Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12."

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που εφάπτονται σε ένα ζεύγος κορυφών (τις v 2, ) (παράλληλες ακμές). ΑΣΚΗΣΗ 2. Να εξεταστεί αν τα παρακάτω γραφήματα είναι συνδεόμενα: v 2 v 2 v 2 v 6 v 5 v 6 v 5 G 1 G 2 G 3 Σημείωση: Δες ορισμό συνδεόμενου (συνδεδεμένου) γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 102 και τόμο Β, σελ 25. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2. Για να αποδείξουμε ότι ένα γράφημα δεν είναι συνδεόμενο αρκεί να βρούμε ένα ζεύγος κορυφών που δεν συνδέονται μεταξύ τους μέσω μονοπατιού, ενώ για να δείξουμε ότι ένα γράφημα είναι συνεκτικό πρέπει να δείξουμε ότι όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται μεταξύ τους μέσω μονοπατιού. Σε αρκετές περιπτώσεις γίνεται το λάθος να θεωρείται μη συνδεόμενο ένα γράφημα μόνο όταν έχει μία απομονωμένη κορυφή (γράφημα G 1 ). Το γράφημα G 1 δεν είναι βέβαια συνεκτικό, το ίδιο όμως συμβαίνει στο γράφημα G 2 όπου δεν υπάρχει μονοπάτι που να συνδέει για παράδειγμα τις,v 5. Αντίθετα το γράφημα G 3 είναι συνεκτικό αφού υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι που συνδέει οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών. ΑΣΚΗΣΗ 3: α) Είναι οι κύκλοι C 5, C 6 διχοτομίσιμα (διμερή) γραφήματα; Είναι πλήρη και διχοτομίσιμα (διμερή) γραφήματα; β) Να απαντηθούν τα ίδια ερωτήματα για το παρακάτω γράφημα. -1-

2 v 5 v 6 v 2 v 8 v 7 Σημείωση: Δες ορισμό διχοτομίσιμου (διμερούς) γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 98 και τόμο Β, σελ 19. Δες ορισμό πλήρους και διχοτομίσιμου (διμερούς) γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 99 και τόμο Β, σελ 20. Δες επίσης θεώρημα 1.3, Τόμο Β, σελ. 59, σε συνδυασμό με ορισμό κύκλου (Τόμος Α, σελ. 103, Τόμος Β, σελ. 47) ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3: α) Οι κύκλοι C 5, C 6 είναι τα ακόλουθα γραφήματα: Κύκλος C 5 Κύκλος C 6 v2 v2 v 5 v 6 v5 v4 Ο κύκλος C 5 δεν είναι διμερής γράφημα, αφού δεν μπορούμε να διαμερίσουμε τις κορυφές του σε δύο σύνολα έτσι ώστε κάθε ακμή του γραφήματος να συνδέει μια κορυφή του ενός συνόλου με μία κορυφή του άλλου συνόλου. Αντίθετα ο κύκλος C 6 είναι διμερής γράφημα αφού αν χωριστούν οι κορυφές του γραφήματος στα σύνολα {,,v 5 }, {v 2,,v 6 }, πληρείται η πιο πάνω ιδιότητα. Δεν είναι όμως πλήρης διμερής γράφημα μια που δεν ενώνονται όλες οι κορυφές του ενός συνόλου με όλες τις κορυφές του άλλου συνόλου μέσω ακμών. Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι ο κύκλος C 5 είναι τριμερές γράφημα (Δες ορισμό, Τόμο Β, σελ. 23) μια που οι κορυφές του μπορεί να διαμεριστούν σε 3 σύνολα ανεξαρτησίας, (για παράδειγμα {, } {v 2,v 5 },{v 6 }) δηλαδή σε σύνολα για τα οποία δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει οποιεσδήποτε δύο κορυφές κάθε συνόλου. β) Το γράφημα είναι διμερές γιατί αν θεωρήσουμε τα σύνολα κορυφών {,,v 8, v 6 }, {v 2,,v 5, v 7 } κάθε κορυφή του γραφήματος ανήκει σε ένα από τα δύο σύνολα και για κάθε σύνολο δεν υπάρχει ακμή που να ενώνει δύο κορυφές του συνόλου. Το γράφημα αυτό ονομάζεται και τρισδιάστατος κύβος (Δες Τόμο Α, σελ. 116, Τόμο Β, σελ. 75). Μια απεικόνιση του γραφήματος όπου φαίνεται το γεγονός ότι είναι διμερές είναι η ακόλουθη: -2-

3 v 2 v 8 v 5 v 6 v 7 Για να απαντήσουμε στα παραπάνω ερωτήματα θα μπορούσαμε να κάνουμε και χρήση του θεωρήματος 1.3, Τόμος Β, σελ 59. Σύμφωνα με αυτό, ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους. Το γράφημα C 5 περιέχει έναν περιττό κύκλο, τα γράφημα C 6 έναν άρτιο κύκλο, ενώ το γράφημα του δεύτερου υποερωτήματος περιέχει μόνο άρτιους κύκλους. Τα συμπεράσματα έπονται άμεσα. ΑΣΚΗΣΗ 4: α) Έχουμε άρτιο αριθμό από κορυφές και θέλουμε να τις διαμερίσουμε σε δύο υποσύνολα, έτσι ώστε οποιεσδήποτε κορυφές κάθε υποσυνόλου να συνδέονται μεταξύ τους με ακμή, αλλά καμία κορυφή του κάθε υποσυνόλου να μην συνδέεται μέσω ακμής με κορυφή του άλλου υποσυνόλου. Να προσδιοριστεί η διαμέριση που θα οδηγήσει στον ελάχιστο αριθμό ακμών. β) Δείξτε ότι αν σε ένα απλό γράφημα με n κορυφές υπάρχουν περισσότερες από (n-1)(n-2)/2 τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. (Η άσκηση αποτελεί παραλλαγή της δραστηριότητας 4.2, Τόμος Α, σελ. 104). Σημείωση: Δες ορισμό πλήρους γραφήματος (Τόμος Α, σελ. 98, Τόμος Β, σελ 17) και πρόσεξε τον τύπο που υπολογίζει τον αριθμό των ακμών σε ένα πλήρες γράφημα (Τόμος Α, άσκηση αυτοαξιολόγησης 4.1, Τόμος Β, σελ. 17). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4: α) Η περιγραφή του προβλήματος αντιστοιχεί σε μη συνδεόμενο γράφημα, που αποτελείται από δύο πλήρη υπογραφήματα. Ας θεωρήσουμε ότι το πρώτο υπογράφημα έχει i κορυφές. Τότε το δεύτερο θα έχει n-i κορυφές. Τότε το πρώτο υπογράφημα είναι το Κ i και το δεύτερο είναι το Κ n-i. Ο συνολικός αριθμός ακμών θα είναι: -3-

4 i n i i! ( n i)! i!( n i 2)! + ( i 2)!( n i)! Li () = + = + = = 2 2 ( i 2)!2! ( n i 2)!2! ( i 2)!( n i 2)!2! ( n i 2)!( i! + ( i 2)!( n i)( n i 1)) i! + ( i 2)!( n i)( n i 1) = = ( i 2)!( n i 2)!2! ( i 2)!2 ( i 2)!( i( i 1) + ( n i)( n i 1)) ii ( 1) + ( n i)( n i 1) = ( i 2)!2 2 Ο συνολικός αριθμός ακμών είναι συνάρτηση του i. Υπολογίζουμε λοιπόν την πρώτη και δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης και έχουμε: dl() i ( i 1) + i ( n i) ( n i 1) = = 2i n di 2 2 d L i () = 2 2 di Αφού η δεύτερη παράγωγος είναι θετική, η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο για 2i n= 0 n i =. Ο ελάχιστος αριθμός ακμών προκύπτει αν αντικαταστήσουμε την τιμή αυτή του i στην 2 εξίσωση που υπολογίζει το L(i). ή β) Ας υποθέσουμε ότι σε ένα απλό γράφημα με n κορυφές υπάρχουν περισσότερες από (n-1)(n- 2)/2 ακμές και το γράφημα δεν είναι συνεκτικό. Τότε ακολουθώντας την ίδια πορεία με το προηγούμενο υποερώτημα καταλήγουμε στον ίδιο τύπο υπολογισμού του συνολικού αριθμού ακμών. Αν σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση του αριθμού των ακμών συναρτήσει του i θα παρατηρήσουμε ότι ο αριθμός των ακμών μεγιστοποιείται για i=1 ή i=n-1. Και στις δύο αυτές περιπτώσεις ο αριθμός των ακμών είναι (n-1)(n-2)/2. Επομένως αν το γράφημα δεν είναι συνεκτικό ο αριθμός των ακμών του είναι μικρότερος ή ίσος του (n-1)(n-2)/2. Καταλήξαμε σε άτοπο. ΑΣΚΗΣΗ 5: Να εξετάσετε αν τα παρακάτω γραφήματα περιέχουν κύκλο Euler. Σημείωση: Δες ορισμό κύκλου Euler (Τόμος Α, σελ. 107, Τόμος Β, σελ 240), θεώρημα 4.1 (Τόμος Α, σελ. 109), θεώρημα 2.19 (Τόμος Β, σελ. 242). -4-

5 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχει ένα συνεκτικό γράφημα κύκλο Euler είναι ο άρτιος βαθμός κάθε κορυφής. Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε τη συνθήκη αυτή τόσο για την απόδειξη ύπαρξης όσο και για την απόδειξη ανυπαρξίας κύκλου Euler. Για να αποδείξουμε λοιπόν ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Euler θα πρέπει να εξετάσουμε μία προς μία τις κορυφές του πρώτου γραφήματος και να βεβαιωθούμε ότι ο βαθμός τους είναι άρτιος. Το πρώτο γράφημα έχει κύκλο Euler αφού οι βαθμοί των κορυφών είναι 4,2,4,4,4,4,4,4,2. Για να αποδείξουμε ότι ένα γράφημα δεν έχει κύκλο Euler αρκεί να εντοπίσουμε μία μόνο κορυφή που να έχει περιττό βαθμό. Στο δεύτερο γράφημα υπάρχει τουλάχιστο μια κορυφή με βαθμό 3 και επομένως το γράφημα δεν έχει κύκλο Euler. ΑΣΚΗΣΗ 6: α) Να εξεταστεί αν το παρακάτω γράφημα περιέχει κύκλο Hamilton. v 2 v 6 v 5 v 8 v 7 β) Για δύο απλά γραφήματα με 8 κορυφές δίνονται οι βαθμοί κάθε κορυφής χωρίς όμως να σχεδιάζονται τα γραφήματα: i) 4,5,5,5,5,6,7,7 ii) 2,2,2,2,2,2,3,3 Να εξετάσετε σε κάθε περίπτωση αν υπάρχει κύκλος Hamilton. Σημείωση: Δες ορισμό κύκλου Hamilton (Τόμος κορυφής (Τόμος Α, σελ. 108, Τόμος Β, σελ 65). Α, σελ. 114). Δες επίσης ορισμό βαθμού ΑΠΑΝΤΗΣΗ 6: α) Οι μόνοι τρόποι για να δείξουμε ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Hamilton είναι είτε να ζωγραφίσουμε έναν τέτοιο κύκλο πάνω στο γράφημα (αν αυτό βέβαια είναι συγκεκριμένο) είτε να επικαλεστούμε κάποια ικανή συνθήκη (π.χ. θεώρημα του Dirac, βλέπε εργασία 4, ερώτημα 10 ακαδημαϊκού έτους ). Αντίθετα, για να δείξουμε ότι ένα γράφημα δεν έχει κύκλο Hamilton μπορούμε να επικαλεστούμε κάποια αναγκαία συνθήκη που παραβιάζεται από το -5-

6 γράφημα (π.χ. δισυνεκτικότητα). Αφού για το παραπάνω γράφημα δεν υπάρχει κάποια γνωστή συνθήκη που να εξασφαλίζει ότι το γράφημα περιέχει ή δεν περιέχει κύκλο Hamilton θα κάνουμε τον έλεγχο αφαιρώντας ακμές μέχρι να φτάσουμε σε έναν υπογράφο όπου ο βαθμός όλων των κορυφών να είναι δύο: Οι κορυφές v 6,v 7 έχουν βαθμό 3, άρα για κάθε μία από αυτές τις κορυφές θα πρέπει να αφαιρέσουμε μία ακριβώς ακμή που εφάπτεται στην κορυφή. Αυτό μπορεί να γίνει με τρεις τρόπους: 1) Αφαίρεση της ακμής (v 6,v 7 ). Τότε είμαστε υποχρεωμένοι να κρατήσουμε τις ακμές (v 2,v 7 ), (v 2,v 6 ), (v 6, ), ( v 7, ). Στη συνέχεια θα πρέπει να αφαιρεθούν οι ακμές (,v 2 ), (v 5,v 2 ), (, ), (,v 5 ), (v 2,v 8 ), (v 2, ), (,v 8 ), (, ) ώστε οι κορυφές v 2, να έχουν βαθμό 2. Τότε όμως οι κορυφές,v 5, v 8, έχουν βαθμό 1 και επομένως δεν μπορεί να σχηματιστεί κύκλος Hamilton. 2) Αφαίρεση της ακμών (v 6,v 2 ), (,v 7 ). Τότε θα πρέπει να αφαιρεθούν τρεις από τις ακμές (v,v ), (v,v ), (v,v ), (v,v ) και τρεις από τις ακμές (v,v ), (v,v ), (v,v ), (v,v ). Σε οποιαδήποτε λοιπόν περίπτωση κάποιες από τις κορυφές,v 5, v 8, θα έχουν βαθμό 1 οπότε και πάλι δεν μπορεί να σχηματιστεί κύκλος Hamilton. 3) Αφαίρεση των ακμών (v 2,v 7 ), (,v 6 ) που είναι ακριβώς αντίστοιχη με την προηγούμενη περίπτωση. Επομένως το παραπάνω γράφημα δεν περιέχει κύκλο Hamilton. β) Δεν μας δίνεται η πλήρης εικόνα των γραφημάτων και επομένως δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια τακτική με το προηγούμενο υποερώτημα. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Dirac που απαιτεί μόνο τους βαθμούς των κορυφών του γραφήματος: Σε ένα απλό συνδεόμενο γράφημα με n κορυφές (n 3), υπάρχει κύκλος του Hamilton αν ο βαθμός κάθε κορυφής είναι μεγαλύτερος η ίσος του n/2. Για την πρώτη περίπτωση ο βαθμός κάθε κορυφής είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 8/2=4 και επομένως υπάρχει κύκλος Hamilton. Για τη δεύτερη περίπτωση δεν μπορούμε να δώσουμε απάντηση γιατί η παραπάνω πρόταση (ο βαθμός κάθε κορυφής είναι μεγαλύτερος η ίσος του n/2) αποτελεί ικανή, αλλά όχι αναγκαία συνθήκη για να έχει το γράφημα κύκλο Hamilton. Αξίζει να σημειωθεί ότι μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο γραφήματα που να έχουν ακριβώς τους ίδιους βαθμούς κορυφών, αλλά στη μία περίπτωση να υπάρχει κύκλος Hamilton και στην άλλη να μην υπάρχει. -6-

7 ΑΣΚΗΣΗ 7: Αποδείξτε ότι σε διμερές γράφημα με περιττό αριθμό κορυφών δεν υπάρχει κύκλος Ηamilton. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 7: Ας υποθέσουμε ότι G = (V, E) είναι διμερές γράφημα και V = V 1 V 2, όπου V 1,V 2.τα δύο σύνολα ανεξαρτησίας. Ας υποθέσουμε ότι το γράφημα έχει κύκλο Hamilton. Τότε ο κύκλος θα πρέπει να είναι της μορφής a 1, b 1, a 2, b 2,..., a n, b n, a 1 όπου a i V 1 και b i V 2 για i = 1, 2,..., n. Αφού όμως ο κύκλος Hamilton επισκέπτεται την κάθε κορυφή ακριβώς μία φορά, εκτός από την a1, όπου ξεκινά και καταλήγει, ο αριθμός των κορυφών του γραφήματος πρέπει να είναι άρτιος αριθμός και επομένως ένα διμερές γράφημα με περιττό αριθμό κορυφών δεν έχει κύκλο Ηamilton. ΑΣΚΗΣΗ 8: α) Αποδείξτε το ακόλουθο θεώρημα: Σε γράφημα υπάρχει μονοπάτι χωρίς επαναλαμβανόμενες ακμές από την κορυφή α στην κορυφή β που περιέχει όλες τις ακμές και όλες τις κορυφές του γραφήματος αν και μόνο αν είναι συνδεόμενο και οι κορυφές α και β είναι οι μοναδικές με περιττό βαθμό. (Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4.9, Τόμος Α, σελ. 111) β) Αποδείξτε το ακόλουθο θεώρημα που αποτελεί γενίκευση του προηγούμενου: -7-

8 Αν ένα γράφημα είναι συνδεόμενο και υπάρχει άρτιος αριθμός κορυφών με περιττό βαθμό, τότε υπάρχουν μονοπάτια χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές που ενώνουν τις παραπάνω κορυφές ανά δύο, έτσι ώστε κάθε ακμή του γραφήματος να ανήκει ακριβώς σε ένα τέτοιο μονοπάτι. Σημείωση: Παρά το γεγονός ότι δεν είναι προφανές, στην απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος μπορεί να βοηθήσει ο ορισμός του κύκλου Euler. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 8: α) Ας υποθέσουμε αρχικά ότι το γράφημα περιέχει μονο πάτι χωρίς επαναλαμβα νόμενες ακμές από την κορυφή α στην κορυφή β που περιέχει όλες τις ακμές και όλες τις κορυφές του γραφήματος. Το γράφημα είναι προφανώς συνδεόμενο αφού για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει μονοπάτι (μέρος του μονοπατιού από την κορυφή α στην κορυφή β) που τις συνδέει. Αν προσθέσουμε μια ακμή από την κορυφή α στην κορυφή β, τότε το μονοπάτι από την κορυφή α στην κορυφή β μαζί με την ακμή που προσθέσαμε αποτελεί κύκλο Euler και επομένως κάθε κορυφή πρέπει να έχει άρτιο βαθμό. Αφαιρώντας τώρα την ακμή που προσθέσαμε παίρνουμε το αρχικό γράφημα. Η μόνη διαφορά είναι ότι ο βαθμός των κορυφών α και β μειώνεται κατά 1. Επομένως όλες οι κορυφές του γραφήματος έχουν άρτιο βαθμό με εξαίρεση τις α και β που έχουν περιττό βαθμό. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το γράφημα είναι συνδεόμενο και α και β είναι οι μοναδικές κορυφές του γραφήματος με περιττό βαθμό. Αν προσθέσουμε μια ακμή που εφάπτεται στις α και β, τότε προκύπτει συνδεόμενο γράφημα όπου όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. Το γράφημα λοιπόν περιέχει κύκλο Euler, που περιέχει όλες τις κορυφές και όλες τις ακμές του γραφήματος ακριβώς μια φορά. Αφαιρώντας τώρα την ακμή που προσθέσαμε παίρνουμε το αρχικό γράφημα, όπου υπάρχει μονοπάτι χωρίς επαναλαμβανόμενες ακμές από την κορυφή α στην κορυφή β που περιέχει όλες τις ακμές και όλες τις κορυφές του γραφήματος. β) Ας ονομάσουμε τις κορυφές με περιττό βαθμό -1, -2, v 2-1, v 2-2,, v n-1, v n-2 έτσι ώστε να διαμορφωθούν n ζεύγη κορυφών όπου v i-1, v i-2 οι κορυφές που αποτελούν το ζεύγος i. Αν προσθέσουμε μια ακμή για κάθε ζεύγος κορυφών με περιττό βαθμό που εφάπτεται στις κορυφές αυτές, τότε προκύπτει συνδεόμενο γράφημα όπου όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. Το γράφημα λοιπόν περιέχει κύκλο Euler, που περιέχει όλες τις κορυφές και όλες τις ακμές του γραφήματος ακριβώς μια φορά. Ανάμεσα στις ακμές περιλαμβάνονται βέβαια και οι (-1, -2 ), (v 2-1, v 2-2 ),, (v n-1, v n-2 ). Ο κύκλος Euler λοιπόν μπορεί να αναπαρασταθεί από τη σειρά με την οποία επισκέπτεται τις ακμές ε 1, ε 2,..., ε m όπου m ο αριθμός των ακμών. Θα πρέπει να προσέξουμε ότι σε αυτές περιλαμβάνονται όλες οι ακμές του αρχικού γραφήματος και επιπλέον οι ακμές που προστέθηκαν παραπάνω. Αφαιρώντας τώρα τις ακμές που προσθέσαμε παίρνουμε το αρχικό γράφημα, όπου κάθε ακμή ανήκει σε ένα μόνο μονοπάτι που ενώνει κορυφές με περιττό βαθμό. ΑΣΚΗΣΗ 9: -8-

9 α) Αποδείξτε το ακόλουθο θεώρημα: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε γράφημα στο οποίο αντιστοιχεί το μητρώο σύνδεσης Α με τη διάταξη των κορυφών, v 2,...,v n. (όπου μπορούμε να έχουμε παράλληλες ακμές και ανακυκλώσεις). Τότε ο αριθμός των διαφορετικών μονοπατιών μήκους r από την κορυφή i στην κορυφή j ισούται με το (i,j) στοχείο του πίνακα A r. β) Δίνεται το ακόλουθο μητρώο σύνδεσης που αντιστοιχεί σε γράφημα με συγκεκριμένη διάταξη κορυφών: A= Χωρίς να σχεδιάσετε το γράφημα να απαντήσετε στα ακόλουθα ερωτήματα: i) Είναι το γράφημα συνδεόμενο; ii) Ποιο το μήκος του μικρότερου μονοπατιού από την κορυφή v 2 στην κορυφή ; iii) Ποιος ο αριθμός των μονοπατιών μήκους 4 από την κορυφή v στην κορυφή v ; 2 3 Σημείωση: Δες ορισμό μητρώου σύνδεσης (πίνακα γειτνίασης) (Τόμος Α, σελ 130, Τόμος Β, σελ. 26). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 9: α) Το θεώρημα θα αποδειχτεί με επαγωγή: Για r=1, το θεώρημα ισχύει αφού o πίνακας Α έχει κατασκευαστεί ώστε σε κάθε στοιχείο του να αντιστοιχεί ο αριθμός των ακμών που συνδέουν τις αντίστοιχες ακμές. Ας συμβολίσουμε το (i,j) στοιχείο του A ως a ij. Ας υποθέσουμε ότι το θεώρημα ισχύει για κάποιο θετικό ακέραιο r και ας συμβολίσουμε (i,j) στοιχείο του A r ως b ij. Θα αποδείξουμε ότι το θεώρημα ισχύει για r+1: r+1 Έχουμε A r+1 = A r A και το (i,j) στοιχείο του A είναι: -9-

10 b i1 a 1j+ b i2 a 2j+.+ b in a nj Όμως b ik είναι ο αριθμός των μονοπατιών μήκους r από την κορυφή i στην κορυφή k, ενώ a kj είναι ο αριθμός των μονοπατιών μήκους 1 από την κορυφή k στην κορυφή j. Επομένως b ik a kj είναι ο αριθμός των διαφορετικών μονοπατιών μήκους r+1 από την κορυφή i στην κορυφή j, όταν η προηγούμενη πριν την j κορυφή είναι η k. Το παραπάνω άθροισμα λοιπόν μας δίνει τον συνολικό αριθμό διαφορετικών μονοπατιών μήκους r+1 από την κορυφή i στην κορυφή j και το θεώρημα ισχύει για r+1. β) Υπολογίζουμε αρχικά τους ακόλουθους πίνακες: A = A = A = ,,, A+ A + A = i) Κάθε μη διαγώνιο στοιχείο του πίνακα Α+Α 2 +Α 3 είναι μη μηδενικό επομένως υπάρχει μονοπάτι που συνδέει κάθε ζεύγος κορυφών και το γράφημα είναι συνδεόμενο. (Δες και Τόμο Α, δραστηριότητα 4.6, σελ. 134) ii) Βρίσκουμε τον πρώτο πίνακα που το στοιχείο (2,3) είναι μη μηδενικό. Η δύναμή που αντιστοιχεί στον πίνακα αυτό μας δίνει και το μήκος του μικρότερου μονοπατιού. Ο πίνακας είναι ο Α 2 άρα το μήκος του μικρότερου μονοπατιού είναι 2. iii) To (2,3) στοιχείο του πίνακα Α 4 είναι 8 και άρα αριθμός των διαφορετικών μονοπατιών μήκους 4 από την κορυφή v 2 στην κορυφή είναι

11 ΑΣΚΗΣΗ 10. Να εξεταστεί αν τα παρακάτω γραφήματα είναι ισομορφικά. Είναι τα γραφήματα ομοιομορφικά; G 1 G 2 Σημείωση: Δες ορισμό ισομορφικών γραφημάτων (Τόμος Α, σελ 138, Τόμος Β, σελ. 29), ορισμό αναλλοίωτων ιδιοτήτων (Τόμος Α, σελ 139, Τόμος Β, σελ. 31) και ορισμό ομοιομορφικών γραφημάτων (Τόμος Α, σελ 145). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 10: Τα γραφήματα προφανώς δεν είναι ισομορφικά αφού αναλλοίωτες ιδιότητες, όπως ο αριθμός των ακμών και των κορυφών είναι διαφορετικός στα δύο γραφήματα. Είναι όμως ομοιομορφικά γιατί με δύο απλοποιήσεις σειράς (Τόμος Α, σελ. 144) στο γράφημα G 1 προκύπτει το γράφημα G 2 ΑΣΚΗΣΗ 11: Να εξετάσετε ποια απ ό τα παρακάτω γραφήματα είναι μεταξύ τους ισομορφικά: G 1 G 2-11-

12 G 3 G 4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 11: Στην άσκηση αυτή θα βοηθήσει και πάλι η πολύ σημαντική αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη, βάσει της οποίας αν δύο γραφήματα είναι ισόμορφα τότε θα πρέπει να συμφωνούν σε όλες τις αναλλοίωτες ιδιότητες (Τόμος Α, σελ. 137, Τόμος Β, σελ. 31). Θα πρέπει να τονιστεί εδώ ότι ασυμφωνία έστω και σε μία αναλλοίωτη ιδιότητα σημαίνει ότι τα γραφήματα δεν είναι ισόμορφα. Αν όμως δεν μπορεί να βρεθεί έστω και μια αναλλοίωτη ιδιότητα που διαφέρει στα δύο γραφήματα, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι τα γραφήματα είναι ισόμορφα. Στη συγκεκριμένη λοιπόν άσκηση παρατηρούμε ότι ο αριθμός των κορυφών και των ακμών είναι ο ίδιος και στα τέσσερα γραφήματα. Αν όμως ελέγξουμε τους βαθμούς των κορυφών, βλέπουμε ότι στα γραφήματα G 1,G 3,G 4 ο βαθμός κάθε κορυφής είναι 3 ενώ στο γράφημα G 2 υπάρχει μια κορυφή με βαθμό 5 και μια άλλη με βαθμό 1. Επομένως το γράφημα G 2 δεν είναι ισόμορφο με τα υπόλοιπα 3. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τους κύκλους που εντοπίζονται στα εναπομείναντα γραφήματα. Παρατηρούμε ότι τα γραφήματα G 1,G 4 έχουν δύο κύκλους μήκους 3, ενώ το γράφημα G 3 δεν έχει κανέναν. Άρα το G 3 δεν είναι ισόμορφο με τα υπόλοιπα γραφήματα. Εξετάζοντας πλέον τα G 1,G 4 δεν μπορούμε να εντοπίσουμε κάποια αναλλοίωτη ιδιότητα που να μη συμπίπτει στα δύο γραφήματα. Όπως όμως αναφέρθηκε πιο πάνω το γεγονός αυτό δεν είναι αρκετό για να συμπεράνουμε ότι τα δύο γραφήματα είναι αναλλοίωτα. Πρέπει λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε μια αναγκαία και ικανή συνθήκη. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε τον ορισμό 1.14 (Τόμος Β, σελ. 29) είτε την άσκηση αυτοαξιολόγησης 4.14 (Τόμος Α, σελ. 136). Ας εφαρμόσουμε τις δύο πιο πάνω μεθοδολογίες: Σύμφωνα με την πρώτη μέθοδο, ξεκινούμε με μια τυχαία διάταξη των κορυφών, σχηματίζουμε τους πίνακες γειτνίασης για τα δύο γραφήματα και στη συνέχεια προσπαθούμε να σχηματίσουμε τον δεύτερο πίνακα εφαρμόζοντας μια μετάθεση στις γραμμές του πρώτου και την ίδια μετάθεση στις στήλες του πρώτου. Ας θεωρήσουμε λοιπόν την ακόλουθη διάταξη των κορυφών στα δύο γραφήματα: v 2 v 2 v v 5 6 v 5 v 6 G 1 G 4-12-

13 Τότε οι πίνακες γειτνίασης των δύο γραφημάτων είναι: A =, AG = G1 2 Αντιστρέφοντας τις θέσεις των δύο τελευταίων γραμμών του A G προκύπτει ο πίνακας Αντιστρέφοντας τις θέσεις των δύο τελευταίων στηλών στον τελευταίο πίνακα προκύπτει ο A G 2 και επομένως τα γραφήματα G 1,G 4 είναι ισόμορφα. Η δεύτερη μέθοδος, την οποία θα εφαρμόσουμε ευθύς αμέσως απαιτεί μια κατάλληλη διάταξη των κορυφών έτσι ώστε να δημιουργηθούν οι ίδιοι ακριβώς πίνακες γειτνίασης για τα δύο γραφήματα. Αν λοιπόν χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη αρίθμηση των κορ υφών στα δύο γραφήματα: v 2 v 2 v 5 v 6 v 6 v 5 v 3 G 1 G 4 τότε και στα δύο γραφήματα αντιστοιχεί ο ίδιος πίνακας γειτνίασης: -13-

14 Επομένως αποδεικνύεται και με αυτόν τον τρόπο ότι τα δύο γραφήματα είναι μεταξύ τους ισόμορφα. ΑΣΚΗΣΗ 12: Να εξετάσετε αν οι παρακάτω γράφοι είναι αυτοσυμπληρωματικοί. G 1 G 2 Σημείωση: Δες ορισμό αυτοσυμπληρωματικού γραφήματος (Τόμος Β, σελ 37). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 12: Θα πρέπει αρχικά να προσέξουμε ότι η έννοια αυτοσυμπληρωματικός ορίζεται σε ένα γράφημα σε αντίθεση με τις έννοιες του ισομορφισμού και του ομοιομορφισμού που ορίζονται σε δύο γραφήματα. Για να είναι ένας γράφημα αυτοσυμπληρωματικός θα πρέπει να είναι ισομορφικός προς το συμπλήρωμά του. Για τον πρώτο γράφο της άσκησης ο συμπληρωματικός γράφημα είναι ο ακόλουθος. -14-

15 Το πρόβλημα μετατρέπεται λοιπόν σε πρόβλημα ελέγχου ισομορφισμού. Ακολουθούμε λοιπόν τη μεθοδολογία που παρουσιάζεται σε πιο πάνω άσκηση. Εξετάζοντας τις αναλλοίωτες ιδιότητες του γραφήματος της άσκησης και του συμπληρώματός του, διαπιστώνουμε ότι ο αριθμός κορυφών, ο αριθμός των ακμών και οι βαθμοί των κορυφών συμπίπτουν. Όμως ενώ στο γράφημα G 1 κάθε κορυφή με βαθμό 4 ενώνεται με 3 κορυφές βαθμού 3 και μία κορυφή βαθμού 4, στο συμπληρωματικό γράφημα κάθε κορυφή με βαθμό 4 συνδέεται με 3 κορυφές βαθμού 4 και μία κορυφή βαθμού 3. Άρα μια αναλλοίωτη ιδιότητα διαφέρει στα δύο γραφήματα και επομένως το γράφημα της άσκησης δεν είναι αυτοσυμπληρωματικό. Για τη δεύτερη περίπτωση, ο συμπληρωματικός του γραφήματος είναι ο ακόλουθος Αν χρησιμοποιήσουμε τις ακόλουθες διατάξεις: v 2 v 2 τότε στον γράφο G 2 και τον συμπληρωματικό του αντιστοιχεί ο ίδιος πίνακας γειτνίασης Ο γράφημα G 2 είναι λοιπόν ισόμορφος με τον συμπληρωματικό του και επομένως είναι αυτοσυμπληρωματικός. -15-

16 ΑΣΚΗΣΗ 13: α) Να εξετάσετε αν υπάρχουν αυτομορφισμοί (εκτός από τον ταυτοτικό) στο γράφημα Κ 4. Αν ναι, πόσοι είναι οι διαφορετικοί αυτομορφισμοί; Είναι το γράφημα μεταβατικό κατά τις κορυφές του; β) Απαντήστε στα προηγούμενα ερωτήματα για τα γραφήματα Κ n, C n, W n, Σημείωση: Δες ορισμό αυτομορφισμού (Τόμος Β, σελ 39) και ορισμό γραφήματος μεταβατικού ως προς τις κορυφές του (Τόμος Β, σελ. 44). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 13: α) Σε ένα γράφημα παρατηρείται αυτομορφισμός αν εφαρμόζοντας μια μετάθεση των κορυφών του δεν μεταβάλλεται ο πίνακας γειτνίασης του γραφήματος. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μετά από μια αναδιάταξη των κορυφών, κάθε κορυφή «βλέπει» ακριβώς την ίδια εικόνα με αυτή που «έβλεπε» από την παλιά της θέση (συνδέεται ακριβώς με τις ίδιες κορυφές που συνδεόταν και προηγούμενα). Ο πίνακας γειτνίασης του πλήρους γραφήματος Κ 4 είναι τετραγωνικός και κάθε στοιχείο του έχει την τιμή 1 εκτός από την κύρια διαγώνιο που τα στοιχεία της είναι 0. Επομένως οποιαδήποτε μετάθεση των κορυφών και αν εφαρμόσουμε θα λάβουμε ακριβώς των ίδιο πίνακα γειτνίασης. Άρα στον γράφο Κ 4 μπορούν να βρεθούν 4! διαφορετικοί ισομορφισμοί (συμπεριλαμβανομένου του ταυτοτικού). Βάσει ορισμού, προκύπτει άμεσα ότι ο γράφημα Κ 4 είναι μεταβατικός κατά τις κορυφές του. β) Τα συμπεράσματα του προηγούμενου υποερωτήματος μπορεί να γενικευθούν για το γράφημα Κn αφού ο πίνακας γειτνίασης του πλήρους γραφήματος Κ n είναι τετραγωνικός και κάθε στοιχείο του έχει την τιμή 1 εκτός από την κύρια διαγώνιο που τα στοιχεία της είναι 0. Για το γράφημα C n δεν ισχύει το ίδιο αφού υπάρχουν μεταθέσεις που αλλοιώνουν τον πίνακα γειτνίασης. Οι μοναδικές μεταθέσεις που αφήνουν τον πίνακα γειτνίασης αμετάβλητο είναι οι κυκλικές μετακινήσεις των κορυφών προς την ίδια φορά κατά 0,1,2,...,n-1 θέσεις. Επομένως υπάρχουν n αυτομορφισμοί στο C n. Τα γράφημα είναι μεταβατικό, αφού για κάθε κορυφή υπάρχει αυτομορφισμός που την απεικονίζει σε οποιαδήποτε από τις άλλες θέσεις. Για το γράφημα W n ισχύει ακριβώς το ίδιο με το γράφημα C n για τον αριθμό των αυτομορφισμών. Η κεντρική κορυφή όμως δεν απεικονίζεται μέσω αυτομορφισμού σε καμία άλλη θέση και επομένως το γράφημα δεν είναι μεταβατικό ως προς τις κορυφές του. -16-

17 ΑΣΚΗΣΗ 14. Να εξεταστεί αν τα παρακάτω γραφήματα είναι επίπεδα. v 2 v 2 v 8 v 5 v 6 v 2 V 6 v 7 V 5 Σημείωση: Δες ορισμό επίπεδων γραφημάτων (Τόμος Α, σελ 140) και θεώρημα Kuratowski (Θεώρημα 4.7, Τόμος Α, σελ 145). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 14. Όσον αφορά στο πρώτο γράφημα, παρά το γεγονός ότι οι ακμές - και v 2 - διασταυρώνονται το γράφημα είναι επίπεδο. Σύμφωνα με τον ορισμό ένα γράφημα είναι επίπεδο αν μπορεί να αποτυπωθεί στο επίπεδο έτσι ώστε οι ακμές του να μη διασταυρώνονται. Αυτό σημαίνει ότι για να εξετάσουμε αν ένα γράφημα είναι επίπεδο θα πρέπει να εξαντλήσουμε κάθε δυνατότητα αποτύπωσής του έτσι ώστε να μη διασταυρώνονται οι ακμές. Μια τέτοια αποτύπωση του παραπάνω γραφήματος είναι η ακόλουθη: v 2 όπου πράγματι δεν υπάρχει διασταύρωση ακμών. Στην αποτύπωση αυτή σχηματίζονται τέσσερις όψεις που κάθε μία έχει βαθμό 3. Και το δεύτερο γράφημα μπορεί να αποτυπωθεί στο επίπεδο, έτσι ώστε οι ακμές να μην διασταυρώνονται και επομένως είναι επίπεδο: -17-

18 V 2 V 6 V 5 Αντίθετα το τρίτο γράφημα περιέχει το ακόλουθο υπογράφημα: v 5 v 6 v 8 v 2 v 7 το οποίο είναι ομοιομορφικό με το ακόλουθο αφού γίνουν οι κατάλληλες απλοποιήσεις γραμμής: v 5 v 2 v 6 Το τελευταίο γράφημα όμως είναι το Κ 3,3 ={v1,,v 6 },{v 2,,v 5 }. Σύμφωνα με το θεώρημα του Kuratowski το αρχικό γράφημα δεν είναι επίπεδο. ΑΣΚΗΣΗ 15: Να εξετάσετε αν τα παρακάτω γραφήματα είναι επίπεδα: -18-

19 G 1 G 2 Σημείωση: Δες τύπο Euler (Τόμος Α, σελ 142). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 15: Ένα χρήσιμο εργαλείο για να αποδείξουμε ότι ένα γράφημα δεν είναι επίπεδο, είναι ο τύπος του Euler, ο οποίος αποτελεί αναγκαία όχι όμως και ικανή συνθήκη για την επιπεδότητα ενός γραφήματος. Παρατηρώντας λοιπόν ότι και στα δύο γραφήματα ο αριθμός των ακμών είναι αρκετά μεγάλος θα ξεκινήσουμε ακριβώς από τον τύπο του Euler. Έτσι λοιπόν και στα δύο γραφήματα, αφού υπάρχει κύκλος με μήκος 3, κάθε όψη σε μια πιθανή αποτύπωση του γραφήματος θα έχει μήκος τουλάχιστον 3. Επίσης αφού κάθε ακμή συμμετέχει στο βαθμό το πολύ δύο όψεων θα ισχύει: 3o άθροισμα των βαθμών των όψεων 2ε όπου ο ο αριθμός των όψεων και ε ο αριθμός των ακμών. Επομένως θα πρέπει να ισχύει σύμφωνα με τον τύπο του Euler: 2ε 3(ε-κ+2) όπου κ ο αριθμός των κορυφών. Για τα δύο γραφήματα ισχύει: G 1 : κ=7, ε=17 G 2 : κ=7, ε=13 (Σημείωση: Ο αριθμός των ακμών προκύπτει εύκολα αν προσθέσουμε κορυφών για κάθε γράφημα και διαιρέσουμε με το 2) όλους τους βαθμούς των Χρησιμοποιώντας τις τιμές αυτές στην παραπάνω ανίσωση προκύπτει: Για το G 1 : 34 3(12) το οποίο είναι άτοπο, άρα το γράφημα G 1 δεν είναι επίπεδο. -19-

20 Για το G 2 : 26 3(8) το οποίο ισχύει. Αυτό όμως δεν αρκεί για να συμπεράνουμε ότι το γράφημα είναι επίπεδο, αφού ο τύπος του Euler από τον οποίο ξεκινήσαμε είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για να είναι ένα γράφημα επίπεδο. Χρειάζεται λοιπόν να χρησιμοποιήσουμε άλλη του γραφήματος G 2. μέθοδο για να αποδείξουμε την επιπεδότητα η μή Παρατηρούμε όμως ότι ένα υπογράφημα του γραφήματος G 2 είναι το K 3,3 : (οι κορυφές των δύο συνόλων ανεξαρτησίας σημειώνονται με διαφορετικό σύμβολο στον παραπάνω γράφο). Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Kuratowski (που αποτελεί αναγκαία και ικανή συνθήκη) το γράφημα G 2 δεν είναι επίπεδο. ΑΣΚΗΣΗ 16: α) Θεωρείστε m-αδικό δέντρο όπου κάθε κορυφή εκτός της ρίζας είναι φύλλο ή έχει ακριβώς m παιδιά. Αποδείξτε τα ακόλουθα θεωρήματα: i) Αν το δέντρο έχει i εσωτερικές κορυφές, τότε έχει n=mi+1 κορυφές και l=(m-1)i+1 φύλλα. ii) Αν το δέντρο έχει n κορυφές, τότε έχει i=(n-1)/m εσωτερικές κορυφές φύλλα. και l=[(m-1)n+1]/m iii) Αν το δέντρο έχει l φύλλα, τότε έχει n=(ml-1)/(m-1) κορυφές και i=(l-1)/(m-1) εσωτερικές κορυφές. β) Η διασπορά ενός ηλεκτρονικού ιού ξεκινά από μια διεύθυνση που στέλνει τον ιό σε 5 άλλες διευθύνσεις. Ο ιός έχει προγραμματιστεί έτσι ώστε όταν προσβάλλει μια διεύθυνση, τότε είτε η διεύθυνση στέλνει τον ιό σε πέντε νέες διευθύνσεις είτε δεν τον στέλνει σε καμία άλλη διεύθυνση. Αν υποθέσουμε ότι μετά το πέρας της διασποράς του ιού, διευθύνσεις έχουν -20-

21 στείλει τον ιό και καμία διεύθυνση δεν τον έχει λάβει περισσότερες από μία φορές, να υπολογιστεί ο αριθμός των διευθύνσεων που έχουν λάβει τον ιό καθώς και ο αριθμός των διευθύνσεων που έχουν λάβει τον ιό αλλά δεν τον έχουν στείλει. Σημείωση: Δες ορισμό δέντρου με ρίζα (Τόμος Α, σελ 154, Τόμος Β, σελ. 214) m-αδικού δέντρου (Τόμος Β, σελ 219). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 16: α) i. Κάθε κορυφή εκτός της ρίζας είναι το παιδί μιας εσωτερικής κορυφής. Αφού όμως κάθε εσωτερική κορυφή έχει 5 παιδιά, ο συνολικός αριθμός των κορυφών πλην της ρίζας είναι mi. Άρα ο συνολικός αριθμός κορυφών είναι mi+1. Ο αριθμός των φύλλων είναι mi+1-i=(m-1)i+1. ii,iii) Έχουμε τις εξισώσεις n=mi+1 που αποδείχτηκε προηγούμενα και n=l+i. Άρα αν είναι γνωστό ένα από τα m,i,l τα υπόλοιπα υπολογίζονται εύκολα με την επίλυση του συστήματος των δύο αλγεβρικών εξισώσεων που σχηματίζονται. β) Η διασπορά του ιού μπορεί να αποτυπωθεί σαν ένα πλήρες 5-αδικό δέντρο. Οι διευθύνσεις που λαμβάνουν τον ιό και τον αποστέλλουν αποτελούν τις εσωτερικές κορυφές, ενώ αυτές που λαμβάνουν τον ιό αλλά δεν τον αποστέλλουν αποτελούν τα φύλλα. Επομένως το γράφημα έχει εσωτερικές κορυφές και αφού κάθε εσωτερική κορυφή έχει 5 παιδιά, το σύνολο των κορυφών του γραφήματος είναι 5* (τη ρίζα). Άρα ο αριθμός των διευθύνσεων που έχουν λάβει τον ιό είναι και αυτών που έχουν λάβει τον ιό αλλά δεν τον έχουν στείλει (φύλλα) είναι = ΑΣΚΗΣΗ 17: Σε ένα m-αδικό δέντρο ύψους h υπάρχουν το πολύ m h φύλλα (Η άσκηση αποτελεί παραλλαγή της πρότασης 2.18, τόμος Β, σελ. 219). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 17: Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματική επαγωγή. Ας θεωρήσουμε αρχικά m-αδικά δέντρα ύψους 1. Τότε το δέντρο δεν μπορεί να έχει περισσότερα από m φύλλα. Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση ισχύει για όλα τα m-αδικά δέντρα ύψους μικρότερου ή ίσου του h- 1. Θα αποδείξουμε ότι η πρόταση ισχύει και για δέντρα ύψους h. Πράγματι ας θεωρήσουμε τα δέντρα που σχηματίζονται αν αφαιρέσουμε τις ακμές που συνδέουν τη ρίζα με όλες τις κορυφές επιπέδου 1. Τα δέντρα αυτά έχουν το πολύ ύψος h-1 και επομένως το πολύ m h-1 φύλλα, Υπάρχουν όμως το πολύ m τέτοια δέντρα και άρα το σύνολο των φύλλων είναι το πολύ m m h-1 = m h -21-

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ S.. Φορτίο, q oulomb, Ηλεκτρικό ρεύμα, i Ampére, A Ηλεκτρικό δυναμικό olt, Ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια,

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ. Ο διδάσκων. Θ. Παπαδόγγονας ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΥΛΗΣ Ανακοινώνεται στους σπουδαστές του 1ου εξαμήνου του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων ότι η ύλη της τελικής εξέτασης του μαθήματος «Μικροοικονομική» αφορά τις εξής ενότητες: Οικονομική Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

1 Τράπεζα θεμάτων 2014-15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

1 Τράπεζα θεμάτων 2014-15 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 1 2 ΘΕΜΑ B Ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος 1. ΘΕΜΑ Β 2-15438 B.1 Ένας αγωγός διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα έντασης i = 5 A. Το ηλεκτρικό φορτίο q που περνά από μια διατομή του αγωγού σε χρόνο t = 10 s

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Ιωάννινα, 2008 ii Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...................... vii 1.1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ......... vii

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.armscontrol.nfo 7 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χ. ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 Στη διδασκαλία συνήθως τα παιδιά αρχικά διδάσκονται τις

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα