HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

Transcript

1 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 10/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός 5/11/

2 Θεωρία πιθανοτήτων 5/11/

3 Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηµατικό λογισµό µιλήσαµε για προτάσεις που είναι αληθείς ή ψευδείς. Στον πραγµατικό κόσµο, συχνά δεν γνωρίζουµε κατά πόσον µία πρόταση είναι αληθής ή ψευδής. Η θεωρία πιθανοτήτων µας δίνει ένα τρόπο να σκεφτόµαστε για προτάσεις τον οποίων η αλήθεια είναι αβέβαιη. Είναι χρήσιµη στο να εκτιµούµε στοιχεία, να κάνουµε διάγνωση προβληµάτων, και να αναλύουµε καταστάσεις οι λεπτοµέρειες των οποίων είναι άγνωστες. 5/11/

4 Γιατί πιθανότητες; Η θεωρία πιθανοτήτων παίζει τεράστιο ρόλο στη µοντελοποίησηκαι µελέτη συστηµάτων την ακριβή συµπεριφορά των οποίων δεν µπορούµε να προβλέψουµε ή να παρατηρήσουµε (κίνηση σωµατιδίων, µακροοικονοµικά µοντέλα, κλπ) Στην πληροφορική οι πιθανότητες έχουν πλήθος εφαρµογών, πχ, Στη µοντελοποίηση των παραπάνω συστηµάτων στη µελέτη της δοµής του διαδικτύου στην ανάλυση πιθανοτικών αλγορίθµων κλπ. 5/11/

5 Τυχαίες µεταβλητές Μίατυχαία µεταβλητή Vείναι κάθε µεταβλητή η τιµή της οποίας είναι άγνωστη, και η τιµή της οποίας εξαρτάται από τις συγκεκριµένες συνθήκες που επικρατούν κατά την εκτέλεση ενός πειράµατος. Π.χ., ο αριθµός των φοιτητών στην τάξη σήµερα Π.χ., το κατά πόσον θα βρέξει το βράδυ Το πεδίο της V, dom[v] {v 1,,v n }, είναι το σύνολο όλων των δυνατών τιµών που η V µπορεί να πάρει. Η τυχαία µεταβλητή Vείναι διακριτή αν το πεδίο της είναι πεπερασµένο ή αριθµήσιµο Μπορούµε επίσης να χειριστούµε άπειρα πεδία εάν χρειάζεται. Η πρόταση V=v i µπορεί να έχει µία αβέβαιη τιµή αληθείας, και θέλουµε να συσχετίσουµε µε αυτή µία πιθανότητα. 5/11/

6 Πειράµατα & δειγµατικοί χώροι Μπορούµε να θεωρήσουµε έναπείραµαως µία διαδικασία κατά την οποία σε µία δοσµένη τυχαία µεταβλητή V εκχωρείται µίασυγκεκριµένητιµή, όπου αυτή η τιµή δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή. Ονοµάζουµε αυτή την τιµή πραγµατική τιµή της µεταβλητής, όπως αυτή καθορίστηκε από το συγκεκριµένο πείραµα. Ο δειγµατικός χώροςωτου πειράµατος είναι το πεδίο της τυχαίας µεταβλητής, Ω = dom[v] (όπως είπαµε, το σύνολο όλων των δυνατών ενδεχοµένων τιµών της). Η συγκεκριµένη τιµή v i που εκχωρείται στην τυχαία µεταβλητή αποτελεί το αποτέλεσµα του πειράµατος. 5/11/

7 Πειράµατα & δειγµατικοί χώροι Έχουµε ήδη δει πειράµατα στην συνδυαστική, πχ., έστω το πείραµα της ρίψης ενός ζαριού. Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος αυτού είναι το σύνολο Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Έστω µία τυχαία µεταβλητή Vπου ορίζεται ως «η ζαριά που θα φέρει κανείς όταν ρίξει ένα ζάρι». Το πεδίο της τυχαίας µεταβλητής dom[v] είναι ο δειγµατικός χώροςωτου πειράµατος. Η εκτέλεση του πειράµατος, εκχωρεί στην τυχαία µεταβλητή V µία συγκεκριµένητιµή από το Ω (έστω v i = 5) Το «5» είναι η πραγµατική τιµή της µεταβλητής, όπως αυτή καθορίστηκε από το συγκεκριµένο πείραµα. Επίσης, στη συνδυαστική, µιλήσαµε για τον πληθικό αριθµό των δειγµατικών χώρων για αρκετές κατηγορίες πειραµάτων 5/11/

8 Ενδεχόµενα Έναενδεχόµενο Γείναι ένα υποσύνολο του δειγµατικού χώρου Ω ηλαδή, Γ Ω= dom[v]. Π.χ., το ενδεχόµενο λιγότεροι από 50 φοιτητές θα εµφανιστούν στο επόµενο µάθηµα αναπαριστάται σαν το σύνολο {0, 1, 2,, 49} τιµών της µεταβλητής V = ο αριθµός των φοιτητών στο επόµενο µάθηµα. Λέµε ότι το ενδεχόµενογσυµβαίνειόταν η πραγµατική τιµή της V (µετά την εκτέλεση του πειράµατος) ανήκει στο Γ, το οποίο το γράφουµε και ως V Γ. Το V Γσυµβολίζει την πρόταση (αβέβαιης αληθείας) που λέει ότι το πραγµατικό αποτέλεσµα (τιµή της V) θα είναι ένα από τα στοιχεία του Γ. 5/11/

9 Πειράµατα & δειγµατικοί χώροι Πείραµα: Ρίψη νοµίσµατος Ω = {Κ, Γ} Πείραµα: Ρίψη δύο νοµισµάτων το ένα µετά το άλλο Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Πείραµα:Πυροβολώ µέχρι να πετύχω το στόχο (ε=επιτυχία, α=αποτυχία) Ω={ε, αε, ααε, αααε, } Ο δειγµατικός χώρος Ω µπορεί να έχει άπειρα στοιχεία 5/11/

10 Παράδειγµα: Μπάλες Υποθέστε ότι ένα δοχείο περιέχει 4 µπλε µπάλες και 5 κόκκινες µπάλες. Παράδειγµαπειράµατος: Επιλέγουµε τυχαία µία µπάλα από το δοχείο. Παράδειγµατυχαίας µεταβλητής V: Η ταυτότητα της επιλεγµένης µπάλας. Ο δειγµατικός χώροςω: Το σύνολο όλων των διαφορετικών τιµών της V: Σε αυτή την περίπτωση, Ω = {b 1,,b 9 } Ένα ενδεχόµενο Γ: Η επιλεγµένη µπάλα είναι µπλε : Γ = {b 2, b 4, b 8, b 9 } Ποιά είναι η πιθανότητα του Γ; b 1 b 2 b 3 b4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 5/11/

11 Πιθανότητα, διαισθητικά Ηπιθανότητα p = p(γ) [0,1]ενός ενδεχοµένου Γείναι ένας πραγµατικός αριθµόςπου αναπαριστά τη βεβαιότητά µας ότι τογθα συµβεί. Εάν p(γ) = 1, τότε είµαστε απόλυτα βέβαιοι ότι τογθα συµβεί, Και εποµένως θεωρούµε την πρόταση V Γ ως αληθή Εάν p(γ) = 0, τότε είµαστε απόλυτα βέβαιοι ότι τογδενθα συµβεί, Και εποµένως θεωρούµε την πρόταση V Γ ως ψευδή Εάν p(γ) = ½, τότε έχουµε τηµέγιστη αβεβαιότητασχετικά µε το κατά πόσον τογθα συµβεί, δηλαδή, το V Γ και το V Γ θεωρούνται ισοπίθανα... Πως ερµηνεύουµε τις άλλες τιµές της p; 5/11/

12 Ορισµοί της πιθανότητας Εναλλακτικοί ορισµοί της πιθανότητας: Με βάση τη συχνότητα εµφάνισης Αξιωµατικός 5/11/

13 Πιθανότητα: Ορισµός µε βάση τη συχνότητα εµφάνισης Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου Γ είναι το όριο, καθώς το n, του ποσοστού κατά το οποίο διαπιστώνουµε ότι V Γ κάνοντας n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου πειράµατος. n p( Γ) : lim V n n Μερικά προβλήµατα αυτού του ορισµού: Είναι καλά ορισµένος για πειράµαταπου µπορούν να επαναληφθούν ανεξάρτητα, άπειρες φορές! εν µπορεί να µετρηθεί µε ακρίβεια σε πεπερασµένο χρόνο! Πλεονέκτηµα:Είναι ένας αντικειµενικός, µαθηµατικός ορισµός. 5/11/ Γ

14 Πιθανότητα: Αξιωµατικός ορισµός Έστω p µία συνάρτηση p:ω [0,1] τέτοια ώστε s Ω p(s) = 1, και 0 p(s) 1, s Ω Τότε, η πιθανότητα κάθε ενδεχοµένου Γ Ω είναι: p( ) : p( s) Γ s Γ 5/11/

15 Απλά/σύνθετα ενδεχόµενα Απλό ενδεχόµενο Γ: Γ = 1 Π.χ., µια ζαριά να καταλήξει σε 6: Γ={6} Σύνθετο ενδεχόµενο Γ: Γ > 1 Π.χ., µια ζαριά να καταλήξει σε περιττό αριθµό: Π={1, 3, 5} 5/11/

16 Παραδείγµατα Έστω ότι ρίχνουµε δύο νοµίσµατα. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουµε δύο φορές κορώνα; Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Άρα το ΚΚ είναι απλό ενδεχόµενο. Έστω ότι όλα τα αποτελέσµατα είναι ισοπίθανα, δηλαδή p(kk)=p(κγ)=p(γκ)=p(γγ) Ξέρουµε ότι p(kk)+p(κγ)+p(γκ)+p(γγ)=1=4x=> x=1/4. Άρα p(kk)=1/4. 5/11/

17 Παραδείγµατα Έστω ότι πυροβολούµε ένα στόχο µέχρι να τον πετύχουµε. Ποια είναι η πιθανότητα να τον πετύχουµε την 10 η φορά; (υποθέστε ότι σε κάθε βολή υπάρχει ίση πιθανότητα ευστοχίας και αστοχίας) Ω={ε, αε, ααε, αααε, ααααε,.} p(ε) = 1/2 p(αε) = 1/4 p(α k-1 ε) = 1/2 k 5/11/

18 Παραδείγµατα Προσέξτε ότι: 5/11/

19 Παραδείγµατα Πρόβληµα:Ποιά είναι η πιθανότητα να τραβήξει κανείς τέσσερις άσσους επιλέγοντας πέντε χαρτιά σε µία παρτίδα πόκερ; 5/11/

20 Παραδείγµατα Πρόβληµα:Ποιά είναι η πιθανότητα να τραβήξει κανείς τέσσερις άσσους επιλέγοντας πέντε χαρτιά σε µία παρτίδα πόκερ; Απάντηση: Υπάρχουν 48 συνδυασµοί που περιλαµβάνουν τέσσερις άσσους (γιατί;;;;) Υπάρχουν C(52, 5) διαφορετικές πεντάδες φύλλων που µπορούν να µοιραστούν (γιατί;;;). Άρα, η ζητούµενη πιθανότητα είναι 48/C(52, 5) = 0, /11/

21 Παραδείγµατα Πρόβληµα:Ποιά είναι η πιθανότητα να τραβήξει κανείς τέσσερις άσσους επιλέγοντας πέντε χαρτιά σε µία παρτίδα πόκερ; Απάντηση: Υπάρχουν 48 συνδυασµοί που περιλαµβάνουν τέσσερις άσσους (επειδή C(4, 4) x (C(48, 1) = 48) Υπάρχουν C(52, 5) διαφορετικές πεντάδες φύλλων που µπορούν να µοιραστούν (επειδή πρέπει να βρούµε όλα τα διαφορετικά δυνατά υποσύνολα µε πλ. αριθµό 5 που µπορούν να προκύψουν από ένα σύνολο 52 στοιχείων). Άρα, η ζητούµενη πιθανότητα είναι 48/C(52, 5) = 0, /11/

22 Παραδείγµατα Έστω ότι µία παρέα αποτελείται από 23 άτοµα. Ποια είναι η πιθανότητα να µηνυπάρχουν δύο άτοµα που να έχουν γενέθλια την ίδια µέρα του χρόνου (366 ηµέρες); Ποιο είναι το πλήθος όλων των ενδεχοµένων για τα γενέθλια όλων των ατόµων της παρέας; Ω = Με πόσους τρόπους µπορούµε να επιλέξουµε 23 διαφορετικέςµέρες σε ένα έτοςως ηµέρες γενεθλίων των 23 ατόµων; P(366, 23) = 366!/343! Ποια είναι η ζητούµενη πιθανότητα; P(366, 23) / Ω = (!!!) 5/11/

23 Πράξεις µεταξύ ενδεχοµένων (!) Εφόσον τα ενδεχόµενα τα ορίσαµε ως σύνολα (υποσύνολα του δειγµατικού χώρου) µπορούµε να εφαρµόσουµε σε αυτά όλες τις γνωστές (από τη θεωρία συνόλων) πράξεις 5/11/

24 Αντίστοιχες πιθανότητες ΈστωΓ 1,Γ 2 Ω= dom[v]. Τότε: p(γ 1 Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 Γ 2 p(x i ) p(γ 1 Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 Γ 2 p(x i ) p(γ 1 -Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 -Γ 2 p(x i ) p(γ 1 Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 Γ 2 p(x i ) 5/11/

25 Πιθανότητα ένωσης ενδεχοµένων ΈστωΓ 1,Γ 2 Ω= dom[v]. Θεώρηµα: p(γ 1 Γ 2 ) = p(γ 1 ) + p(γ 2 ) p(γ 1 Γ 2 ) Προκύπτει άµεσα από την αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού... 5/11/

26 Ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ύο ενδεχόµενα Γ 1, Γ 2 ονοµάζονταιασυµβίβαστα ή ξένα ότανγ 1 Γ 2 = Για ασυµβίβαστα ενδεχόµενα, p(γ 1 Γ 2 ) = p(γ 1 ) + p(γ 2 ). Ενδεχόµενο Γ = συµπλήρωµα του Γ = Ω-Γ p(γ) = 1 p(γ) 5/11/

27 Ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Παράδειγµα:Στη ρίψη ενός κέρµατος, τα απλά ενδεχόµενα K= κορώνα Γ = γράµµατα είναι ασυµβίβαστα. 5/11/

28 Ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Παράδειγµα:Στη ρίψη ενός ζαριού, τα σύνθετα ενδεχόµενα Α={2, 4, 6} Π = {1, 3, 5} είναι ασυµβίβαστα. Όµως τα {1, 2, 3, 4} και {3, 4, 5, 6} δεν είναι 5/11/

29 Παράδειγµα Έστω 1000 άτοµα παρακολουθούν έναν αγώνα. Από αυτά, 515 είναι γυναίκες και 485 είναι άνδρες. Έστω επίσης ότι γνωρίζουµε ότι από τις 515 γυναίκες, οι 90 είναι φίλαθλοι και ότι από τους 485 άνδρες οι 302 είναι φίλαθλοι Πείραµα: τυχαία επιλογή ενός ατόµου. 5/11/

30 Παράδειγµα γφ: όλες οι γυναίκες φίλαθλοι γµ: όλες οι γυναίκες που δεν είναι φίλαθλοι αφ: όλοι οι άντρες φίλαθλοι αµ: όλοι οι άντρες που δεν είναι φίλαθλοι ειγµατικός χώρος Ω =γφ γµ αφ αµ Τα γφ, γµ, αφ, αµ είναι ασυµβίβαστα, σύνθετα ενδεχόµενα η ένωση των οποίων δίνει το δειγµατικό χώρο 5/11/

31 Παράδειγµα Έστω 1000 άτοµα παρακολουθούν έναν αγώνα. Από αυτά, 515 είναι γυναίκες και 485 είναι άνδρες. 5/11/

32 Παράδειγµα Ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουµε άτοµο που είναι φίλαθλος ήείναι γυναίκα; (Ω={γφ, γµ, αφ, αµ}) 1 ος τρόπος 2 ος τρόπος 3 ος τρόπος 5/11/