracy from various proposed correlations for Newtonian fluids. This can be achieved provided the apparent viscosity of the fluid is used, evaluated at a shear rate given as the ratio of the falling velocity to the sphere diameter., gn Figure 3: Comparison of predictions with experimental data; Miura [15], Felice [6], Hartman [18], Pinelli [17] TUC = data from this work. Σχήμα 3: Σύγκριση προβλέψεων με πειραματικά δεδομένα. In addition, the RMS_C value, computed and shown in Table 4 for all experimental data, indicates that the errors from both equations are around It is also evident that the RMS_C indicator is as good a deviation indicator as the RMS in velocity and the deviation in velocity. Table 4: RMS error on drag coefficient between experimental data and predictions. Πίνακας 4: Λάθος RMS στο συντελεστή οπισθέλκουσας δύναμης μεταξύ πειραματικών δεδομένων και προβλέψεων. Equation (3) Equation (12) RMS_C (-) 0,094 0,092 From the many simpler correlations (with respect to the cumbersome correlation set [3]) that have been proposed to date for predicting the terminal falling velocity of solid spheres through stagnant Newtonian fluids, the equations proposed in [5], equation (3), and in [12], equation (12), give the best approximation. This conclusion is evident since all three indicators used, the RMS error on C, the RMS error on velocity and the percent deviation in velocity, are minimum. In addition it was shown that all three indicators are very similar. Experimental data have been gathered, both for Newtonian and shear thinning non-newtonian fluids, regarding the terminal falling velocity of solid spheres (glass beads). For the non-newtonian data, the generalized ynolds number covered a range of 0,1 to 64, while for Newtonian data the ynolds number range was from 0,1 to

8 50 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No The experimental data were compared to experimental data for both Newtonian and non-newtonian fluids from other investigators, with ynolds number ranges of 0,1 to 928 and 0,4 to 770 respectively. The comparison yielded very similar C behavior and all data fall along the same Newtonian curve, thus justifying the use of Newtonian curves. Equations (3) and (12) gave overall RMS errors, on the predicted versus measured drag coefficient, of ~0,09. Hence either equation can be used with good engineering accuracy, for the ranges of ynolds numbers listed above, for the prediction of terminal velocity of solid spheres falling through Newtonian and non-newtonian shear thinning fluids. ACKNOWLEGEMENTS The author would like to thank Mr. Mpandeli for collecting the experimental data. Special thanks to Professor Kawase and Professor Magelli for the kind provision of their experimental data in the proper form for the analysis given in this paper. NOMENCLATURE C drag coefficient (-) C C drag coefficient from correlations [3] (-) C i drag coefficient from stated correlations (-) d particle diameter (L) diameter of test column (L) f wall velocity correction factor (-) f 0 f wall velocity correction factor for low wall velocity correction factor for high g acceleration of gravity (L/T 2 ) K consistency index of fluid (M/LT n ) L length of measurement column (L) m mass of each sphere (M) n flow behavior index (-) N number of measurements (-) ynolds number based on particle diameter, Vd gn generalized ynolds number, 2n n V d K (-) (-) (-) (-) t i time travel of sphere (T) V solid terminal velocity (L/T) V C V i solid terminal velocity predicted by correlations from [3] solid terminal velocity predicted by stated correlations (L/T) (L/T) V m solid terminal velocity in columns (L/T) Greek letters Δρ density difference, (ρ s ρ) / ρ (-) ρ s solid density (M/L 3 ) ρ liquid density (M/L 3 ) τ shear stress (M/LT 2 ) shear rate (T -1 ) μ liquid viscosity (M/LT) μ a apparent liquid viscosity (M/LT) REFERENCES 1. Kelessidis, V. C. and Mpandelis, G., 2003, Flow Patterns and Minimum Suspension Velocity for Efficient Cuttings Transport in Horizontal and eviated Wells in Coild-Tubing rilling, SPE paper presented at the 2003 SPE/ICoTA Coiled Tubing Conference, Ηοuston, TX, 8 9 April. 2. Chhabra, R. P., 1993, Bubbles, rops and Particles in non- Newtonian Fluids, CRC Press, Boca Raton, Fl. 3. Clift, R., Grace, J. R. and Weber, M. E., 1978, Bubbles, rop and Particles, Academic Press, New York. 4. Turton, R. and Levenspiel, O., 1986, A Short Note on the rag Correlation for Spheres, Powder Techn., 47, Heider A. and Levespiel, O., 1989, rag Coefficient and Terminal Velocity of Spherical and Nonspherical Particles, Powder Techn., 58, Felice, R., 1999, The Sedimentation Velocity of ilute Suspensions of Nearly Monosized Spheres, Int. J. Mult. Flow, 25, Cheremisinoff, N., P. & Gupta, R., 1983, Handbook of Fluids in Motion, Ann Arbor Science, Michigan. 8. oron, P., Garnica,. and Barnea,., 1987, Slurry Flow in Horizontal Pipes: Experimental and Modeling, Int. J. Mult. Flow, Vol. 13 (4), Valentik, L. and Whitmore, R. L., 1965, The Terminal Velocity of Spheres in Bingham Plastics, Brit. J. Appl. Phys., 16, Saha, G., Purohit, N. K., and Mitra, A. K., 1992, Spherical particle terminal falling velocity and drag in Bingham liquids, Intern. J. of Min. Proc., 36 (3-4), Briscoe, B. J., Glaese, M., Luckham, P. F. and n, S., 1992, The Falling of Spheres through Bingham Fluids, Colloids and Surfaces, 64 (1), Lali, A. M., Khare, A. S., Joshi, J.. B. and Migam, K.. P., 1989, Behavior of Solid Particles in Viscous non-newtonian Solutions: Falling Velocity, Wall Effects and Bed Expansion in Solid - Liquid Fluidized Beds, Powder Technol., 57, Machac, I., Ulbrichova, I., Elson, T. P., and Cheesman,. J., 1995, Fall of Spherical Particles through Non Newtonian Suspensions, Chem. Engr. Science, 50 (20),

