1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ"

Transcript

1 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος τύχης. 3. Ενδεχόµενο ή γεγονός : άθε υποσύνολο του δειγµατικού χώρου. 4. πλό ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που περιέχει ένα µόνο αποτέλεσµα του πειράµατος. 5. Σύνθετο ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που περιέχει περισσότερα από ένα αποτέλεσµα του πειράµατος. 6. Ενδεχόµενο πραγµατοποιείται : Το αποτέλεσµα του πειράµατος είναι στοιχείο του ενδεχοµένου. 7. Βέβαιο ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που πραγµατοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράµατος. Βέβαιο ενδεχόµενο είναι ο δειγµατικός χώρος Ω. 8. δύνατο ενδεχόµενο : Το ενδεχόµενο που δεν πραγµατοποιείται ποτέ. δύνατο είναι το (κενό) ενδεχόµενο

2 2 9. Ευνοϊκές περιπτώσεις ενδεχοµένου : Τα στοιχεία του ενδεχοµένου. 10. υνατές περιπτώσεις : Τα στοιχεία του δειγµατικού χώρου. 11. Το ενδεχόµενο Β πραγµατοποιείται : Όταν συγχρόνως πραγµατοποιείται και το και το Β. 12. Το ενδεχόµενο Β πραγµατοποιείται : Όταν πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα, Β. ( ιαφορετικά : Όταν πραγµατοποιείται το ή το Β ή και τα δύο) 13. Το ενδεχόµενο πραγµατοποιείται : Όταν δεν πραγµατοποιείται το. 14. Το ενδεχόµενο Β πραγµατοποιείται : Όταν πραγµατοποιείται το και δεν πραγµατοποιείται το Β. 15. Το ενδεχόµενο ( Β) (Β ) πραγµατοποιείται : Όταν πραγµατοποιείται µόνο το ή µόνο το Β. 16. Το ενδεχόµενο ( Β ) πραγµατοποιείται : Όταν δεν πραγµατοποιείται ούτε το ούτε το Β. ( ιαφορετικά : Όταν δεν πραγµατοποιείται κανένα από τα, Β. 17. συµβίβαστα ενδεχόµενα, Β : εν έχουν κοινά στοιχεία. Β =

3 3 18. Β : Η πραγµατοποίηση του συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β. ΣΧΟΛΙ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Μέθοδος Για να βρούµε το δειγµατικό χώρο πειράµατος τύχης, το οποίο πραγµατοποιείται σε περισσότερες από µία φάσεις, φτιάχνουµε δενδροδιάγραµµα. Όταν το πείραµα ολοκληρώνεται σε δύο φάσεις, µπορούµε να φτιάχνουµε πίνακα διπλής εισόδου. 2. Μέθοδος Όταν θέλουµε µία πρόταση να την αποδώσουµε στη γλώσσα των ενδεχοµένων, µας βοηθάει το διάγραµµα Venn. 3. Χρήσιµες ιδιότητες (Να τις κατανοήσετε σε διάγραµµα Venn) α) Β και Β Β β) Β και Β Β γ) Β Β δ) Β και Β Β ε) Β Β και Β Β στ) Β τότε Β = και Β = Β ζ) Β, Β ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Β, Β ασυµβίβαστα ενδεχόµενα και η ένωσή τους = η) ( ) Β = Β και ( ) Β = Β

4 4 ΣΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος στα παρακάτω πειράµατα τύχης. i) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και βλέπουµε την πάνω όψη του. ii) Ρίχνουµε ένα ζάρι και βλέπουµε την πάνω όψη του. Λύση i) Ω = {κ, γ} κ = κεφάλι, γ = γράµµα ii) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Ρίχνουµε ένα ζάρι και στη συνέχεια ένα νόµισµα. i) Να βρείτε το δειγµατικό χώρο του πειράµατος. ii) Να βρείτε το ενδεχόµενο : το ζάρι έδειξε 5. iii) Να βρείτε το ενδεχόµενο Β: το νόµισµα έδειξε κεφάλι. Πίνακας διπλής εισόδου 2 η φ Γ 1 η φ 1 1 1Γ 2 2 2Γ 3 3 3Γ 4 4 4Γ 5 5 5Γ 6 6 6Γ i) Ω = {1, 1Γ, 2, 2Γ, 3, 3Γ, 4, 4Γ, 5, 5Γ, 6, 6Γ } ii) = {5, 5Γ} iii) Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5 5 3. Εξετάζουµε τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά ως προς το φύλλο και τη σειρά γέννησής τους. Να βρεθούν i) Ο δειγµατικός χώρος του περάµατος ii) Το ενδεχόµενο : το πρώτο παιδί κορίτσι iii) Το ενδεχόµενο Β: το µεσαίο παιδί αγόρι iv) Το ενδεχόµενο Γ: τουλάχιστον ένα κορίτσι v) Το ενδεχόµενο : ακριβώς δύο αγόρια vi) Το ενδεχόµενο Ε: το πολύ δύο κορίτσια vii) Τα ενδεχόµενα:, Β, Β ρχή 1 ο παιδί 2 ο παιδί ενδροδιάγραµµα 3 ο παιδί i) Ω = {,,,,,,, } ii) = {,,, } iii) Β = {,,, } iv) Γ = {,,,,,, } v) = {,, } vi) Ε = {,,,,,, } vii) = {,,, } Β = {,,, } Β = {, }

6 6 4. Με τη βοήθεια ενός διαγράµµατος Venn, να απαντήσετε αν είναι σωστή ή λάθος η ισότητα ( Β ) ( Β) =. Β Ω Είναι σωστή Β Β 5. Με τη βοήθεια ενός διαγράµµατος Venn, να απαντήσετε αν είναι σωστές ή λανθασµένες οι ισότητες Β ( Β ) =, Β ( Β ) = Β Β Ω Είναι σωστές Β

7 7 6. Μία κάλπη περιέχει δύο µαύρες µπάλες µ 1, µ 2 και δύο κόκκινες κ 1, κ 2. Εξάγουµε από την κάλπη δύο µπάλες. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο του περάµατος, όταν εξάγουµε i) τις δύο µπάλες ταυτόχρονα ii) τις δύο µπάλες τη µία µετά την άλλη χωρίς επανατοποθέτηση iii) τις δύο µπάλες τη µία µετά την άλλη µε επανατοποθέτηση i) Ω = { (µ 1, µ 2), (µ 1, κ 1 ), (µ 1, κ 2 ), Όλα τα µη διατεταγµένα ζευγάρια (µ 2, κ 1 ), (µ 2,, κ 2 ), (κ 1, κ 2 ) } ii) Ω = { (µ 1, µ 2), (µ 1, κ 1 ), (µ 1, κ 2 ), Όλα τα διατεταγµένα ζευγάρια (µ 2, µ 1 ), (µ 2, κ 1 ), (µ 2,, κ 2 ), µε διαφορετικά µέλη (κ 1, µ 1 ), (κ 1, µ 2 ), (κ 1, κ 2 ), (κ 2, µ 1 ), (κ 2, µ 2 ), (κ 2, κ 1 ) } iii) Ω = { (µ 1, µ 1), (µ 1, µ 2), (µ 1, κ 1 ), (µ 1, κ 2 ), Όλα τα διατεταγµένα ζευγάρια (µ 2, µ 1 ), (µ 2, µ 2 ), (µ 2, κ 1 ), (µ 2, κ 2 ), (κ 1, µ 1 ), (κ 1, µ 2 ), (κ 1, κ 1 ), (κ 1, κ 2 ), (κ 2, µ 1 ), (κ 2, µ 2 ), (κ 2, κ 1 ), (κ 2, κ 2 ) }

8 8 7. Σε µια πεντάδα λαµπτήρων οι τρεις είναι χαλασµένοι () και οι δύο είναι καλοί (). νασύρουµε έναν έναν λαµπτήρα µέχρι να ανακαλύψουµε τους χαλασµένους. i) Να βρείτε το δειγµατικό χώρο του περάµατος ii) Να βρείτε το ενδεχόµενο : ανακαλύψαµε τους χαλασµένους µε δύο δοκιµές iii) Να βρείτε το ενδεχόµενο B: ανακαλύψαµε τους χαλασµένους µε τρεις δοκιµές iv) Μετά από πόσες το πολύ δοκιµές ανακαλύπτουµε τους χαλασµένους λαµπτήρες; ενδροδιάγραµµα ρχή 1 η δοκιµή 2 η δοκιµή 3 η δοκιµή 4 η δοκιµή i) Πρέπει να ανακαλύψουµε τους τρεις χαλασµένους ή τους δύο καλούς λαµπτήρες. Ω = {,,,,,,,,, } ii) A = {} iii) B = {,, } iv) Το πολύ τέσσερις δοκιµές

9 9 8. Συµπληρώστε το διπλανό πίνακα βάζοντας στη στήλη Β το χαρακτηρισµό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Όπου βάλατε Λ, συµπληρώστε τη στήλη Γ µε τη σωστή σχέση. Β Γ = Σ = Σ = Λ = = Λ = = Λ = Ω = Ω Λ = Ω = Ω Λ Ω = ( ) = Ω Λ ( ) = = Ω Σ = Ω Σ

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανάπτυξη Εφαρµογών ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α κ Θέµα 1 ο Α. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό κάθε µιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα τη λέξη: Σωστό, αν είναι σωστή, ή τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού)

Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού) Θέµατα Καγκουρό 2010 Επίπεδο: 1 (για µαθητές της Γ' και ' τάξης ηµοτικού) Ερωτήσεις 3 πόντων: 1) Η γάτα θέλει να πάει στο γάλα και το ποντίκι στο τυρί, ακολουθώντας τους δρόµους του κήπου. Οι διαδροµές

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα;

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα; ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Θέμα 1ο I. Τι πρέπει να ικανοποιεί ένα κομμάτι κώδικα ώστε να χαρακτηριστεί ως υποπρόγραμμα; Τα υποπρογράμματα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

κανένα από τα παραπάνω

κανένα από τα παραπάνω Το παρακάτω ερωτηµατολόγιο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές µη µαθηµατικών τµηµάτων και έχει ως στόχο να καταγράψει τις µαθηµατικές γνώσεις που απαιτούνται για την παρακολούθηση ενός εισαγωγικού µαθήµατος

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Υλικό Φυσικής-Χημείας 1 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Υλικό Φυσικής-Χημείας 2 Το Φως 1) Δέσμη λευκού φωτός προσπίπτει στην επιφάνεια ενός πρίσματος όπως δείχνει το σχήμα και κατά την έξοδο από

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Διδακτική των Μαθηματικών Χειμερινό εξάμηνο ακαδ. έτους 2012-2013 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σοφία Άιζενμπαχ Α.Μ. 5898 Πάτρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΘΕΜΑ 1 Α.

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΘΕΜΑ 1 Α. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΘΕΜΑ 1 Α. 1. Αν το Α έχει την τιµή 10 και το Β την τιµή 20 τότε η έκφραση (Α > 8 ΚΑΙ Β < 20) Ή (Α > 10 Ή Β = 10) είναι αληθής 2. Σε περίπτωση εµφωλευµένων βρόχων, ο εσωτερικός

Διαβάστε περισσότερα

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών.

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών. 1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν

Διαβάστε περισσότερα