ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

Transcript

1 ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου την κορυφή a, ν ρεούν: i) Το ύψος του ένρου Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

2 ii) Το επίπεο κάε µις πό τις κορυφές c, p κι ο iii) Τ πιιά της κορυφής k iv) Ο πτέρς κι οι πρόγονοι της κορυφής n v) Τ φύλλ του ένρου Απάντηση: Σχειάζοντς το πρπάνω έντρο πό την ρίζ a προς στ φύλλ, a m i b k c d e f l p q h n o είνι φνερό ότι: i) Το ύψος του ένρου είνι. ii) Το επίπεο κάε µις πό τις κορυφές c, p κι ο είνι ντίστοιχ, κι. iii) Τ πιιά της κορυφής k είνι οι κορυφές p κι l. iv) Η κορυφή n έχει πτέρ την p κι προγόνους τις p, k κι a. v) Τ φύλλ του ένρου είνι οι κορυφές m, i, d, e, f, l, n. o, q, h. Ερώτηµ.. Έστω G ένς γράφος µε µέγιστο µό = κ. Ν ποειχτεί ότι ν ο G είνι ένρο, τότε έχει τουλάχιστον κ κορυφές µε µό.. Έν πλήρες (-)-ικό ένρο, είνι έν ένρο που όλ τ φύλλ του ρίσκοντι στο ίιο επίπεο κι κάε εσωτερική κορυφή έχει ή πιιά. Ποιο µπορεί ν είνι το ελάχιστο κι ποιο το µέγιστο ύψος του ένρου υτού ότν έχει κορυφές συνολικά; Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

3 (Υπόειξη: Χρησιµοποιείστε το εώρηµ.5, σελί, ιλίο Β, Μ. Μυρονικόλ). Απάντηση:. Εστω a µι κορυφή του G µε τον µέγιστο µό W(a) = κ. Θεωρούµε την a σν ρίζ του έντρου G. Γι κάε πιί v της ρίζς a, ισχύει ότι: είτε το v είνι φύλλο στο έντρο G είτε το v έχει τουλάχιστον έν πόγονο που είνι φύλλο στο G. Αρ το έντρο G έχει τουλάχιστον κ φύλλ (ηλή, τουλάχιστον κ κορυφές µε µό ).. Έν πλήρες (-)-ικό ένρο έχει κάποιες κορυφές µε πιιά κι κάποιες µε τρί πιιά. Αν έχει K κορυφές συνολικά, µπορούµε ν το κτσκευάσουµε µε τους εξής ύο (όχι µονικούς) τρόπους: (i) Πίρνουµε έν πλήρες -ικό έντρο T µε το µέγιστο υντό ύψος h, τέτοιο ώστε το σύνολο των κορυφών του ν είνι µικρότερο ή ίσο του K (άρ το πλήρες -ικό έντρο ύψους h+ έχει πλήος κορυφών µεγλύτερο του K). Στη συνέχει, προσέτουµε σε κάποιες κορυφές του T έν τρίτο πιί κι κτσκευάζουµε έν πλήρες (-)-ικό ένρο µε κριώς K κορυφές κι ύψος h. Με άση το εώρηµ.5 έν πλήρες -ικό έντρο ύψους h περιέχει h+ - κορυφές. Επειή το h είνι µέγιστο, έχουµε: K < h+ h+ h+ K + < h + λογριµίζοντς µε άση το πίρνουµε: h ( K + ) / < h + h log (( K + ) / ) < h +. Αρ h = log (( K + ) / ). Γι K = πίρνουµε h = log ( / ) = log = 5. (i) Πίρνουµε έν πλήρες -ικό έντρο T µε το ελάχιστο υντό ύψος t κι πλήος κορυφών µεγλύτερο ή ίσο του K. Στη συνέχει, φιρούµε κάποιο τρίτο πιί πό κάποιες κορυφές του T κι κτσκευάζουµε έν πλήρες (-)- ικό ένρο µε κριώς K κορυφές κι ύψος t. Με άση το εώρηµ.5 έν πλήρες -ικό έντρο ύψους t περιέχει ( t+ -)/ κορυφές. Επειή το t είνι ελάχιστο, έχουµε: t ( ) / < ( t + t t + t K ) / < K + λογριµίζοντς µε άση το πίρνουµε: t t < (K + ) / t log ((K + ) / ) t. Αρ log /) = log 8 = 4 log ((K + ) /) =. Γι K = πίρνουµε t = (. Αρ συµπερίνουµε ότι έν τυχίο πλήρες (-)-ικό ένρο µε κορυφές έχει ύψος p, όπου 4 p 5. Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

4 Ερώτηµ.. ίετι το γράφηµ G του πρκάτω σχήµτος. a γ Ν ρεούν πόσ είνι τ συνετικά ένρ (spanning trees) του γρφήµτος υτού. Ζωγρφίστε έντρ πό υτά, που ν µην είνι ισοµορφικά το έν µε το άλλο.. Γενικά, ποιος είνι ο τύπος που ίνει τον ριµό των συνετικών ένρων (spanning trees) του πλήρους γρφήµτος K n ; Υπόειξη: ίετι ότι ο ριµός των ένρων σε n κόµους είνι n n-. Σηµείωση: Στ ιλίο του Γ. Βούρου χρησιµοποιείτι ο όρος συνετικό ένρο (ορισµός 5., σελί ) ενώ στο ιλίο του Μ. Μυρονικόλ χρησιµοποιείτι ο όρος γεννητορικό ένρο (σελί 4). Κι οι ύο µετφράζουν τον γγλικό όρο spanning tree. Στην εργσί χρησιµοποιούµε την ορολογί του Γ. Βούρου (συνετικό ένρο). Απάντηση:. Κάε συνετικό έντρο µε n κορυφές έχει κριώς n- κµές. Επειή όλ τ συνετικά ένρ του γρφήµτος G έχουν τον ίιο ριµό κορυφών (4), έχουν κι τον ίιο ριµό κµών (=4-). Αρ, µπορούµε ν υπολογίσουµε το πλήος των συνετικών έντρων του G: Οι συνυσµοί των κµών νά ίνουν ιφορετικά υπογρφήµτ του G (µε κµές κι 4 κορυφές το κέν). Απο υτά, τ 4 έχουν έν κύκλο. Αρ το G έχει συνετικά έντρ. Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 4

5 Τ πρκάτω συνετικά έντρ του G εν είνι ισοµορφικά µετξύ τους (ιφέρουν στον µό της κορυφής ): γ γ. Η υπόειξη ίνει τον τύπο (n n- ) που υπολογίζει τον ριµό των συνετικών ένρων (spanning trees) του πλήρους γρφήµτος K n. Ερώτηµ 4.. ίετι το γράφηµ G του πρκάτω σχήµτος. γ ε ζ η Ν ρεεί έν συνετικό ένρο που προκύπτει µε την χρήση του λγορίµου κτά πλάτους ιάσχισης (breadth first search) κι έν συνετικό ένρο που προκύπτει µε χρήση του λγορίµου κτά άους ιάσχισης (depth first search) ξεκινώντς πό την κορυφή γ. Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 5

6 . Οι λγόριµοι κτά πλάτους (breadth first search) κι κτά άους ιάσχισης (depth first search) πίρνουν σν είσοο έν γράφηµ G κι ηµιουργούν σν έξοο κάποιο ένρο. Το ύψος του ένρου υτού εξρτάτι πό την κορυφή πό την οποί ξεκινάει η ιάσχιση. Γι κάε µί πό τις πρκάτω περιπτώσεις υπολογίστε τ πινά ελάχιστ κι µέγιστ ύψη ένρων που πράγουν οι ύο λγόριµοι: i) Πλήρης γράφος ii) Γράφος «κύκλος» (ο γράφος είνι συνεεµένος κι όλες οι κορυφές έχουν µό ) iii) Γράφος «στέρς» (ο γράφος είνι συνεεµένος, µι κορυφή έχει µό n- όπου n είνι το πλήος των κορυφών κι όλες οι υπόλοιπες έχουν µό ). Απάντηση:. Κτά πλάτος ιάσχιση: Ο λγόριµος κτσκευάζει έν έντρο κτά πλάτους ιάσχισης. Στο πρκάτω πράειγµ χρησιµοποιούντι οι εξής συµολισµοί: Κορυφές µε κίτρινο χρώµ: Ο λγόριµος τις επισκευεί άµεσ (στ µέσως επόµεν ήµτ) κι τις προσέσει στο υπό κτσκευή έντρο. Η προτεριότητ της επίσκεψης κορίζετι πό τον ριµό µέσ στον κύκλο (οι ριµοί στους κύκλους είχνουν επίσης κι το επίπεο των κορυφών στο έντρο που κτσκευάζετι). Τις κορυφές µε τον ίιο ριµό, ο λγόριµος τις επισκευεί µε άση την ρχική τους ιάτξη (στο πρκάτω πράειγµ υποέτουµε ότι η ιάτξη είνι: γ, ζ,, ε, η,,, ). Σε κάε ήµ, η κορυφή που προστίετι στο έντρο ποκτά πράσινο χρώµ κι όσες πό τις γειτονικές της εν έχουν χρώµ γίνοντι κίτρινες κι ποκτούν ένν ριµό κτά µεγλύτερο της πράσινης. Ακµές µε µεγάλο πάχος: Οι κµές του έντρου κτά πλάτους ιάσχισης. Αριµοί σε τετράγων: τ ήµτ του λγορίµου. Ο λγόριµος ξεκινά πό την κορυφή γ, την κάνει κίτρινη κι της ίνει τον ριµό. Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

7 ε ζ η η 4 4 Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 7

8 5 Εν έντρο κτά πλάτους ιάσχισης 7 Κτά άος ιάσχιση: Θ κτσκευάστεί έν έντρο κτά άους ιάσχισης. Υποέτουµε ότι η ιάτξη των κορυφών είνι: γ,,,, ε, ζ, η,. Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 8

9 γ γ ε ζ η ε ζ η γ γ ε ζ η ε ζ η 4 γ γ ε ζ η ε ζ η 4 5 γ γ 7 ε ζ η ε ζ η Εν έντρο κτά άους ιάσχισης Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 9

10 . Κτά πλάτος ιάσχιση: i) Στον πλήρη γράφο K n το ύψος του ένρου είνι πάντ κι εν εξρτάτι πό την κορυφή που ξεκινά η ιάσχιση. ii) Στον γράφο «κύκλο» µε n κορυφές, επίσης το ύψος του ένρου εν εξρτάτι πό την κορυφή που ξεκινά η ιάσχιση. Το ύψος του έντρου είνι πάντ n /. iii) Ο γράφος «στέρς» µε n κορυφές είνι έν έντρο. Αν ξεκινήσει η ιάσχιση πό την κορυφή που έχει µό n-, το ύψος του έντρου είνι, ενώ ν ξεκινήσει η ιάσχιση πό µι κορυφή που έχει µό, το ύψος του έντρου είνι. Κτά άος ιάσχιση: i) Στον πλήρη γράφο K n το ύψος του ένρου εν εξρτάτι πό την κορυφή που ξεκινά η ιάσχιση. Το έντρο που προκύπτει ποτελείτι πό έν µονικό µονοπάτι που περιέχει κι τις n κορυφές. Αρ το ύψος του είνι πάντ n-. ii) Στον γράφο «κύκλο» µε n κορυφές, επίσης, το ύψος του ένρου εν εξρτάτι πό την κορυφή που ξεκινά η ιάσχιση. Το έντρο που προκύπτει ποτελείτι πό έν µονικό µονοπάτι που περιέχει κι τις n κορυφές. Αρ το ύψος του έντρου είνι πάντ n-. iii) Στον γράφο «στέρ» µε n κορυφές, ν ξεκινήσει η ιάσχιση πό την κορυφή που έχει µό n-, το ύψος του έντρου είνι, ενώ ν ξεκινήσει η ιάσχιση πό µι κορυφή που έχει µό, το ύψος του έντρου είνι. Ερώτηµ 5.. Έστω έν επρχικό οικό ίκτυο το οποίο συµολίζετι πό τον πρκάτω πλό γράφο µε άρη G ώστε οι κορυφές ν νπριστούν τ χωριά, οι κµές τους ρόµους µετξύ τους κι τ άρη των κµών τις χιλιοµετρικές ποστάσεις. Έστω ότι έλουµε ν σφλτοστρώσουµε κάποιους πό τους ρόµους του ικτύου υτού έτσι ώστε φ ενός µεν όλ τ χωριά ν συνέοντι µετξύ τους (ν υπάρχει σφλτοστρωµένο µονοπάτι µετξύ οποιωνήποτε ύο χωριών) κι φ ετίρου ν έχουµε το ελάχιστο υντό κόστος (υποέτουµε ότι όσο λιγότερ είνι τ χιλιόµετρ που Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

11 σφλτοστρώσουµε, τόσο µικρότερο είνι κι το κόστος). Βρείτε έν υπογράφηµ του G που πληροί τις προϋποέσεις υτές (προυσιάστε τ ήµτ του λγορίµου που χρησιµοποιήσετε κι το τελικό ποτέλεσµ). γ 8 7 ζ 5 ε 9. Έστω G=(V,E) έν πλό γράφηµ µε άρη κι Τ έν ελάχιστο συνετικό του ένρο (ορισµός 5.7, σελ. 9, ιλίο Γ. Βούρου). Επυξάνουµε το G προσέτοντς µι νέ κορυφή u κι κάποιες (οσεσήποτε) κµές µε άρη οι οποίες συνέσουν την u µε υπάρχουσες κορυφές του G. Έστω ότι ο γράφος που προκύπτει είνι ο G. Αποείξτε ως προς την ορότητ ή προυσιάστε έν ντιπράειγµ στην κόλουη πρότση: «Προσέτοντς στο Τ την κµή µε το µικρότερο άρος πό όλες τις νέες κµές που προσέσµε κι που συνέουν την u µε κορυφές του G, το ένρο που προκύπτει είνι ελάχιστο συνετικό ένρο του G». Απάντηση:. Βρίσκουµε έν ελάχιστο συνετικό έντρο του G µε τον λγόριµο του Prim. Κόκκινος κύκλος: Οι κορυφές του υπό κτσκευή έντρου. Ακµές µε µεγάλο πάχος: Οι κµές του υπό κτσκευή έντρου. ικεκοµµένες κµές: Οι υποψήφιες κµές. Από υτές ιλέγουµε µι κµή µε το µικρότερο άρος. Ο λγόριµος ρχίζει µε µι τυχί κορυφή (την ). Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

12 ε γ ζ ε γ ζ ε γ ζ ε γ ζ Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

13 γ 8 7 ζ 5 ε 9 γ 8 Εν ελάχιστο συνετικό έντρο του G µε άρος 5 ε ζ. Εστω Τ έν ελάχιστο συνετικό του G κι έστω w µι «νέ» κµή µε το µικρότερο άρος πό όλες τις νέες κµές που προσέσµε κι συνέουν την u µε κορυφές του G. Αν προσέσουµε την w στο ελάχιστο συνετικό ένρο T ηµιουργηεί το συνετικό έντρο T. Στη συνέχει προσέτουµε στο T την µέσως επόµενη µικρότερη «νέ» κµή, έστω v (ν υπάρχει τότε: άρος της v άρος της w) κι το γράφηµ T που προκύπτει περιέχει κριώς έν κύκλο C. Αφιρούµε πό τον κύκλο C µι κµή, έστω z, που έχει µέγιστο άρος κι ηµιουργούµε έν νέο συνετικό έντρο T. Αν υποέσουµε ότι: άρος της z > άρος της v, τότε το άρος του έντρου T είνι υστηρά µικρότερο του άρους του έντρου T. Αρ το έντρο T εν είνι γενικά έν ελάχιστο συνετικό ένρο του G. Ερώτηµ. Έστω G=(V,E) έν πλό γράφηµ µε άρη όπου κάε κµή του περιέχετι σε κάποιον κύκλο. Υποέτουµε ότι υπάρχει µι κι µόνο κµή e m στο G που ν έχει µέγιστο άρος, ηλή W(e m ) > W(e), e E. Αποείξτε ότι κνέν ελάχιστο συνετικό ένρο του G εν µπορεί ν περιέχει την e m. Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

14 Απάντηση: Υποέτουµε το ντίετο κι έστω T=(V,E ) έν ελάχιστο συνετικό έντρο του G=(V,E) που περιέχει την κµή e m. Εστω a, b οι κορυφές της κµής e m κι έστω ότι η κορυφή a είνι πτέρς της b στο T (ν ορίσουµε σν ρίζ του έντρου T µι τυχί κορυφή του, τότε µπορούµε ν νφερούµε στις κορυφές του T µε τις έννοιες πρόγονος-πόγονος-πιί-πτέρς-φύλλο.). Επειή η κµή e m περιέχετι σε κάποιον κύκλο του G, «υπάρχει τουλάχιστον µιά κµή v του συνόλου E-E (ηλή, µιά κµή v єe που εν χρησιµοποιήηκε στην κτσκευή του έντρου T) που ν προστεεί στο έντρο T, ηµιουργηεί κριώς ένς κύκλος C. που περιέχει κι την κµή e m». ηλή, υπάρχει τουλάχιστον µιά κµή v єe-e που ικνοποιεί έν πό τ εξής: (i) Η v συνέσει έν πόγονο της b µε την a. (ii) Η v συνέσει έν πόγονο της b µε πρόγονο της a. (iii) Η v συνέσει την b µε πρόγονο της a. (iv) Η v συνέσει έν πόγονο της b (ή την ίι την b) µε κάποι κορυφή που εν είνι ούτε πρόγονος ούτε πόγονος της b. Αν εν υπάρχει κµή v єe-e που ν ικνοποιεί µι πό τις πρπάνω ιιότητες, τότε η κµή e m εν νήκει σε κνέν κύκλο του G, άτοπο. Συνεπώς, έστω T ο γράφος που προκύπτει µε την προσήκη µις τέτοις κµής v που ν προστεεί στο έντρο T, ηµιουργηεί κριώς ένς κύκλος C που περιέχει κι την κµή e m. Αν φιρέσουµε την κµή e m πό τον µονικό κύκλο C, τότε προκύψει έν νέο συνετικό έντρο T. Επειή το άρος της κµής w είνι µεγλύτερο του άρους της κµής v, το έντρο T έχει µικρότερο άρος πό το έντρο T, άρ το T εν είνι έν ελάχιστο συνετικό έντρο, άτοπο. Ερώτηµ 7.. ίετι η κολουί ε,, γ, ζ,,,,, κ, η, ι. Ν κτσκευστεί το υικό ένρο νζήτησης γι την κολουί υτή (χρησιµοποιήστε τον λγόριµο 5.4, σελ. 78, Τόµος Α, Γ. Βούρου κι εωρείστε ότι οι σχέσεις «µικρότερο» Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 4

15 κι «µεγλύτερο» µετξύ ύο γρµµάτων εκφράζοντι πό την σειρά τους στο λφάητο, π.χ. < κ, ζ > η κ.ο.κ).. Εφρµόστε στο ένρο υτό τους λγορίµους ιάσχισης inorder, preorder κι postorder κι περιγράψτε τ ποτελέσµτά τους. Απάντηση:. ε ζ γ η κ ι. Ενοιτετγµένη ιάσχιση (inorder traversal): Ο λγόριµος επισκέπτετι πρώτ το ριστερό πιί, µετά τον γονέ κι µετά το εξί πιί «,,γ,,ε,ζ,η,,ι,κ» Προιτετγµένη ιάσχιση (preorder traversal): Ο λγόριµος επισκέπτετι πρώτ τον γονέ µετά το ριστερό κι στη συνέχει το εξί πιί «ε,,γ,,,ζ,,η,κ,ι» Μετιτετγµένη ιάσχιση (postorder traversal): Ο λγόριµος επισκέπτετι τ πιιά (πρώτ το ριστερό κι µετά το εξί) κι στη συνέχει τον γονέ «,,γ,,η,ι,κ,,ζ,ε» Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 5

16 Ερώτηµ 8. Κτσκευάστε κώικ Huffman γι τ γράµµτ του πρκάτω πίνκ: Γράµµ Συχνότητ Ε. Β.5 Ρ.5 Τ. Ο. Σ.5 Μ. Με άση υτόν τον κώικ, κωικοποιείστε τις κόλουες λέξεις: ΕΡΕΒΟΣ, ΤΡΟΜΟΣ, ΡΟΜΒΟΣ Απάντηση: Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not

17 Ε Β Ρ Τ Ο Σ Μ. Ε Β.5 Τ.5 Ρ. Ο.5 Σ. Μ. Ε.5.5 Ρ.5 Σ. Μ Β Τ Ο Ε.5 Ρ Β Τ.5 Ο.5 Σ. Μ Ε.5 Ρ Β Τ.5 Ο Σ.45 Μ..45 Σ Μ Ε Ρ Β Τ Ο Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 7

18 .5. Σ Μ Ε Ρ Β Τ Ο Αρ προκύπτει ο εξής κώικς Huffman: Γράµµ Κωική λέξη Ε Β Ρ Τ Ο Σ Μ Με άση υτόν τον κώικ, κωικοποιούµε τις λέξεις: ΕΡΕΒΟΣ = ΤΡΟΜΟΣ = ΡΟΜΒΟΣ = Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 8

19 Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργσί, ΠΛΗ [Error! Reference source not 9