ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

Transcript

1 ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες έννοιες και τους αλγορίθµους της Θεωρίας ένδρων. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να σταλεί µε στον Σύµβουλο Καθηγητή σας το αργότερο µέχρι την ευτέρα 22 Μαρτίου 2004, ώρα 13:00. Οδηγίες προς τους φοιτητές: 1. Μην αφαιρείτε ΚΑΜΙΑ σελίδα από την αρχική µορφή της εργασίας, ούτε την εισαγωγική. 2. Συµπληρώστε πρώτα τα στοιχεία σας στο ΕΝΤΥΠΟ Α της τελευταίας σελίδας. Π.χ. για να συµπληρώστε το όνοµα κάντε διπλό κλικ στο σκιασµένο µέρος <Όνοµα> (προσοχή, µην το σβήσετε). Στην φόρµα που θα εµφανιστεί, στη θέση του προεπιλεγµένου κειµένου, συµπληρώστε το όνοµά σας. Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία για κάθε σκιασµένο µέρος. 3. Τα άλλα πεδία στην σελίδα 2 ενηµερώνονται αυτόµατα. 4. Σε κάθε ερώτηµα, αµέσως µετά την εκφώνηση, γράψτε τον τίτλο Απάντηση, σβήστε τη φράση και γράψτε την απάντησή σας. Μπορείτε να διαµορφώσετε το χώρο όπως επιθυµείτε, και δεν υπάρχει περιορισµός στο πόσο χώρο θα καταλάβει η απάντησή σας. 5. Αφήστε όπως είναι το πλαίσιο. Θα συµπληρωθεί κατά την αξιολόγηση.

2 ΕΛΤΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Το έντυπο αυτό που συµπληρώνεται και υπογράφεται από τον καθηγητή σύµβουλο για κάθε γραπτή εργασία, αποστέλλεται στο φοιτητή µαζί µε α) αντίγραφο της διορθωµένης εργασίας και β) ξεχωριστό φύλλο µε Σχόλια προς τον Φοιτητή. Αντίγραφο του ελτίου Αξιολόγησης και των Σχολίων στέλνεται και στο Ε.Α.Π. Επίσης, ο καθηγητής κρατά για το δικό του αρχείο: α) την διορθωµένη εργασία και β) το φύλλο µε τα Σχόλια. Σε περίπτωση που υπήρξε καθυστέρηση µεγαλύτερη των 7 ηµερών για την παράδοση της γραπτής εργασίας, επισυνάπτεται το γραπτό σηµείωµα του Συντονιστή της Θ.Ε. Ονοµατεπώνυµο Φοιτητή <Όνοµα> <Επώνυµο> Προσωπικός Αριθµός Φοιτητή <ΑΜ> Ηµεροµηνία Αποστολής της Εργασίας από το Φοιτητή 22/3/04 Ηµεροµηνία Αποστολής Εργασίας στο Φοιτητή 01/03/04 Βαθµολογία 0 Υπογραφή Καθηγητή Ονοµατεπώνυµο Καθηγητή Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Θεµατική Ενότητα ιακριτα Μαθηµατικα και Μαθηµατικη Λογική Κωδικός Θεµατικής Ενότητας ΠΛΗ 20 Άυξων Αριθµός Γραπτής Εργασίας 4η Ακαδηµαϊκό έτος

3 Κ Ρ Ι Τ Η Ρ Ι Α Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Σ Ερώτηµα Μέγιστος βαθµός Βαθµός Συνολικός Βαθµός: Γενικά Σχόλια: <γενικά σχόλια για την εργασία από το Σύµβουλο-Καθηγητή>

4 Ερώτηµα 1. Ε ρ ω τ ή µ α τ α ίδεται το δένδρο του παρακάτω σχήµατος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντας σαν ρίζα του δένδρου την κορυφή a, να βρεθούν: i) Το ύψος του δένδρου ii) Το επίπεδο κάθε µιας από τις κορυφές c, p και ο iii) Τα παιδιά της κορυφής k iv) Ο πατέρας και οι πρόγονοι της κορυφής n v) Τα φύλλα του δένδρου <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 1

5 : / 10 Ερώτηµα Έστω G ένας γράφος µε µέγιστο βαθµό = κ. Να αποδειχτεί ότι αν ο G είναι δένδρο, τότε έχει τουλάχιστον κ κορυφές µε βαθµό Ένα πλήρες (2-3)-αδικό δένδρο, είναι ένα δένδρο που όλα τα φύλλα του βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και κάθε εσωτερική κορυφή έχει 2 ή 3 παιδιά. Ποιο µπορεί να είναι το ελάχιστο και ποιο το µέγιστο ύψος του δένδρου αυτού όταν έχει 100 κορυφές συνολικά; (Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα 2.15, σελίδα 220, βιβλίο Β, Μ. Μαυρονικόλα). : / 12 Ερώτηµα 3. <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 2

6 1. ίδεται το γράφηµα G του παρακάτω σχήµατος. a β γ δ Να βρεθούν πόσα είναι τα συνδετικά δένδρα (spanning trees) του γραφήµατος αυτού. Ζωγραφίστε 2 δέντρα από αυτά, που να µην είναι ισοµορφικά το ένα µε το άλλο. 2. Γενικά, ποιος είναι ο τύπος που δίνει τον αριθµό των συνδετικών δένδρων (spanning trees) του πλήρους γραφήµατος K n ; Σηµείωση: Στα βιβλίο του Γ. Βούρου χρησιµοποιείται ο όρος συνδετικό δένδρο (ορισµός 5.6, σελίδα 162) ενώ στο βιβλίο του Μ. Μαυρονικόλα χρησιµοποιείται ο όρος γεννητορικό δένδρο (σελίδα 134). Και οι δύο µεταφράζουν τον αγγλικό όρο spanning tree. Στην εργασία χρησιµοποιούµε την ορολογία του Γ. Βούρου (συνδετικό δένδρο). : / 14 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 3

7 Ερώτηµα ίδεται το γράφηµα G του παρακάτω σχήµατος. α β γ δ ε ζ η θ Να βρεθεί ένα συνδετικό δένδρο που προκύπτει µε την χρήση του αλγορίθµου κατά πλάτους διάσχισης (breadth first search) και ένα συνδετικό δένδρο που προκύπτει µε χρήση του αλγορίθµου κατά βάθους διάσχισης (depth first search) ξεκινώντας από την κορυφή γ. 2. Οι αλγόριθµοι κατά πλάτους (breadth first search) και κατά βάθους διάσχισης (depth first search) παίρνουν σαν είσοδο ένα γράφηµα G και δηµιουργούν σαν έξοδο κάποιο δένδρο. Το ύψος του δένδρου αυτού εξαρτάται από την κορυφή από την οποία ξεκινάει η διάσχιση. Για κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις υπολογίστε τα πιθανά ελάχιστα και µέγιστα ύψη δένδρων που παράγουν οι δύο αλγόριθµοι: i) Πλήρης γράφος ii) Γράφος «κύκλος» (ο γράφος είναι συνδεδεµένος και όλες οι κορυφές έχουν βαθµό 2) <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 4

8 iii) Γράφος «αστέρας» (ο γράφος είναι συνδεδεµένος, µια κορυφή έχει βαθµό n-1 όπου n είναι το πλήθος των κορυφών και όλες οι υπόλοιπες έχουν βαθµό 1). : / 14 Ερώτηµα Έστω ένα επαρχιακό οδικό δίκτυο το οποίο συµβολίζεται από τον παρακάτω απλό γράφο µε βάρη G ώστε οι κορυφές να αναπαριστούν τα χωριά, οι ακµές τους δρόµους µεταξύ τους και τα βάρη των ακµών τις χιλιοµετρικές αποστάσεις. Έστω ότι θέλουµε να ασφαλτοστρώσουµε κάποιους από τους δρόµους του δικτύου αυτού έτσι ώστε αφ ενός µεν όλα τα χωριά να συνδέονται µεταξύ τους (να υπάρχει ασφαλτοστρωµένο µονοπάτι µεταξύ οποιωνδήποτε δύο χωριών) και αφ εταίρου να έχουµε το ελάχιστο δυνατό κόστος (υποθέτουµε ότι όσο λιγότερα είναι τα χιλιόµετρα που θα ασφαλτοστρώσουµε, τόσο µικρότερο είναι και το κόστος). Βρείτε ένα υπογράφηµα του G που πληροί τις προϋποθέσεις αυτές (παρουσιάστε τα βήµατα του αλγορίθµου που θα χρησιµοποιήσετε και το τελικό αποτέλεσµα). 6 1 β γ 8 α 7 3 ζ 5 δ ε 9 6 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 5

9 2. Έστω G=(V,E) ένα απλό γράφηµα µε βάρη και Τ ένα ελάχιστο συνδετικό του δένδρο (ορισµός 5.7, σελ. 169, βιβλίο Γ. Βούρου). Επαυξάνουµε το G προσθέτοντας µια νέα κορυφή u και κάποιες (οσεσδήποτε) ακµές µε βάρη οι οποίες θα συνδέσουν την u µε υπάρχουσες κορυφές του G. Έστω ότι ο γράφος που προκύπτει είναι ο G. Αποδείξτε ως προς την ορθότητα ή παρουσιάστε ένα αντιπαράδειγµα στην ακόλουθη πρόταση: «Προσθέτοντας στο Τ την ακµή µε το µικρότερο βάρος από όλες τις νέες ακµές που προσθέσαµε και που συνδέουν την u µε κορυφές του G, το δένδρο που προκύπτει είναι ελάχιστο συνδετικό δένδρο του G». : / 14 Ερώτηµα 6. Έστω G=(V,E) ένα απλό γράφηµα µε βάρη όπου κάθε ακµή του περιέχεται σε κάποιον κύκλο. Υποθέτουµε ότι υπάρχει µια και µόνο ακµή e m στο G που να έχει µέγιστο βάρος, δηλαδή W(e m ) > W(e), e E. Αποδείξτε ότι κανένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο του G δεν µπορεί να περιέχει την e m. : / 14 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 6

10 Ερώτηµα ίδεται η ακολουθία ε, α, γ, ζ,,θ, β, δ, κ, η, ι. Να κατασκευαστεί το δυαδικό δένδρο αναζήτησης για την ακολουθία αυτή (χρησιµοποιήστε τον αλγόριθµο 5.4, σελ. 178, Τόµος Α, Γ. Βούρου και θεωρείστε ότι οι σχέσεις «µικρότερο» και «µεγαλύτερο» µεταξύ δύο γραµµάτων εκφράζονται από την σειρά τους στο αλφάβητο, π.χ. α < κ, ζ > η κ.ο.κ). 2. Εφαρµόστε στο δένδρο αυτό τους αλγορίθµους διάσχισης inorder, preorder και postorder και περιγράψτε τα αποτελέσµατά τους. : / 12 Ερώτηµα 8. <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 7

11 Κατασκευάστε κώδικα Huffman για τα γράµµατα του παρακάτω πίνακα: Γράµµα Συχνότητα Ε 0.2 Β 0.05 Ρ 0.15 Τ 0.1 Ο 0.1 Σ 0.25 Μ 0.2 Με βάση αυτόν τον κώδικα, κωδικοποιείστε τις ακόλουθες λέξεις: ΕΡΕΒΟΣ, ΤΡΟΜΟΣ, ΡΟΜΒΟΣ : / 10 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 8

12 ΕΝΤΥΠΟ Α ΣΥΝΟ ΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Το έντυπο αυτό το συµπληρώνετε και το στέλνετε µαζί µε τη γραπτή εργασία σας στον Καθηγητή Σύµβουλο. Θυµηθείτε ότι θα πρέπει να κρατήσετε φωτοτυπία της γραπτής εργασίας σας. < Συµπληρώστε τα στοιχεία σας µέσα στα σκιασµένα µέρη > Συµπληρώνεται από το φοιτητή(-τρια) Στοιχεία Φοιτητή (-τριας) Όνοµα: <Όνοµα> Επώνυµο: <Επώνυµο> Αριθµός Μητρώου Φοιτητή: <ΑΜ> ιεύθυνση Επικοινωνίας: Οδός / Αριθµός: Περιοχή: Πόλη: Ταχ. Κώδικας: Νοµός: Τηλέφωνο: Fax: ΣΧΟΛΗ Πληροφορικής ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική (ΠΛΗ20) ΚΩ ΙΚΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΑΥΞΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4η Ακαδηµαϊκό έτος: Ηµεροµηνία Αποστολής: 22/3/04 <Όνοµα> <Επώνυµο>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 9