ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton."

Transcript

1 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.6) Να υπολογίσετε: i. Το συνολικό φορτίο ii. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y y όταν y ( ), με ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, -6), (-, -), (, ), (, -) και (, ). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 9 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

2 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.) Να υπολογίσετε: iii. Το συνολικό φορτίο iv. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y όταν y ( ) y, με ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, -). (-, -), (, ), (, ) και (, ). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 6 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Γ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.6) Να υπολογίσετε: v. Το συνολικό φορτίο vi. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση με βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y y όταν y ( ), ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, 6), (-, ), (, ), (, ) και (, ). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 7 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

4 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Δ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.) Να υπολογίσετε: vii. Το συνολικό φορτίο viii. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση με βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y y όταν ( ) y, ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, ). (-, ), (, ), (, ) και (, -). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 8 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

5 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Α ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.6) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,6,6,5,8775,5,5,99 5,98,75,9775,9,,8 5,68,5,5775,,5,9,8,75,6775 6,7,,, Σύνολο S= 6,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,79,8775,5,95,99,75, 8,95,,8 5,68,5,9,8875,5,85 6,57,75,956,75,,8,8 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y y y ( ) h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,,5,,5,,,5,6,5,,,,,7,96,658

6 ,,95 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( )( )( 5) ( )( ) ( )( )( ) Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 9 t. Παρατηρούμε ότι =8 και =7. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (,, -, -,8,8 -, -,8,,89 -,8 -,98,,88 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t, 8 a

7 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Β ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,8,8,5,9775,9,5,99 5,98,75,8775,5,,6 5,8,5,775 9,,5,79,58,75,775,7,,, Σύνολο S= 55,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,7,9775,5,95,99,75,58 8,65,,6 5,8,5,869,875,5,685 5,7,75,66 8,5,,88,88 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y ( ) y y h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,5,,5,,,5,69,555,,6,8,,8,5,667

8 ,,7 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 8 Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 6 t. Παρατηρούμε ότι =8 και =7. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (, -, -7,,7,9696 -, -6,7,6,965 -, -6,9,,965 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t, 965 a

9 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Γ ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.6) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,6,6,5,8775,5,5,99 5,98,75,9775,9,,8 5,68,5,5775,,5,9,8,75,6775 6,7,,, Σύνολο S= 6,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,79,8775,5,95,99,75, 8,95,,8 5,68,5,9,8875,5,85 6,57,75,956,75,,8,8 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y y y ( ) h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,55,,55,55,,75,575,868,,,6,,55,5,5

10 ,,596 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( )( ) ( )( ) 5 ( )( ) ( ) ( )( )( ) Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 7 t. Παρατηρούμε ότι = και =8. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (, -, -,,8,9667 -, -,87,7,99 -, -,978,,99 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t. 99 a

11 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Δ ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,8,8,5,9775,9,5,99 5,98,75,8775,5,,6 5,8,5,775 9,,5,79,58,75,775,7,,, Σύνολο S= 55,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,7,9775,5,95,99,75,58 8,65,,6 5,8,5,869,875,5,685 5,7,75,66 8,5,,88,88 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y y ( ) y h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,55,,55,,,99,76,55,,78,85,,5,96,

12 ,,8 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 8 Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 6 t. Παρατηρούμε ότι =8 και =7. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (,, -7, -,7,7 -,8-7,678,5,659 -, -7,666,,659 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t. 66 a

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Φυσική Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Φυσική Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Φυσική Α Λυκείου Στο παρών παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 2 ο, 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι καλείται ψευδοκώδικας; 2. Τι καλείται λογικό διάγραμμα; 3. Για ποιο λόγο είναι απαραίτητη η τυποποίηση του αλγόριθμου; 4. Ποιες είναι οι βασικές αλγοριθμικές δομές; 5. Να περιγράψετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.1 Επίλυση προβλημάτων και λήψη αποφάσεων 1.2 Ποσοτική ανάλυση και λήψη αποφάσεων 1.3 Ποσοτική ανάλυση Ανάπτυξη μοντέλου Προετοιμασία δεδομένων Επίλυση μοντέλου Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:ΙΜΣΙΡΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ Α.Ε.Μ: 1986 ΕΞΑΜΗΝΟ: Ε ΘΕΜΑ: «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ» ΣΧΟΛΕΙΟ: 1 Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΑΞΗ: Ε ΤΜΗΜΑ: Ε 2 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΘΕΜΑ 1 ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 27 MAΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της

γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της Βασικές ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις.. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e,t (S.I.). Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης τη

Διαβάστε περισσότερα