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No Kahn, A. R. and Richardson, J. F., 1987, The sistance to Motion of a Solid Sphere in a Fluid, Chem. Engr. Comm., 62, Miura, H., Takahashi, T., Ichikawa, J., and Kawase, Y., 2001, Bed Expansion in Liquid Solid Two-Phase Fluidized Beds with Newtonian and Non-Newtonian Fluids over the Wide Range of ynolds Numbers, Powder Techn., 117, Molerus, O., 1993, Principles of Flow in isperse Systems, Chapman & Hall, Berlin. 17. Pinelli,. and Magelli, F., 2001, Solids Falling Velocity and istribution in Slurry actors with ilute Pseudoplastic Suspensions, Ind. Eng. Chem. s., 40, Hartman, M., Havlin, V., Trnka, O. and Carsky, M., 1989, Predicting the Free-Fall Velocities of Spheres, Chem. Engr. Sci., 44 (8), Felice, R., Gibilaro, L. G. and Foscolo, P. U., 1995, On the Hindered Falling Velocity of Spheres in the Inertial Flow gime, Chem. Engr. Sci., 50 (18), Fidleris, V., and Whitmore, R., L., 1961, Experimental etermination of the Wall Effect for Spheres Falling Axially in Cylindrical Vessels, British J. of Applied Physics, 12, Chhabra, R. P. and Richardson, J. F., 1999, Non-Newtonian Flow in the Process Industries, Butterwoth-Heinemann, Oxford. APPENIX WALL EFFECT The retarding effect of bounding walls is assessed with great difficulty, particularly for non-newtonian liquids. From an extensive study of wall effect for non-newtonian fluids [12], a comprehensive equation was proposed, but with an average error of ~13%. The correction factor is a function of d / and of the non-newtonian parameters. In the case of this investigation, d / 0,03. Using the Newtonian correlation [19], for 500 < < 2*10 5, the error introduced in the measurements of this study is ~ 0,1%. In addition, using the correction from [19] for d / < 0,1 and > 100, the wall correction factor, f, defined in (A-1) is ~1. For the laminar region ( < 100), the equation proposed in [19] is, Vm f V 1 d / 1 0,475( d / ) 4 A-1 Using this correction a wall correction factor of f = 0,88 is predicted. An equation proposed for pseudoplastic fluids [20] covering the entire range is given by, / f 1 / f 1 / f 1 / f 2 1 / 3 1 1,3 * 1 gn 0 A-2 where f 0 = 1 1,6 (d /) is the wall correction factor in the low ynolds regime, and f = 1 3 (d / ) 3,5 is the wall correction factor in the high ynolds regime. The correction factor for the case of this investigation is computed for various ynolds numbers and the results are shown in the Figure A-1. correction factor (-) 1,00 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,94 0,93 0,92 0,91 0,90 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 sphere diameter (mm) =0,1 =1,0 =10 =100 =300 Figure A-1: Terminal velocity wall correction factor. Σχήμα Α-1: Συντελεστής διόρθωσης τοιχωμάτων για οριακή ταχύτητα. The maximum correction is of the order of 5,5%. In view of the above stated uncertainties and since the critical parameter, d /, is very small in this case, no correction for wall effect is made, since it is very small and it would be more accurate not to correct for wall effect than to apply a more uncertain correction factor. Vassilios C. Kelessidis Assistant Professor, Technical University of Crete, Mineral sources Engineering epartment.

10 52 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No 1-2 Εκτεταμένη περίληψη7 Οριακή Ταχύτητα Στερεών Σφαιρών που Καθιζάνουν σε Νευτώνεια και μη Νευτώνεια Υγρά ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Χ. ΚΕΛΕΣΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής Πολυτεχνείου Κρήτης Περίληψη Η πρόβλεψη της οριακής ταχύτητας καθίζησης στερεών σφαιρών σε Νευτώνεια και μη Νευτώνεια υγρά απαιτείται σε πολλές βιομηχανικές εφαρμογές. Πολλές εξισώσεις πρόβλεψης έχουν προταθεί στο παρελθόν, αλλά δεν υπάρχει έως σήμερα μία εξίσωση που να προβλέπει με ακρίβεια την ταχύτητα καθίζησης και να καλύπτει όλο το εύρος των αριθμών ynolds. Επιπρόσθετα, δεν υπάρχουν πολλά διαθέσιμα και απαιτούμενα πειραματικά δεδομένα που θα υποβοηθούσαν στην ανάπτυξη της κατάλληλης συσχέτισης. Πολλοί ερευνητές προτείνουν τη χρήση εξισώσεων που ισχύουν για Νευτώνεια ρευστά. Είναι, όμως, γεγονός ότι υπάρχουν πολλές τέτοιες συσχετίσεις και δεν είναι γνωστό ποια από τις συσχετίσεις είναι η βέλτιστη, όπως, επίσης, και δεν έχουν αναφερθεί στοιχεία για τις διαφορές μεταξύ των συσχετίσεων αυτών. Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι να προτείνει μία εξίσωση για την πρόβλεψη της ταχύτητας καθίζησης στερεών σφαιρών σε μη Νευτώνεια ψευδοπλαστικά στατικά ρευστά. Η εξίσωση αυτή επιλέγεται από τις ήδη προταθείσες συσχετίσεις ως η βέλτιστη, με τη χρήση τριών κριτηρίων. Ακολούθως, συγκρίνονται οι προβλέψεις με πειραματικά δεδομένα ταχυτήτων καθίζησης στερεών σφαιρών σε Νευτώνεια και μη Νευτώνεια υγρά. Η προτεινόμενη εξίσωση προβλέπει το συντελεστή οπισθέλκουσας δύναμης με καλή ακρίβεια, όταν συγκρίνεται με τα πειραματικά δεδομένα της εργασίας αυτής αλλά και με δημοσιευθέντα πειραματικά δεδομένων άλλων ερευνητών. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γνώση της ταχύτητας καθίζησης στερεών, που καθιζάνουν σε υγρά, απαιτείται σε πολλές βιομηχανικές εφαρμογές, όπως για παράδειγμα, στην υδραυλική μεταφορά γαιανθράκων ή ορυκτών, σε παχυντές, κατά την επεξεργασία ορυκτών, στην ανάμιξη στερεών υγρών, σε μηχανήματα ρεύστωσης, σε γεωτρήσεις πετρελαίου, φυσικού αερίου και γεωτρήσεις γεωθερμίας. Στις περισσότερες των ανωτέρω περιπτώσεων, αυτό που ενδιαφέρει πραγματικά είναι η «αναχαιτιζόμενη» ταχύτητα καθίζησης, αναχαιτιζόμενη λόγω τοιχωμάτων αγωγού ή λόγω άλλων σωματιδίων [1]. Παρατηρήσεις μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η αναχαιτιζόμενη ταχύτητα είναι ανάλογη της «ελεύθερης» (οριακής) ταχύtητας καθίζησης. Ανασκόπηση των διάφορων συσχετίσεων, που έχουν προταθεί, έχει αναφερθεί στην [2]. Η ταχύτητα καθίζησης προκύπτει από τον ορισμό του συντελεστή οπισθέλκουσας δύναμης (εξίσωση 1) και τελικά προκύπτει η εξίσωση (2). Έχουν γίνει πολλές προσπάθειες στο παρελθόν για τη θεωρητική πρόβλεψη της ταχύτητας καθίζησης, αλλά οι προσεγγίσεις είναι συνήθως ικανοποιητικές για < 1. Για μεγαλύτερους αριθμούς, γίνεται συνήθως προσφυγή σε πειραματικές και εμπειρικές συσχετίσεις. 2. ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΡΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΕ ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΡΕΥΣΤΑ Υπάρχουν πλέον των 50 συσχετίσεων, που έχουν αναφερθεί στο παρελθόν, που συσχετίζουν τον C με τον βασισμένο στη διάμετρο του στερεού σωματιδίου. Πειραματικές μετρήσεις και θεωρητικές προσεγγίσεις δίδουν τον C αντιστρόφως ανάλογο του για χαμηλούς αριθμούς και ίσο με μία σταθερά για μεγάλους αριθμούς. Η ανάπτυξη συσχετίσεων εστιάζεται στην κάλυψη εύρους αριθμού, 0,01 < < Οι πλέον ολοκληρωμένες συσχετίσεις έχουν αναφερθεί στην [3] που καλύπτουν ένα εύρος 0,01 < < 3,35*10 5 και δίδονται στον Πίνακα 1. Για το εύρος των αριθμών υπάρχουν έξι πολυωνυμικές εξισώσεις με 18 υπολογισθείσες σταθερές. Έχει αναγνωρισθεί ότι οι εκτιμήσεις βάσει των συσχετίσεων αυτών είναι αρκετά ακριβείς, αλλά υπάρχει συνεχής αναζήτηση για την ανάπτυξη περισσότερο απλών εξισώσεων με λιγότερες σταθερές. Τέτοιες εξισώσεις θα ήταν ιδιαίτερα ελκυστικές σε περιπτώσεις όπου απαιτείται συνεχής υπολογισμός των ταχυτήτων καθίζησης, για παράδειγμα κατά την επίλυση προβλημάτων ροής στερεών υγρών μη μόνιμης κατάστασης. Μία τέτοια συσχέτιση αναφέρεται ως εξίσωση (3), από την [5], ενώ ακόμη πιο απλούστερες εξισώσεις είναι οι εξισώσεις (4), (5) και (6) από [6], [7] και [8] αντίστοιχα.

