ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης"

Πάνδαρος Μοσχοβάκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 7 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ον ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης ίνεται το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων,, Το σύστηµα µπορεί να γραφεί ως γινόµενο πινάκων X B, όπου Χ ο πίνακας-στήλη των αγνώστων (,,). Να βρεθεί ο και να λυθεί το σύστηµα χρησιµοποιώντας τον. ΘΕΜΑ ον ίνεται η συνάρτηση ( ) e όπου [, ). Να βρεθούν α) Η () και το lim ( ), και β) το πεδίο τιµών της (). ΘΕΜΑ ον ίνεται η συνάρτηση ( ). Να µελετηθεί η µονοτονία της σε όλο το πεδίο ορισµού και να βρεθούν τα ακρότατα. Να σχεδιαστεί πρόχειρα η γραφική της παράσταση. ΘΕΜΑ ον Υπολογίστε την τιµή της, µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων χωρίς να χρησιµοποιήσετε κοµπιουτεράκι! Υπόδειξη : Χρησιµοποιήστε σειρά Tlor. ΘΕΜΑ ον Να βρεθούν τα ολοκληρώµατα : α) ΘΕΜΑ 6 ον m e β) ln( ) Η µέση τιµή µιας συνάρτησης () σε ένα διάστηµα [, ] ορίζεται από την σχέση. Αντίστοιχα η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετράγωνου της ορίζεται από την. Να βρεθεί η V της τάσης V στο εναλλασσόµενο ρεύµα. Η τάση στο εναλλασσόµενο ρεύµα δίνεται από την σχέση V V sin(π t), όπου V το (σταθερό) πλάτος, η (σταθερή) συχνότητα και t ο χρόνος. Υπόδειξη : Ολοκληρώστε για µία περίοδο ( T ). Τα θέµατα είναι ισοδύναµα, κάθε θέµα βαθµολογείται µε µονάδες (σύνολο µονάδες) Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου - σηµειώσεων και κινητών τηλεφώνων. Προσοχή! Έλλειψη βασικών γνώσεων Μαθηµατικών επιπέδου ηµοτικού - Γυµνασίου έχει ως αποτέλεσµα τον µηδενισµό όλου του γραπτού!!! ιάρκεια εξετάσεων ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ To σύστηµα των εξισώσεων µπορεί να γραφεί ως γινόµενο πινάκων της µορφής Y X, όπου, X και Y Η λύση του συστήµατος είναι Y X Βρίσκουµε πρώτα τον αντίστροφο του πίνακα η µέθοδος Γράφουµε τον πίνακα στην µορφή Αφαιρώ την η επί από την η Προσθέτω την η στην η Προσθέτω την η στην η Προσθέτω την η επί στην η Άρα ο αντίστροφος του είναι ΘΕΜΑ ον ίνεται το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων,, Το σύστηµα µπορεί να γραφεί ως γινόµενο πινάκων B X, όπου Χ ο πίνακας-στήλη των αγνώστων (,,). Να βρεθεί ο και να λυθεί το σύστηµα χρησιµοποιώντας τον.

3 ος τρόπος Βρίσκω τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων. Α Α Α ( ) Α ( ) Α ( ) ( ) Α ( ) Α ( ) 6 ( ) Α ( ) Α ( ) Η ορίζουσα του πίνακα είναι ( ) ( ) Άρα ο αντίστροφος είναι Αφού βρήκαµε τον αντίστροφο πίνακα η λύση του συστήµατος είναι X Y και τελικά βρίσκουµε ΘΕΜΑ ον ίνεται η συνάρτηση πεδίο τιµών της (). ( ) e όπου, ) [. Να βρεθούν α) Η () και το lim ( ), και β) το α) () e lim ( ) lim e lim?? Άρα χρησιµοποιούµε τον κανόνα του de Hospitl e ( ) lim lim lim e e e ( ) β) Παρατηρούµε ότι η () στα δύο άκρα του πεδίου ορισµού είναι. Άρα ή είναι παντού (!) ή παρουσιάζει µέγιστα και ελάχιστα. d d Βρίσκουµε την παράγωγο e e e ( ). Η µόνο όταν. d d Άρα έχει µόνο ένα ακρότατο. Το ακρότατο είναι µέγιστο γιατί όταν < η > και όταν > η <. Άρα το πεδίο τιµών της είναι το διάστηµα [, ()] δηλαδή το [, e ].

4 ΘΕΜΑ ον ίνεται η συνάρτηση ( ). Να µελετηθεί η µονοτονία της σε όλο το πεδίο ορισµού και να βρεθούν τα ακρότατα. Να σχεδιαστεί πρόχειρα η γραφική της παράσταση. Το πεδίο ορισµού είναι όλο το R. Παρατηρούµε επίσης ότι ( ). () - - d Βρίσκουµε την παράγωγο της : Βρίσκουµε τα ακρότατα : d ± ± - Έχουµε λοιπόν τον πίνακα () () - τ.µ τ.ε ΘΕΜΑ ον Υπολογίστε την τιµή της, µε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων χωρίς να χρησιµοποιήσετε κοµπιουτεράκι! Υπόδειξη : Χρησιµοποιήστε σειρά Tlor. Αναπτύσσουµε σε Tlor την ( ) γύρω από την θέση. Επιλέξαµε το γιατί είναι µια τιµή πολύ κοντά στην επιθυµητή της οποίας γνωρίζουµε την τετραγωνική ρίζα. Το ανάπτυγµα Tlor δίνεται από την σχέση : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )...!! Έχουµε λοιπόν : ( ) (), άρα πρώτος όρος είναι ίσος µε ( ) (), άρα ος όρος είναι ( )(, ),, ( ) (), άρα ος όρος είναι () (, ),,! ( ) (), άρα ος όρος είναι () (, ),, 6 8 8! 6 8 Προφανώς δεν χρειαζόµαστε άλλους όρους γιατί έχουµε φτάσει στην επιθυµητή ακρίβεια. Άρα:,,,,6, 88 Πράγµατι αν υπολογίσουµε µε το κοµπιουτεράκι την, βρίσκουµε,8888

5 ΘΕΜΑ ον Να βρεθούν τα ολοκληρώµατα : α) α) e e e β) ln( ), θέτω u. Άρα du du και το ολοκλήρωµα γράφεται u e du e u u du e e β) ln( ) Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση ( ) ln( ) Πράγµατι ( ) ( ) ln ( ) ( ) ln( ) ( ) είναι περιττή. το έως το (δηλαδή από α έως α) το ολοκλήρωµα θα είναι : ln ( ). Άρα αφού η περιοχή ολοκλήρωσης είναι από

6 ΘΕΜΑ 6 ον m Η µέση τιµή µιας συνάρτησης () σε ένα διάστηµα [, ] ορίζεται από την σχέση. Αντίστοιχα η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετράγωνου της ορίζεται από την. Να βρεθεί η V της τάσης V στο εναλλασσόµενο ρεύµα. Η τάση στο εναλλασσόµενο ρεύµα δίνεται από την σχέση V V sin(π t), όπου V το (σταθερό) πλάτος, η (σταθερή) συχνότητα και t ο χρόνος. Υπόδειξη : Ολοκληρώστε για µία περίοδο ( T ). V θα δίνεται από την σχέση V V V dt sin (π t dt ) Το Αν ολοκληρώσουµε για µία περίοδο δηλαδή από έως T θα έχουµε V V sin (π t) dt Πρέπει λοιπόν να υπολογίσουµε το sin (π t) dt. Θέτω π t π dt. Τα όρια ολοκλήρωσης γίνονται t t π Έτσι sin (π t) dt π π sin ( ) cos() Για το sin () έχουµε sin ( ) cos() sin() Άρα π sin ( ) π sin(π ) sin() π Έτσι έχουµε Τελικά καταλήγουµεv sin (π t) dt π π V V sin (π t) dt. V ηλαδή στη γνωστή σχέση V

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΩΝ : Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 5-6 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 6 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι - ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι