ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ"

Transcript

1 6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

2 Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014

3 Περιεχόµενα 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) = αx + β ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βιβλιογραφία Βιβλία Ιστοσελίδες

4

5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) = αx + β ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, υποσύνολο του R; Είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ έναν µόνο πραγµατικό αριθµό. Ερώτηση 1.2 Πότε µια συνάρτηση είναι ορισµένη ; Μια συνάρτηση f : A R είναι ορισµένη, αν και µόνο αν : 1. Ξέρουµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης, το Α και 2. ξέρουµε ή µπορούµε να υπολογίσουµε το f (x) για κάθε x A Ερώτηση 1.3 Οταν το f (x) εκφράζεται µόνο µε ένα αλγεβρικό τύπο, ποιο είναι το πεδίο ορισµού ; Είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R, στο οποίο το f (x) έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. ή διαφορετικά, το σύνολο A = {x R f (x) R} Ερώτηση 1.4 Το πεδίο ορισµού µια συνάρτησης είναι πάντα διάστηµα ή ένωση διαστη- µάτων ; Για τη συνάρτηση f (x) = x2 1 το πεδίο ορισµού είναι : A = {x R x2 1 0} = x (, 1) (1, + ) 100 το πεδίο ορισµού είναι : Ενώ για τη συνάρτηση f (x) = 7 x + 3x2 x A = {x R x + 3x x + 2 6= 0} το οποίο δεν µπορεί να γραφεί σαν ένωση διαστηµάτων γιατί η εξίσωση 4x7 + 3x2 x + 2 = 0 δεν λύνεται.

6 Άρα το πεδίο ορισµού δεν γράφεται πάντα ως ένωση διαστηµάτων. Ερώτηση 1.5 Ποιος είναι ο τύπος µιας συνάρτησης, ποια είναι η εξαρτηµένη και ποια η ανεξάρτητη µεταβλητή ; Αν µε µια συνάρτηση f από το A στο B, το x A αντιστοιχίζεται στο y B γράφουµε τον τύπο της συνάρτησης y = f(x) το x είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και το y η εξαρτηµένη. Ερώτηση 1.6 Πότε ένας αριθµός είναι τιµή µιας συνάρτησης ; Ενας αριθµός y R είναι τιµή της συνάρτησης f : A R, αν και µόνο αν : υπάρχει x A µε f(x) = y ή ισοδύναµα Η εξίσωση f(x) = y έχει τουλάχιστον µία λύση x A Ερώτηση 1.7 Ποιο είναι το σύνολο τιµών µια συνάρτησης f : A R Είναι το σύνολο των αριθµών y R, για τους οποίους η εξίσωση f(x) = y (µε άγνωστο το x) έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α. f(a) = {y R η εξίσωσηf(x) = y έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α} ή f(a) = {y R x A, f(x) = y} Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

7 1.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.1 Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x 2 + 3x ii. g(x) = x + 1 x iii. h(x) = x 2 4 iv. t(x) = 3 x 2 5x x 3 Μεθοδολογία 1.1 Οταν γνωρίζουµε µόνο τον τύπο µιας συνάρτησης f, τότε το πεδίο ορισµού της είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ο τύπος της f(x) έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. Γενικά το πεδίο ορισµού είναι όλο το R. Εκτός αν έχω περιορισµούς από το ίδιο το πρόβληµα π.χ. η µεταβλητή του χρόνου είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από το 0 όπως και η απόσταση κ.ο.κ. ή έχω περιορισµούς από τον τύπο,οπότε ϑα ϐρίσκουµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f ϑέτοντας κατάλληλους περιορισµούς σύµφωνα µε τον Συνάρτηση f Περιορισµός παρακάτω πίνακα. f(x) = P (x) Q(x) Q(x) 0 f(x) = ν P (x), ν N {1} P (x) 0 Λύση 1.1 i. Η f(x) = x 2 +3x δεν έχει περιορισµούς ούτε από τη ϕύση της µεταβλητής ούτε από τον τύπο. Άρα το πεδίο ορισµού είναι A = R ii. g(x) = x + 1 δεν έχει περιορισµούς από τη ϕύση της µεταβλητής, αλλά έχει από x τον τύπο. Πρέπει ο παρονοµαστής x 0 άρα το πεδίο ορισµού είναι A = R {0} iii. h(x) = x 2 4 πρέπει το υπόρριζο x Για την οποία ϕτιάχνω τον παρακάτω πίνακα προσήµων. Η x 2 4 = 0 έχει ϱίζες το -2 και το 2, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x x Άρα το πεδίο ορισµού είναι A = (, 2] [2, + ) iv. Η t(x) = 3 x 2 5x έχει περιορισµούς και από τον παρονοµαστή και x 3 από το υπόριζο. Πρέπει { x 2 } 5x x 3 0 Φτιάχνω τον πίνακα προσήµων για την ανίσωση : x x 2 5x κι εχω, { } x (, 2] [3, + ) A = (, 2] (3, + ) x 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

8 x 2 Θέµα 1.2 Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x) = 3 x x 2 4 Λύση 1.2 Από τον τύπο της συνάρτησης έχω τους παρακάτω περιορισµούς : x x 2 4 > 0 x > x > 0 x 2 4 x 2 > x 2 4 ισχύει x 2 x x 2 x 2 ή x 2 Άρα A = [2, + ] Θέµα 1.3 Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού της f(x) = x x 2 4x + λ, λ R Λύση 1.3 Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι A = {x R x 2 4x + λ 0} Η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 έχει διακρίνουσα = 16 4λ µε πίνακα προσήµων : λ Εποµένως έχω τις περιπτώσεις : i. Αν λ < 4 έχω > 0, οπότε η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 έχει δυο ϱίζες, τις x 1,2 = 4 ± 16 4λ = 2 ± 4 λ 2 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R {2 4 λ, λ} ii. Αν λ = 4 έχω = 0, οπότε η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 έχει µια ϱίζα, την x = 2 Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R {2} iii. Αν λ > 4 έχω < 0, οπότε η εξίσωση x 2 4x + λ = 0 δεν έχει ϱίζες Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι A = R Θέµα 1.4 Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της f(x) = x2 3x + 1 x 3 Μεθοδολογία 1.2 Για να προσδιορίσουµε το σύνολο τιµών της f, ϑα ϐρούµε όλους τους αριθµούς y R, για τους οποίους η εξίσωση f(x) = y (µε άγνωστο το x) έχει τουλάχιστον µια λύση στο Α. Λύση 1.4 Το πεδίο ορισµού είναι A = R {3} f(x) = y x2 3x + 1 = y x 3 y(x 3) = x 2 3x + 1 x 2 + x( y 3) + 3y + 1 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

9 η οποία έχει λύση στο Α αν και µόνο αν 0 x 3 (y + 3) 2 4(3y + 1) ( y 3) + 3y y 2 6y (που ισχύει) y 1ή y 5 Άρα το σύνολο τιµών είναι f(a) = (, 1] [5, + ) { x 2 5x + 6 x 1 Θέµα 1.5 Εχουµε τη συνάρτηση f(x) = x x < 1 x 1 Να ϐρείτε τις τιµές της συνάρτησης, f(0), f(1), f(2) Λύση 1.5 i. Για να υπολογίσω το f(0) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x x 1, γιατί 0 < 1 Άρα f(0) = = 0 ii. Για να υπολογίσω το f(1) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x 2 5x + 6, γιατί 1 1 Άρα f(1) = = 2 iii. Για να υπολογίσω το f(2) ϑα χρησιµοποιήσω τον τύπο f(x) = x 2 5x + 6, γιατί 2 1 Άρα f(2) = = 0 Θέµα 1.6 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x, η συνάρτηση f(x) = x 2 8 δίνει τιµή 7. Λύση 1.6 Είναι f(x) = 7 x 2 8 = 7 x = ± 15 x = ±1 x 2 8 = 7 x 2 8 = 7 x 2 = 15 x 2 = 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

10 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = 2 x 3 + x ii. g(x) = x2 + 1 x 3 + x 2 iii. h(x) = x 2 16 iv. t(x) = x 2 4x x v. k(x) = x x 2 x 1 25 vi. b(x) = x 2 3x x 3 4x 2 x 2 4x 2. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x 2 x 1 x 2 1 ii. g(x) = x x Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων 16 x 2 i. f(x) = x 4 ii. g(x) = x x 2 8x 4. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R η συνάρτηση x 2 (5λ + 2)x 8 f(x) = (λ 1)x 2 2(λ 1)x + 3 έχει πεδίο ορισµού όλο το R. { x 3 x < 1 5. Εχουµε τη συνάρτηση f(x) = 2x + 3 x 1 Να ϐρείτε τις τιµές της συνάρτησης, f(0), f(1), f(2) 6. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x, η συνάρτηση f(x) = x2 16 x 2 4x δίνει τιµή Να προσδιορίσετε το σύνολο τιµών των παρακάτω συναρτήσεων i. f(x) = x x 2 4 ii. g(x) = x2 + x + 1 x 2 + x ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x µε πεδίο ορισµού A = [ 1, 2]. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών της. { αx 1 x < 0 9. Αν f(x) = β 2x 2 x 0 Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε να είναι : f(0) = 3 και f( 2) = 1. Στη συνέχεια να ϐρείτε την τιµή της παράστασης : 10. Αν f(x) = { x + 2 x < 1 x 2 x 1 Να ϐρείτε το x ώστε : f(x) = 1 { 2 1, x ϱητός 11. Αν f(x) = 0, x άρητος A = 2f(0) 3f(1) 3f( 1 2 ) + 5f(1 2 ) i. Να ϐρεθούν τα f(0), f( 3), f(3500), f(π) ii. Να λυθεί η ανίσωση x + 1 f( 3) < f(1821) 12. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 3, να δειχθεί ότι : i. f(α + β) = f(α) + f(β) 3 ii. f( α + β) f( α) + f( β) Αν f(x) = x 2 2x + 3, να λύσετε την εξίσωση f(x + 1) 2f(2x) + 3f( 1) = 14 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

11 14. Στο σύνολο Z των ακεραίων αριθµών, ορίζουµε τη συνάρτηση f(x) = 3( 1) x + 2( 1) x+1 { 1, x άρτιος i. Να αποδείξετε ότι f(x) = 1, x περιττός ii. Να ϐρείτε τις τιµές f( 23), f( 55), f(0), f(1000), f(28) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

12 1.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.8 Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση ή καµπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy; Τι είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f; Γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f, που έχει πεδίο ορισµού το Α, ονοµάζουµε το σύνολο των σηµείων M(x, f(x)), για όλα τα x A. Εξίσωση της γραφικής παράστασης της ϕ είναι η εξίσωση y = f(x)που επαληθεύεται µόνο από τα Ϲεύγη (x, y) που είναι συντεταγµένες σηµείων της γραφικής παράστασης της f Ενα σηµείο σηµείο A(x o, y o ) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f αν και µόνο αν y o = f(x o ) Σχήµα 1.1: Σηµείο γραφικής παράστασης Ερώτηση 1.9 Να γράψετε τα συµµετρικά του σηµείου M(x, y) ως προς τους άξονες, την αρχή των αξόνων O(0, 0) και την ευθεία y = x Το συµµετρικό ως προς τον xx είναι M (x, y) Το συµµετρικό ως προς τον yy είναι M ( x, y) Το συµµετρικό ως προς το Ο είναι M ( x, y) Το συµµετρικό ως προς την y = x είναι M (y, x) Ερώτηση 1.10 Να γράψετε και να αποδείξετε τον τύπο της απόστασης 2 σηµείων A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 ) Εχουµε, (AK) = x 2 x 1 και (BK) = y 2 y 1 Είναι : (AB) 2 = (AK) 2 + (BK) 2 = x 2 x y 2 y 1 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 12

13 Αρα (AB) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Ερώτηση 1.11 Ποιά συµπεράσµατα ϐγάζουµε από τη γραφική παράσταση συνάρτησης ; Πεδίο ορισµού Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [α, ϐ), η προβολή της γραφικής παράστασης στον xx Σχήµα 1.2: Πεδίο ορισµού συνάρτησης Σύνολο τιµών Το σύνολο τιµών είναι της συνάρτησης f είναι το διάστηµα [γ, δ), η προβολή της γραφικής παράστασης στον yy Σχήµα 1.3: Σύνολο τιµών συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

14 Η γραφική παράσταση σε σχέση µε τον xx Η γραφική παράσταση τέµνει τον xx στα σηµεία ϱ και µ τα οποία είναι ϱίζες της εξίσωσης f(x) = 0 Η γραφική παράσταση της f(x) είναι πάνω από τον xx στα διαστήµατα (α, ρ) (µ, β), στις λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0 Η γραφική παράσταση της f(x) είναι κάτω από τον xx στο διάστηµα (ρ, µ),στις λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0 Σχήµα 1.4: Σχετική ϑέση γραφικής παράστασης µε τον xx Μονοτονία Η γραφική παράσταση είναι ϕθίνουσα στα διαστήµατα (α, ɛ) (0, ζ) εκεί που ισχύει x 1, x 2 D f µε x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) Η γραφική παράσταση είναι αύξουσα στα διαστήµατα (ɛ, 0) (ζ, β) εκεί που ισχύει x 1, x 2 D f µε x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) Σχήµα 1.5: Μονοτονία συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

15 Ακρότατα-Μέγιστο Η γραφική παράσταση έχει τοπικά µέγιστα στο α το f(α) = η και στο 0 το f(0) = θ στα x o όπου x που ανήκει σε µια περιοχή του x o ισχύει f(x) f(x 0 ) Ολικό µέγιστο έχω στο α το f(α) = η γιατί θ < η Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Στο β δεν έχω µέγιστο γιατί δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού! Σχήµα 1.6: Μέγιστο συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

16 Ακρότατα-Ελάχιστο Η γραφική παράσταση έχει τοπικά ελάχιστα στο ɛ το f(ɛ) = γ και στο ζ το f(ζ) = γ στα x o όπου x που ανήκει σε µια περιοχή του x o ισχύει f(x) f(x 0 ) Ολικό ελάχιστο έχω στο ɛ και στο ζ γιατί f(ɛ) = f(ζ)) = θ Σχήµα 1.7: Ελάχιστο συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

17 Ερώτηση 1.12 Ποια συµπεράσµατα ϐγάζουµε από τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων ; Κοινά σηµεία δύο γραφικών παραστάσεων Οι γραφικές παραστάσεις τέµνονται στα σηµεία µε τετµηµένες x 1, x 2, x 3 οι οποίες είναι οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x) Σχήµα 1.8: Κοινά σηµεία 2 γραφικών παραστάσεων Η f µεγαλύτερη από την g Η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g στα διαστήµατα (x 1, x 2 ) (x 3, β) Τα οποία είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) > g(x) Σχήµα 1.9: Σχετικές ϑέσεις 2 γραφικών παραστάσεων Ι Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

18 Η f µικρότερη από την g Η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της g στα διαστήµατα (α, x 1 ) (x 2, x 3 ) Τα οποία είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) < g(x) Σχήµα 1.10: Σχετικές ϑέσεις 2 γραφικών παραστάσεων ΙΙ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

19 Μελέτη συνάρτησης Σχήµα 1.11: Μελέτη συνάρτησης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

20 1.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.7 Να ϐρείτε το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς : i. τον xx ii. τον yy iii. το 0(0, 0) iv. την διχοτόµο 1ου 3ου τεταρτηµορίου y = x Μεθοδολογία 1.3 Το συµµετρικό του M(x, y) ως προς τον xx είναι M (x, y) δηλαδή κρατάω ίδιο το x και αλλάζω το πρόσηµο του y ως προς τον yy είναι M ( x, y) δηλαδή αλλάζω το πρόσηµο του x και κρατάω ίδιο το y ως προς το Ο είναι M ( x, y) δηλαδή αλλάζω το πρόσηµο του x και του y ως προς την y = x είναι M (y, x) δηλαδή αλλάζω τη ϑέση του x και του y Λύση 1.7 i. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς τον xx είναι το ( 2, 5) ii. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς τον yy είναι το (2, 5) iii. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς το 0(0, 0) είναι το (2, 5) iv. Το συµµετρικό του A( 2, 5), ως προς την y = x είναι το (5, 2) Θέµα 1.8 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε να είναι συµµετρικά ως προς τον xx τα A( 1, 5) και B( 1, λ + 1) Λύση 1.8 Για να είναι συµµετρικά ως προς τον xx ϑα πρέπει να έχουν ίσες τετµηµένες 1 = 1 και τεταγµένες µε αντίθετα πρόσηµα. 5 = 25 = λ + 1 λ = 24 λ + 1 Θέµα 1.9 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία A(2, 2), B( 1, 1), Γ(3, 6) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. Μεθοδολογία 1.4 Θα υπολογίσω τα µήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές, ϑα πρέπει τουλάχιστον οι 2 από τις τρεις πλευρές να είναι ίσες. Λύση 1.9 AB = (2 + 1) 2 + (2 1) 2 = 10 AΓ = (3 2) 2 + ( 6 2) 2 = 65 BΓ = (3 + 1) 2 + ( 6 1) 2 = 65 Άρα AΓ = BΓ Θέµα 1.10 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία A(1, 1), B(3, 1), Γ(1, 3) είναι κορυφές ισοσκελούς και ορθογωνίου τριγώνου. Μεθοδολογία 1.5 Θα υπολογίσω τα µήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές, ϑα πρέπει τουλάχιστον οι 2 από τις τρεις πλευρές να είναι ίσες, ενώ για να είναι ορθογώνιο, ϑα πρέπει τα µήκη των πλευρών να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο Θεώρηµα Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 20

21 Λύση 1.10 AB = (3 1) 2 + (1 1) 2 = 2 AΓ = (1 1) 2 + (3 1) 2 = 2 BΓ = (3 1) 2 + ( 3 + 1) 2 = 8 Άρα AΓ = AB και BΓ 2 = 8, AB 2 + AΓ 2 = = 8 Άρα BΓ 2 = AB 2 + AΓ 2 οπότε το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Θέµα 1.11 Να εξετάσετε αν το σηµείο Α(-1, 1) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο f(x) = x x Μεθοδολογία 1.6 Ενα σηµείο A(x o, y o ) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x) αν και µόνο αν y o = f(x o ) Λύση 1.11 Για να είναι το Α(-1, 1) σηµείο της f(x) = ϑα πρέπει να ισχύει f( 1) = 1. f( 1) = x x ( 1) = 1 1 άρα το Α(-1, 1) δεν είναι σηµείο της f(x) = x 2 x Θέµα 1.12 ίνεται η συνάρτηση f(x) = 5x 1. Να ϐρείτε το κ R, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από το A(2, κ). Λύση 1.12 Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το το A(2, κ) ϑα πρέπει : f(2) = κ = κ κ = 9 Θέµα 1.13 Να ϐρείτε σε ποια σηµεία τέµνει τους άξονες η συνάρτηση f(x) = x 2 4 και σε ποια διαστήµατα είναι πάνω από τον xx. Μεθοδολογία 1.7 Για να ϐρω σε ποιο σηµείο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον yy, υπολογίζω την τιµή της συνάρτησης f(0). Για να ϐρω σε ποιο σηµείο η γραφική παράσταση της f τέµνει τον xx, λύνω την εξίσωση f(x) = 0. Για να ϐρω σε ποια διαστήµατα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον xx, λύνω την ανίσωση f(x) > 0, ενώ για κάτω από τον xx, την f(x) < 0 Λύση 1.13 f(0) = = 4. Άρα τέµνει τον yy στο A(0, 4) f(x) = 0 x 2 4 = 0 x = ±2. Άρα τέµνει τον xx στο B(2, 0) και Γ( 2, 0) f(x) > 0 x 2 4 > 0 x 2 > 4 x > 4 x (, 2) (2, + ) Θέµα 1.14 Εχουµε τις συναρτήσεις f(x) = x 2 5x + 4 και g(x) = 2x 6. Να ϐρείτε : i. Τα κοινά σηµεία των C f, C g ii. Τις τετµηµένες των σηµείων της C f που ϐρίσκονται κάτω από τη C g Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 21

22 Μεθοδολογία 1.8 Για να ϐρω σε ποια σηµεία η γραφική παράσταση της f τέµνει τη γραφική παράσταση της g, λύνω την εξίσωση f(x) = g(x). Για να ϐρω σε ποια διαστήµατα η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της g, λύνω την ανίσωση f(x) > g(x). Λύση 1.14 i. f(x) = g(x) x 2 5x + 6 = 2x 6 x 2 7x + 12 = 0, = 1 x 1,2 = 5 ± 1 2 x 1 = 3, x 2 = 2 Τα κοινά σηµεία των C f, C g είναι τα A(3, g(3)) = (3, 0) και B(2, g(2)) = (2, 2) ii. Για την ανίσωση f(x) > g(x) x 2 7x + 12 > 0 έχω τον παρακάτω πίνακα προσήµων : x x 2 7x Άρα οι τετµηµένες των σηµείων της C f που ϐρίσκονται κάτω από τη C g είναι τα x (, 2) (3, + ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 22

23 1.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τα συµµετρικά σηµεία, ως προς τον xx, τον yy, την αρχή των αξόνων O(0, 0) και τη διχοτόµο 1ου 3ου τεταρτηµορίου y = x, των παρακάτω σηµείων : i. το A(1, 2) ii. το B( 2, 3) iii. το Γ( 3, 1) iv. το (0, 5) 2. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(1, 2), Β(4, -2) και Γ(-3, 5) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. 3. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(1, -1), Β(-1, 1) και Γ(4, 2) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. 4. Να ϐρείτε τα κοινά σηµεία των παρακάτω συναρτήσεων µε τους άξονες, καθώς και τα διαστήµατα στα οποία, οι γραφικές τους παραστάσεις ϐρίσκονται πάνω από τον xx : i. f(x) = x + 3 ii. g(x) = 2x + 8 iii. h(x) = x 2 3x iv. το k(x) = x2 x x 2 5. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x 3 + (κ 1) 2, κ R. Να ϐρείτε το κ R, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται από το O(0, 0). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 23

24 1.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.13 Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ευθείας ; Η συνάρτηση f(x) = αx + β έχει γραφική παράσταση µια ευθεία, µε συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = α = ɛφω και τέµνει τον yy στο σηµείο A(0, β) Σχήµα 1.12: Ευθεία Ερώτηση 1.14 Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας ; Ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας, είναι η εφαπτόµενη της γωνιάς που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx Σχήµα 1.13: Συντελεστής διεύθυνσης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 24

25 Ερώτηση 1.15 Τι συµπεράσµατα ϐγάζουµε αν ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ϑετικός, ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός ή µηδέν ; Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ϑετικός, όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι οξεία. (0 o ω 90 o ) Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός, όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι αµβλεία. (90 o ω 180 o ). Σχήµα 1.14: Συντελεστής διεύθυνσης ϑετικός Σχήµα 1.15: Συντελεστής διεύθυνσης αρνητικός Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 25

26 Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι µηδέν, όταν η ευθεία είναι παράλληλα µε τον µε τον xx, δηλαδή ω = 0 o. Σχήµα 1.16: Συντελεστής διεύθυνσης 0 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Οταν ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται, η ευθεία είναι κάθετη στον xx δηλαδή ω = 90 o και δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. Σχήµα 1.17: εν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 26

27 Ερώτηση 1.16 Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx ; Είναι µια ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = α και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σχήµα 1.18: Η ευθεία y = αx Ερώτηση 1.17 Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 ); Είναι λ = y 2 y 1 x 2 x 1, x 1 x 2. Σχήµα 1.19: Συντελεστής διεύθυνσης από 2 σηµεία Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 27

28 Ερώτηση 1.18 Τι ισχύει για τις παράλληλες ευθείες ; Αν οι συντελεστές διεύθυνσης 2 ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι παράλληλες αν-ν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ίσοι ɛ 1 ɛ 2 λ 1 = λ 2 Σχήµα 1.20: Παράλληλες ευθείες Ερώτηση 1.19 Τι ισχύει για τις κάθετες ευθείες ; Αν οι συντελεστές διεύθυνσης 2 ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι κάθετες αν και µόνο αν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι αντίθετοι και αντίστροφοι ɛ 1 ɛ 2 λ 1 λ 2 = 1 Σχήµα 1.21: Κάθετες ευθείες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 28

29 1.3.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.15 ίνεται η ευθεία y = x 5, να ϐρείτε : i. Το συντελεστή διεύθυνσης. ii. Τη γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx. iii. Σε ποια σηµεία τέµνει τους άξονες. iv. Το εµβαδόν του τριγώνου, που σχηµατίζει η ευθεία µε τους άξονες. Λύση Επειδή η εξίσωση της ευθείας είναι της µορφής y = αx + β, ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ο συντελεστής του x. Άρα λ = 1 2. Γνωρίζουµε ότι, λ ɛ = α = ɛφω = ɛφω = 1 = ω = 45 o 3. Η ευθεία τέµνει τον xx για y = 0, δηλαδή 0 = x 5 = x = 5. Στο σηµείο A(5, 0) τέµνει τον yy για y = 0, δηλαδή x = 0 5 = y = 5. Στο σηµείο B(0, 5) 4. Το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζει µε τους άξονες είναι : E = 1 2 (OA)(OB) = = 2 2 τ.µ. Θέµα 1.16 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(2, 1) και B(3, 1). Λύση 1.16 Η εξίσωση της ευθείας είναι της µορφής y = αx + β Άρα τα σηµεία από τα οποία διέρχεται την επαληθεύουν y = αx + β ==== A(2,1) 1 = 2α + β y = αx + β ===== B(3, 1) 1 = 3α + β Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε : α = 2 Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση έχουµε : 1 = 2α + β ==== α= 2 1 = 6 + β = β = 5 Άρα η εξίσωση είναι y = 2x + 5. Θέµα 1.17 Να ϐρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(2, 4) και B( 2, 0) και τη γωνιά που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx. Λύση 1.17 Είναι λ = y 2 y 1 A(2,4) 4 0, x 1 x 2 ===== x 2 x 1 B( 2,0) = 1 Επειδή ɛφ45 o = 1 = ω = 45 o Θέµα 1.18 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το το σηµείο A(2, 3) και είναι παράλληλη στην y = 4x 3. Λύση 1.18 Η ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. υο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Επειδή η y = 4x 3 έχει συντελεστή διεύθυνσης 4, οπότε ϑα πρέπει α = 4. Άρα y = 4x + β A(2,3) ==== 3 = β = β = 5. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 29

30 και η ευθεία είναι y = 4x 5. Θέµα 1.19 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το το σηµείο A( 2, 1) και είναι κάθετη στην y = 2x + 5. Λύση 1.19 Η ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. υο ευθείες όταν είναι κάθετες, έχουν συντελεστές διεύθυνσης αντίστροφους και αντίθετους (έχουν γινόµενο 1). Επειδή η y = 2x + 5 έχει συντελεστή διεύθυνσης 2, ϑα πρέπει α 2 = 1 α = 1 2 Άρα y = 1 2 x + β ===== A( 2,1) 1 = 1 ( 2) + β = β = 0 2 και η ευθεία είναι y = 1 2 x. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 30

31 Θέµα 1.20 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε οι παρακάτω ευθείες να είναι παράλληλες y = (λ λ )x + 2 (ɛ 1 ) και y = 4x + 5 (ɛ 2 ). Λύση 1.20 υο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Άρα, λ λ = 4 λ λ 4 = 0 ϑέτω λ = ω κι έχω : ω 1 = 1 ω 2 + 3ω 4 = 0 ω 2 = 4 λ = 1 λ = 4, αδύνατη λ = ±1 Θέµα 1.21 Να προσδιορίσετε το λ R ώστε οι παρακάτω ευθείες να είναι κάθετες y = ( λ λ)x + 2 (ɛ 1) και y = 2x + 5 (ɛ 2 ) Λύση 1.21 υο ευθείες όταν είναι κάθετες, όταν οι συντελεστές διεύθυνσής τους έχουν γινόµενο -1. ( λ λ)( 2) = 1 2λ2 + 3λ 1 = 0 λ = 1 λ = 2 Θέµα 1.22 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας, που είναι κάθετη στην y = 1 3 x διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών y = x και y = x + 1. και Λύση 1.22 Το σηµείο τοµής των ευθειών y = x και y = x + 1 είναι η λύση του συστήµατος y = x x = x + 1 y = x + 1 x = 1 2 αντικαθιστώντας στην y = x x= 1 2 === y = 1 2 το κοινό σηµείο των ευθειών y = x και y = x + 1 είναι το A( 1 2, 1 ) Η ευθεία που 2 ψάχνουµε έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β Ως γνωστό, δυο ευθείες όταν είναι παράλληλες, έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης η y = 1 3 x έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 3, Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 31

32 άρα ϑα πρέπει α = 1 3 Εποµένως y = 1 3 x + β A( 1 2,1 2 ) ===== 1 2 = β = β = = β = 2 3 Άρα η ευθεία είναι y = 1 3 x Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 32

33 1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τη γωνία που σχηµατίζουν µε τον xx οι παρακάτω ευθείες : i. y = x + 2 ii. 3y = x + 4 iii. y 4 = 0 iv. 3x 6 = 0 v. y = 3x + 1 vi. x + y + 3 = 0 2. Να ϐρείτε την τιµή του λ R ώστε η ευθεία y = 3λ + 4 x + 2 να σχηµατίζει µε τον xx γωνία 45 o 3. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που σχηµατίζει τον xx γωνία 60 o και διέρχεται από το σηµείο A( 3, 1). 4. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην 6x 2y+3 = 0 και διέρχεται από το σηµείο A(3, 4). 5. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην y = 1 x + 1 και διέρχεται από το σηµείο A( 1, 2). 4 3x + 2, x 2 6. ίνεται η συνάρτηση, 2αx + 4, x 2 i. Να προσδιορίσετε το α R y = 4f(1) β 2 x + 3 ii. Να ϐρείτε το β R ώστε οι ευθείες y = (β + 1) 2 x παράλληλες. x, x < 0 7. Να ϕτιάξετε την γραφική παράσταση της f(x) = 2, 0 x < 3 3x 7, x 3 y = (α 2 4α)x + 3α + 1 = 0 8. ίνονται οι ευθείες y = (α + 14)x 5 i. Να προσδιορίσετε το α R ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. ii. Να προσδιορίσετε το α R ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται. 9. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η ευθεία y = (λ + 2)x + 4 να είναι : i. παράλληλη στον xx. ii. παράλληλη στην y = 2 3 x 4. να είναι iii. παράλληλη στην y = (λ 2 )x Να προσδιορίσετε το λ R ώστε η ευθεία y = λ 1 1 2λ x 5 λ να είναι : 2λ 1 i. παράλληλη στον xx. ii. παράλληλη στην y = x + 1. iii. διερχόµενη από την αρχή των αξόνων. iv. διερχόµενη από το σηµείο A(1, 2) 11. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε τα σηµεία A(3, 2) B( 1, 4) Γ(λ, λ 1) να είναι συνευθειακά. 12. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες y = (λ + 2)x λ 1, που προκύπτουν για τις διάφορες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

34 τιµές του λ R, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. 13. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3 2 x i. Να ϐρείτε την τιµή της παράστασης A = f( 1) + f(0) + f( 2) + f(2) ii. Να ϕτιάξετε τη γραφική παράσταση C f της f iii. Να ϐρείτε ένα σηµείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η τετµηµένη είναι τριπλάσια από την τεταγµένη. iv. Να προσδιορίσετε το α R ώστε το σηµείο N( α + 1, 2α 1 ) να είναι σηµείο 3 της C f ίνεται η συνάρτηση f(x) = λx + 2, λ > 0. Να ϐρείτε : i. Τα σηµεία τοµής της C f µε τους άξονες. ii. Το εµβαδόν του τριγώνου, που σχηµατίζει η C f µε τους άξονες. iii. Την τιµή του λ ώστε το εµβαδόν να είναι 2 τ.µ. 15. ίνεται η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3x + 1 i. Να ϐρείτε τα α, β ώστε τα σηµεία M(α, 5) και N(2, β + 5) να ανήκουν στην C f ii. Να δείξετε ότι τα σηµεία A(0, 1), B(1, 2), Γ(2, 5), ( 1, 0) είναι συνευ- 3 ϑειακά. iii. Να ϕτιάξετε τη γραφική παράσταση της f. 16. Εστω η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = nx + n 4, h R i. Να ϐρείτε την τιµή n για την οποία, η γραφική παράσταση της f, διέρχεται από το A(n, 2) ii. Να ϐρείτε την τιµή n για την οποία, η γραφική παράσταση της f, σχηµατίζει µε τους άξονες, τρίγωνο µε εµβαδόν E = n 2 2αx + 5, x < Εστω η συνάρτηση f : R R, µε f(x) = 3x + β, x 0 i. Να ϐρείτε τα α, β αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα M( 1, 1) και N(2, 3) ii. Για α = 3 και β = 9 i. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f ii. Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f( x) = 7 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 34

35 Βιβλία Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες

36

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της συνάρτησης ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΣΤ.3 (6.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1ο κεφάλαιο: Διανύσματα Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ H Έννοια της Συνάρτησης H έννοια του συνόλου Ορισμός: Σύνολο είναι κάθε συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 6 185 ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / / 0 1 7 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1.Δίνεται η εξίσωση f x x 4x. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η εξίσωση fx x 4x Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν 3,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω µε 0 ο ω 180 ο ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο θυµίζουµε ότι απέναντι κάθετη ηµω = = ΑΓ υποτείνουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα