ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

Transcript

1 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.6) Να υπολογίσετε: i. Το συνολικό φορτίο ii. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y y όταν y ( ), με ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, -6), (-, -), (, ), (, -) και (, ). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 9 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

2 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.) Να υπολογίσετε: iii. Το συνολικό φορτίο iv. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y όταν y ( ) y, με ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, -). (-, -), (, ), (, ) και (, ). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 6 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Γ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.6) Να υπολογίσετε: v. Το συνολικό φορτίο vi. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση με βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y y όταν y ( ), ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, 6), (-, ), (, ), (, ) και (, ). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 7 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

4 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Δ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που δίνεται από την συνάρτηση: q ( (.) Να υπολογίσετε: vii. Το συνολικό φορτίο viii. Την οριζόντια συντεταγμένη του κέντρου βάρους του φορτίου Δίνονται: q(, Υπόδειξη: Για την ολοκλήρωση, χρησιμοποιήστε την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Οι πράξεις να γίνουν με τουλάχιστον δεκαδικά. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Να λυθεί αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta ης τάξης, η διαφορική εξίσωση με βήμα h=.. Εκτελέστε βήματα με ακρίβεια 5 δεκαδικών. y y όταν ( ) y, ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-, ). (-, ), (, ), (, ) και (, -). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΘΕΜΑ ον ( μονάδες) Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα, μετρημένη σε m, που δίνεται από την εξίσωση, ( t) 8 t s. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t κατά την οποία η κίνηση αντιστρέφεται, με ακρίβεια δεκαδικών. Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Newton-Raphson δίνοντας ως αρχική τιμή, ακέραιο αριθμό της επιλογής σας. Απαγορεύεται η χρήση οποιουδήποτε βιβλίου και κινητών τηλεφώνων. Όλες οι πράξεις πρέπει να υπάρχουν αναλυτικά στην κόλλα σας (έστω στο πρόχειρο). Απαντήσεις που εμφανίζουν κατευθείαν τα τελικά αποτελέσματα ΔΕΝ βαθμολογούνται. Τα Θέματα και το Τυπολόγιο ΕΠΙΣΤΡΕΦΟΝΤΑΙ μαζί με το γραπτό. Διάρκεια εξετάσεων : ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

5 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Α ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.6) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,6,6,5,8775,5,5,99 5,98,75,9775,9,,8 5,68,5,5775,,5,9,8,75,6775 6,7,,, Σύνολο S= 6,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,79,8775,5,95,99,75, 8,95,,8 5,68,5,9,8875,5,85 6,57,75,956,75,,8,8 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y y y ( ) h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,,5,,5,,,5,6,5,,,,,7,96,658

6 ,,95 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( )( )( 5) ( )( ) ( )( )( ) Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 9 t. Παρατηρούμε ότι =8 και =7. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (,, -, -,8,8 -, -,8,,89 -,8 -,98,,88 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t, 8 a

7 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Β ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,8,8,5,9775,9,5,99 5,98,75,8775,5,,6 5,8,5,775 9,,5,79,58,75,775,7,,, Σύνολο S= 55,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,7,9775,5,95,99,75,58 8,65,,6 5,8,5,869,875,5,685 5,7,75,66 8,5,,88,88 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y ( ) y y h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,5,,5,,,5,69,555,,6,8,,8,5,667

8 ,,7 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 8 Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 6 t. Παρατηρούμε ότι =8 και =7. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (, -, -7,,7,9696 -, -6,7,6,965 -, -6,9,,965 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t, 965 a

9 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Γ ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.6) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,6,6,5,8775,5,5,99 5,98,75,9775,9,,8 5,68,5,5775,,5,9,8,75,6775 6,7,,, Σύνολο S= 6,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,79,8775,5,95,99,75, 8,95,,8 5,68,5,9,8875,5,85 6,57,75,956,75,,8,8 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y y y ( ) h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,55,,55,55,,75,575,868,,,6,,55,5,5

10 ,,596 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( )( ) ( )( ) 5 ( )( ) ( ) ( )( )( ) Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 7 t. Παρατηρούμε ότι = και =8. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (, -, -,,8,9667 -, -,87,7,99 -, -,978,,99 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t. 99 a

11 ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ομάδα Δ ΘΕΜΑ ον i) H συνάρτηση φορτίου είναι q ( (.) και θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα q( με την μέθοδο Simpson με 8 υποδιαστήματα. Άρα h. 5 8 ii) c c q(,,8,8,5,9775,9,5,99 5,98,75,8775,5,,6 5,8,5,775 9,,5,79,58,75,775,7,,, Σύνολο S= 55,6 Έχουμε να υπολογίσουμε την σχέση Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Δηλαδή, πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Ο υπολογισμός είναι εύκολος γιατί έχουμε ήδη υπολογίσει την q ( στο προηγούμενο ερώτημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι να πολλαπλασιάσουμε κάθε γραμμή του προηγούμενου πίνακα, επί το αντίστοιχο. c c,,,,5,7,9775,5,95,99,75,58 8,65,,6 5,8,5,869,875,5,685 5,7,75,66 8,5,,88,88 Σύνολο S= 5,76 Το ολοκλήρωμα θα είναι ίσο με C h S Άρα ΘΕΜΑ ον y y ( ) y h=. βήμα y K +h y+h K K (K +K )/,,,,,,55,,55,,,99,76,55,,78,85,,5,96,

12 ,,8 ΘΕΜΑ ον Πλήρης μέθοδος (πιο «δύσκολες» πράξεις) i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 8 Πιο «απλή» μέθοδος Παρατηρούμε ότι οι διαφορές ης τάξης είναι μηδέν. Άρα το πολυώνυμο είναι ου βαθμού. Συνεπώς χρειαζόμαστε μόνο σημεία για να το βρούμε. Επιλέγουμε λοιπόν τα «ευκολότερα» i f y f i, i,..., i,..., i,..., i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ον Θέλουμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης f 6 t. Παρατηρούμε ότι =8 και =7. Άρα ο πιο κοντινός ακέραιος στην λύση είναι το, το οποίο και επιλέγουμε ως αρχική τιμή. f ( f ( f ( f (,, -7, -,7,7 -,8-7,678,5,659 -, -7,666,,659 Άρα ή λύση (με δεκαδικά) είναι t. 66 a