|
|
- Ἀπφία Δάβης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι µία κανονική συνάρτηση και εποµένως έχει όλες τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά που έχουν οι υπόλοιπες συναρτήσεις, πεδίο ορισµού, µονοτονία, ακρότατα κλπ. τις οποίες µπορούµε να µελετάµε είτε µε την βοήθεια του τύπου της, αν µπορεί να βρεθεί, είτε µέσω της f. Στην περίπτωση που δεν µπορεί να βρεθεί τύπος για την f είναι ευνόητο ότι η διαχείρισή της στις ασκήσεις γίνεται αποκλειστικά και µόνο µε την βοήθεια της f. Σκοπός λοιπόν της εργασίας αυτής είναι µέσα από υποδειγµατικά λυµένες α- σκήσεις να τονισθούν διάφορες τεχνικές διαχείρισης µιας αντίστροφης συνάρτησης και στις περιπτώσεις που είναι δυνατή η εύρεση τύπου για τον ορισµό της αλλά και στις περιπτώσεις που δεν είναι. Α. Είναι δυνατή η εύρεση τύπου για την αντίστροφη συνάρτηση Θα ξεκινήσουµε τις παρατηρήσεις, τα σχόλια και τις τεχνικές από την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης µιας συνάρτησης που αντιστρέφεται, για να δού- µε κάποιες λεπτοµέρειες, οι οποίες δεν θα πρέπει να µας διαφεύγουν. Εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης Καταρχάς να επισηµάνουµε ότι όταν µας ζητείται γενικά να βρούµε µία συνάρτηση, µαζί µε τον τύπο πρέπει να βρίσκουµε και το πεδίο ορισµού της, διότι, όπως γνωρίζουµε, τα βασικά στοιχεία µιας συνάρτησης είναι το πεδίο ορισµού, το σύνολο αφίξεως και η αντιστοίχιση που γίνεται. Ο τύπος µιας συνάρτησης απλώς είναι το µέσο, το εργαλείο µε το οποίο γίνεται η αντιστοίχιση. Αυτό πρέπει να κάνουµε λοιπόν και όταν θέλουµε να βρούµε την αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f. Για να βρούµε το πεδίο ορι- Η αντίστροφη συνάρτηση µε την έννοια της αντιστοίχισης υπάρχει και ορίζεται από την ισοδυναµία: f. Γενικά, όταν f ( ) = y f ( y) =, D f, αλλά δεν µπορούµε να βρούµε τύπο για την αναφερόµαστε στην εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης, εννοούµε την εύρεση τύπου για τον ορισµό της και φυσικά και του πεδίου ορισµού της.
2 σµού της f πρέπει να βρούµε το σύνολο τιµών της f. Επειδή όµως δεν γίνεται ειδική αναφορά στην αντίστοιχη ενότητα του σχολικού βιβλίου της Γ Λυκείου για την εύρεση του συνόλου τιµών µιας συνάρτησης f µε αλγεβρικό τρόπο, το σύνολο τιµών της f θα το βρίσκουµε κατά την εύρεση του τύπου της f θέτοντας κάθε φορά τους περιορισµούς που απαιτούνται για την µεταβλητή y, ώστε να ισχύει η ισοδυναµία. Πολύ κατατοπιστικές είναι η εφαρµογή του σχολικού βιβλίου (έκδοση 04) στη σελίδα 55 καθώς και οι ασκήσεις που ακολουθούν. Άσκηση : ίνεται η συνάρτηση f ( ) = +. Να αποδείξετε ότι η f α- ντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε την f. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι -, οπότε αντιστρέφεται. Για να βρούµε την αντίστροφη συνάρτηση της f, θέτουµε y= f ( ) και λύνουµε ως προς, δηλαδή έχουµε διαδοχικά: f ( ) = y + = y = y = y y ( ), = + y y ( ),. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η συνάρτηση ( ) = + ( ),. f Παρατήρηση: ιαλέξαµε αυτή τη συνάρτηση, γιατί στο 3 ο βήµα της εύρεσης της αντίστροφης πολλοί ξεχνούν να θέσουν τον περιορισµό για την µεταβλητή y, ώστε να ισχύει η ισοδυναµία και αυτό συνήθως παρατηρείται κάθε φορά που έχουµε µια ρίζα τάξεως ν και πρέπει να υψώσουµε στη ν και τα δύο µέλη της ισότητας. Επίσης, εκείνο που πρέπει να σηµειωθεί ακόµη και φαίνεται πολύ καθαρά στο παραπάνω παράδειγµα είναι ότι το πεδίο ορισµού της αντίστροφης συνάρτησης f δεν προσδιορίζεται από τον τύπο της (αν µπορεί να βρεθεί), αλλά από το σύνολο τιµών της f. Έτσι λοιπόν µπορεί να προσδιορίζεται από τους περιορισµούς που πρέπει να τίθενται για την µεταβλητή y κατά την διαδικασία εύρεσης της f. Το πεδίο ορισµού της f µπορεί να είναι ένα γνήσιο υποσύνολο του πεδίου ορισµού της παράστασης µε την οποία ορίζεται, αφού ο ρόλος Αναφέρεται µόνο ο γραφικός τρόπος. Η εύρεση του συνόλου τιµών µιας συνάρτησης µε την βοήθεια της Ανάλυσης (συνέχεια, µονοτονία) διδάσκεται αργότερα.
3 3 της f είναι συγκεκριµένος. Οπτικά αυτό φαίνεται στο επόµενο σχήµα στο οποίο παριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f της παραπάνω άσκησης καθώς και της g( ) = + ( ) όπου φαίνεται το τµήµα της C g που αποτελεί γραφική παράσταση της f. Το ίδιο παρατηρείται και στη συνάρτηση της επόµενης άσκησης στην οποία το σύνολο τιµών της f το βρίσκουµε και µε την βοήθεια της Ανάλυσης 3. Άσκηση : ίνεται η συνάρτηση f ( ) = 3 9 e. i) Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. iii) Να βρείτε την f. i) Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της που είναι το σύνολο Α = (-, ln9] και συνεπώς αντιστρέφεται. ii) Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Α = (-, ln9], το σύνολο τιµών της είναι το f ( A) = ( lim f ( ), f (ln 9) = ( 0, 3]. 3 Για να δοθεί στους µαθητές αυτός ο τρόπος εύρεσης του συνόλου τιµών µιας συνάρτησης f θα πρέπει να έχει διδαχθεί η αντίστοιχη ενότητα.
4 4 iii) Για να βρούµε τώρα την αντίστροφη συνάρτηση της f, θέτουµε y= f ( ) και λύνουµε ως προς, δηλαδή έχουµε διαδοχικά: f ( ) = y 3 9 e = y 9 e = 3 y 9 (3 ), 3 e = y y = e 9 (3 y), y 3 = y y < y ln(6 ), 0 3 Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η συνάρτηση ( ) = ln(6 ), 0< 3. f Παρατηρούµε ότι το πεδίο ορισµού της f είναι γνήσιο υποσύνολο του πεδίου ορισµού της συνάρτησης g( ) = ln(6 ), όπως φαίνεται και γραφικά στο σχήµα που ακολουθεί.
5 5 Β. εν είναι δυνατή η εύρεση τύπου για την αντίστροφη συνάρτηση Στην ενότητα αυτή θα δούµε πώς διαχειριζόµαστε την αντίστροφη συνάρτηση σε διάφορες ασκήσεις όταν δεν µπορούµε να βρούµε τύπο για την αντίστροφη εστιάζοντας στις περιπτώσεις του ορίου, της παραγώγου και του ολοκληρώµατος. Β : H αντίστροφη συνάρτηση στο όριο Άσκηση 3: ίνεται η συνάρτηση f ( ) e αντιστρέψιµη και στη συνέχεια να υπολογίσετε το όριο = +. Να αποδείξετε ότι η f είναι lim f ( ). Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι αντιστρέψιµη. Όµως, δεν µπορούµε να βρούµε τύπο για την αντίστροφή της. Αφού δεν µπορούµε λοιπόν να βρούµε τύπο για την f, για να υπολογίσουµε το παραπάνω όριο πρέπει να έχουµε κάποια πληροφορία για την συµπεριφορά της f κοντά στο (συνεχής, φραγµέ- νη κλπ.), η οποία θα βοηθήσει στην εύρεση του ζητούµενου ορίου. Εδώ η f είναι συνεχής στο και αυτό θα πρέπει να δοθεί στην εκφώνηση της άσκησης. Με δεδοµένη λοιπόν την συνέχεια της προκύπτει απροσδιόριστη µορφή. f στο (ισχύει lim f ( ) f () = = ) Επειδή δεν µπορούµε να βρούµε τύπο για την f, για τον υπολογισµό του παραπάνω ορίου θέτουµε u = f ( ) οπότε έχουµε = f ( u) και το όριο υπολογί- ζεται ως εξής: 0 0 f ( ) u u lim = lim = lim = lim =. u u u f ( u) u e u u + e + Παρατήρηση:. Όταν σε µία άσκηση ζητείται η εύρεση ενός ορίου µιας παράστασης που περιέχει µία αντίστροφη συνάρτηση για την οποία δεν µπορούµε να βρούµε τύπο, αν αυτή η αντίστροφη συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ο- ρισµού της ή στο σηµείο που ζητείται το όριο, τότε αυτό πρέπει να δίνεται, διότι η αντίστροφη συνάρτηση µιας συνεχούς αντιστρέψιµης συνάρτησης δεν είναι πάντα συνεχής. Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση, < f ( ) = e, η οποία είναι -, οπότε αντιστρέφεται και συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Η γραφική παράσταση της f φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.
6 6 Η αντίστροφη της f είναι η f +, < ( ) = ln +, µε γραφική παράσταση: όπου φαίνεται καθαρά ότι δεν είναι συνεχής στο. Στο σηµείο αυτό αξίζει να αναφέρουµε ότι ισχύει το παρακάτω θεώρηµα: «Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και αντιστρέφεται, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής στο f ( ).» Το θεώρηµα όµως αυτό δεν αναφέρεται στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο και ε- ποµένως δεν µπορούµε να το επικαλούµαστε.
7 7 Άσκηση 4: ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e + 3. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής να υπολογίσετε το όριο f ( ) lim. 0 f ( ) 5ηµ Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι αντιστρέψιµη. Όµως, δεν µπορούµε να βρούµε τύπο για την αντίστροφή της. Η f σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρη- µα είναι συνεχής στο 0, το οποίο και δίνεται, αφού δεν µπορούµε να το συµπεράνουµε, γιατί όπως είπαµε δεν αναφέρεται το παραπάνω θεώρηµα στο σχολικό βιβλίο. Παρατηρούµε ότι η εφαρµογή των ιδιοτήτων των ορίων στην παραπάνω παράσταση οδηγεί σε απροσδιόριστη µορφή. Για τον υπολογισµό του ορίου αυτού δεν είναι αναγκαία η αλλαγή µεταβλητής, διότι µπορεί να υπολογιστεί και διαιρώντας αριθµητή και παρονοµαστή µε ως εξής: αφού f ( ) f ( ) lim = lim = = 0 f ( ) 5ηµ 0 ηµ 5 4 f ( ) 5 lim f ( ) = f (0) = λόγω της συνέχειας της f στο 0. 0 Ας δούµε ακόµη δύο όρια παραστάσεων που περιέχουν µία αντίστροφη συνάρτηση µε το να τείνει στο άπειρο για να δούµε αν απαιτείται και στην περίπτωση αυτή η συνέχεια της f. Άσκηση 5: ίνεται η συνάρτηση f : (0, + ) IR µε τύπο f ( ) = e +. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη και στη συνέχεια να υπολογίσετε τα όρια f ( ) f ( ) και lim 3 f ( ) lim + 3 f ( ). Παρατηρούµε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, οπότε το σύνολο τιf (0, + ) = (, + ). µών της είναι το σύνολο ( ) Επίσης, η f είναι - αφού είναι γνησίως αύξουσα, οπότε αντιστρέφεται. εν µπορούµε όµως να βρούµε τύπο για την f. Το σύνολο τιµών της f (, + ) = (0, + ). f είναι το σύνολο: ( ) Είναι φανερό ότι ισχύει lim f ( ) 0 = και lim f ( ) + =+. Πώς όµως θα το συµπεράνουµε αυτό; εν θα πρέπει να γνωρίζουµε ότι η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα; Επειδή λοιπόν πράγµατι η f είναι συνεχής σύµφωνα µε το θεώρηµα που αναφέρθηκε παραπάνω πρέπει να δοθεί. Σχετικά µε την µονοτονία της f ισχύει το θεώρηµα:
8 8 «Αν µία συνάρτηση fείναι γνησίως µονότονη, τότε και η µονότονη και έχει το ίδιο είδος µονοτονίας µε την f.» f είναι γνησίως Όµως, ούτε και αυτό το θεώρηµα αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. Όταν µία συνάρτηση fείναι γνησίως µονότονη, τότε η µονοτονία της f αποδεικνύεται εύκολα µε απαγωγή σε άτοπο και αυτό πρέπει να κάνουµε κάθε φορά που την χρειαζόµαστε και δεν µας δίνεται. Σχετικά τώρα µε τον υπολογισµό των ορίων που ζητούνται στην παραπάνω άσκηση, για µεν το πρώτο δεν απαιτείται αλλαγή µεταβλητής, ενώ για το δεύτερο απαιτείται. Έτσι λοιπόν έχουµε: f ( ) 3 f ( ) 3 f ( ) lim = lim ( f ( ) ) 0 ( ) 0 = =, διότι lim ( 3 f ( ) ) =+ και u lim = lim = lim = 0, u f ( ) u u + 3 ( ) u u u f + u + 3u e + e u 3 u + u u + u u e + e αφού lim = lim =+. u + u u + Β : Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης Άσκηση 6: ίνεται η συνάρτηση f ( ) = + ln + 4. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 5, να βρεθεί η παράγωγος της f στο 5. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιµη (η f είναι παραγωγίσιµη µε θετική παράγωγο κλπ.). εν µπορούµε όµως να βρούµε τύπο για την αντίστροφή της. Ο τύπος της παραγώγου της σύνθετης συνάρτησης ή κανόνας της αλυσίδας έ- χει σηµειακό χαρακτήρα (δείτε αντίστοιχο θεώρηµα στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 34), δηλαδή αναφέρεται σε σηµεία, οπότε από την σχέση: f ( f ( )) =, D f ()
9 9 και αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο 5 και f() = 5 έχουµε διαδοχικά: ( ) ( ) f f () f () = ή ( ) ( ) f 5 3= ή ( ) ( 5) f =. 3 Παρατήρηση: Αν δεν δοθεί ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο 5, τότε πρέπει να εργαστούµε µε τον ορισµό. Στην περίπτωση όµως αυτή πρέπει να δοθεί ότι η f είναι συνεχής στο 5. Έτσι θα έχουµε: 0 0 f ( ) f (5) u u lim = lim = lim = lim =. 5 5 u f ( u) 5 u u + ln u u 3 u+ u Αν µας ζητείται να αποδείξουµε ότι δεν υπάρχει η παράγωγος της f σε ένα σηµείο y o, όπου είναι yo = f ( o ) για κάποιο o Df, στο οποίο όµως είναι συνεχής, τότε κανονικά πρέπει να εργαστούµε µε τον ορισµό. Αν όµως είναι f ( o ) = 0, τότε µπορούµε να εργαστούµε και µε απαγωγή σε άτοπο µε την βοήθεια του τύπου (). Χαρακτηριστική είναι η επόµενη άσκηση. Άσκηση 7: ίνεται η συνάρτηση f : [, + ) IR µε f ( ) = ln + 9. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η f είναι αντιστρέψιµη ( f ( ) > 0 για κάθε > κλπ.), αλλά δεν µπορούµε να βρούµε τύπο για την αντίστροφή της. Ακόµη, παρατηρούµε ότι f () = 0, οπότε f (0) = και πως f () = 0. Ας προσπαθήσουµε αρχικά να αποδείξουµε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0 µε την βοήθεια του ορισµού, όπου θα πρέπει να έχει δοθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0. Έχουµε λοιπόν: 0 0 f ( ) f (0) u u lim = lim = lim = lim = 0 f ( u) 0 u ln u u u 0 u u u u u u = lim = lim = lim =+ u u u ( u )( u+ ) u u ( u+ )
10 0 Επειδή το παραπάνω όριο δεν είναι πραγµατικός αριθµός συµπεραίνουµε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αφού είναι f () = 0, µπορούµε να εργαστούµε και µε απαγωγή σε άτοπο, όπου δεν χρειάζεται να µας δοθεί ότι η f είναι συνεχής στο 0, ως εξής: Έστω ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο 0. Αφού f() = 0 από την () θα έ- χουµε: ( f ) ( f ()) f () = ή ( ) f (0) 0=, που είναι άτοπο. Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0. Σηµείωση: Όπως διατυπώνεται η άσκηση (δεν δίνεται η συνέχεια της ενδεδειγµένος τρόπος λύσης είναι ο δεύτερος. f ) ο Β 3 : Ολοκλήρωµα αντίστροφης συνάρτησης Όταν µας ζητείται να υπολογίσουµε το ορισµένο ολοκλήρωµα της αντίστροφης συνάρτησης f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f για ένα διάστηµα [α, β], τότε µπορούµε να κάνουµε αλλαγή µεταβλητής θέτοντας u = f ( ) () που είναι συµβατή µε την θεωρία του αντίστοιχου σχολικού βιβλίου, όπου προτείνεται η νέα µεταβλητή να εκφράζεται ως συνάρτηση της υπάρχουσας µεταβλητής (δείτε σχολικό βιβλίο στη σελίδα 337). Όµως, επειδή είναι δύσκολο να βρούµε µε τον τύπο () το διαφορικό du συνεχίζουµε ως εξής: Από την σχέση () παίρνουµε ισοδύναµα = f ( u), οπότε έχουµε d= f ( u) du και στη συνέχεια προσδιορίζουµε τα νέα όρια του ορισµένου ολοκληρώµατος για την µεταβλητή u. Όµως για τυπικούς λόγους 4 και εδώ θα πρέπει να δίνεται ότι η f είναι συνεχής στο [α, β] για να γνωρίζουµε ότι είναι ολοκληρώσιµη κατά Riemann και να µπορούµε έτσι να ακολουθούµε την παραπάνω διαδικασία. Ως παράδειγµα θα αναφέρουµε την Άσκηση του 3 ου θέµατος των πανελληνίων εξετάσεων του έτους 003, το οποίο είναι: «ΘΕΜΑ 3 ο Έστω η συνάρτηση f() = α. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β. Να αποδείξετε ότι f(e ) f(+) για κάθε IR. 4 Στο αντίστοιχο σχολικό βιβλίο η συνέχεια µιας συνάρτησης f στο [α, β] δίνεται ως ικανή συνθήκη (όχι και αναγκαία) για να είναι η f ολοκληρώσιµη κατά Riemann στο [α, β].
11 γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0,0) είναι ο άξονας συµµετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f. δ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των και την ευθεία µε εξίσωση = 3». Εύκολα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιµη, αλλά και εδώ δεν µπορούµε να βρούµε τύπο για την αντίστροφή της. Θα επικεντρωθούµε στο ερώτηµα δ όπου ζητείται ο υπολογισµός του εµβαδού του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία µε εξίσωση = 3. Στο παρακάτω σχήµα στο οποίο φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων fκαι f είναι το χωρίο Ω. Επειδή f(0) = 0, f() = 3 και η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [0, ] είναι f ([0, ]) = [0, 3], οπότε f ([0, 3]) = [0, ]. Συνεπώς ισχύει f ( ) 0 για κάθε [0, 3], οπότε είναι: 3 ( ) ( ) 0 E f d Ω =. Τυπικά όµως δεν γνωρίζουµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη στο [0, 3], διότι δεν δίνεται στην εκφώνηση της άσκησης ότι είναι συνεχής, εκτός και αν το συµπεράνουµε διαισθητικά από την γραφική παράσταση, την οποία καλό είναι να χαράξουµε. Αν θέλουµε λοιπόν να υπολογίσουµε το παραπάνω ορισµένο ολοκλήρωµα σύµφωνα µε τον µετασχηµατισµό u = f ( ), τότε παίρνουµε:
12 5 3 f ( u) u u u = = + + και 4 d= f ( u) du = (5u + 3u + ) du ακόµη, για = 0 είναι u = 0 και για = 3 είναι u =. Έτσι έχουµε: E( Ω ) = f ( ) d= uf ( u) du = (5u + 3 u + u) du = τ.µ Σηµείωση: Με τον µετασχηµατισµό που γίνεται, η συνάρτηση που προκύπτει είναι ολοκληρώσιµη ως συνεχής και έτσι υπολογίζεται το ολοκλήρωµα 3 0 f ( ) d. Αυτό µπορεί να δοθεί ως επιχείρηµα-αιτιολόγηση από µαθητές για 3 την ύπαρξη του ολοκληρώµατος f ( ) d παρακάµπτοντας έτσι την συνέχεια της 0 f, που δεν δίνεται, και θεωρώ ότι θα πρέπει να γίνει αποδεκτό. Αν, τώρα, κάποιος µαθητής για την εύρεση του εµβαδού του χωρίου Ω δεν µπορεί να υπολογίσει το ολοκλήρωµα 3 f ( ) d όπως παραπάνω, εναλλακτι- 0 κά µπορεί να υπολογίσει τον εµβαδόν του χωρίου Ω που είναι ίσο µε το χωρίο Ω λόγω της συµµετρίας, οπότε θα γίνει ολοκλήρωση της συνάρτησης f που γνωρίζουµε ότι είναι συνεχής και εποµένως ολοκληρώσιµη. ηλαδή έχουµε: ( ) ( ) τ.µ. E( Ω ) = E( Ω ) = 3 f ( ) d= 3 d= 0 0 Επίλογος Κλείνοντας, πιστεύω πως έγινε κατανοητό το πνεύµα της εργασίας, δηλαδή ότι η αντίστροφη συνάρτηση µιας συνάρτησης που αντιστρέφεται είναι µια κανονική συνάρτηση και πως ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά της µπορούν να µελετηθούν ανεξάρτητα από το αν µπορεί ή όχι να βρεθεί τύπος µε τον οποίον να ορίζεται.
Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότεραe-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ
1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).
1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου 2001
Μαθηµατικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου Ζήτηµα ο A.. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z z z. Μονάδες 7,5 Α.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
Διαβάστε περισσότεραΤρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της Γ Λυκείου σε ασκήσεις του ιαφορικού Λογισµού ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-thedrpuls.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται
Διαβάστε περισσότεραΗ f(x) y είναι συνεχής στο [0, 2α], σαν διαφορά των συνεχών f(x) και y = 8αx 8α 2
1994 ΘΕΜΑΤΑ 1. ίνεται η συνάρτηση f()=,. Α) Αν ε είναι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f στο σηµείο Μ(α, α ), α >, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:
Διαβάστε περισσότερα3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε
Διαβάστε περισσότερα( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.
. Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)
ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
Διαβάστε περισσότεραα) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim = 0. Βλέπε σελίδα 171 σχολικού. σχολικού βιβλίου.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()
Διαβάστε περισσότερα7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ
Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Έστω η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Διαβάστε περισσότερα1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 4 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραÈÅÌÅËÉÏ ÅËÅÕÓÉÍÁ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία (θεώρηµα Fermat) σχολικό βιβλίο, σελ Α2. Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ Α3.
ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρηµα Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση ότι: z 3i z 3i () Όµως z 3i z 3i z 3 i ()
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότερακαι δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x
ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016
Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 36 Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ. Σ 4. Λ. Λ 3. Λ 4. Λ 3. Σ 4. Σ 43. Σ 4. Λ 5. Σ 44. Σ 5. Σ 6. Σ 45. Λ 6.
Διαβάστε περισσότερα[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C
Διαβάστε περισσότεραThanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ
thanasisenos@yahoo.gr Thanasis Xenos )Αν µια συνάρτηση f είναι, τότε είναι γνησίως µονότονη; Η πρόταση δεν αληθεύει, διότι για παράδειγµα η συνάρτηση, f ( ) = είναι - και δεν είναι γνησίως µονότονη., >
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική
Διαβάστε περισσότεραx - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x
Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Άσκηση 1. Έστω ότι η συνάρτηση f: R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική της παράσταση τέµνει τον άξονα y y στο. Να λύσετε την ανίσωση: f(x 9)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΠώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;
1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότεραf( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )
MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
Διαβάστε περισσότεραf( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της
ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση
Διαβάστε περισσότεραΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
Διαβάστε περισσότεραf ( x) f ( x ) για κάθε x A
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α
ΜΑΘΗΜΑ 47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α Όχι βιαστικά, όχι αργά. Στο ρυθµό σου.. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις f() f () και f ()f() + (f ()) f()f ()
Διαβάστε περισσότεραf '(x 0) lim lim x x x x
Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι
Διαβάστε περισσότερα) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 4.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις 1. Ορισµός Έστω συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι η στρέφει
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΕΠΑ.Λ. 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι: ( f (x) + g (x)) = f (x) + g(x) Μονάδες 0 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
Διαβάστε περισσότερα6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών
Διαβάστε περισσότεραΘεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση
Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Μια πορεία από τον ιαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισµό Γιάννης Λουριδάς, ηµήτρης Ντρίζος Τα θέµατα του παρόντος άρθρου εντάσσονται στην ύλη του ιαφορικού και Ολοκληρωτικού
Διαβάστε περισσότερα2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f () f(), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: (f () + f () ) f () + f (), για κάθε. Γ. Να αποδείξετε ότι f() ln( ),. Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:
ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Εµβαδά Θέµα 1 ίνεται η συνάρτηση x e e, x< 1 (x) = l nx, x 1 x Να δείξετε ότι η είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, τον άξονα
Διαβάστε περισσότερακαι γνησίως αύξουσα στο 0,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότεραΓ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.
Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]
ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Διαβάστε περισσότεραιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου
Σύλλογος Θετικών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου Μαθηµατικά : Τάξη: Γ ράµα Απριλίου Θέµα ο ίνεται η συνάρτηση :, δύο φορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύει: ) )
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1 ο. Α1. Θεωρία, στη σελίδα 260 του σχολικού βιβλίου (Θ. Fermat). Α2. Θεωρία, στη σελίδα 169 του σχολικού βιβλίου.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Πέμπτη, 9/6/6 ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρία,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης
ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 7 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ον ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ :
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 86 Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α δ Α4 α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ΘΕΜΑ Β
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ) A. Εύρεση Πεδίου Τιµών Συναρτήσεων ίνεται η συνάρτηση h, h ( ) = 4+, [ 1,4] Να βρεθεί το πεδίο τιµών της συνάρτησης. Η λογική για
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο
Διαβάστε περισσότερα