11 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΡΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΕ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΡΕΥΣΤΑ Σε αντίθεση με την εκτεταμένη έρευνα για τις ταχύτητες καθίζησης σε Νευτώνεια ρευστά, υπάρχει λιγότερη έρευνα για μη Νευτώνεια ρευστά. Διεργασίες όπου απαιτείται η γνώση αυτή είναι οι γεωτρήσεις, η υδραυλική μεταφορά μη Νευτώνειων ιλύων, η επεξεργασία ορυκτών, η επεξεργασία αποβλήτων. Το μεγαλύτερο πρόβλημα για την εκτίμηση της ταχύτητας καθίζησης είναι ο ορισμός της κατάλληλης ρεολογίας του υγρού για τον κατάλληλο ρυθμό διάτμησης. Οι περισσότερες εργασίες καλύπτουν υγρά που η ρεολογία περιγράφεται με την εξίσωση εκθετικού νόμου, αλλά υπάρχουν εργασίες που καλύπτουν υγρά πλαστικά Bingham [9, 10, 11]. Η πλέον συνήθης πρακτική είναι η χρήση των εξισώσεων που έχουν προταθεί για Νευτώνεια ρευστά, αλλά χρησιμοποιώντας το γενικευμένο αριθμό ynolds, εξίσωση (7). Ο ορισμός προκύπτει από τον ορισμό του συνήθους αριθμού με τη χρήση του φαινομένου ιξώδους, εξίσωση (9), και από τον ορισμό του ρυθμού διάτμησης, εξίσωση (10). Σε πειράματα μη Νευτώνειων ρευστών που έχουν αναφερθεί [12, 13, 15], η χρήση εξισώσεων Νευτώνειων ρευστών, εξισώσεις (12), (13) και (14) αντίστοιχα, έδωσαν ικανοποιητικά αποτελέσματα. Επιπρόσθετες μετρήσεις [17] και σύγκριση με πολλές προταθείσες εξισώσεις για ψευδοπλαστικά ρευστά έδωσε, επίσης, ικανοποιητικά αποτελέσματα. Είναι συνεπώς φανερό ότι η πλειοψηφία των ερευνητών προτείνουν τη χρήση εξισώσεων προταθέντων για Νευτώνεια ρευστά, αλλά με τη χρησιμοποίηση του φαινόμενου ιξώδους. Αλλά υπάρχει ο προβληματισμός όσον αφορά στη συγκεκριμένη εξίσωση για Νευτώνεια που θα έπρεπε να χρησιμοποιηθεί. Στα αναφερόμενα κατωτέρω γίνεται μία σύγκριση των διαθέσιμων συσχετίσεων και προτείνεται η πλέον κατάλληλη συσχέτιση. Ακολούθως, παρουσιάζονται τα πειραματικά δεδομένα αυτής της εργασίας και συγκρίνονται και με πειραματικά δεδομένα από άλλους ερευνητές αλλά και με τις προβλέψεις της προτεινόμενης εξίσωσης. 4. ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΧΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ Για την επιλογή της πλέον κατάλληλης συσχέτισης είναι πολύ χρήσιμο να συγκριθούν οι προβλέψεις των συσχετίσεων μεταξύ τους και να προσδιορισθεί εάν υπάρχουν μεγάλες διαφορές. Τούτο επιτυγχάνεται με την ακόλουθη διαδικασία: επιλέγονται τιμές για τις ανεξάρτητες μεταβλητές, p, p s, d, μ, μ α και προσδιορίζονται οι εξαρτημένες μεταβλητές, V,, C και κατόπιν συγκρίνονται τα αποτελέσματα με διάφορους τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι γραφική με την αποτύπωση των τιμών C - σε γράφημα. Η δεύτερη μέθοδος χρησιμοποιεί την τιμή RMS της διαφοράς του συντελεστή οπισθέλκουσας δύναμης που προκύπτει από τις συσχετίσεις [3] και από μία των υπό εξέταση συσχετίσεων, επειδή οι συσχετίσεις [3] θεωρούνται οι πλέον ακριβείς. Το λάθος RMS δίδεται από την εξίσωση (15). Επίσης, χρησιμοποιούνται το RMS λάθος στην ταχύτητα, που ορίζεται στην εξίσωση (16) και η σχετική διαφορά στην ταχύτητα που ορίζεται στην εξίσωση (17). Τα αποτελέσματα που προέκυψαν με τη χρήση 126 υπολογισθέντων σημείων και που καλύπτουν το εύρος 0,1 < < 1,4*10 5 παρουσιάζονται κατωτέρω. Στο Σχήμα 1 παρουσιάζεται το γράφημα C -. Υπάρχει καλή επικάλυψη μεταξύ των διάφορων συσχετίσεων. Μοναδική διαφορά αποτελεί η συσχέτιση [8] που αποκλίνει από τις υπόλοιπες για < 2. Στο Σχήμα 2 συγκρίνονται οι υπολογισθείσες ταχύτητες καθίζησης από τις διάφορες συσχετίσεις με την ταχύτητα που προκύπτει από την [3] και παρατηρείται καλή συμπεριφορά, ιδιαίτερα για ταχύτητες καθίζησης μικρότερες του 1 m/s. Στον Πίνακα 2 συγκρίνονται τα RMS_C, RMS_V and δ_v, που υπολογίσθηκαν, όπως αναφέρθηκε. Εκτός από την εξίσωση στην [8] οι υπόλοιπες δίδουν σχετικά μικρά λάθη, όταν συγκριθούν με τη συσχέτιση που αναφέρεται στην [3]. Η πλέον ακριβής είναι η εξίσωση (3) αλλά και η εξίσωση (12) δίδει αρκετά ακριβείς προβλέψεις και επιπρόσθετα έχει χρησιμοποιηθεί και σε μη Νευτώνεια ρευστά.. 5. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΣΕ ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΡΕΥΣΤΑ Χρησιμοποιήθηκαν υάλινες σφαίρες για τις μετρήσεις ταχυτήτων καθίζησης σε μη Νευτώνεια υγρά, διαλύματα CMC σε νερό και σε Νευτώνεια ρευστά. Επιλέχθηκαν κατάλληλα σφαιρικά σωματίδια, μετρήθηκαν οι διάμετροι με τη χρήση μικρομέτρου, μετρήθηκαν οι μάζες τους και προσδιορίσθηκε έτσι η πυκνότητα κάθε σφαίρας. Τα δεδομένα δίδονται στον Πίνακα 3. Τα διαλύματα CMC ήταν περιεκτικότητας κ.ο. 0,5%, 0,7%, 0,9% και 1,1%. Ετοιμάσθηκαν τα διαλύματα σε παρτίδες ~ 9 lt με την προσθήκη σε νερό κατάλληλης ποσότητας CMC και με συνεχή ανάδευση. Τα διαλύματα αφέθηκαν για 24 hrs για πλήρη ενυδάτωση. Υπήρχε ανάδευση του διαλύματος πριν τις μετρήσεις. Οι ρεολογικές ιδιότητες μετρήθηκαν με τη χρήση ομοαξονικού περιστροφικού ιξωδομέτρου (Grace M3500a) που έχει συνεχώς μεταβαλλόμενο ρυθμό διάτμησης από 0,01 έως 600 RPM. Η πυκνότητα του υγρού είναι η πυκνότητα του νερού και η θερμοκρασία των πειραμάτων ήταν 21 0 C. Από τα ρεολογικά δεδομένα προσδιορίσθηκαν οι παράμετροι εκθετικού νόμου και παρουσιάζονται στον Πίνακα 3. Το διάλυμα 0,5% CMC έδωσε Νευτώνεια συμπεριφορά, ενώ τα υπόλοιπα διαλύματα έδωσαν μη Νευτώνεια συμπεριφορά.

12 54 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ , Tech. Chron. Sci. J. TCG, V, No 1-2 Τα δεδομένα οριακής ταχύτητας καθίζησης συνελλέγησαν σε κυλινδρική δεξαμενή ύψους 1 m και διαμέτρου 0,1 m. Τα σωματίδια ρίπτονταν προσεκτικά στο κέντρο του κυλίνδρου και μετριόταν ο χρόνος καθίζησης μεταξύ δύο σημείων που απείχαν 60 cm μεταξύ τους. Κάθε σωματίδιο ερρίπτετο 5 10 φορές. Από τις μετρήσεις υπολογίζεται μέση ταχύτητα και τυπική απόκλιση. Με τη χρήση των μετρηθέντων ταχυτήτων και τις τιμές των ιδιοτήτων των στερεών και των υγρών υπολογίζονται οι εξαρτημένες παράμετροι, C,, gn, και τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον Πίνακα 3. Τα δεδομένα ταχυτήτων δεν έχουν διορθωθεί για την επίδραση των τοιχωμάτων, καθώς ο λόγος d / 0,03 και η διόρθωση ή είναι αμελητέα ή η ακρίβεια διόρθωσης είναι μικρότερη από τη διόρθωση. 6. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ Τα Νευτώνεια και μη Νευτώνεια δεδομένα παρουσιάζονται στο Σχήμα 3, όπου δίδονται δεδομένα από προηγούμενους ερευνητές για μη Νευτώνεια ρευστά [15, 17] και για Νευτώνεια ρευστά [6, 18]. Επίσης, δίδονται στο γράφημα και οι εξισώσεις (3) και (12). Οι καμπύλες των εξισώσεων (3) και (12) συμπίπτουν, άρα δεν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ τους. Τα δεδομένα για τα μη Νευτώνεια και για τα Νευτώνεια ρευστά είναι όλα γύρω από τις καμπύλες, με τα μη Νευτώνεια δεδομένα να είναι κατά τι μικρότερα από τις καμπύλες και τα Νευτώνεια δεδομένα κατά τι μεγαλύτερα. Τούτο είναι αληθές και για τα πειραματικά δεδομένα της εργασίας αυτής (25 ζεύγη δεδομένων) αλλά και για τα πειραματικά δεδομένα άλλων ερευνητών (48 ζεύγη δεδομένων). Ο υπολογισμός του λάθους RMS στο συντελεστή οπισθέλκουσας, RMS_C, που προκύπτει ως η διαφορά όλων των πειραματικών δεδομένων και των προβλέψεων από την εξίσωση (3) και την εξίσωση (12) παρουσιάζονται στον Πίνακα 4. Οι πολύ μικρές τιμές (~ 0,09) υποδηλώνουν ότι και οι δύο συσχετίσεις προβλέπουν με καλή ακρίβεια το συντελεστή οπισθέλκουσας και για Νευτώνεια αλλά και για μη Νευτώνεια ρευστά, και για τα δεδομένα της εργασίας αυτής αλλά και για δεδομένα άλλων ερευνητών. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η οριακή ταχύτητα καθίζησης στερεών σφαιρών σε στατικά μη Νευτώνεια ψευδοπλαστικά ρευστά μπορεί να προβλεφθεί με συσχετίσεις για Νευτώνεια ρευστά με τη χρήση του φαινομένου ιξώδους για τον υπολογισμό του αριθμού ynolds. Από τις διάφορες μη πολύπλοκες εξισώσεις που έχουν προταθεί για την πρόβλεψη του συντελεστή οπισθέλκουσας δύναμης, οι εξισώσεις (3) και (12) δίδουν παρόμοια αποτελέσματα και παραπλήσια προς τα αποτελέσματα από την πλέον περίπλοκη συσχέτιση [3]. Συλλέχθηκαν πειραματικά δεδομένα ταχύτητας καθίζησης υάλινων σφαιριδίων σε Νευτώνεια και μη Νευτώνεια ψευδοπλαστικά ρευστά. Τα δεδομένα συνεκρίθησαν με δεδομένα άλλων ερευνητών και με τις προβλέψεις των εξισώσεων (3) και (12) που έχουν προταθεί για Νευτώνεια ρευστά. Παρουσιάζουν παρόμοια συμπεριφορά και συγκρίνονται θετικά με τις προβλέψεις των εξισώσεων αυτών. Συνεπώς, είτε η μία είτε η άλλη εξίσωση μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πρόβλεψη οριακών ταχυτήτων καθίζησης στερεών σφαιριδίων σε μη Νευτώνεια ψευδοπλαστικά ρευστά. Βασίλειος Χ. Κελεσίδης Επίκουρος Καθηγητής, Πολυτεχνείο Κρήτης, Τμήμα Μηχανικών Ορυκτών Πόρων.

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:

HOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch: HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying

Διαβάστε περισσότερα

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude

Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests

Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :

Διαβάστε περισσότερα

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C An alcoholometer is a device that measures the concentration of ethanol in a water-ethanol mixture (often in units of %abv percent alcohol by volume). The depth to which an alcoholometer sinks in a water-ethanol

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Τομέας Περιβαλλοντικής Υδραυλικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής (III) Εργαστήριο Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE SCHOOL of

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0.

DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL h in h 4 0. DESIGN OF MACHINERY SOLUTION MANUAL -7-1! PROBLEM -7 Statement: Design a double-dwell cam to move a follower from to 25 6, dwell for 12, fall 25 and dwell for the remader The total cycle must take 4 sec

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

the total number of electrons passing through the lamp.

the total number of electrons passing through the lamp. 1. A 12 V 36 W lamp is lit to normal brightness using a 12 V car battery of negligible internal resistance. The lamp is switched on for one hour (3600 s). For the time of 1 hour, calculate (i) the energy

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

5.4 The Poisson Distribution.

5.4 The Poisson Distribution. The worst thing you can do about a situation is nothing. Sr. O Shea Jackson 5.4 The Poisson Distribution. Description of the Poisson Distribution Discrete probability distribution. The random variable

Διαβάστε περισσότερα

[1] P Q. Fig. 3.1

[1] P Q. Fig. 3.1 1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One

Διαβάστε περισσότερα

Statistical Inference I Locally most powerful tests

Statistical Inference I Locally most powerful tests Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

DuPont Suva 95 Refrigerant

DuPont Suva 95 Refrigerant Technical Information T-95 ENG DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 95 Refrigerant (R-508B) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates

derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used

Διαβάστε περισσότερα

The Simply Typed Lambda Calculus

The Simply Typed Lambda Calculus Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG Technical Information T-410A ENG DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 410A Refrigerant (R-410A) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered

Διαβάστε περισσότερα

DERIVATION OF MILES EQUATION FOR AN APPLIED FORCE Revision C

DERIVATION OF MILES EQUATION FOR AN APPLIED FORCE Revision C DERIVATION OF MILES EQUATION FOR AN APPLIED FORCE Revision C By Tom Irvine Email: tomirvine@aol.com August 6, 8 Introduction The obective is to derive a Miles equation which gives the overall response

Διαβάστε περισσότερα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα

1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα IPHO_42_2011_EXP1.DO Experimental ompetition: 14 July 2011 Problem 1 Page 1 of 5 1. Ηλεκτρικό μαύρο κουτί: Αισθητήρας μετατόπισης με βάση τη χωρητικότητα Για ένα πυκνωτή χωρητικότητας ο οποίος είναι μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Figure 3 Three observations (Vp, Vs and density isosurfaces) intersecting in the PLF space. Solutions exist at the two indicated points.

Figure 3 Three observations (Vp, Vs and density isosurfaces) intersecting in the PLF space. Solutions exist at the two indicated points. φ φ φ φ Figure 1 Resampling of a rock-physics model from velocity-porosity to lithology-porosity space. C i are model results for various clay contents. φ ρ ρ δ Figure 2 Bulk modulus constraint cube in

Διαβάστε περισσότερα

Appendix to On the stability of a compressible axisymmetric rotating flow in a pipe. By Z. Rusak & J. H. Lee

Appendix to On the stability of a compressible axisymmetric rotating flow in a pipe. By Z. Rusak & J. H. Lee Appendi to On the stability of a compressible aisymmetric rotating flow in a pipe By Z. Rusak & J. H. Lee Journal of Fluid Mechanics, vol. 5 4, pp. 5 4 This material has not been copy-edited or typeset

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ST5224: Advanced Statistical Theory II

ST5224: Advanced Statistical Theory II ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known

Διαβάστε περισσότερα

Technical Information T-9100 SI. Suva. refrigerants. Thermodynamic Properties of. Suva Refrigerant [R-410A (50/50)]

Technical Information T-9100 SI. Suva. refrigerants. Thermodynamic Properties of. Suva Refrigerant [R-410A (50/50)] d Suva refrigerants Technical Information T-9100SI Thermodynamic Properties of Suva 9100 Refrigerant [R-410A (50/50)] Thermodynamic Properties of Suva 9100 Refrigerant SI Units New tables of the thermodynamic

Διαβάστε περισσότερα

DuPont Suva 95 Refrigerant

DuPont Suva 95 Refrigerant Technical Information T-95 SI DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 95 Refrigerant (R-508B) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?

ANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =? Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least

Διαβάστε περισσότερα

ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ. Μειέηε Υξόλνπ Απνζηείξσζεο Κνλζέξβαο κε Τπνινγηζηηθή Ρεπζηνδπλακηθή. Αζαλαζηάδνπ Βαξβάξα

ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ. Μειέηε Υξόλνπ Απνζηείξσζεο Κνλζέξβαο κε Τπνινγηζηηθή Ρεπζηνδπλακηθή. Αζαλαζηάδνπ Βαξβάξα ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΟ ΔΚΠΑΙΓΔΤΣΙΚΟ ΙΓΡΤΜΑ ΘΔΑΛΟΝΙΚΗ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΡΟΦΙΜΩΝ & ΓΙΑΣΡΟΦΗ ΣΜΗΜΑ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΣΡΟΦΙΜΩΝ ΠΣΤΥΙΑΚΗ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε Υξόλνπ Απνζηείξσζεο Κνλζέξβαο κε Τπνινγηζηηθή Ρεπζηνδπλακηθή Αζαλαζηάδνπ Βαξβάξα

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

Instruction Execution Times

Instruction Execution Times 1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

Assalamu `alaikum wr. wb.

Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. Assalamu `alaikum wr. wb. LUMP SUM Wassalamu alaikum wr. wb. LUMP SUM Lump sum lump sum lump sum. lump sum fixed price lump sum lump

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΧΑΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & ΒΙΟΧΗΜΙΚΩΝ ΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013 Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Στατιστικά Κειμένου Text Statistics Γιάννης Τζίτζικας άλ ιάλεξη :

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016

Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)

Διαβάστε περισσότερα

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O

Mean bond enthalpy Standard enthalpy of formation Bond N H N N N N H O O O Q1. (a) Explain the meaning of the terms mean bond enthalpy and standard enthalpy of formation. Mean bond enthalpy... Standard enthalpy of formation... (5) (b) Some mean bond enthalpies are given below.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ιπλωµατική Εργασία του φοιτητή του τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr

9.09. # 1. Area inside the oval limaçon r = cos θ. To graph, start with θ = 0 so r = 6. Compute dr 9.9 #. Area inside the oval limaçon r = + cos. To graph, start with = so r =. Compute d = sin. Interesting points are where d vanishes, or at =,,, etc. For these values of we compute r:,,, and the values

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΩ ΙΩΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΤΑΤΙΚΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΩ ΙΩΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΠΜΣ οµοστατικός Σχεδιασµός και Ανάλυση Κατασκευών Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μεταπτυχιακή ιπλωµατική Εργασία ΣΤΑΤΙΚΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΩ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in

Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου

Μεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου Σχολή Γεωτεχνικών Επιστημών και Διαχείρισης Περιβάλλοντος Μεταπτυχιακή διατριβή Κτίρια σχεδόν μηδενικής ενεργειακής κατανάλωσης :Αξιολόγηση συστημάτων θέρμανσης -ψύξης και ΑΠΕ σε οικιστικά κτίρια στην

Διαβάστε περισσότερα

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities

PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot

Διαβάστε περισσότερα

Paper Reference. Paper Reference(s) 6665/01 Edexcel GCE Core Mathematics C3 Advanced. Thursday 11 June 2009 Morning Time: 1 hour 30 minutes

Paper Reference. Paper Reference(s) 6665/01 Edexcel GCE Core Mathematics C3 Advanced. Thursday 11 June 2009 Morning Time: 1 hour 30 minutes Centre No. Candidate No. Paper Reference(s) 6665/01 Edexcel GCE Core Mathematics C3 Advanced Thursday 11 June 2009 Morning Time: 1 hour 30 minutes Materials required for examination Mathematical Formulae

Διαβάστε περισσότερα

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 9 Solutions. θ + 1. θ 2 + cotθ ( ) sinθ e iφ is an eigenfunction of the ˆ L 2 operator. / θ 2. φ 2. sin 2 θ φ 2. ( ) = e iφ. = e iφ cosθ.

Problem Set 9 Solutions. θ + 1. θ 2 + cotθ ( ) sinθ e iφ is an eigenfunction of the ˆ L 2 operator. / θ 2. φ 2. sin 2 θ φ 2. ( ) = e iφ. = e iφ cosθ. Chemistry 362 Dr Jean M Standard Problem Set 9 Solutions The ˆ L 2 operator is defined as Verify that the angular wavefunction Y θ,φ) Also verify that the eigenvalue is given by 2! 2 & L ˆ 2! 2 2 θ 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Notes on the Open Economy

Notes on the Open Economy Notes on the Open Econom Ben J. Heijdra Universit of Groningen April 24 Introduction In this note we stud the two-countr model of Table.4 in more detail. restated here for convenience. The model is Table.4.

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Dr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACEG

Dr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACEG Lecture 4 Material behavior: Constitutive equations Field of the game Print version Lecture on Theory of lasticity and Plasticity of Dr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACG 4.1 Contents

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Aluminum Electrolytic Capacitors (Large Can Type)

Aluminum Electrolytic Capacitors (Large Can Type) Aluminum Electrolytic Capacitors (Large Can Type) Snap-In, 85 C TS-U ECE-S (U) Series: TS-U Features General purpose Wide CV value range (33 ~ 47,000 µf/16 4V) Various case sizes Top vent construction

Διαβάστε περισσότερα

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β

3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β 3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΙΑ ΛΕΙΑΝΣΕΩΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΙΑ ΛΕΙΑΝΣΕΩΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ / ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram? HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο 1: Κεφάλαιο 2: Κεφάλαιο 3: 4 Πρόλογος Η παρούσα διπλωµατική εργασία µε τίτλο «ιερεύνηση χωρικής κατανοµής µετεωρολογικών µεταβλητών. Εφαρµογή στον ελληνικό χώρο», ανατέθηκε από το ιεπιστηµονικό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs

Διαβάστε περισσότερα

Queensland University of Technology Transport Data Analysis and Modeling Methodologies

Queensland University of Technology Transport Data Analysis and Modeling Methodologies Queensland University of Technology Transport Data Analysis and Modeling Methodologies Lab Session #7 Example 5.2 (with 3SLS Extensions) Seemingly Unrelated Regression Estimation and 3SLS A survey of 206

Διαβάστε περισσότερα

Matrices and Determinants

Matrices and Determinants Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z

Διαβάστε περισσότερα

Reaction of a Platinum Electrode for the Measurement of Redox Potential of Paddy Soil

Reaction of a Platinum Electrode for the Measurement of Redox Potential of Paddy Soil J. Jpn. Soc. Soil Phys. No. +*0, p.- +*,**1 Eh * ** Reaction of a Platinum Electrode for the Measurement of Redox Potential of Paddy Soil Daisuke MURAKAMI* and Tatsuaki KASUBUCHI** * The United Graduate

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 34 Bootstrap confidence intervals

Lecture 34 Bootstrap confidence intervals Lecture 34 Bootstrap confidence intervals Confidence Intervals θ: an unknown parameter of interest We want to find limits θ and θ such that Gt = P nˆθ θ t If G 1 1 α is known, then P θ θ = P θ θ = 1 α

Διαβάστε περισσότερα

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i. Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Exercise Sheet 5

Solutions to Exercise Sheet 5 Solutions to Eercise Sheet 5 jacques@ucsd.edu. Let X and Y be random variables with joint pdf f(, y) = 3y( + y) where and y. Determine each of the following probabilities. Solutions. a. P (X ). b. P (X

Διαβάστε περισσότερα

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1)

Nuclear Physics 5. Name: Date: 8 (1) Name: Date: Nuclear Physics 5. A sample of radioactive carbon-4 decays into a stable isotope of nitrogen. As the carbon-4 decays, the rate at which the amount of nitrogen is produced A. decreases linearly

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή διατριβή

Μεταπτυχιακή διατριβή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Μεταπτυχιακή διατριβή ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΩΝ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΪΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΗ ΤΟΠΟΘΕΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example:

UDZ Swirl diffuser. Product facts. Quick-selection. Swirl diffuser UDZ. Product code example: UDZ Swirl diffuser Swirl diffuser UDZ, which is intended for installation in a ventilation duct, can be used in premises with a large volume, for example factory premises, storage areas, superstores, halls,

Διαβάστε περισσότερα

Example Sheet 3 Solutions

Example Sheet 3 Solutions Example Sheet 3 Solutions. i Regular Sturm-Liouville. ii Singular Sturm-Liouville mixed boundary conditions. iii Not Sturm-Liouville ODE is not in Sturm-Liouville form. iv Regular Sturm-Liouville note

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016

Section 1: Listening and responding. Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Presenter: Niki Farfara MGTAV VCE Seminar 7 August 2016 Section 1: Listening and responding Section 1: Listening and Responding/ Aκουστική εξέταση Στο πρώτο μέρος της

Διαβάστε περισσότερα

Démographie spatiale/spatial Demography

Démographie spatiale/spatial Demography ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

VBA Microsoft Excel. J. Comput. Chem. Jpn., Vol. 5, No. 1, pp (2006)

VBA Microsoft Excel. J. Comput. Chem. Jpn., Vol. 5, No. 1, pp (2006) J. Comput. Chem. Jpn., Vol. 5, No. 1, pp. 29 38 (2006) Microsoft Excel, 184-8588 2-24-16 e-mail: yosimura@cc.tuat.ac.jp (Received: July 28, 2005; Accepted for publication: October 24, 2005; Published on

Διαβάστε περισσότερα

Math221: HW# 1 solutions

Math221: HW# 1 solutions Math: HW# solutions Andy Royston October, 5 7.5.7, 3 rd Ed. We have a n = b n = a = fxdx = xdx =, x cos nxdx = x sin nx n sin nxdx n = cos nx n = n n, x sin nxdx = x cos nx n + cos nxdx n cos n = + sin

Διαβάστε περισσότερα

GS3. A liner offset equation of the volumetric water content that capacitance type GS3 soil moisture sensor measured

GS3. A liner offset equation of the volumetric water content that capacitance type GS3 soil moisture sensor measured J. Jpn. Soc. Soil Phys. No. 130, p.19 25 (2015) GS3 1 2 A liner offset equation of the volumetric water content that capacitance type GS3 soil moisture sensor measured Shoichi MITSUISHI 1 and Masaru MIZOGUCHI

Διαβάστε περισσότερα