e (4+j2πf)t dt (5) (0 1)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Ειστήµης Υολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 7-8 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 9//8 Ηµεροµηνία Παράδοσης : //8, : Οι ασκήσεις µε [ είναι bonus, + µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων δηλ. µορείτε να άρετε µέχρι /8 σε αυτή τη σειρά. Ασκηση - Μετασχηµατισµός Fourier Ι - Ορισµός αʹ Είναι ϐʹ Είναι γʹ Είναι e u e jf e +jf + jf e +jf e e jf e jf + e e jf + jf e +jf + + jf e +jf e e jf + e e jf e +jf 5 jf e jf + jf e +jf jf + jf 7 jf + + jf 8 8 jf + jf f e ue jf e e jf e +jf e +jf + jf + + jf + jf + lim + e +jf + jf + jf lim + e +jf + + jf + + jf + jf

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις + µετά αό εφαρµογή του κανόνα του De L Hospial. + jf + jf 5 Ασκηση - Μετασχηµατισµός Fourier ΙΙ - Ιδιότητες αʹ Είναι Y f X f/ j f jf ϐʹ Είναι γʹ Είναι Y f Xfe j5f Y f 8 Xf/8e jf/ 8 + j f 8 + jf e jf e jf + jf e jf/ e jf/ + jf 7 8 δʹ Είναι Y f j f j f + jf + jf 9 εʹ Είναι ϛʹ Είναι Y f X f + jf + jf Y f jf jf + jf j8f + jf Ασκηση - Μετασχηµατισµός Fourier ΙΙΙ - Ιδιότητες Το ολοκλήρωµα µορεί να γραφεί ως sin και µέσω του ϑεωρήµατος Parseval αυτό ισοδυναµεί µε { F sin sin } f Άρα χρειαζόµαστε το µετασχ. Fourier της συνάρτησης x sin, η οοία µορεί να γραφεί ως sin sin x sin sin sinc Ο µετασχ. Fourier του σήµατος αυτού δίνεται εύκολα αό την ιδιότητα της αραγώγισης στη συχνότητα, δηλ. j { f F sinc } j f rif j rec f + rec f 5

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις εφ οσον το σήµα τριγωνικού αλµού ορίζεται στο,, οότε η αράγωγός του ϑα είναι δυο τετραγωνικοί αλµοί µε λάτος ± και κέντρο. Γυρνώντας ίσω στο ολοκλήρωµα ϑα έχουµε Xf f j recf + rec f + + rec f + / f + f f / / + f / rec f rec f + f f f 7 rec f f 8 9 µε το σάσιµο του ολοκληρώµατος σε δυο να είναι εφικτό αφού οι δυο τετραγωνικοί αλµοί ου υψώνονται στο τετράγωνο ζουν σε διαφορετικά διαστήµατα του f. Στο MATLAB ϑα είναι syms ; x * sin/pi*ˆ; c inxˆ,, -inf, inf; [ Ασκηση - Μετασχηµατισµός Fourier - Γρίφος :- Εφ οσον το σήµα είναι ραγµατικό στο χρόνο, το R{Xf} ϑα αντιστοιχεί στο άρτιο µέρος του σήµατος x, δηλ. στο x + x x e Άρα x e e x + x Αφού ισχύει ότι x, <, τότε το x για >. Οότε x e, > και άρα x e u Ασκηση 5 - Αντίστροφος Μετασχ. Fourier - Ι Αφού γνωρίζουµε το µέτρο και τη ϕάση του µετασχηµατισµού, µορούµε να τον ϐρούµε ως Xf e jφxf uf + uf e j f+ 5 Παρατηρούµε ότι f uf + uf rec αʹ Άρα η ολική µορφή δίνεται ως f Xf e jφxf rec e j f+ 7

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις ϐʹ Θα έχουµε f x F {Xf} F {rec e j f+ } 8 f F { rec e j f } 9 f F { rec } F {e j f } λόγω της ιδιότητας της συνέλιξης στο χρόνο γινόµενο στη συχνότητα. Στη συνέχεια, x sinc δ sinc / sinc 9 sinc9 αό την ιδιότητα της συνέλιξης σήµατος µε τη συνάρτηση δέλτα και λόγω αρτιότητας της συνάρτησης sinc. Στο ίδιο αοτέλεσµα καταλήγουµε µε εφαρµογή του ορισµού ή µε εφαρµογή της ιδιότητας της κλιµάκωσης και χρονικής µετατόισης - όλες αυτές οι λύσεις είναι σωστές. γʹ Προφανώς τα σηµεία µηδενισµού είναι τα σηµεία µηδενισµού του αριθµητή sin9, οότε 9 k 9 k, k Z 5 Ασκηση - Αντίστροφος Μετασχ. Fourier - ΙΙ Ο µετασχηµατισµός γράφεται ως f + jf + jf + jf Ανατύσσοντας σε µερικά κλάσµατα ϑα έχουµε µε + jf + jf A + jf + B + jf A Xf + jf jf + jf 8 jf B Xf + jf 9 jf + jf jf 7 και άρα + jf + jf Αό τα Ϲεύγη µετασχηµατισµών στους Πίνακες µας καταλήγουµε ότι 5 x e e u 5 [ Ασκηση 7 - Συµβολικός Υολογισµός Μετασχ. Fourier στο MATLAB Αυτή η άσκηση ααιτεί αοκλειστικά MATLAB - δεν είναι συµβατή µε το Ocave.

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 7-8/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις 5 Ασκηση 8 - Αριθµητικός Υολογισµός Μετασχ. Fourier στο MATLAB Ασκηση 9 - Μετασχηµατισµός Fourier και Παθολογία Φωνής [ Ασκηση - Εέκταση της ροηγούµενης άσκησης Ασκηση - Μετασχηµατισµός Fourier κι αφαίρεση ϑορύβου