Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ"

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΓΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΥ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Παλινδρόμηση Συσχέτιση Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών Τάση Εποχικότητα IV.1

2 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Η παλινδρόμηση ασχολείται με τη μελέτη διμεταβλητών ή πολυμεταβλητών στατιστικών πληθυσμών (π.χ. ύψος Χ και βάρος Υ ατόμων) Με την παλινδρόμηση εξετάζουμε αν υπάρχει σχέση εξάρτησης μιας μεταβλητής Υ που ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή από μια μεταβλητή Χ που ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή. Εκτός από την ύπαρξη της σχέσης μας ενδιαφέρει και ο «βαθμός» (ένταση) της συσχέτισης. Για τη μελέτη της σχέσης δύο μεταβλητών υπάρχουν δύο βασικές μέθοδοι: Η Ανάλυση Παλινδρόμησης με χρήση μιας Εξίσωσης Παλινδρόμησης Η Συσχέτιση με τον ποσοτικό προσδιορισμό του βαθμού εξάρτησης και της μορφής της (θετική ή αρνητική). Χρησιμοποιούμε συνήθως τον συντελεστή Συσχέτισης και τον Συντελεστή Προσδιορισμού. IV.

3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Έστω ότι έχουμε μετρήσει το Ύψος και Βάρος δείγματος 30 ατόμων, αν θεωρήσουμε ότι το ΥΨΟΣ κάθε ατόμου είναι στον Χ-άξονα και το Βάρος του στον Υ-άξονα, δημιουργούμε το παρακάτω γράφημα (κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα άτομο): «Νέφος» σημείων-δεδομένων ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.3

4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Παρατηρούμε ότι ο «κανόνας» είναι το «λογικό», ότι ψηλότερα άτομα είναι και βαρύτερα. Επομένως υπάρχει μια «σχέση» μεταξύ του Ύψους (μεταβλητή Χ) και Βάρους (μεταβλητή Υ) των ανθρώπων. ΥΨΟΣ ΒΑΡΟΣ Ο κανόνας μπορεί να φανεί στο γράφημα σαν μια ανοδική γραμμή IV.4

5 ΚΕΡΔΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ (ΤΖΙΡΟΣ) ΚΑΙ ΚΕΡΔΗ της APPLE nc (008-14) ΕΤΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΚΕΡΔΗ Η σχέση των μεταβλητών είναι ανάλογη, άνοδος της μίας οδηγεί σε άνοδο και της άλλης ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΕΡΔΗ APPLE nc (σε δις $) Στις μεταβλητές Πωλήσεις και Κέρδη είναι προφανές ότι οι Πωλήσεις είναι η ανεξάρτητη (Χ-άξονας) και τα Κέρδη η εξαρτημένη (Υ-άξονας) ΠΩΛΗΣΕΙΣ IV.5

6 ΑΝΕΡΓΙΑ% ΑΝΕΡΓΙΑ% ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3 ΕΛΛΑΔΑ: ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ (GDP/capta) και ΠΟΣΟΣΤΟ ΑΝΕΡΓΙΑΣ ΕΤΟΣ GDP/capta ($) ΑΝΕΡΓΙΑ (%) ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ% (ΕΛΛΑΔΑ ) ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ% (ΕΛΛΑΔΑ ) ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ Παρατηρούμε ότι η άνοδος του Μέσου Εθνικού Εισοδήματος οδηγεί σε μείωση (χαμηλές τιμές) της Ανεργίας. Επομένως η «σχέση» των μεταβλητών είναι αντιστρόφως ανάλογη, μείωση του ενός οδηγεί σε αύξηση του άλλου και το αντίστροφο Το δεξιό γράφημα αποτελεί «μεγέθυνση» του αριστερού στις τιμές του Χ-άξονα, δείτε την κλίμακα αξόνων. IV.6

7 ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ??? Τέλεια Θετική Συσχέτιση Θετική Συσχέτιση Το Υ αυξάνει καθώς αυξάνει το Χ Χαμηλή συσχέτιση Χ και Υ ασυσχέτιστα Αρνητική Συσχέτιση Το Υ μειώνεται καθώς αυξάνει το Χ Τέλεια Αρνητική Συσχέτιση Για να εξετάσουμε γραφικά τη μορφή σχέσης δύο μεταβλητών, σε γράφημα Χ-Υ χρησιμοποιούμε τη μια μεταβλητή για τις τιμές των σημείων στο Χ άξονα και την άλλη στον Υ άξονα IV.7

8 ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η εξίσωση της γραμμικής παλινδρόμησης είναι: Yˆ a bx Ονομάζεται εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης, γιατί μαθηματικά είναι μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο Χ-Υ. Τα a, b είναι οι άγνωστοι συντελεστές της παλινδρόμησης Η σταθερά b είναι ο συντελεστής κλίσης της ευθείας παλινδρόμησης Αν b>0 η εξάρτηση Χ-Υ είναι θετική (ευθεία ανοδική), Αν b<0 η εξάρτηση Χ-Υ είναι αρνητική (ευθεία καθοδική) Για να υπολογίσουμε τα a, b χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων, θέτοντας σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλματος μεταξύ εκτιμήσεων γραμμικής παλινδρόμησης για τα Υ και πραγματικών τιμών Υ IV.8

9 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ (1) 1 1 ) ( ˆ ) ( n n bx a Y Y Y e Y Y e ˆ Το σφάλμα e της γραμμικής παλινδρόμησης στο σημείο Υ είναι η διαφορά των τιμών: Επειδή έχουμε Ν δεδομένα (σημεία) επιθυμούμε να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των N σφαλμάτων. Επειδή τα σφάλματα μπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά είναι αναγκαίο να ελαχιστοποιήσουμε το Άθροισμα Τετραγώνων των Σφαλμάτων (Ελάχιστα Τετράγωνα: Least Squares): Για τα ελαχιστοποιηθεί η παραπάνω σχέση πρέπει οι μερικές παράγωγοι ως προς τις άγνωστες παραμέτρους a, b να είναι μηδέν, από τη συνθήκη αυτή προκύπτουν εξισώσεις με αγνώστους: 0 ) ( ) ( 1 n n bx a Y a bx a Y IV.9 0 ) ( ) ( 1 n n bx a Y X b bx a Y ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ

10 ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ () Η λύση του προηγούμενου συστήματος εξισώσεων με αγνώστους είναι: b X Y nxy a ybx X nx Επομένως με δεδομένα τις τιμές των μεταβλητών Χ και Υ, με τις παραπάνω σχέσεις υπολογίζουμε τις τιμές των συντελεστών a και b της γραμμικής παλινδρόμησης. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ y =.9649x R = ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Γραμμική Παλινδρόμηση ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Στο γράφημα τα σημεία των μεταβλητών Διαφήμισης και Πωλήσεων έχουν ενωθεί με «ομαλή» γραμμή, η ευθεία είναι η γραμμή παλινδρόμησης IV.10

11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Πίνακας για τον υπολογισμό των a, b ΠΩΛΗΣΕΙΣ y =.9649x R = ΕΤΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ XY Χ Υ Γραμμική Παλινδρόμηση ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ a, b: ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Σύμφωνα με τους τύπους για τα a, b της γραμμικής παλινδρόμησης στον πίνακα με τα δεδομένα (3 πρώτες στήλες) υπολογίζουμε τις 3 επόμενες ΧΥ, Χ, Υ ώστε να υπολογίσουμε στη συνέχεια τα αθροίσματα των στηλών και τελικά την τιμή του b και a από τους τύπους της προηγούμενης διαφάνειας Σ Μέσο ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.11

12 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ a, b ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΕΤΟΣ b a ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ XY Υ Χ Αθρ. Σ Μέσο X Y X ybx nxy nx Οι μαθηματικοί τύποι για τον υπολογισμό των a, b περιλαμβάνουν τους όρους: Άθροισμα Γινομένων ΣΧ ι Υ ι, μέσοι ഥx ഥy, Άθροισμα Τετραγώνων ΣΧ ι επομένως θα πρέπει να υπολογιστούν από τα δεδομένα (μεταβλητές) αυτές οι ποσότητες, ώστε στη συνέχεια με αντικατάσταση να υπολογιστούν τα a, b. Επομένως στον πίνακα που παρουσιάζει τα δεδομένα: ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ και ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ, δημιουργούμε 3 νέες στήλες τις Χ*Υ, Χ,Υ και υπολογίζουμε τα αντίστοιχα αποτελέσματα για κάθε γραμμή. Προσθέτουμε στον πίνακα μια νέα γραμμή για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα στηλών (Σ), για τους μέσους ഥx ഥy προφανώς διαιρούμε το άθροισμα με το N *713*85 b *(713) a * ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ.965 IV.1

13 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Μετά τον υπολογισμό των συντελεστών a=.965, b=711 της γραμμικής παλινδρόμησης, μπορούμε από την εξίσωση της παλινδρόμησης να υπολογίσουμε τις εκτιμήσεις Y και τα σφάλματα e από τις εξισώσεις: Yˆ a bx e Y Yˆ ΕΤΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ Εκτιμήσεις Y Σφάλμα e Y ˆ a bx * Επομένως στον πίνακα για το 1985 θα έχουμε: Εκτίμηση Y = *16= Για το 1986: Y = *85= e Y Yˆ X Επομένως στον πίνακα για το 1985 θα έχουμε: Σφάλμα e = = Για το 1986: e = =-96.0 IV.13

14 ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Χ ΩΣ ΠΡΟΣ Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΑΝΑΣΤΡΕΨΟΥΜΕ ΤΗ ΣΕΙΡΑ Χ,Υ Η εξίσωση της γραμμικής παλινδρόμησης του Χ ως προς Υ είναι: Xˆ a b Y Ονομάζεται εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης του Χ ως προς Υ. Τα a, b είναι οι άγνωστοι συντελεστές της παλινδρόμησης Η σταθερά b είναι ο συντελεστής κλίσης της ευθείας παλινδρόμησης Για να υπολογίσουμε τα a, b χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων, θέτοντας σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλματος μεταξύ εκτιμήσεων γραμμικής παλινδρόμησης για τα Χ και πραγματικών τιμών Χ Με ίδιο τρόπο με τη γραμμική παλινδρόμηση Υ ως προς Χ με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζουμε τα a, b : b n n X Y Y X Y Y a xby IV.14

15 ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Χ ΩΣ ΠΡΟΣ Υ Στους τύπους της προηγούμενης διαφάνειας παρατηρούμε ότι το μόνο επιπλέον που χρειαζόμαστε (σε σχέση με τον υπολογισμό των a, b) είναι το Άθροισμα Τετραγώνων ΣΥ ι Σύμφωνα με τους τύπους για τα a, b της γραμμικής παλινδρόμησης δημιουργούμε το παρακάτω γράφημα, όπου το R είναι ίδιο αλλά η εξίσωση της ευθείας αλλάζει γιατί έχουμε τώρα νέες τιμές a, b y = x R = ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ (X-Y) ΠΩΛΗΣΕΙΣ Γραμ. Πλαινρόμηση (Χ-Υ) ΠΩΛΗΣΕΙΣ IV.15

16 ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ s yx Η ποιότητα της παλινδρόμησης εξαρτάται από την «συγκέντρωση» των δεδομένων (σημείων) γύρω από τη γραμμή παλινδρόμησης. Το μέτρο διασποράς των τιμών Υ ι γύρω από τη γραμμή της παλινδρόμησης ονομάζεται τυπικό σφάλμα εκτίμησης της εξαρτημένης μεταβλητής και είναι: s YX ( Y ˆ Y ) n n Στον παρονομαστή χρησιμοποιούμε το n- γιατί έχουμε βαθμούς ελευθερίας (εκτίμηση συντελεστών a, b της εξίσωσης παλινδρόμησης). Η διακύμανση (διασπορά) των δεδομένων γύρω από τη γραμμή της παλινδρόμησης είναι το s. Για το προηγούμενο παράδειγμα με βάση την παραπάνω σχέση βρίσκουμε: s YX = =49.5 Y b Δηλαδή «τυπικά» (κατά μέσο όρο) κάθε εκτίμηση έχει σφάλμα 49.5 μονάδες Y X Y IV.16

17 ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Η εξάρτηση μεταξύ δύο μεταβλητών X Και Υ μπορεί να μετρηθεί με την συσχέτιση. Ο ποσοτικός προσδιορισμός γίνεται με το Συντελεστή Συσχέτισης (Correlaton Coeffcent) r: n X Y X Y Cov( X r r b b n X X n Y Y Var( X ) Var( Y), Y) Όπου η Cov(X,Y) είναι η Συνδιακύμανση των μεταβλητών Χ, Υ Ο συντελεστής συσχέτισης r μετρά την ένταση της εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών Χ κα Υ (για γραμμικής μορφής σχέση εξάρτησης) Ισχύει -1 r 1 και αν r > 0 έχουμε θετική συσχέτιση (αυξάνονται ή μειώνονται και οι μεταβλητές), αν r < 0 αρνητική συσχέτιση (όταν η μία αυξάνεται η άλλη μειώνεται και αντίστροφα) Όταν το r 0 τότε έχουμε ασυσχέτιστες μεταβλητές Οι τιμές του Υ δεν επηρεάζονται από τις τιμές του Χ Όταν το r -1 έχουμε ισχυρή αρνητική συσχέτιση Όταν η Χ αυξάνει η Υ μειώνεται ανάλογα (σε ίδιο ποσοστό) Όταν το r 1 έχουμε ισχυρή θετική συσχέτιση Όταν η Χ αυξάνει η Υ αυξάνει ανάλογα (σε ίδιο ποσοστό) IV.17

18 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ Ο συντελεστής προσδιορισμού (Coeffcent of Determnaton) είναι το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης και συμβολίζεται με r ή συνήθως R : R ( Yˆ ( Y y) y) b b από τον ορισμό είναι φανερό ότι 0 R 1 (αφού -1 r 1 ) Όσο πλησιάζει στη μονάδα τόσο καλύτερη είναι η προσαρμογή της γραμμής παλινδρόμησης στα δεδομένα. Ο R ερμηνεύεται σαν το ποσοστό της συνολικής μεταβλητικότητας της μεταβλητής Υ που οφείλεται στην επίδραση των τιμών της Χ. Η διαφορά 1- R εκφράζει το ποσοστό της μεταβλητικότητας που οφείλεται σε άγνωστους παράγοντες (δηλ. εκτός της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ που χρησιμοποιούμε και γνωρίζουμε). ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.18

19 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ R Για το παράδειγμα των δεδομένων Διαφήμισης και Πωλήσεων υπολογίσαμε ότι b=.965 και b =0.301 Ο συντελεστής προσδιορισμού (Coeffcent of Determnaton) R : r R ( Yˆ ( Y y) y) b b Η τιμή R =0.89 είναι υψηλή και επομένως θεωρούμε ότι μεταξύ Διαφήμισης και Πωλήσεων υπάρχει ισχυρή θετική συσχέτιση. Προφανώς στη συσχέτιση μεταβλητών δεν έχει σημασία η σειρά (ανεξάρτητη-εξαρτημένη) γιατί συσχετίζουμε τις μεταβλητές. Επομένως η παλινδρόμηση Υ ως προς Χ και Χ ως προς Υ έχουν τα ίδια r και R. Προσέξτε ότι το b είναι η κλίση της ευθείας Υ ως προς Χ ενώ b η κλίση της ευθείας Χ ως προς Υ. IV.19

20 ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ R παλινδρόμηση Υ ως προς Χ και Χ ως προς Υ Για το παράδειγμα των δεδομένων Διαφήμισης και Πωλήσεων υπολογίσαμε ότι b=.965 και b =0.301 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ (X-Y) y =.9649x R = y = x R = Γραμμική Παλινδρόμηση ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΠΩΛΗΣΕΙΣ (Υ) ΩΣ ΠΡΟΣ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ (Χ) ΠΩΛΗΣΕΙΣ Γραμ. Πλαινρόμηση (Χ-Υ) ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ (Υ) ΩΣ ΠΡΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ (Χ) Μαθηματικά είναι εφικτό και χωρίς πρόβλημα να «κάνουμε» οποιαδήποτε παλινδρόμηση από τις, είτε Πωλήσεις ως προς Διαφήμιση, είτε Διαφήμιση ως προς Πωλήσεις. ΑΛΛΑ αν λάβουμε την οικονομική πραγματικότητα, γνωρίζουμε ότι η Διαφήμιση επηρεάζει τις Πωλήσεις (και για το λόγο αυτό οι επιχειρήσεις «πληρώνουν» διαφημίσεις για να αυξήσουν τις πωλήσεις τους) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η «ΣΩΣΤΗ» ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΊΝΑΙ ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ IV.0

21 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αν υποθέσουμε ότι η εξαρτημένη μεταβλητή Χ 1 δέχεται επιδράσεις από περισσότερες της μιας ανεξάρτητες μεταβλητές Χ, Χ 3, Χ 4, τότε η σχέση εξάρτησης ονομάζεται πολλαπλή παλινδρόμηση και συσχέτιση και έχει εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης της μορφής: Xˆ a b X b X b X Γραφικά η πολλαπλή παλινδρόμηση είναι μια επιφάνεια στο χώρο (ενώ η απλή μια ευθεία στο επίπεδο). Με τη μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων μπορούμε να υπολογίσουμε τους άγνωστους συντελεστές, όπως και στη γραμμική παλινδρόμηση. Περισσότερες λεπτομέρειες για Απλή και Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση στο μάθημα Οικονομετρία IV.1

22 ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αν αντί για την εξίσωση της ευθείας γραμμής χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση κάποιας άλλης καμπύλης έχουμε μη γραμμική παλινδρόμηση Εκθετική Παλινδρόμηση: Y=aX b Υπερβολική Παλινδρόμηση: Y=1/(a+bX ). Γενικότερα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε εξίσωση καμπύλης που «φαίνεται» σε γράφημα ότι μπορεί να προσεγγίζει τα δεδομένα μας ικανοποιητικά (δηλ. τα δεδομένα μας δείχνουν να «ακολουθούν» την μορφή της συγκεκριμένης καμπύλης) y =.9649x R = ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Γραμμική Παλινδρόμηση Power (ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ) Expon. (ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ) ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Μπορούμε να αξιολογήσουμε την ποιότητα οποιασδήποτε παλινδρόμησης με το συντελεστή προσδιορισμού R. IV.

23 ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Χρονολογική Σειρά ή Χρονοσειρά (Tme Seres) είναι μια σειρά τιμών που παίρνει μια μεταβλητή σε διαδοχικά χρονικά διαστήματα (όχι απαραίτητα ίσα διαστήματα). Μια Χρονοσειρά μπορεί να είναι συνεχής (π.χ. θερμοκρασία αίθουσας διδασκαλίας) ή ασυνεχής (π.χ. τροχαία ατυχήματα σε μια πόλη). Συνεχής σημαίνει ότι «διέρχεται» μεταξύ όλων των «ενδιάμεσων» τιμών που παρατηρούμε (δηλ. δεν κάνει «άλματα»). Ασυνεχής σημαίνει ότι δεν ισχύει το παραπάνω. Στόχος της Ανάλυσης των Χρονολογικών Σειρών είναι συνήθως η πρόβλεψη. Θεωρούμε ότι μια χρονοσειρά αναπαριστά την εξέλιξη ενός φαινομένου που μας ενδιαφέρει. π.χ. με τον αριθμό των αφίξεων επιβατών στα αεροδρόμια Ηρακλείου και Χανίων «μετράμε» τον τουρισμό στην Κρήτη. IV.3

24 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 14,000 1,000 10,000 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ (# επισκεπτών) ΤΟΥΡΚΙΑ ΚΥΠΡΟΣ ΠΟΡΤΟΓΑΛΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΣ ΕΛΛΑΔΑ 3,000,000,800,000,600,000,400,000 ΑΦΙΞΕΙΣ ΣΤΟ ΑΕΡΟΔΡΟΜΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ (1985-) y = 88481x R = ,000,00,000 6,000 4,000,000,000,000 1,800,000 1,600,000 1,400,000 1,00,000 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Lnear (ΔΕΔΟΜΕΝΑ) ,000, ΘΑΝΑΤΟΙ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ( ) 10, ,000 80,000 60,000 40,000 0,000 0 IV.4

25 ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Συνιστώσες χρονοσειρών είναι οι παράγοντες που διαμορφώνουν τις τιμές τους. Κυριότερες συνιστώσες μιας Χρονολογικής Σειράς είναι: Μακροχρόνια Τάση (Trend): Τ Μπορεί να είναι Τάση: Ανοδική, Καθοδική, Σύνθετη Κυκλικές Διακυμάνσεις (Cyclcal Fluctuatons): C Εποχικές Διακυμάνσεις (Seasonal Fluctuatons): S (εβδομαδιαία, μηνιαία, 3μηνιαία δεδομένα) Άρρυθμες ή Τυχαίες Κινήσεις (Irregular-Random Movements): I Η Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών ασχολείται με τον προσδιορισμό και διαχωρισμό (decomposton) κάθε συνιστώσας σε μια Χρονοσειρά. Προσθετικό Υπόδειγμα: Υ=T+S+C+I Πολλαπλασιαστικό Υπόδειγμα: Y=TxSxCxI Τα υποδείγματα είναι πρακτικά ισοδύναμα, γιατί αν λογαριθμήσουμε το ο προκύπτει το 1 ο IV.5

26 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΣΗΣ Λόγοι για προσδιορισμό Τάσης χρονοσειράς Προβολή στο μέλλον (Πρόβλεψη) Διαχωρισμός και Απαλοιφή συνιστώσας Τάσης Για σύγκριση με Τάση άλλης χρονοσειράς Μέθοδοι προσδιορισμού Τάσης Χάραξη με το χέρι σε διάγραμμα (χωρίς υπολογισμούς) Μέθοδος Μέσων Σημείων Μέθοδος Κινητών Μέσων Όρων Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Γραμμική Τάση ή άλλη Παλινδρόμηση με κάποια μαθηματική εξίσωση-μοντέλο) IV.6

27 ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΟΡΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ ΟΡΟΙ ΠΩΛΗΣΕΙΣ 3 per. Mov. Avg. (ΠΩΛΗΣΕΙΣ) Υπολογίζουμε για κάθε τιμή των δεδομένων μας το μέσο όρο προηγούμενων τιμών π.χ. για κινητό μέσο όρο 3 περιόδων για το Y 3,ΚΜ(3) =(Y 1 +Y +Y 3 )/3 ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ: Μπορεί να «ακολουθεί» τη μορφή των δεδομένων ακόμα και σε «πολύπλοκες» μορφές (εξομάλυνση). Είναι πολύ απλή η σχέση υπολογισμού και η εφαρμογή της μεθόδου. IV.7

28 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΣΗΣ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ Χρησιμοποιούμε την εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης των δεδομένων μας με το χρόνο: Y t =a+bt Από το σύστημα εξισώσεων της παλινδρόμησης έχουμε: b n ty t ( ) n( t ) t Y a b n n t Y ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ y = x R = ΠΩΛΗΣΕΙΣ Lnear (ΠΩΛΗΣΕΙΣ) Οι απαραίτητοι υπολογισμοί είναι μια απλοποιημένη μορφή της Γραμμικής Παλινδρόμησης που έχουμε ήδη παρουσιάσει. Για λόγους απλότητας στην εξαρτημένη μεταβλητή του χρόνου στον Χ-άξονα χρησιμοποιούμε τιμές 0,1,,3, ή 1,,3,4, IV.8

29 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ Υπολογίζουμε τους συντελεστές εποχικότητας ή δείκτες εποχικότητας (seasonal ndexes) S Είναι απαραίτητο να έχουμε αρκετά δεδομένα ώστε να έχουμε πολλές εποχές (συνήθως ένα έτος ονομάζεται μια εποχή) Οι συντελεστές που υπολογίζουμε είναι μέσοι όροι των συντελεστών για πολλά έτη Στο γράφημα παρουσιάζεται μια Χρονοσειρά μηνιαίων δεδομένων για 4 έτη ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.9

30 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ (1) Υπολογισμός του συνόλου κάθε έτους και του μέσου κάθε μήνα ΜΗΝΑΣ ΙΑΝ ΦΕΒ ΜΑΡ ΑΠΡ ΜΑΪ ΙΟΥΝ ΙΟΥΛ ΑΥΓ ΣΕΠ ΟΚΤ ΝΟΕ ΔΕΚ ΣΥΝΟΛΟ ΜΗΝΙΑΙΟΣ ΜΕΣΟΣ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.30

31 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ () Υπολογισμός του ποσοστού κάθε μήνα στο μηνιαίο μέσο του έτους και του μέσου των μηνών για την εύρεση των συντελεστών S ΑΘΡΟΙΣΜΑ S ΙΑΝ 11.86% % % % % % ΦΕΒ % 104.6% 15.1% 113.0% 45.13% % ΜΑΡ 91.4% 96.6% % % % 10.33% ΑΠΡ 101.1% 10.3% % % 46.83% % ΜΑΪ 90.89% 9.38% % 81.08% % 91.10% ΙΟΥΝ 90.83% 84.10% 98.41% 83.4% % 89.19% ΙΟΥΛ 83.57% 8.86% 88.70% 81.33% % 84.1% ΑΥΓ 8.88% 75.99% 73.69% 80.6% 31.8% 78.0% ΣΕΠ 86.34% 89.45% 77.60% 90.10% % 85.87% ΟΚΤ % 10.80% 95.04% 99.19% % % ΝΟΕ 11.98% 1.68% 98.0% % % 11.83% ΔΕΚ 1.04% 139.5% 9.91% % 47.66% % ΣΥΝΟΛΟ 100% 100% 100% 100% 100% ΜΗΝΙΑΙΟΣ ΜΕΣΟΣ 100% 100% 100% 100% IV.31

32 ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ Αν διαιρέσουμε κάθε τιμή της χρονοσειράς με το αντίστοιχο Συντελεστή Εποχικότητας S (για τον κάθε μήνα του έτους) θα προκύψει μια Χρονοσειρά απαλλαγμένη από τις εποχικές διακυμάνσεις (Από-εποχικοποιημένα δεδομένα). ΜΗΝΑΣ ΙΑΝ ΦΕΒ ΜΑΡ ΑΠΡ ΜΑΪ ΙΟΥΝ ΙΟΥΛ ΑΥΓ ΣΕΠ ΟΚΤ ΝΟΕ ΔΕΚ ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.3

33 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΜΕ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ - ΑΠΑΛΟΙΦΗ Σύμφωνα με το Πολλαπλασιαστικό Υπόδειγμα: Y=TxSxCxI στη Χρονοσειρά μας παραμένουν οι υπόλοιπες συνιστώσες εκτός της S (εποχικότητα). IV.33

34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Στις παρακάτω διαφάνειες δίνονται οι εκφωνήσεις ασκήσεων (παραδειγμάτων) στα 3 βασικά θέματα της ενότητας Παλινδρόμηση-Συσχέτιση Τάση Εποχικότητα Σε κάθε προτεινόμενη άσκηση δίνονται υποδείξεις και οι τιμές των λύσεων. Οι υπολογισμοί που πρέπει να γίνουν αναλύονται στις προηγούμενες διαφάνειες της ενότητας. IV.34

35 ΒΑΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 1 1. Δίνονται τα δεδομένα Ύψους και Βάρους για δείγμα 30 ατόμων. (Α) Υπολογίστε την κατάλληλη Παλινδρόμηση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού ΥΨΟΣ ΒΑΡΟΣ Απάντηση: Η «σωστή» παλινδρόμηση είναι ΒΑΡΟΣ ως προς ΥΨΟΣ, γιατί το Βάρος ενός ατόμου σχετικά εύκολα αλλάζει με την διατροφή ενώ το Ύψος είναι αδύνατο να αλλάξει! Επομένως ανεξάρτητη μεταβλητή το Ύψος και εξαρτημένη το Βάρος Η εξίσωση παλινδρόμησης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες ΣΧΕΣΗ ΥΨΟΥΣ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 30 ΑΤΟΜΩΝ y = 0.638x R² = ; ; ; 178; ; ; ; ; 63 18; ; 6 175; ; 6 171; 17; ; 176; ; 166; 57 17; ; ; ; ; 55 17; 55 17; ; 5 166; 5 169; ; ; ΥΨΟΣ IV.35

36 ΚΕΡΔΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ. Δίνονται τα δεδομένα Πωλήσεων και Κερδών της APPLE nc την περίοδο (Α) Υπολογίστε την κατάλληλη Παλινδρόμηση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού Απάντηση: Η «σωστή» παλινδρόμηση είναι ΚΕΡΔΗ ΠΡΟΣ ΕΣΟΔΑ, τα κέρδη εξαρτώνται από τα έσοδα το αντίστροφο είναι παράλογο! Επομένως ανεξάρτητη μεταβλητή τα ΕΣΟΔΑ και εξαρτημένη τα ΚΕΡΔΗ Η εξίσωση παλινδρόμησης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΕΡΔΗ APPLE nc (δις $) y = 0.4x R² = ΕΣΟΔΑ IV.36

37 ΑΝΕΡΓΙΑ% ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 3 3. Δίνονται τα δεδομένα Μέσου Εθνικού Εισοδήματος και Ανεργίας % για την Ελλάδα (Α) Υπολογίστε την κατάλληλη Παλινδρόμηση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού ΕΤΟΣ GDP/capta ($) ΑΝΕΡΓΙΑ (%) Απάντηση: Η «σωστή» παλινδρόμηση είναι ΑΝΕΡΓΙΑ ΠΡΟΣ Μ.Ε.Ε., τουλάχιστο οικονομικά αυτή είναι η σχέση, η πτώση του Μ.Ε.Ε. αυξάνει την Ανεργία Επομένως ανεξάρτητη μεταβλητή το Μ.Ε.Ε. και εξαρτημένη η ΑΝΕΡΓΙΑ Η εξίσωση παλινδρόμησης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ% (ΕΛΛΑΔΑ ) y = x R² = ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ IV.37

38 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΣΗΣ 1 4. Δίνονται τα δεδομένα Α.Ε.Π. για την Ελλάδα (Α) Υπολογίστε την Γραμμική Τάση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού Απάντηση: Η εξίσωση Γραμμικής Τάσης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Στο γράφημα η τάση έχει υπολογιστεί με σειρά χρόνου 007,008, y = x R² = Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες Α.Ε.Π. ΕΛΛΑΔΑΣ (δις $) y = x R² = IV.38

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΣΗΣ 5. Δίνονται τα δεδομένα μέσης Τουριστικής Δαπάνης στην Ελλάδα (Α) Υπολογίστε την Γραμμική Τάση και (Β) την πρόβλεψη (εκτίμηση) της Δαπάνης για το έτος Δαπάνη ( ) Απάντηση: Η εξίσωση Γραμμικής Τάσης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Στο γράφημα η τάση έχει υπολογιστεί με σειρά χρόνου 1,, Επομένως οι προβλέψεις για τα έτη θα δίνονται από την εξίσωση y = 6.503x και θα είναι: Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες Μέση Δαπάνη Τουριστών ( ) y = x R² = IV.39

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΣΗΣ 3 6. Δίνονται τα δεδομένα Πωλήσεων της Google nc (Α) Υπολογίστε την Γραμμική Τάση και (Β) την πρόβλεψη (εκτίμηση) των Πωλήσεων για τα έτη ΕΤΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ (δις $) Απάντηση: Η εξίσωση Γραμμικής Τάσης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Στο γράφημα η τάση έχει υπολογιστεί με σειρά χρόνου 1,, Επομένως οι προβλέψεις για τα έτη θα δίνονται από την εξίσωση y=6.503x για χ=11, 1, 13 και θα είναι: Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες ΠΩΛΗΣΕΙΣ Google nc y = 6.503x R² =

41 ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 7. Δίνονται τα δεδομένα Πωλήσεων επιχείρησης για 4 έτη κατά εποχή (Α) Υπολογίστε τους συντελεστές εποχικότητας και (Β) την πρόβλεψη (εκτίμηση) των Πωλήσεων κάθε εποχής για το επόμενο έτος αν στο σύνολό τους είναι 150. εποχή ετος1 ετος ετος3 ετος4 Άνοιξη Καλοκαίρι Φθινόπωρο Χειμώνας Απάντηση: Υπολογίζουμε τους Συντελεστές Εποχικότητας στους παρακάτω πίνακες: Μέσος 4 ετών κάθε εποχής ετος1 ετος ετος3 ετος4 Άνοιξη Καλοκαίρι Φθινόπωρο Χειμώνας άθροισμα Διαιρούμε με το σύνολο έτους (άθροισμα) ετος1 ετος ετος3 ετος4 S Ανοιξη 36.0% 33.3% 3.0% 30.3% 3.9% Καλοκαίρι 4.0% 6.7% 5.6% 7.0% 5.8% Φθινόπωρο 15.0% 15.0% 16.0% 17.% 15.8% Χειμώνας 5.0% 5.0% 6.4% 5.4% 5.5% Σύνολο 100% 100% 100% 100% (Β) Αν το σύνολο των πωλήσεων του επόμενου έτους είναι 150, θεωρούμε ότι η κατανομή των πωλήσεων στις 4 εποχές θα είναι σύμφωνα με τους συντελεστές εποχικότητας και επομένως: Πωλήσεις Άνοιξης=150*3.9%=49.37, Πωλ. Καλ.=150*5.7%=38.74, Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες IV.41

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Οικονομετρία=Προχωρημένη στατιστική+ Οικονομική Η οικονομετρία κάνει ποσοτική ανάλυση και προβλέψεις σε οικονομικά γεγονότα (κυρίως μακροοικονομικά) Δειγματική Μέση τιμή Δειγματική μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η τελεία χρησιμοποιείται ως υποδιαστολή (π.χ 3 14 τρία κόμμα δεκατέσσερα) Παρακαλώ παραδώστε τα θέματα μαζί με το γραπτό σας ΟΝΟΜΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜ:

Η τελεία χρησιμοποιείται ως υποδιαστολή (π.χ 3 14 τρία κόμμα δεκατέσσερα) Παρακαλώ παραδώστε τα θέματα μαζί με το γραπτό σας ΟΝΟΜΑ: ΕΠΩΝΥΜΟ: ΑΜ: Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Εξεταστική περίοδος Ιανουαρίου 2014 (18-Φεβ-2014) 9:00-11:00 Μάθημα: «ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ» ΟΙΚΟΝ 320 Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Ιωάννης Α. Βενέτης Διάρκεια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 4: Στατιστική Ι (4/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 4: Στατιστική Ι (4/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 4: Στατιστική Ι (4/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

4. ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ

4. ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 36 4. ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Στα προηγούμενα εξετάστηκαν απλές μονομεταβλητές στατιστικές σειρές, δηλ. ενός στατιστικού πληθυσμού που εξετάζεται ως προς μια μεταβλητή. Όπως ήδη έχει αναφερθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defned. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 6: Συσχέτιση και παλινδρόμηση εμπειρική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Θα εξεταστούν μόνο οι περιπτώσεις των ψευδομεταβλητών που χρησιμοποιούνται σαν ανεξάρτητες μεταβλητές

Θα εξεταστούν μόνο οι περιπτώσεις των ψευδομεταβλητών που χρησιμοποιούνται σαν ανεξάρτητες μεταβλητές Όταν ένα μέγεθος είναι αδύνατο να ποσοτικοποιηθεί αλλά πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμοποιηθεί σε ένα υπόδειγμα προσεγγίζεται συνήθως με μια μεταβλητή η οποία ονομάζεται ποιοτική μεταβλητή ή ψευδομεταβλητή.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : Τεχνο-οικονομικά Συστήματα

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα : Τεχνο-οικονομικά Συστήματα Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών 1 1 8. Προβλέψεις & Ζήτηση Εισηγητής : Επικ. Καθ. Δ. Ασκούνης Περιεχόμενα 2 Στοιχεία και Διαχείριση Ζήτησης Ποιοτικές Μέθοδοι Προβλέψεων Μέθοδος Delphi Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α)

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α) Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Αγ. Νικόλαος), Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σελίδα 1 από 13 5η Εργαστηριακή Άσκηση Σκοπός: Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση στοχεύει στην εκμάθηση κατασκευής γραφημάτων που θα παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ Ξάνθης Ειδικότητα Μηχανογραφημένου Λογιστηρίου Σημειώσεις για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος - Μαθηματικός 0.

ΙΕΚ Ξάνθης Ειδικότητα Μηχανογραφημένου Λογιστηρίου Σημειώσεις για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος - Μαθηματικός 0. ΙΕΚ Ξάνθης Ειδικότητα Μηχανογραφημένου Λογιστηρίου Σημειώσεις για το μάθημα Στατιστική ΙΙ Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος - Μαθηματικός 0.1 Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν τη φυσική συνέχεια των σημειώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών. Μάθημα: Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών. Μάθημα: Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών Μάθημα: Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών 4. Διαχείριση Αλυσίδας Προμηθειών Μέθοδοι Προβλέψεων Μάθημα: Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών Περιεχόμενα 4.1 Διαχείριση Αλυσίδας Προμηθειών Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit Τεχνικές Προβλέψεων 2 η Ενότητα http://www.fsu.gr -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, Σεπτεμβρίου 20 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: 20 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρμοσμένο δείκτη ανεργίας για τον Ιούνιο 20.

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρμογή καμπύλης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων

Προσαρμογή καμπύλης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ Ανάλυση Συστημάτων Χημικής Μηχανικής, ο εξάμηνο Προσαρμογή καμπύλης με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων Διδάσκοντες: Χ. Κυρανούδης, Γ. Μαυρωτάς Εισαγωγή Με βάση κάποιο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιούμενες Συναρτήσεις του Microsoft Excel

Χρησιμοποιούμενες Συναρτήσεις του Microsoft Excel Χρησιμοποιούμενες Συναρτήσεις του Microsoft Excel A.1 Μέση Τιμή - Συνάρτηση AVERAGE Δίνει τον μέσο όρο (αριθμητικό μέσο) των ορισμάτων. AVERAGE(umber1; umber;...) Number1, umber,... είναι 1 έως 30 ορίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Σεπτέμβριος 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 8 Δεκεμβρίου 2016

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Σεπτέμβριος 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 8 Δεκεμβρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 8 Δεκεμβρίου ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Σεπτέμβριος Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρμοσμένο δείκτη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάιος 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Αυγούστου 2017

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάιος 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 10 Αυγούστου 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 10 Αυγούστου ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Μάιος ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρμοσμένο δείκτη ανεργίας

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 6 Απριλίου 2017

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ. Πειραιάς, 6 Απριλίου 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ Πειραιάς, 6 Απριλίου 2017 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΕΡΕΥΝΑ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ: Ιανουάριος 2017 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) ανακοινώνει τον εποχικά προσαρμοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2 Αποσύνθεση (Decomposition)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) Δρ Ιωάννης Δημόπουλος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας Τι είναι η χρονολογική σειρά Χρονολογική σειρά ή Χρονοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Εξελίξεις στον Παγκόσμιο και τον Ελληνικό Τουρισμό

Εξελίξεις στον Παγκόσμιο και τον Ελληνικό Τουρισμό Εξελίξεις στον Παγκόσμιο και τον Ελληνικό Τουρισμό και στα Βασικά Μεγέθη της Ελληνικής Ξενοδοχίας το 2014 ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ 2 Αφίξεις, Εισπράξεις, Πληρωμές ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ-ΔΕΥΤΕΡΟ-ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΚΥΚΛΙΚΗ ΤΑΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΙΟΡΙΣΜΟΙ Χρονολογική Σειρά (χρονοσειρά)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ 7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ Για να προσδιορισθεί η καμπύλη παλινδρόμησης, η οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη σημείων τα οποία μπορούν προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 205 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων Γένεση Μετακινήσεων Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος ppapant@upatras.gr Πάτρα, 2017 Εισαγωγή Αθροιστικά μοντέλα (Aggregate models) Ανάλυση κατά ζώνη πόσες μετακινήσεις ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 18: ΠΡΟΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑI ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 011-01

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν έχουμε m εξισώσεις (ισότητες) που περιγράφουν μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα