ii. Ο µέσος είκτης Άγχους ανά ελεγκτή εναέριου κυκλοφορίας E r είναι 16, 14, 12, 14, 15 και 13 αντίστοιχα,
|
|
- Χριστόφορος Λύτρας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΚΗΣΗ Πρόσφατη έρευνα µε θέµα τη µέτρηση της έντασης και του άγχους των ελεγκτών εναερίου κυκλοφορίας κατέληξε σε προτάσεις για τον σχεδηκαν τρεις εναλλακτικοί τύποι θέσεων εργασίας Θ i i,, και η Υπηρεσία Πολιτικής Αεροπορίας προκειµένου να επιλέξει την αποτελεσµατικότερη θέλει να ελέιασµό µιας νέας θέσης εργασίας ελεγκτών Με βάση τις προτάσεις αυτές σχεδιάστγξει την επίδραση τους στη µείωση του άγχους Για το σκοπό αυτό επιλέγονται τυχαία 6 ελεγκτές, E r r,,6 διαφορετικής εµπειρίας, καθένας από αυτούς χρησιµοποιεί και τις τρεις θέσεις εργασίας, η ένταση και το άγχος τους µετρούνται, εκφράζονται σε ειδικό είκτη Άγχους και καταγράφονται Με βάση τα στοιχεία αυτά και αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι: i Ο µέσος είκτης Άγχους ανά τύπο θέσης εργασίας Θ i είναι 5, και 55 αντίστοιχα, ii Ο µέσος είκτης Άγχους ανά ελεγκτή εναέριου κυκλοφορίας E r είναι 6,,,, 5 και αντίστοιχα, iii Το άθροισµα των τετραγώνων όλων των παρατηρήσεων ( εικτών Άγχους) είναι 598, α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης θεωρώντας τις θέσεις εργασίας Θ i ως αγωγές και τους ελεγκτές E r ως blocs β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α5 η υπόθεση ότι ο τύπος θέσης εργασίας δεν επηρεάζει την ένταση και το άγχος των ελεγκτών γ Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α,5 η υπόθεση ότι η εµπειρία των ελεγκτών δεν επηρεάζει την ένταση και το άγχος τους Σηµείωση: Για διευκόλυνση των υπολογισµών δίνεται: (Yr ) 67 6 r 6 t r Y ir 598 ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά δύο παράγοντες όπου οι θέσεις εργασίας Θ i θεωρούνται ως αγωγές και οι ελεγκτές Ε r ως blocs Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας ο οποίος επιπλέον περιέχει τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs
2 Πίνακας ΑΓΩΓΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΜΕΣΟΙ ΜΠΛΟΚ Υ Υ Υ Υ Υ 6 Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ Υ 6 Υ 6 Υ 6 Υ 6 Υ ΣΥΝΟΛΑ Υ Υ Υ Υ ΜΕΣΟΙ 6 Υ,5 Υ, Υ 5,5 Υ ίνεται επιπλέον: Υ 6 i r ir 598 Υπολογισµός των υπολοίπων στοιχείων του Πίνακα: b 6 n *b *6 8 Υi Υi b i,, b 6 Υ i b * Υ i Υ Υ Υ 8 78 Υ 9 5 Υ 5 8 Υ Υ * r Υ r Υ r,,,,5,6 i r * Υ r Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ 5 8 Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων: ( Υι ) i
3 6 ( Υ ) r r (δίνεται) ( Υ ) 5 65 Υπολογισµός των στοιχείων για τη δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης: SST b i r ( ) Υ ir ( Υ ) * b SST 7 SSTr i ( Υ ) b i ( Υ ) * b SSTr 8 SSBl b r ( Υ ) r ( Υ ) * b SSBl 8 Γνωρίζουµε ότι: SST SSTr + SSBl + SSE SSE 9 SSTr MSTr MSTr 5 SSBl MSBl MSBl 6 b 5 SSE 9 MSE 9 MSE ( ) *( b ) Tr MSTr MSE 5 9 Tr 55 Bl MSBl 6 MSE 9 Bl 6
4 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης: Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ SS D MS o ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ 5 55 ΜΕΤΑΞΥ BLOCKS ΛΑΘΟΣ 9 9 ΣΥΝΟΛΟ 7 7 Υποθέσεις: Για τις αγωγές: Η ο : η θέση της εργασίας δεν επιδρά στο άγχος Η : η θέση της εργασίας επιδρά στο άγχος Για τα blocs: Η ο : η εµπειρία των ελεγκτών δεν επιδρά στο άγχος Η : η εµπειρία των ελεγκτών επιδρά στο άγχος Έλεγχος για τις αγωγές: Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η ο αν >, ( b )* ( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Tr 55 α 5,( b ) *( ), a,,95 Συµπέρασµα: Επειδή Tr 55 > απορρίπτουµε την Ηο που σηµαίνει ότι η θέση,,95 εργασίας επιδρά στο άγχος Έλεγχος για τα blocs: Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η ο αν Bl > b, ( b ) *( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Bl 6 α 5
5 ,( b ) *( ), a 5,,95 Συµπέρασµα: Επειδή Bl 6 <,, 95 δεχόµαστε την Η ο που σηµαίνει ότι η εµπειρία των ελεγκτών δεν επιδρά στο άγχος ΑΣΚΗΣΗ Τα δάνεια που χορηγεί µια τράπεζα κατατάσσονται, ανάλογα µε τον σκοπό για τον οποίο προορίζονται, σε κατηγορίες Σ i, i,, και ανάλογα µε τη διάρκειά τους σε 5 κατηγορίες r, r,, 5 Ο αρµόδιος ιευθυντής θέλει να διερευνήσει αν το ύψος των χορηγηµένων δανείων επηρεάζεται από τον σκοπό και τη διάρκειά τους Για το λόγο αυτό χρησιµοποιεί τα στοιχεία δανειοδοτήσεων του προηγούµενου µήνα και δηµιουργεί το σχετικό Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης θεωρώντας τις κατηγορίες Σ i ως αγωγές και τις κατηγορίες r ως blocs Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και αν επιπλέον είναι γνωστό ότι: i Το µέσο ύψος των δανείων ανά κατηγορία Σ i είναι,, και 7 χµ αντίστοιχα ii Το µέσο ύψος των δανείων ανά κατηγορία r είναι,,, και εκατ χµ αντίστοιχα iii Το συνολικό άθροισµα τετραγώνων είναι Ζητούνται τα ακόλουθα: α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α 5, η υπόθεση ότι το ύψος ενός δανείου δεν επηρεάζεται από τον σκοπό για τον οποίο προορίζεται γ Να ελεγχθεί, σε επίπεδο σηµαντικότητας α 5, η υπόθεση ότι το ύψος ενός δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά δύο παράγοντες όπου οι κατηγορίες Σi θεωρούνται ως αγωγές και οι κατηγορίες r ως blocs Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας ο οποίος επιπλέον περιέχει τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs 5
6 ΑΓΩΓΕΣ Σi r ΜΠΛΟΚ Υ Υ Υ Υ Πίνακας ΣΥΝΟΛΑ ΜΕΣΟΙ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 Υ 5 ΣΥΝΟΛΑ Υ Υ Υ Υ Υ ΜΕΣΟΙ ίνεται επιπλέον: SST Y Y Y Y Y 5 Υ Υ Υ Υ 7 Υ Υπολογισµός των υπολοίπων στοιχείων του Πίνακα: b 5 n b *5 Yi Y 5 Y i Yi Yi ni n i,,, i Y Y 8 Y n 5 Y i Y 5 8 Y j Y Y j Y j Y j ni n 8 i Y j,,,,5 Y Y 8 Y n n Y 6 j Y5 8 Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων: ( i ) i Y
7 5 ( j ) j Y ( Y ) 8 6 Υπολογισµός των στοιχείων για την δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης: SSTr i ( Y ) b i ( Y ) * b SST r 7 SSBl b ( Y j ) r ( Y ) * b 8 6 SSBl Γνωρίζουµε ότι: SST SSTr + SSBl + SSE SSE 5 SSTr 7 MSTr MSTr SSBl MSBl MSBl 5 b SSE 5 MS Ε MSE 7 b ( )( ) MSTr Tr Tr 5 59 MSE 7 MSBl 5 Bl Bl 99 MSE 7 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης: Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ SS D MS ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ ΜΕΤΑΞΥ BLOCKS 5 99 ΛΑΘΟΣ 5 7 ΣΥΝΟΛΟ 9 7
8 Υποθέσεις: Για τις αγωγές: Η : Το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από το σκοπό για τον οποίον προορίζεται Η : Το ύψος του δανείου επηρεάζεται από το σκοπό για τον οποίον προορίζεται Για τα blocs: Η : Το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκειά του Η : Το ύψος του δανείου επηρεάζεται από τη διάρκειά του Έλεγχος για τις αγωγές: Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η αν Tr, ( b )( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Tr 559 α 5,( b )( ), a,,95 9 Συµπέρασµα: Επειδή Tr 559 > 9 απορρίπτουµε την Η που σηµαίνει ότι ο σκοπός,,95 για τον οποίο προορίζεται το δάνειο επηρεάζει το ύψος του Έλεγχος για τα blocs Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η αν Bl ( b ),( b )( ), a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: Bl 99 α 5,( b )( ), a,,95 9 b Συµπέρασµα: Επειδή Bl 99 > 6 απορρίπτουµε την Η δηλαδή ότι η διάρκεια του,,95 δανείου επηρεάζει το ύψος του δανείου 8
9 ΑΣΚΗΣΗ Ο υπεύθυνος συντήρησης µιας βιοµηχανίας θέλει να δοκιµάσει την αποτελεσµατικότητα 9 νέων ψυκτικών υγρών προκειµένου να χρησιµοποιήσει το αποτελεσµατικότερο σε ορισµένους κινητήρες οι οποίοι πρέπει να λειτουργούν σε χαµηλές θερµοκρασίες Για το λόγο αυτό χρησιµοποιεί 9 νέα ψυκτικά υγρά σε 9 τυχαία επιλεγµένους κινητήρες (κάθε υγρό σε διαφορετικούς κινητήρες), καταγράφει τις µέγιστες θερµοκρασίες των κινητήρων (σε βαθµούς Κελσίου) και δηµιουργεί το Σχετικό Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης, θεωρώντας ως αγωγές τα διαφορετικά είδη ψυκτικού υγρού Με βάση τα παραπάνω στοιχεία και αν επιπλέον είναι γνωστό ότι: i Το άθροισµα τετραγώνων µεταξύ των αγωγών είναι ii Το µέσο τετραγωνικό σφάλµα εντός των αγωγών είναι 5 Ζητούνται τα ακόλουθα: α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί, σε επίπεδο σηµαντικότητας α 5, ότι ο τύπος του ψυκτικού υγρού δεν επηρεάζει τη µέγιστη θερµοκρασία του κινητήρα ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά έναν παράγοντα Γνωρίζουµε ότι: SSTr, MSE 5, κ 9, n 9 Επιπλέον γνωρίζουµε ότι: SST SST r + SSE () Υπολογισµός των στοιχείων για τη δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης 9 8 n9 n 8 και n 89 SSTr MST r MSTr 8 SSE MSE SSE MSE * ( n ) 5*8 SSE 5 n Από () SST + 5 SST 65 MSTr MSE 5 6 9
10 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης: Πηγή Μεταβλητότητας Μεταξύ στηλών (αγωγών) Εντός των στηλών (αγωγών) Άθροισµα Τετραγώνων SS D ιακύµανση MS Έλεγχος Υποθέσεων: Υποθέσεις: Η : Ο τύπος του ψυκτικού υγρού δεν επηρεάζει τη θερµοκρασία των κινητήρων Κριτήριο Απόρριψης: Η : Ο τύπος του ψυκτικού υγρού επηρεάζει τη θερµοκρασία των κινητήρων Απορρίπτω την Η αν > -, n-, -a Στη συγκεκριµένη περίπτωση: 6 α5 -, n-, -a 8, 8, 95,56 > 8, 8, 95 Συµπέρασµα: Επειδή 6 >,5 8, 8, 95 απορρίπτουµε την Η που σηµαίνει ότι ο τύπος του ψυκτικού επηρεάζει τη θερµοκρασία των κινητήρων ΑΣΚΗΣΗ Τα δάνεια που χορηγεί µία Τράπεζα κατατάσσονται ανάλογα µε τη χρήση για την οποία προορίζονται σε Εµπορικά, Βιοµηχανικά και Αγροτικά και ανάλογα µε τη διάρκεια τους σε Βραχυπρόθεσµα, Μεσοπρόθεσµα και Μακροπρόθεσµα Στον Πίνακα εµφανίζεται το ύψος ανά κατηγορία (σε εκ δρχ) ενός τυχαίου δείγµατος δανείων που χορηγήθηκαν από τη συγκεκριµένη Τράπεζα κατά τη διάρκεια του προηγούµενου οικονοµικού έτους
11 Πίνακας Είδος ιάρκεια Βραχυπρόθεσµα Μεσοπρόθεσµα Μακροπρόθεσµα Εµπορικά Βιοµηχανικά Αγροτικά 7 9 Με βάση τα στοιχεία αυτά: i Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ii Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας,5 η υπόθεση ότι το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη χρήση για την οποία προορίζεται iii Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας,5 η υπόθεση ότι το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του Σηµείωση: Για τη διευκόλυνση των υπολογισµών δίνονται: i r ( ) y i r 6 ( yi ) 9 y r y 6 i i ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά δύο παράγοντες, όπου οι διαφορετικές χρήσεις των δανείων αποτελούν τις αγωγές και οι διαφορετικές διάρκειες τους τα blocs Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας ο οποίος περιέχει επίσης τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs ΕΙ ΟΣ ΑΝΕΙΟΥ Πίνακας ΙΑΡΚΕΙΑ ΑΝΕΙΟΥ Ε Ε Ε ΣΥΝΟΛΑ ΜΕΣΟΙ 7 9 Υ 9 Υ 8 Y 97 Y 6 Υ 6 Y 5 ΣΥΝΟΛΑ Υ Υ 9 Υ Υ 6 ΜΕΣΟΙ Υ 77 Υ 97 Υ 7 Υ 7
12 Γνωρίζουµε επιπλέον ότι SST SSTr + SSBl + SSE (), b Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων b i r y (δίνεται) ir ( y ) b 6 * i b r ( Y ) i (δίνεται) ( ) Y (δίνεται) r Υπολογισµός στοιχείων για τον Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης SST i r y ir ( y ) b 6 SST 9 SSTr i ( Y ) b i ( Y ) * b 9 SST r 56 SBl b r ( ) Y r ( Y ) * b SSBl 7 () SSE SST SSTr - SSBl SSE Εναλλακτικά: SSE ( y ) ( y ) κ b i r i r ( y ) yir + ι r b b 9 SSE 6 + SSE
13 SSTr 56 MSTr 8 MSTr 8 SSBl 7 MSBl MSBl 65 b MS Ε SSE ( )( b ) Tr MSTr MSE 55 Bl MSBl MSE,65 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ SS D MS ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ 56 (κ-) - 8 ΜΕΤΑΞΥ BLOCKS 7 (b-) ΛΑΘΟΣ (b-)(-)(-)(-) 5 ΣΥΝΟΛΟ 9 Kb-*-8 Έλεγχος Υποθέσεων α) Πρώτη υπόθεση: Η : το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από το είδος του Η : το ύψος του δανείου επηρεάζεται από το είδος του Κριτήριο απόρριψης Απορρίπτω την Η ο αν Tr < -, (b-) (-), -α Στη συγκεκριµένη περίπτωση a 5 Tr,( b )( ), a,,95 Συµπέρασµα: Επειδή 69 Tr < 69 δεχόµαστε την Η δηλαδή ότι το ύψος του δανείου,,95 δεν επηρεάζεται από το είδος του
14 β) εύτερη υπόθεση: Η : Το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του Η : Το ύψος του δανείου επηρεάζεται από τη διάρκεια του Κριτήριο απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η αν Β > (b-), (-) (b-), -α Στη συγκεκριµένη περίπτωση α 5 Β 65 (b-),(-)(b-),-α Συµπέρασµα:,, Επειδή 65 < 69,,95 Β δεχόµαστε την Η δηλαδή ότι το ύψος του δανείου δεν επηρεάζεται από τη διάρκεια του ΑΣΚΗΣΗ 5 Στον Πίνακα 5 µε Χ συµβολίζεται ο αριθµός της γραπτής εξέτασης φοιτητών στα Μαθηµατικά και µε Υ ο αντίστοιχος βαθµός στο Mareting (κλίµακα βαθµολογίας ) Πίνακας 5 Χ i Y i Οι τιµές (Χ i, Y i ) παρατηρήθηκαν σε τυχαίο δείγµα φοιτητών ενός Πανεπιστηµιακού Τµήµατος ιοίκησης Επιχειρήσεων Να εκτιµηθεί η συνάρτηση Υ α + βχ +ε και να συγκριθεί η ερµηνευτική της ικανότητα µε την αντίστοιχη της απλής γραµµικής παλινδρόµησης Σηµείωση: Για διευκόλυνση των υπολογισµών δίνονται: S S 9 S 9 6 xx ΛΥΣΗ yy xy Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα (στήλες,) καθώς και ορισµένα βοηθητικά στοιχεία που προκύπτουν από αυτά και τα οποία είναι απαραίτητα για τη λύση της άσκησης
15 () () () () (5) (6) (7) X Y Y Y X Ζ Ζ Ζ ( ) Ζ Ζ ( Y Y ) ( Ζ Ζ) X i Y i Z i ίνεται επίσης ότι S, S 9, S 9 6 xx yy xy Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων S zz S YZ X X i 6 X n 6 Y Z Yi 9 Y n Z i Z n 9 S zz yz 8, S 8 Επίσης δίνονται S xx, S yy 9, S xy 96 Γραµµικό Μοντέλο S XY 96 b b 67, S XX α Y bx 9 67 *6 a 8 Άρα Y X S XY 6 R b *67 R S 9 YY 9 5 5
16 Μη Γραµµικό Μοντέλο Θέτω X Z Άρα Y a + bz SYZ 8 b b 7, S 8 ZZ α Y bz 9 7 * a Άρα Y + 7Z Y + 7X R S XY 8 b 7 R S 9 YY 5 Από τη σύγκριση του R προκύπτει ότι τα δύο µοντέλα είναι ισοδύναµα ΑΣΚΗΣΗ 6 Μια εταιρεία παραγωγής γάλακτος και γαλακτοκοµικών προϊόντων εξετάζει τη συµπεριφορά της κατανάλωσης ξινόγαλου σε τρεις πόλεις Συγκεκριµένα, εξετάζει τη ποσότητα ξινόγαλου που καταναλώνει στη διάρκεια ενός µήνα µια "τυπική" τετραµελής οικογένεια Ο Πίνακας 6 περιέχει στοιχεία για την κατανάλωση ξινόγαλου (σε κιλά) 5 οικογενειών οι οποίες βρίσκονται στις τρεις πόλεις (5 οικογένειες στην Α, 6 στην Β και στην Γ) Με βάση τα στοιχεία αυτά: Πίνακας 6 Πόλη Α Πόλη Β Πόλη Γ α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α5 η υπόθεση ότι η µέση µηνιαία κατανάλωση ξινόγαλου δεν διαφέρει από πόλη σε πόλη Σηµείωση: Για τη διευκόλυνση των υπολογισµών δίνεται : y i 6 5 i 6
17 ΛΥΣΗ Πρόκειται για περίπτωση Ανάλυσης ιακύµανσης κατά ένα παράγοντα Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας 6 ο οποίος επιπλέον περιέχει τα σύνολα και τους µέσους τόσο των αγωγών όσο και των blocs Πίνακας 6 Οικογένεια Πόλη Α Πόλη Β Πόλη Γ ΣΥΝΟΛΑ Y Y Y 8 ΜΕΣΟΙ ίνεται ότι: n 5, n 6, n Άρα n n + n + n 5 Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων i j Υ Υ 5 Υ y (δίνεται) ij i y n i i , ,5 y n Υπολογισµός στοιχείων για τον Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης y 7 SST yij SST 6 n 5 i j yι y SSTr SSTr 5 ι nι n SST SSTr + SSE SSE SST SSTr 6 5 SSE 575 SSTr 5 MSTr MSTr 5 SSE 575 MSE 8 n 5 MSE 7
18 MSTr 5 MSE 8 6 Με βάση τα παραπάνω δηµιουργείται ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης SS D MS ΜΕΤΑΞΥ ΑΓΩΓΩΝ ΕΝΤΟΣ ΑΓΩΓΩΝ ΣΥΝΟΛΟ 6 Έλεγχος Υπόθεσης : Η : εν υπάρχει διαφορά στην κατανάλωση µεταξύ των πόλεων Η : Υπάρχει διαφορά στην κατανάλωση µεταξύ των πόλεων Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτω την Η αν > -, n-, -α Στη συγκεκριµένη περίπτωση 6 α5, n, a,,,95 Συµπέρασµα:,885 Επειδή 6 < 885,,, 95 δεχόµαστε την Η δηλαδή ότι η κατανάλωση ξινόγαλου είναι η ίδια και στις πόλεις ΑΣΚΗΣΗ 7 Ο Πίνακας 7 περιέχει την βαθµολογία πέντε φοιτητών στα µαθήµατα των Μαθηµατικών (Χ) και της Στατιστικής (Υ) Πίνακας 7 Μαθηµατικά (Χ) Στατιστική (Υ)
19 α Να εκτιµηθεί η ευθεία γραµµικής παλινδρόµησης της Υ πάνω στη Χ και να ερµηνευτούν οι συντελεστές της β Να εκτιµηθεί το τυπικό σφάλµα της Υ και να ερµηνευτεί γ Να εκτιµηθεί ο συντελεστής προσδιορισµού και να ερµηνευτεί δ Να εκτιµηθεί ο συντελεστής συσχέτισης, να ερµηνευτεί και να γίνει ο παρακάτω έλεγχος : Η : ρ Η : ρ ε Να εκτιµηθεί ο βαθµός ενός φοιτητή στο µάθηµα Στατιστικής όταν ο βαθµός του στα Μαθηµατικά είναι στ Nα υπολογιστεί το 95% διάστηµα πρόβλεψης του βαθµού της Στατιστικής όταν ο βαθµός των Μαθηµατικών είναι 7 Σηµείωση: ίνεται ότι το επίπεδο σηµαντικότητας είναι α5 ΛΥΣΗ Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο Πίνακας 7 ο οποίος επιπλέον περιέχει τα αρχικά δεδοµένα καθώς και ορισµένα βοηθητικά στοιχεία που προκύπτουν από αυτά και τα οποία είναι απαραίτητα για την λύση της άσκησης Πίνακας 7 () () () () (5) (6) X i Y i X i Y i ( X i X ) ( X i X ) Y i ΣΥΝΟΛΑ 8 5,, Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων X 8, Y 5 5 S XX X i X i 8 8 n 5 S YY Yi Y i 5 68 n 5 9
20 S YX ( X i X ) Yi α) Ευθεία Παλινδρόµησης S XY α Y X 8 a 89 S 8 XX S XY b b 6 S 8 XX Άρα η ευθεία παλινδρόµησης είναι: Y X β) Τυπικό Σφάλµα της Υ ( ) S xy S / 68 y x S / 5 yy 8 S y x n S xx Άρα S S 6 y / x y / x γ) Συντελεστής Προσδιορισµού R S xy b 6 R S 68 yy 96 Συµπεραίνουµε ότι η µεταβολή του βαθµού στη Στατιστική ερµηνεύεται κατά 96% από τη µεταβολή του βαθµού στα Μαθηµατικά δ) Συντελεστής Συσχέτισης S xy r r 98 S S 8* 68 xx yy Συµπεραίνουµε ότι υπάρχει έντονη θετική συσχέτιση µεταξύ του βαθµού στη Στατιστική και στα Μαθηµατικά Υποθέσεις: Η : ρ H : ρ Στατιστική συνάρτηση ελέγχου: Τ r n r
21 Κριτήριο απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η αν Τ > t n-, -a/ Στη συγκεκριµένη περίπτωση: 5 Τ 98 T (98) α 5 n5 t n-, -a/ t, Συµπέρασµα: 85 Επειδή Τ 85 > 8 t, 975 απορρίπτουµε την Η και δεχόµαστε την Η ε Εκτίµηση της τιµής του y Η ευθεία παλινδρόµησης είναι: Y i * x Για x έχουµε Y i * Y 5 i στ ιάστηµα πρόβλεψης της τιµής του y Ο γενικός τύπος του διαστήµατος πρόβλεψης είναι: Y ± t n a S, / Y / X κ () Στη συγκεκριµένη περίπτωση x 7 Y n 5, a *7 65 t n-, -a/ t, S Y ( X X ) n + S / + 6 / X Y X n S 5 8 xx Κατά συνέπεια το διάστηµα πρόβλεψης είναι: 65 ± 8*7 δηλαδή 65 ±9 ή (, 88)
22 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ο Πίνακας 8 περιέχει τις βαθµολογίες µαθητών της Α Λυκείου τριών σχολείων της Αθήνας οι οποίοι έλαβαν µέρος στον Πανελλήνιο ιαγωνισµό της Μαθηµατικής Εταιρείας Πίνακας 8 Βαθµολογία Μαθητών (κλίµακα -6) Μαθητές Σχολείου (Υ i ) Μαθητές Σχολείου (Υ i ) Μαθητές Σχολείου (Υ i ) α Να δηµιουργηθεί ο Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης β Να ελεγχθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας α5 η υπόθεση ότι η επίδοση των µαθητών στο συγκεκριµένο διαγωνισµό δεν επηρεάζεται από το σχολείο στο οποίο φοιτούν ΛΥΣΗ Πρόκειται για Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης κατά ένα παράγοντα Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης δηµιουργείται ο παρακάτω πίνακας ο οποίος περιέχει τόσο τα σύνολα όσο και τους µέσους ΜΑΘ ΣΧΟΛ ΜΑΘ ΣΧΟΛ ΜΑΘ ΣΧΟΛ ΣΥΝΟΛΑ Υ 9 Υ 5 Υ Υ 56 ΜΕΣΟΙ Υ Υ 5 Υ Υ ίνεται ότι: n, n 7, n n n + n + n +7 + Υπολογισµός βοηθητικών στοιχείων n i i j Y ij Y n 56 6
23 i Y i n i Υπολογισµός στοιχείων για τη δηµιουργία του Πίνακα Ανάλυσης ιακύµανσης SST 6 SST SSTr SSTr 8 SSTr MSTr MSTr 7 SSE 8 SSE SST SSTr SSE 8 MSE MSE 7 n MSTr 7 MSE Πίνακας Ανάλυσης ιακύµανσης ΠΗΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ SS D MS Μεταξύ Αγωγών - 7 9,59 Εντός Αγωγών 8 n-,7 ΣΥΝΟΛΟ n- Έλεγχος Υποθέσεων: Η : Η επίδοση των µαθητών δεν επηρεάζεται από το σχολείο Η : Η επίδοση των µαθητών επηρεάζεται από το σχολείο Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτουµε την Η αν >, n, a Στη συγκεκριµένη περίπτωση 9,59 α,5 -, n-, -a,, Συµπέρασµα: Επειδή 9,59 > 98,, 95 απορρίπτουµε την Η και δεχόµαστε την Η ηλαδή δεχόµαστε ότι η επίδοση των µαθητών επηρεάζεται από το σχολείο στο οποίο φοιτούν
24 ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο Πίνακας 9 περιέχει τα τριµηνιαία έσοδα (σε χµ) µιας εµπορικής εταιρείας από τις πωλήσεις των προϊόντων της για την περίοδο Πίνακας 9 Έτος Τρίµηνο α Β γ δ Με βάση τα στοιχεία του Πίνακα 9 να υπολογιστεί α Η µακροχρόνια τάση της χρονολογικής σειράς µε τη µέθοδο των κινητών µέσων χρησιµοποιώντας τον κατάλληλο αριθµό περιόδων β Τα εποχικά διορθωµένα τριµηνιαία έσοδα γ Οι άρρυθµες κινήσεις της χρονολογικής σειράς ΛΥΣΗ Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα (στήλη ), ορισµένα βοηθητικά δεδοµένα που προκύπτουν από αυτά καθώς και τα ζητούµενα στοιχεία Ο τρόπος υπολογισµού των ζητούµενων στοιχείων περιγράφεται στη συνέχεια Πίνακας 9 ΑΡΧΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΚΙΝΗΤΑ ΑΘΡ/ΤΑ ΤΡΙΜΗΝΩΝ ΚΙΝΗΤΑ ΑΘΡ/ΤΑ 8 ΤΡΙΜΗΝΩΝ ΜΑΚΡΟ- ΧΡΟΝΙΑ ΤΑΣΗ ΕΠ/ΚΗ ΚΑΙ ΑΡΡ/ΜΗ ΣΥΝ/ΩΣΑ ΕΠΟΧΙΚΑ ΙΟΡ/ΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΡΥΘΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΤΟΣ ΤΡΙΜΗΝΑ () () () () (5) (6) (7) α, 6,7 β 8, 8, 997, γ 8, 6,5 8, 99,6 8,,, δ,9 8, 8,6,5 9,,, α 5,8 8, 8,5 9,5 8,5,,9 β 8, 6,6 8,, 8,, 998,7 γ 7,8 5,5 8, 98,6 8, 99,,8 δ,7 6,9 8, 8, 7,9 98,, α 5,9,8 8,9 89,6 8,7 99, 6,7 β 9,7 7, 9,7, 9,6 99,7 999,5 γ,,6 δ,5,
25 α) Επειδή η σειρά είναι τριµηνιαία ο κατάλληλος αριθµός περιόδων για τον υπολογισµό των κινητών µέσων είναι τέσσερις Για τον υπολογισµό της µακροχρόνιας τάσης εργαζόµαστε ως εξής: Υπολογίζουµε τα κινητά αθροίσµατα τριµήνων (στήλη ) Προσθέτουµε τα αθροίσµατα ανά δυο (κεντροποίηση του µέσου) (στήλη ) ιαιρούµε τα στοιχεία της στήλης διά 8 Τα πηλίκα εκφράζουν τη µακροχρόνια τάση της σειράς (στήλη ) β) Για τον υπολογισµό των εποχικά διορθωµένων στοιχείων εργαζόµαστε ως εξής: ιαιρούµε τα αρχικά δεδοµένα µε τη µακροχρόνια τάση και πολλαπλασιάζουµε επί Τα στοιχεία που προκύπτουν εκφράζουν την εποχική και άρρυθµη συνιστώσα της χρονολογικής σειράς (στήλη 5) Μεταφέρουµε την εποχική και άρρυθµη συνιστώσα στον Πίνακα 9 και υπολογίζουµε τους είκτες Εποχικότητας ιαιρούµε τα αρχικά δεδοµένα µε τους είκτες Εποχικότητας και πολλαπλασιάζουµε επί Τα στοιχεία που προκύπτουν εκφράζουν τα εποχικά διορθωµένα στοιχεία της σειράς (στήλη 6) γ) Για τον υπολογισµό των άρρυθµων κινήσεων διαιρούµε τα εποχικά διορθωµένα στοιχεία µε την µακροχρόνια τάση και πολλαπλασιάζουµε επί (στήλη 7) Πίνακας 9 ΤΡΙΜΗΝΑ α β γ δ ΕΤΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΜΕΣΟΙ ΕΙΚΤΕΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ
26 ΑΣΚΗΣΗ Ο Πίνακας περιέχει τα ετήσια έσοδα µιας εταιρείας για την περίοδο 987 Πίνακας ΕΤΟΣ ΕΣΟ Α ΕΤΟΣ ΕΣΟ Α α Να υπολογιστεί η µακροχρόνια τάση της σειράς µε τη µέθοδο των κινητών µέσων χρησιµοποιώντας περίοδο επτά ετών Στη συνέχεια να υπολογιστεί η κυκλική - άρρυθµη συνιστώσα της χρονολογικής σειράς β Να εξοµαλυνθεί η χρονολογική σειρά µε τη µέθοδο της εκθετικής εξοµάλυνσης και συντελεστή στάθµισης αυτόν που αντιστοιχεί στην περίοδο που χρησιµοποιήθηκε στο ερώτηµα α ΛΥΣΗ Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα (στήλη ), ορισµένα βοηθητικά δεδοµένα που προκύπτουν από αυτά καθώς και τα ζητούµενα στοιχεία Ο τρόπος υπολογισµού των ζητούµενων στοιχείων περιγράφεται στη συνέχεια Έτος Αρχικά εδοµένα (i) Κινητό Άθροισµα 7 ετών () Πίνακας Κινητός Μέσος 7 ετών () Άρρυθµη Συνιστώσα () Εκθετική Εξοµάλυνση
27 α) Για τον υπολογισµό της µακροχρόνιας τάσης της σειράς υπολογίζουµε τα κινητά αθροίσµατα των 7 ετών και τα διαιρούµε µε 7(στήλη ) Για τον υπολογισµό της κυκλικής και άρρυθµης συνιστώσας διαιρούµε τα αρχικά δεδοµένα µε τη µακροχρόνια τάση και πολλαπλασιάζουµε επί (στήλη ) β) Ο γενικός τύπος της εκθετικής εξοµάλυνσης είναι: ε t w * y t + ( - w) * ε t- όπου: ε t : η εξοµαλυσµένη τιµή κατά την περίοδο t ε t- : η εξοµαλυσµένη τιµή κατά την προηγούµενη περίοδο t - y t : η πραγµατική τιµή κατά την περίοδο t w: ο συντελεστής στάθµισης ( < w < ) Ως αρχική συνθήκη της παραπάνω σχέσης θεωρείται ότι ε y Στη συγκεκριµένη περίπτωση w 5 και ε y 6,6 L + 8 Εφαρµόζοντας το γενικό τύπο για t έχουµε ε,5*8,6+,75*6,67, Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουµε τις εκθετικά εξοµαλυσµένες τιµές για τα έτη 987 που εµφανίζονται στην τελευταία στήλη του Πίνακα ΑΣΚΗΣΗ Ο Πίνακας περιέχει τις τιµές µονάδας (σε χρηµατικές µονάδες ) και τις ποσότητες (σε µονάδες βάρους ) τριών προϊόντων τα οποία πωλήθηκαν από ένα κατάστηµα κατά τα έτη 998 και 999 αντίστοιχα Πίνακας Προϊόν Ποσότητα Τιµή Ποσότητα Τιµή Α Β 5 6 Γ 5 α Με βάση τα στοιχεία αυτά και χρησιµοποιώντας ως περίοδο βάσης το 998 να υπολογισθούν για το 999 i Ο είκτης τιµών των προϊόντων κατά Laspeyres ii Ο είκτης όγκου των προϊόντων κατά Paasche 7
28 β Ο Μηνιαίος είκτης Όγκου Παραγωγής ( ΟΠ) µιας επιχείρησης µε περίοδο βάσης τον Ιούνιο του 99 αναθεωρήθηκε πρόσφατα και υπολογίζεται µε νέα περίοδο βάσης τον Ιανουάριο του 998 Ο Πίνακας περιέχει τις 8 τελευταίες διαθέσιµες τιµές αυτού του δείκτη Πίνακας Έτος Μήνας Περίοδος Βάσης Περίοδος Βάσης Ιούνιος 99 Ιανουάριος 998 Οκτώβριος Νοέµβριος 5 εκέµβριος 7 Ιανουάριος Φεβρουάριος 6 Μάρτιος 9 Απρίλιος Με βάση τα στοιχεία αυτά i Να ενοποιηθούν οι παραπάνω δύο σειρές σε µία ενιαία µε βάση το Φεβρουάριο του 998 ii Να υπολογιστεί η ποσοστιαία µεταβολή του όγκου παραγωγής µεταξύ Νοεµβρίου 997 και Απριλίου 998 γ Μεταξύ των ετών 997 και 998 ο είκτης Τιµών Καταναλωτή παρουσίαζε αύξηση % στη χώρα Α και µείωση % στη χώρα Β Να υπολογιστεί η αντίστοιχη ποσοστιαία µεταβολή της πραγµατικής αξίας του χρήµατος στις δύο χώρες ΛΥΣΗ Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα αρχικά δεδοµένα καθώς και ορισµένα βοηθητικά στοιχεία που απαιτούνται για τη λύση της άσκησης Πίνακας Προϊόν Q 98 P 98 Q 99 P 99 P 98 *Q 98 P 99 *Q 98 Q 99 *P 99 Α 6 Β Γ είκτης Τιµών Laspeyres L (99) (98) pi qi ( P) i 65 ( P) 99,98 * * L 99,98 (98) (98) pi qi i 65% 8
29 είκτης Όγκου Paasche P (99) (99) qi pi ( q) i 8 ( q) 99,98 * * P 99,98 (98) (99) 65 qi pi i 99% β Ο Φεβρουάριος 998 ανήκει στην αναθεωρηµένη σειρά και προφανώς η νέα τιµή της για το µήνα αυτό θα είναι Οι υπόλοιπες τιµές της σειράς αυτής µε βάση το Φεβρουάριο 998 θα υπολογιστούν µε βάση τον ακόλουθο τύπο I t, νέα βάση I I t, παλαιά βάση, παλαιά βάση I I Απρίλιος Μάρτιος I Απρίλιος 98, Ιανουάριος 98, Φεβρουάριος 98 * * 75 8 I 6 Φεβρουάριος 98, Ιανουάριος 98 I Μάρτιος 98, Φεβρουάριος 98 9, Φεβρουάριος 98 * *,8 I 6 φεβρουάριος 98, Ιανουάριος 98 I Ιανουάριος I Ιανουάριος 98, Ιανουάριος 98, Φεβρουάριος 98 * * 9 9 I 6 Φεβρουάριος 98, Ιανουάριος 98 Η νέα τιµή για τον Ιανουάριο 998 είναι 9 και θα πρέπει να συµπέσει µε την αντίστοιχη τιµή της αρχικής σειράς Αυτό µπορεί να επιτευχθεί αν η τιµή της αρχικής σειράς () πολλαπλασιαστεί επί 9 και το γινόµενο διαιρεθεί µε ηλαδή έχουµε: Νέα τιµή για τον Ιανουάριο * 9 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται παρακάτω και οι υπόλοιπες τιµές της αρχικής σειράς 9 Νέα τιµή για τον Οκτώβριο 997 * Νέα τιµή για τον Νοέµβριο * 8 9
30 9 Νέα τιµή για τον εκέµβριο * 87 9 Η ενοποιηµένη σειρά µε βάση το Φεβρουάριο 998 εµφανίζεται στην τελευταία στήλη του παρακάτω πίνακα Πίνακας ΕΤΟΣ ΜΗΝΑΣ είκτης Όγκου Παραγωγής Βάση Ιούνιος 99 είκτης Όγκου Παραγωγής Βάση Ιανουάριος 998 ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 997 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 5 ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 6 ΜΑΡΤΙΟΣ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΣ 8 είκτης Όγκου Παραγωγής Βάση Φεβρουάριος 998 β Ποσοστιαία µεταβολή όγκου παραγωγής µεταξύ Νοεµβρίου 997 και Απριλίου 998 Όγκος Παραγωγής Νοεµβρίου 997 Όγκος Παραγωγής Απριλίου Ποσοστιαία µεταβολή όγκου παραγωγής Oγκος παραγωγής Απριλίου 98 όγκος παραγωγής Νοεµβρίου 97 όγκος παραγωγής Νοεµβρίου 97 8 * 85% γέστω ότι το 997 ο είκτης Τιµών Καταναλωτή ήταν και για τις δυο χώρες Ο Πίνακας συνοψίζει, σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης τις τιµές του ΤΚ στις δυο χώρες τα έτη 997 και 998 και την ποσοστιαία µεταβολή τους Πίνακας είκτης Τιµών Καταναλωτή % Μεταβολή Χώρα Α Χώρα Β 8 - Για τον υπολογισµό της πραγµατικής αξίας του χρήµατος στις δύο χώρες για κάθε ένα από τα έτη 997 (ΠΑΑ 97, ΠΑΒ 97 ) και 998 (ΠΑΑ 98, ΠΑΒ 98 ) χρησιµοποιούµε τον τύπο
31 Οναµαστικήαξία ( σε τρέχουσες τιµ ές ) Πραγµατική Αξία (σε σταθερές τιµές) * είκτης τιµ ών καταναλωτή Άρα: ΠΑΑ 97 * ΠΑΒ * 97 ΠΑΑ * 98 8 ΠΑΒ98 * 5 8 Η ποσοστιαία µεταβολή της πραγµατικής αξίας του χρήµατος µεταξύ 997 και998 για τη χώρα Α είναι (8-) / -67/-67 Η ποσοστιαία µεταβολή της πραγµατικής αξίας του χρήµατος µεταξύ 997 και998 για τη χώρα Β είναι (5-) / 5/5 Ο πίνακας που ακολουθεί συνοψίζει την πραγµατική αξία του χρήµατος στις δυο χώρες για καθένα από τα έτη 997, 998 και την ποσοστιαία µεταβολή τους Πίνακας Πραγµατική Αξία Χρήµατος % Μεταβολή Χώρα Α 8-67 Χώρα Β 5 +5
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017 2 Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων (1) Αποτελεί ευθεία γενίκευση του σχεδίου που γνωρίσαμε όταν μιλήσαμε για τη σύγκριση κατά ζεύγη δύο μέσων μ 1 και μ 2
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 2 α x b Παραγοντικό Πείραμα (1) Όταν θέλουμε να μελετήσουμε την επίδραση (στη μεταβλητή απόφασης) δύο παραγόντων, έστω Α και Β, με α στάθμες ο Α και b στάθμες
Διαβάστε περισσότεραα) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις
ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης
Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι
Διαβάστε περισσότεραΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ
ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΑναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)
Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY
Διαβάστε περισσότερα9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότερασυγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;
Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ-ΔΕΥΤΕΡΟ-ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΚΥΚΛΙΚΗ ΤΑΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΙΟΡΙΣΜΟΙ Χρονολογική Σειρά (χρονοσειρά)
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ
Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ =Ε(Χ )-µ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : Cov(X,Υ)=Ε(ΧΥ)-Ε(Χ)Ε(Υ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να δείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ Η ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ, ΤΟΥ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ, ΤΟΥ ΧΑΛΥΒΑ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ Δαμιανού Χριστίνα Διπλωματική
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότερα15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17
ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι
Διαβάστε περισσότεραΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε
Διαβάστε περισσότεραΜέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.
ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός Βιομετρία
Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΓΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΥ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Παλινδρόμηση
Διαβάστε περισσότεραΓια το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 11. Κεφάλαιο: Στατιστική
Μάθηµα Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Παρουσίαση Στατιστικών εδοµένων (Στατιστικοί Πίνακες). Γενικά για στατιστικούς πίνακες. Τα στατιστικά δεδοµένα καταγράφονται σε στατιστικούς πίνακες (ή
Διαβάστε περισσότεραΓραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΧ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,
Διαβάστε περισσότερα, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί).
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 009 στη Στατιστική 0/0/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. [0] Οι ακαθάριστες εβδοµαδιαίες εισπράξεις µιας κτηνοτροφικής µονάδας, από την πώληση
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 8 Σεπτεµβρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 8 Σεπτεµβρίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιούνιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:
Διαβάστε περισσότεραΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011
Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)
Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2015
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 20 Πειραιάς, 12 Νοεµβρίου 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 5ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 0) www.oleclassroom.gr Ένας οικονομικός αναλυτής θέλει να διερευνήσει τη σχέση μεταξύ της τιμής ενός αγαθού με τις σημειούμενες πωλήσεις του σε διαφορετικά καταστήματα μιας αστικής περιοχής.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Οι άνεργοι µειώθηκαν κατά άτοµα σε σχέση µε το Απρίλιο του 2014 (µείωση
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 9 Ιουλίου 20 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Απρίλιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Απρίλιο
Διαβάστε περισσότεραΔιάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής
Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η
1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ Απρίλης 014 Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος 013-14 του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 12 Μαΐου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 12 Μαΐου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Φεβρουάριος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραΠροσαρμογή καμπύλης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων
Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στην Χημική Μηχανική, ο εξάμηνο Προσαρμογή καμπύλης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων Εισαγωγή Με βάση κάποιο δείγμα (Χ,Υ) ζητούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Διαχείριση Πληροφοριών
ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Μία χρονοσειρά είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων πάνω σε μία ποσοτική μεταβλητή που συγκεντρώνονται με το πέρασμα του χρόνου. Πρόκειται για δεδομένα πάνω στη συμπεριφορά μιας ή πολλών μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας 1: Απασχολούμενοι, άνεργοι, οικονομικά μη ενεργοί και ποσοστό ανεργίας, Ιανουάριος
Πίνακας 1: Απασχολούμενοι, άνεργοι, οικονομικά μη ενεργοί και ποσοστό ανεργίας, Ιανουάριος 2012-2017 Ιανουάριος 2012 201 2014 2015 2017 Α π α σ χολού μ ενο ι.849.108.545.885.504.987.55.774.61.801.69.126
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 7 Ιανουαρίου 2016 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Οκτώβριος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο 2015.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 4 Ιουνίου 20 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάρτιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Μάρτιο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ ΟΜΑ Α ΕΥΤΕΡΗ
ΤΑΞΗ: ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΗΣ Α. α. ΣΩΣΤΟ β. ΣΩΣΤΟ γ. ΛΑΘΟΣ δ. ΣΩΣΤΟ ε. ΛΑΘΟΣ Α.2 β Α.3 γ Ηµεροµηνία: Παρασκευή 7 Απριλίου 205 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α
Διαβάστε περισσότερα7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων
7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες
Διαβάστε περισσότεραΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Νοεμβρίου 2016
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 Νοεμβρίου ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Αύγουστος Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρμοσμένο δείκτη ανεργίας
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ-ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ ΤΙΜΑΡΙΘΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΟΓΚΟΥ-ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ-ΑΞΙΑΣ ΔΤΚ-ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδο Τιμές 12
Άσκηση 1 (τοποθετήθηκε 26/10/2012) Οι παρακάτω μετρήσεις είναι χωρισμένες σε διαφορετικά επίπεδα ενός παράγοντα, προέρχονται από κανονική κατανομή με ίδια διακύμανση και είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.
Διαβάστε περισσότερα3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ
3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Στατιστικής & Μέθοδοι Πρόβλεψης
ΜΕΡΟΣ Βασικές Έννοιες Στατιστικής & Μέθοδοι Πρόβλεψης Εισαγωγή Περιγραφή μεθόδων πρόβλεψης Οι μέθοδοι προβλέψεων χωρίζονται σε 3 μεγάλες κατηγορίες Α. Με βάση τον ορίζοντα προγραμματισμού. βραχυπρόθεσμες.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 12 Απριλίου 2012 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, Απριλίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά διορθωµένο δείκτη ανεργίας για τον Ιανουάριο 20. Στο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός - Βιομετρία
Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ / ΕΠΙΛΟΓΗΣ Α1. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό Α2. δ Α3. β Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΟΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΤΗΣ ΠΟΡΕΙΑΣ ΑΓΟΡΑΣ
ΠΕΤΡΑΚΗ 8 Τ.Κ. 105 63 - ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ: 210.32.59.170 FAX: 210.32.59.169 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΤΗΣ ΠΟΡΕΙΑΣ ΑΓΟΡΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Ε.Σ.Ε.Ε. (ΙΝ.ΕΜ.Υ.) ΙΟΥΝΙΟΣ 2015 Πηγές Στοιχείων : Ελληνική
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΤΗΣ ΠΟΡΕΙΑΣ ΑΓΟΡΑΣ
ΠΕΤΡΑΚΗ 16 Τ.Κ. 105 63 - ΑΘΗΝΑ ΤΗΛ: 210.32.59.198 FAX: 210.32.59.229 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΤΗΣ ΠΟΡΕΙΑΣ ΑΓΟΡΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Ε.Σ.Ε.Ε. (ΙΝ.ΕΜ.Υ.) ΜΑΡΤΙΟΣ 2015 Πηγές Στοιχείων : Ελληνική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης
Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2015 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 9 Απριλίου 2015
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Πειραιάς, 9 Απριλίου 2015 ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2015 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:
Διαβάστε περισσότερα25-34» 14,5 20,9 29,3 34,9 36,0 31, » 9,5 12,7 18,8 23,4 24,7 22, » 7,6 10,3 16,6 20,4 20,6 21, » 6,1 7,7 11,7 16,0 17,9 17,8
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 6 Μαΐου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Φεβρουάριο 20.
Διαβάστε περισσότεραΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 6 Απριλίου 2017
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 6 Απριλίου 2017 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2017 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρμοσμένο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραF είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία
ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ασκήσεις 1 ου Κεφαλαίου 1. Σε ένα δείγµα 90 δοχείων ελαιολάδου το µέσο βάρος των δοχείων είναι 500 γραµµάρια. Από µετρήσεις έχει γίνει γνωστή η διακύµανση
Διαβάστε περισσότεραY Y ... y nx1. nx1
6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 Ιουλίου 2014 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 Ιουλίου 20 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ: Απρίλιος 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρµοσµένο δείκτη ανεργίας για τον Απρίλιο
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν
Διαβάστε περισσότεραΝα χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασµένες τις επόµενες προτάσεις: Α3. Τα ελεύθερα αγαθά αποτελούν αντικείµενο µελέτης της Οικονοµικής Επιστήµης.
ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 (για καλά διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α1. Όταν η ζήτηση αποδίδεται γραφικά
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο
Πολλαπλή παλινδρόµηση Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση (Multivariate regression ) Η συµπεριφορά των περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών είναι συνάρτηση όχι µιας αλλά πολλών µεταβλητών Y = f ( X, X 2, X
Διαβάστε περισσότερα1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4
ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ
Διαβάστε περισσότερα