4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις συναρτήσεις F() και G() g(t)dt, [, ] είξτε ότι F() > για κάθε (, ] i είξτε ότι f()g() > F() για κάθε (, ] Μεγάλης δυσκολίας ii είξτε ότι F() F() G() G() για κάθε (, ] Προφανώς είναι F () f()g() () και F() f (t)g(t)dt () f Για < < f() < f() < f() Και επειδή g() > στο [, ], η () F () > στο (, ] άρα F γν. αύξουσα στο [, ] Για < < i F Αρκεί να αποδείξουµε ότι Απόδειξη της () : ii F() < F() < F() f() g(t)dt > f ()g(t)dt f (t)g(t)dt ( f ()g(t) ) f (t)g(t)dt > f (t)g(t) dt > ( ) g(t) f () f (t) dt > g(t)(f() f(t)) > () Είναι g(t) > από υπόθεση Και f() f(t) >, αφού < t < και f γν.αύξουσα Αρκεί να αποδείξουµε ότι η συνάρτηση h() F() είναι γν. αύξουσα στο (, ] G() F ()G() G ()F() f ()g()g() g()f() Είναι h () G() G() Άρα h γν.αύξουσα [ ] [ ] ( F() ) [ G() ] g() f ()G() >, αφού g() > και f()g() F() > από (i.

2 3. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R, για την οποία ισχύει 3 f () ( + 3) f (t)dt 45 Να αποδείξετε ότι f() i Αν g συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, δείξτε ότι g () g ( h) lim g () h h ii Αν για τη συνάρτηση f του πρώτου ερωτήµατος και τη συνάρτηση g του δεύτερου ερωτήµατος ισχύουν g(+ h) g() + g( h) lim f () + 45, g() g (), τότε δείξτε ότι h h g() Έστω f (t)dt c, τότε η αρχική υπόθεση γίνεται f() ( 3 +3)c 45 () f ()d 3 (c + 3c 45)d 4 c c + 3c 45 4 c 4c + 6c 9 c Η () γίνεται f() f() c 3 +3c 45 () Να θυµόµαστε αυτή τη διαδικασία i g () g ( h) Για το lim θέτουµε h u οπότε u h h g () g ( h) g () g ( + u) Τότε lim lim h h u u g ( + u) g () lim g () αφού η g είναι δύο φορές u u παραγωγίσιµη ii g(+ h) g() + g( h) lim h h g (+ h) + g ( h)( h) lim h h g (+ h) g ( h) lim h h g (+ h) g ( h) lim h h g (+ h) + g () g () g ( h) lim h h

3 3 g (+ h) g () g () g ( h) lim + h h h g (+ h) g () lim + g () g ( h) lim h h h h g () + g () g () Οπότε η υπόθεση g(+ h) g() + g( h) lim f () + 45 γίνεται h h g () f() + 45 g () g () g () c Αλλά g () c, άρα c άρα g () g() c Όµως g() c, άρα c άρα g()

4 4 33. Αν z C και ισχύει ( ) 7 6 z+ i + ( (z, z i, αποδείξτε ότι z+ i i αποδείξτε ότι z 3 ii βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του z 6 7i (z+ + 4 iν) αποδείξετε ότι ο αριθµός w είναι πραγµατικός z+ i 3 ν) αποδείξετε ότι ο αριθµός u (z+ είναι φανταστικός ( ) 7 6 z+ i + ( (z (z + 7 ( (z 6 (z + 7 ( (z 6 z + i 7 ( 6 Παρατηρήστε ότι (z οι z + i, z i z + i 7 i 6 z i είναι συζυγείς z + i 7 i 6 z i z + i 7 z+ i 6, z i z + i z + i i Τριγωνική ανισότητα : z i z+ i z + i z z + z και z + z και z z 3 και z z 3 ii z 6 7i (z + + ( 6 8 (δηµιουργούµε τον z + Από την τριγωνική ανισότητα έχουµε z + i 6 8i (z + + ( 6 8 z + i + 6 8i () Αλλά 6 8i () (z + + ( z 6 7i Άρα z 6 7i min 8 και z 6 7i ma iν ) (z+ + 4 (z + 4 w z+ i z i () Όµως z +i z +i 4 (z + ( z+ i ) 4 (z + (z i ) 4 z i 4 z+ i z z z R

5 (z+ Οπότε η () γίνεται w 4 z+ i ν) ( ) 7 6 z i ( (z + + ( z z+ i (z 4 w + ( (z ( z 7 + (z ( (z (z + 6 (z + 3 i [( z i )(z + ] 6 (z + 3 i (i ) 5 [( z+ i )(z + ] 6 (z + 3 i ( ) [ z + i ] 6 (z + 3 i z + i φανταστικός

6 6 34. ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z α + βi και z z, όπου α, β R + z µε β. ίνεται επίσης ότι z z R. Να αποδειχθεί ότι z z i Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z ii Αν ο αριθµός z είναι φανταστικός και αβ >, να υπολογίσετε τον z συναρτήσει του α και να δείξετε ότι ( z + + ( z + z z z z + z ( α β (α + β + ( α+β ( α+β (+α β α βi (+α+β (+α β α β + β ( +α ) +β 4 4 i 4 α β ( ) 4β Όµως z z R ( +α ) +β 4 ( +α ) +β Η () γίνεται z z α βi 4β ( +α ) +β +α +β α + β ( + α) + β 4 () 4 α β ( ) +α +β α β i ( +α ) +β α β α α+α +β α β 4α 4 i Από τη () προκύπτει ότι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ ii z (α + β α β + αβi z φανταστικός α β α β Τότε z α + αi α( +. ( z + + ( z () α β, αφού α, β οµόσηµοι + (α( ( ( i α + ) [( + (α + )] [( (α + )] (α + ) [( + ( ]

7 7 (α + ) { [( + ] [( ] } (α + ) [( ( ] Όταν κολλήσεις : Κοίταξε προσεκτικά τις υποθέσεις και ιδιαίτερα αυτές που δεν έχεις χρησιµοποιήσει i ες τα συµπεράσµατα που προηγήθηκαν

8 8 35. Για τη συνεχή στο R συνάρτηση f δίνεται ότι f () + f (t )dt, R Να αποδείξτε ότι : Η f είναι παραγωγίσιµη στο R και να βρείτε την παράγωγο της ως συνάρτηση της f () i f() e, αφού προηγουµένως βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g() e - e - ii Η εξίσωση f() έχει ακριβώς µία ρίζα iν) e > για κάθε R ν) Να βρείτε τα όρια lim f () Για το ολοκλήρωµα + και lim f () f (t )dt, θέτουµε t u οπότε du dt Όταν t τότε u και όταν t τότε u. Οπότε f (t )dt f (u) du Η υπόθεση γίνεται f () + f (u)du f (u)du, R () Επειδή η f είναι συνεχής στο R, η συνάρτηση f (u)du είναι παραγωγίσιµη στο R, άρα η f () + f (u)du είναι παραγωγίσιµη στο R σαν πράξεις παραγωγίσιµων, µε f () + f() i g () ( e - e - ) e - + e - + e - e - () f () + f() f () f() e - f () e - f() e - () (e - f ()) ( e - e - ) e - f () e - e - + c (3) H () για δίνει f() H (3) για δίνει c Οπότε η (3) γίνεται e - f () e - e - + f() + e f() e ii Προφανής ρίζα της εξίσωσης f() είναι η f () e f () e

9 9 Πρόσηµο της f και µονοτονία της f + f + f Από τον πίνακα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για, το f(). Άρα για κάθε είναι f() > f(), εποµένως η ρίζα είναι µοναδική. iν) Για κάθε R είναι f() e e + > ν) lim f () + lim (e ) ( + ) e lim e lim lim + + (4) Αλλά e lim + ( ) + + e e lim lim και lim και lim (4) lim f () (+ )(+ ) + lim f () + lim (e ) ( ) +

10 36. Έστω συνάρτηση f : [, ] R µε 8 f() ( ). είξτε ότι Είναι γνησίως αύξουσα i f() + f( ) ii f ()d iν) f ()d + ()d, θεωρώντας ότι η f - είναι συνεχής [ + ( ) ] [8 8( ) ] f () 8 8 [ + ( ) ] ( ) > για κάθε (, ) 8 8 [ + ( ) ] και επειδή η f είναι συνεχής στο [, ], θα είναι γνησίως αύξουσα σ αυτό i ( ) + ( ) f() + f( ) ( ) ( ) + + ( ) ii f και συνεχείς η σύνθεσή τους f( ) συνεχής, άρα και το άθροισµα f() + f( ) ( ) f + f d d f() + f( ) ( ) ( ) Για το ολοκλήρωµα () iν) Οπότε f ()d + Για το ολοκλήρωµα f ()d + f ( )d () f ( )d, θέτουµε u du d f ( )d Όταν τότε u Όταν τότε u f (u)du f (u)du f ()d f ()d f ()d Όταν τότε u f - () f - (f()) Όταν τότε u f - () f - (f()) Άρα Οπότε f ()d uf (u)du f ()d + f ()d f ()d f ()d, θέτουµε f - () u f(u) f ()d f ()d + f ()d d f (u)du

11 f ()d + [ f ()] f() f ()d

12 37. Να βρείτε πολυώνυµο Ρ() έτσι, ώστε για κάθε R να ισχύει 3 Ρ() Ρ () + 6. i Να βρείτε το πλήθος και το πρόσηµο των πραγµατικών ριζών του Ρ(). 3 Ρ() Ρ () + 6 Ρ() Ρ () 6 Έστω ότι το Ρ() είναι ν-στού βαθµού, τότε το Ρ () θα είναι ν βαθµού. Άρα ο βαθµός της διαφοράς Ρ() Ρ () θα είναι ν. Λόγω της (), ο βαθµός της διαφοράς είναι 3. Άρα ν 3. Έστω λοιπόν ότι Ρ() α 3 + β + γ + δ, α () α 3 + β + γ + δ 3α 3 β γ 6 για κάθε R α 3 + ( β 3α ) 3 + (γ β) + δ γ 6 για κάθε R α 6 3 () και β 3α και γ β και δ γ Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε α 6, β, γ και δ Οπότε Ρ() i Ρ () + + <, άρα Ρ () > για κάθε R. Εποµένως η συνάρτηση Ρ είναι γνησίως αύξουσα. 3 lim P() lim lim lim P() lim lim Και επειδή η Ρ είναι συνεχής, το σύνολο τιµών της θα είναι Ρ(Α) R. Στο σύνολο τιµών περιέχεται το, άρα η εξίσωση Ρ() έχει µία τουλάχιστον ρίζα. Και επειδή η Ρ είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι µοναδική. Είναι φανερό ότι Ρ() > για κάθε Οπότε η ρίζα θα είναι αρνητική

13 3 38. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ( e, + ), τέτοια ώστε f (t) f () e dt + για κάθε ( e, + ) είξτε ότι f() ln( + e) i είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε τη αντίστροφή της. ii Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C f και τους άξονες iν) Να βρείτε την εξίσωση της γραµµής στην οποία κινούνται οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, όταν Re(z) και ισχύει e f() + e z e + για κάθε ( e, + ) Αφού η f είναι συνεχής στο ( e, + ), θα είναι συνεχής και η e -f(t) σαν σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Οπότε η εποµένως και η f (t) f () e dt f () + f () + f () e f() f () e f() f( t) ( + e dt ) f( t) ( e dt ) [e f() ] e f() + c () e f (t) dt θα είναι παραγωγίσιµη, H υπόθεση για δίνει f() H () για δίνει c e H () γίνεται e f() + e f() ln( + e), ( e, + ) i Είναι f () > για κάθε + e ( e, + ) Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα, οπότε αντιστρέφεται. Έστω y ln( + e) + e e y e y e Επειδή > e, θα πρέπει e y e > e e y > που ισχύει για κάθε y R. Οπότε f (Α) R, άρα f - : R R µε f - () e e y ii f() ln( + e) e f() ln( + e) ln e f() > ln( + e) > > e -e O

14 4 ιάστηµα ολοκλήρωσης είναι το [ e, ] άρα το ζητούµενο εµβαδόν είναι Ε ln(+ e)d e ln(+ e)d e [ ln(+ e) ] e d e + e + e e d e + e e e d + e [ eln(+ e) ] e τετραγωνική µονάδα iν) e f() + e z e + e f() + e z e () Έστω η συνάρτηση g() e f() + e z e, > e g() e f() + e e e + e H () γίνεται g() g() για κάθε ( e, + ) Το είναι εσωτερικό σηµείο του ( e, + ), η g παρουσιάζει ελάχιστο στο και παραγωγίζεται σε αυτό, άρα µε βάση το θεώρηµα του Fermat θα ισχύει g (). Όµως g () e f() f ()+ e z οπότε Για να πάµε από ανισότητα σε ισότητα χρειαζόµαστε Fermat g () e + z z 3 e Οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο µε κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ 3 Επειδή όµως Re(z), οι εικόνες του z βρίσκονται στο δεξιά ηµικύκλιο ως προς τον άξονα y y.

15 5 39. Έστω η συνάρτηση f () + + Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα i Για τις διάφορες τιµές του α R, να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() α ii Αν ω, φ συνεχείς συναρτήσεις µε ω() φ() στο διάστηµα [α, β], β β να δείξετε ότι f ()d g()d α α iv) Να βρείτε το + lim + f (t)dt Είναι A f R στο οποίο η f είναι παραγωγίσιµη µε f () + + f () ( ) Πρόσηµο της f και µονοτονία της f + f + f Η f παρουσιάζει µέγιστο για, το f() 3 i lim f () lim lim f () lim Όταν (, ], το σύνολο τιµών είναι το f (A) (, 3]. Όταν [, + ), το σύνολο τιµών είναι το f (A) (, 3]. Και επειδή η f είναι συνεχής στο R, το σύνολο τιµών αυτής είναι το f(a) (, 3] Όταν α < ή α > 3, η εξίσωση f() α είναι αδύνατη, αφού ο α δεν ανήκει στο f(a). [Η ευθεία y α δεν έχει κοινό σηµείο µε τη C f ] Όταν α (, 3) τότε η εξίσωση f() α έχει ακριβώς δύο ρίζες, µία στο (, ) και µία στο (, + ), δεδοµένου ότι είναι γνησίως µονότονη σε κάθε ένα από τα διαστήµατα αυτά. [Η ευθεία y α έχει δύο ακριβώς κοινά σηµεία µε τη C f ] Όταν α 3, τότε η εξίσωση f() α 3 έχει ακριβώς µία ρίζα, το, πολλαπλότητας. [Η ευθεία y α έχει ένα ακριβώς ένα κοινό σηµείο µε τη C f, το (, 3)] y 3 α O

16 6 ii ω() ω() ω() φ() β ( ω () ϕ ())d α β ω ()d ()d α ϕ α β ω ()d ()d α ϕ α iν) Έστω > και t [, + ] t + Όµως f β β f() f(t) f(+) + + f ()dt f (t)dt + + iii f (+ )dt + + f (t)dt f( +) f() dt dt + ( + ) + f (t)dt + + (+ ) + + f (t)dt + + (+ ) lim + lim (+ ) Οπότε από το κριτήριο παρεµβολής θα είναι Προσέξτε αυτή τη διαδικασία + lim f (t)dt + + ( + ) +

17 7 4. Έστω συνάρτηση f :R R παραγωγίσιµη µε f γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g() f() + f(4 ), R. Να εξετάσετε τη µονοτονία και τα ακρότατα της g i Να δείξετε ότι f ()d f() Επειδή η f είναι παραγωγίσιµη θα είναι παραγωγίσιµη και η g (πράξεις παραγωγίσ.) g () f () f (4 ) g () f () f (4 ) f f () f (4 ) 4 Πρόσηµο της g και µονοτονία της g + g + g Η g παρουσιάζει ελάχιστο για, το g() f() + f(4 ) f() + f() f() i Από το ( έχουµε g() g() g() f() g() f() Θυµόµαστε προσαρµογή του (i στο ( Για το ολοκλήρωµα ( ( ) ( )) g f d g()d f ()d g()d f ()d g()d f() g()d 4 f() (f () + f (4 ))d f ()d + f (4 )d : d 4 f() f (4 )d 4 f() () Θέτουµε 4 u d du Όταν τότε u και όταν τότε u Άρα f (4 )d f (u)du f (u)du f ()d Η () f ()d + f ()d 4 f()

18 8 f ()d 4f() f ()d f()