5. Δεικτες Παραμετροι
|
|
- Ἔρεβος Γιάνναρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρια Πιθανοτητων Ι ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) Τμημα Μαθηματικων Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Probability Theory Ι WINTER SEMESTER (3 st ) School of Mathematics Aristotle University of Thessaloniki 5. Δεικτες Παραμετροι Iωαννης Αντωνιου iantonio@math.auth.gr Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε Αδεια Χρήσης Creative Commons
2 Βασικοι Στατιστικοι Δεικτες- Παραμετροι Σκοπος-Περιεχομενο Οι βασικοι Δεικτες- Στατιστικες Παραμετροι Θεση Κατανομης (Location) Eξαπλωση- Εκταση Κατανομης (Spread or Dispersion) Σχημα Κατανομης Μέση Τιμή (mean) Ροπες (Moments) Kορυφες (modes) Διάμεσος (median). Ποσοστημορια (Quantiles, Percentiles) Εύρος (range). Διασπορα (variance) Τυπική Απόκλιση (standard deviation) Σχετικο Σφαλμα (relative error) = Mεταβλητοτης Αποστασεις Ποσοστημοριων Λοξότητα (skewness). Κύρτωση (kurtosis). (Shape) Ευρος Τιμων Δεικτων (Ανισοτητες) Σχεση Ροπων και Κατανομης (Προβλημα Ροπων) Υπολογισμοι Προσεγγιστικοι Συναρτησιακα Πιθανοτητος: Πιθανογεννητριες, Ροπογεννητριες
3 Στατιστικοι Δεικτες- Παραμετροι Οι Στατιστικοι Δεικτες (Παραμετροι) οριζονται: Θεωρητικα από την Κατανομη Πιθανοτητας ρ: θ = θ ρ Εμπειρικα από τα Δεδομενα των Παρατηρησεων θεωρωντας ως Πιθανοτητα την Εμπειρικη Σχετικη Συχνοτητα. θ = D (Data) D : Η Εμπειρικη Εκτιμητρια (Συναρτηση) της Παραμετρου Διαπιστωθηκε όμως ότι οι Εμπειρικες Παραμετροι θ δεν ειναι παντοτε ικανοποιητικες Εκτιμησεις Η Εμπειρικη Τυπικη Αποκλιση δεν είναι Αμεροληπτη. Διορθωση Bessel Τεθηκαν ως εκ τουτου Κριτηρια Αξιολογησης- Επιλογης Εκτιμησεων από Δεδομενα Παρατηρησεων και προεκυψαν διαφορες Εκτιμητριες των Παραμετρων που συμβολιζονται ως: θ = D (Data) D : Η Εκτιμητρια (Συναρτηση) της Παραμετρου
4 Δεικτες Θεσης Κατανομης (Location Parameters) Μέση Τιμή (mean) Ροπες (Moments) Kορυφες (modes) Διάμεσος (median). Ποσοστημορια (Quantiles, Percentiles)
5 Μεση Τιμη ή Αναμενόμενη Τιμή της Μεταβλητης X Mean Value or Expectation Value of the Variable X m = X = Ε Χ m = ν x ν p ν, για Διακριτες Μεταβλητες Προϋπόθεση: ν x ν p ν < + + m = xx x dd = dd x x, για Συνεχεις Μεταβλητες Προϋπόθεση: x dd(x) < Μεση Τιμη Συναρτησης της Μεταβλητης Χ: ΕΕ(Χ) = h(x)dd(x) Προϋπόθεση: h(x) dd(x) <
6 η Μεταβλητη Αθροισμα Ενδειξεων 2 Ζαριων Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων Παρατηρησιμα Γεγονοτα (Κελια) Observable Events (Cells) Μέση Τιμή m= m= = 7 Πιθανοτητα Probability 2 Ξ 2 ={ (1,1)} 1/36=3% 3 Ξ 3 ={ (1,2), (2,1)} 2/36=6% 4 Ξ 4 ={ (2,2), (1,3),(3,1)} 3/36=8% 5 Ξ 5 ={ (1,4), (2,3),(3,2), (4,1)} 4/36=11% 6 Ξ 6 ={ (1,5), (2,4),(3,3), (4,2), (5,1)} 5/36=14% 7 Ξ 7 ={ (1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 6/36=17% 8 Ξ 8 ={ (2,6), (3,5),(4,4), (5,3), (6,2)} 5/36=14% 9 Ξ 9 ={ (3,6), (4,5),(5,4), (6,3)} 4/36=11% 10 Ξ 10 ={ (4,6), (5,5),(6,4)} 3/36=8% 11 Ξ 11 ={ (5,6), (6,5)} 2/36=6% 12 Ξ 12 ={ (6,6)} 1/36=3%
7 Μεση Τιμη Ιδιοτητες Θεωρημα E1) Γραμμικοτης E[cX]= ce[x], c πραγματικος αριθμος E[X 1 +X 2 ]= E[X 1 ] + E[X 2 ] E2) Θετικοτης E[Χ] 0, εάν Χ 0 E3) Κανονικοποιηση E[1]=1, 1(y)=1, η Μεταβλητη με σταθερη τιμη 1 Ε[Ο]=0, Ο(y)= 0, η Μεταβλητη με σταθερη τιμη 0 E4) E[X 1 ] E[X 2 ], αν X 1 X 2 E5) Ε[Χ] E[ X ] E6) Ε[g(Χ)] g(e[x]), g:χ R, πραγματικη συναρτηση της μεταβλητης Χ Οπου: Ε[g(Χ)] = g(x 1 ) p 1 + g(x 2 )p 2 + για διακριτες μεταβλητες + = g(x)ρ(x)dd για συνεχεις μεταβλητες
8 Μεση τιμη μεταβλητης Χ με Κατανομή Bernoulli: EE = 0 (1 p) + 1 p = p Πόρισμα. Για τη δείκτρια Μεταβλητη 1 Α E[1 A ] = P(A) Δηλαδή μπορουμε να ορισουμε την Πιθανοτητα από ένα συναρτησιακο Μεσης Τιμης με τη βοήθεια των δείκτριων Μεταβλητων Ορισμος Συναρτησιακο Μεσης Τιμης (Expectation Functional) E: X R: Χ Ε[Χ] με τις Ιδιοτητες: E1) Γραμμικοτης E2) Θετικοτης E3) Κανονικοποιηση Whittle W. 2000, Probability via Expectation, 4th ed., Springer, Berlin
9 Χ απαριθμητή, με: P(X = x) = p(x) = 3 2x 1 5 x, x = 1, 2,... EE = x 3 2x 1 5 x x=1 = 3 d 5 dd = 3 5 x 2 5 x=1 t 1 t = 3 5 t=2 5 x 1 = 3 d 5 dd 1 1 t 2 t=2 5 t x x=1 = 5 3 t=2 5 = Η προϋπόθεση ικανοποιείται αφού x=1 x 3 2x 1 5 x = x 3 2x 1 x=1 5 x = 5 3 <
10 Χ απαριθμητή, με: Παραδείγματα P X = x j = p x j = 4,, j = 1, 2,.. 5j όπππ x j = 1 j+1 5j j τότε ΕΕ δεν υπάρχει διότι δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση, j = 1, 2,.... j=1 x j P(X = x j = 1 j=1 j+1 5j j 4 5 j = 4 1 j j=1 που αποκλίνει Όμως υπάρχει η τιμή: x j P(X = x j = 1 j=1 j=1 j+1 5j j 4 5 j = 4 1 j+1 1 j j=1 < αρμονική Είναι γνωστό ότι σειρές μη απόλυτα συγκλίνουσες δεν ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα, πράγμα που σημαίνει ότι μεταθέτοντας τους όρους της μπορεί να προκύψει διαφορετικό άθροισμα!! εναλλάσσουσα αρμονική
11 Παραδείγματα 6x(1 x), 0 < x < 1 Χ απόλυτα συνεχής, με: f(x) = 0, ααααύ τότε: ΕΕ = xx(x)dd = 6x 2 (1 x)dd = Είναι αναμενόμενο, λόγω συμμετρίας, η μέση τιμή να είναι το «μέσον» της κατανομής 1 2 Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Θεωρία Πιθανοτήτων Ι: Τυχαίες Μεταβλητές 11
12 Χ μικτή, με: F X (x) = 0, x < α n 1)(x α n(β α), α x < β 1, x β n F(x) Από υπολογισμό με τη βοήθεια της σ.κ. ΕΧ= Εμβαδόν σκιαγραφημένου χωρίου= =Εμβ(ορθογωνίου)+Εμβ(τραπεζίου)= α n ή επειδή (παράδειγμα διαφάνειας 16) F X (x) = 1 F n d(x) + n 1 F n c(x), όπου EE = 1 n 2 β α = β+α + β α 2 2n n 1 β 1 + n x 1 β α dd α β = β n + n 1 n Πολυχρόνης Μωυσιάδης: Θεωρία Πιθανοτήτων Ι: Τυχαίες Μεταβλητές α F d (x) = F c (x) = β + α 2 = β + α 2 β 0, x < β 1, x β x α β α, 0, x < α + α x < β 1, x β β α 2n 12
13 Eστω η τ.μ. Χ με κατανομη: f(x) = 1, 0 x 1 0, ααααύ Ποια η μέση τιμή της τ.μ. Y = ln (X), δηλαδή ποια είναι η Ε[ lnx]; E[ lnx] = ( lnx)f(x)dd 1 = ( lnx) dd 0 = 1 Δεν είναι ανάγκη να βρεθεί η κατανομή της Y = ll (X)
14 Εστω η τ.μ. Χ με κανονικη κατανομή Ν(0,σ 2 ) f X (x) = 1 x2 e 2σ 2, x R σ 2π Ποια η μέση τιμή της τ.μ. Y = X 2, δηλαδή ποια είναι η Ε[X 2 ]? E X 2 = x 2 f x dd = 2 x 2 1 σ 2π 0 e x2 2σ 2 dd = = 2σ 2π = 2σ 2π x2 x e 2σ 2 0 xx e 0 x 2 2σ 2 σ 2π 1 σ 2π 0 e x2 2σ 2 dd = σ 2
15 Μεση Τιμη Εκτιμηση από το Δειγμα Μ Μετρησεις: χ 1,, χ Μ Φασμα n Tιμων: x 1,, x n, n M m = χ χ Μ Μ = x 1f x n f n n = x 1 ρ x n ρ n Η Εμπειρικη Μεση Τιμη είναι Αμεροληπτη Εκτιμητρια
16 Poπη ν-ταξεως, ν=1,2,3, m ν = E[X ν ] = (x 1 ) ν ρ 1 + (x 2 ) ν ρ = x ν ρ(x)dd ΣΧΟΛΙΑ 1) m 1 = m = E[X], η πρωτη ροπη είναι η Μεση Τιμη 2) m 2 = E[X 2 ] η «Ισχυς» ή «Ροπη Αδρανειας» ή Μεση Τιμη Τετραγωνου (mean square) της Μεταβλητης X
17 Παραδειγμα: X = Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων E[X ] = E[X 2 ] = E[X 2 ] = E[X 2 ] = η Ισχυς της Χ
18 Ροπες Εκτιμηση από το Δειγμα m ν = x 1 ν ρ x n ν ρ n Η Εμπειρικες Ροπες είναι Αμεροληπτες Εκτιμητριες
19 Κορυφες η Επικρατουσες Τιμες (Μοdes) Οι τιμες x=ξ mode στις οποιες η Κατανομη ρ(x) εχει (τοπικα) μεγιστα P(X = δ) P(X = x k ), k = 1,2, αν X απαριθμητή f(δ) f(x), x R αν X απόλυτα συνεχής Μονοκορυφες κατανομες (Unimodal) εχουν 1 μεγιστο Δικορυφες κατανομες (Βimodal) εχουν 2 μεγιστα
20 Διάμεσος ή Διχοτομος (Median) H τιμη x=ξ 1/2 : P[x< x 1/2 ] 1 2 P[x x 1/2] Η Διαμεσος χωριζει την κατανομη σε 2 μερη με ισες Πιθανοτητες Χρησιμοποιηθηκε από τον G. Fechner Fechner Law 1860: Perception of Stimulus B = k ln B B 0 B 0 = the threshold of stimulus below which no stimulus is perceived B B 0 Keynes, J.M. (1921) A Treatise on Probability, Pt II Ch XVII 5 (p 201)
21 Διάμεσος (Median)
22 Σχεση Μεσης Τιμης, Διαμεσου, Κορυφης Θεωρημα Για συμμετρικες κατανομες: Μεση Τιμη = Διαμεσος = Κορυφη Για λιγο ασυμμετρες κατανομες: Μεση Τιμη Κορυφη 3(Μεση Τιμη Διαμεσος) Για ασυμμετρες κατανομες προς τα αριστερα: α 3 > 0 Μεση Τιμη > Διαμεσος > Κορυφη Για ασυμμετρες κατανομες προς τα δεξια: α 3 < 0 Μεση Τιμη < Διαμεσος < Κορυφη
23 α Ποσοστημοριο, 0<α<1 α Quantile Η τιμη της μεταβλητης x = x α, 0 < α <1 με πιθανοτητα το πολύ α: P[X < x α ] α P[x x α ] αριστερά του x α η πιθανότητα είναι < p και δεξιά του x α η πιθανότητα είναι < 1 p Αν F συνεχης και γνησιως αυξουσα, τοτε το α Ποσοστημοριο είναι η λυση της Εξισωσης: F x = α x α = F 1 α
24 x 1/4 = x 0.25 το πρωτο τεταρτημοριο x 1/2 = x 0.50 το δευτερο τεταρτημοριο (η διαμεσος) x 3/4 = x 0.75 το τριτο τεταρτημοριο Παραδειγμα: X = Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων x 1/4 = x 0.25 = 4 x 1/2 = x 0.50 = 7 x 3/4 = x 0.75 = 9
25 x 0.1, x 0.2,, x 0.9 τα 9 Δεκατημορια (Deciles) Παραδειγμα: τα 9 Δεκατημορια της Κανονικης Κατανομης:
26 Δεικτες Eξαπλωσης Εκτασης Κατανομης (Spread or Dispersion) Εύρος (range). Διασπορα (variance) Τυπική Απόκλιση (standard deviation) Σχετικο Σφαλμα (relative error) = Mεταβλητοτης Αποστασεις Ποσοστημοριων
27 Εύρος H εκταση του φασματος: x max x min Παραδειγμα: X = Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων Eυρος x max x min = 12 2 = 10 Εύρος Δειγματος: x n x 1
28 Διακυμανση (Fluctuation) ή Εκτροπη (Deviation) H τιμη (Χ m) = (Χ E[X]) ΣΧΟΛΙΟ Η Εκτροπη δειχνει ποσο απεχει η μετρηση από την Μεση Τιμη Συνεπως η Μεση Διακυμανση είναι εκτιμηση της Μεταβλητοτητος της Χ Θεωρημα H μεση Διακυμανση μηδενιζεται: Ε[(Χ E[X])]=0 Αποδειξη Ε[(Χ E[X])]= Ε[Χ] E[Ε[X] = Ε[Χ] Ε[X] = 0 ΣΧΟΛΙΟ Ειμαστε υποχρεωμενοι να ορισουμε άλλες παραμετρους για την Μεταβλητοτητα
29 Κεντρικη Poπη ν-ταξεως, ν= 1,2,3, c ν = E[(Χ m) ν ] = (x 1 m) ν p 1 + (x 2 m) ν p ΣΧΟΛΙΑ 1) c 1 = Ε[(Χ E[X])] = 0 = (x m) ν ρ(x)dd 2) Η c 2 = Ε[(Χ E[X]) 2 ] (η ροπη 2ας ταξεως της Μεταβλητης (Χ m) ) είναι η Μεση Τιμη του Τετραγωνου (mean square) της Διακυμανσης Η απλουστερη εκτιμηση της Μεταβλητοτητας Θεωρημα Oι Κεντρικες Ροπες αρτιας Ταξεως Συμμετρικων ως προς τον Μεσο Κατανομων, μηδενιζονται
30 Διασπορα (Variance) var(x) = Ε[(X m) 2 ] = (x 1 m) 2 p 1 + (x 2 m) 2 p = (x m) 2 ρ(x)dd Θεωρημα. Ιδιοτητες της Διασπορας var[χ] 0 var [X+c] = var[x] Η τυπική απόκλιση δεν μεταβάλλεται άν στις τιμές της μεταβλητής Χ προστεθεί μια σταθερά var [cx]= c 2 var [X], c πραγματικος αριθμος var [X 1 +X 2 ] = var [X 1 ] + var [X 2 ] var [X] = E[X 2 ] (E[X]) 2 = E[X 2 ] m 2 Aποδειξη Από τον ορισμο με Αλγεβρικες Πραξεις
31 Διασπορα (Variance) var(x) = Ε[(X m) 2 ] = (x 1 m) 2 p 1 + (x 2 m) 2 p 2 + = (x m) 2 ρ(x)dd +
32 Παραδειγμα: X = Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων E[(X 7) 2 ] = (2 7) (8 7) E[(X 7) 2 ] = (3 7)2 + (4 7)2 + (5 7)2 + ( )2 5 + (7 33 7) (9 7)2 + (11 7)2 + (11 7)2 + ( ) E[(X 7) 2 ] = E[(X 7) 2 ] =
33 Τυπικη Αποκλιση Standard Deviation = the root mean square fluctuation = rms fluctuation σ = var[x] σ 2 = var[x] Η Τυπικη Αποκλιση είναι η συνηθης εκτιμηση των σφαλματων (θεωρουνται ως αποκλισεις από την μεση τιμη) Η τυπική απόκλιση και η διασπορά δίνουν την ίδια πληροφορία για την τ.μ. Χ. Όμως η τυπική απόκλιση μετριέται στις ίδιες μονάδες με τις τιμές της τ.μ. και προτιμάται όταν εκφράζουμε τη μεταβλητότητα της τ.μ. σε σχέση με το εύρος της.
34 Τυπικη Αποκλιση Παραδειγμα: X = Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων E[(X 7) 2 ] = σ= vvv[x] = = 2. 22
35 Η Χ έχει κατανομή Bernoulli. ΕΕ = p σ 2 = ΕΧ 2 (ΕΕ) 2 = p p 2 = p(1 p) σ = p(1 p) EX 2 = 0 2 (1 p) p = p
36 Χ ομοιόμορφη στο [α,β]: EE = EX 2 = 1, α x β f(x) = β α 0, ααααύ β x dd α + β x f(x) dd = = β α 2 x 2 f(x) dd σ 2 = ΕΧ 2 μ 2 = α2 +α β+β 2 α β = x2 dd β α 3 α α+β 2 = β3 α 3 3(β α) = α2 + α β + β σ 2 = β α 2 12 σ = β α 3 6
37 Νόημα της διασποράς Για ίδια μέση τιμή Όσο μεγαλύτερη η διασπορά τόσο πιο διασπαρμένες οι τιμές. Πράσινη: Ν(0, 1) Κόκκινη: Ν(0, 2 2 ) Μπλε: Ν(0, ) y µ=0, s=1 µ=0, s=2 µ=0, s=1/ x Όσο μεγαλύτερη η διασπορά, τόσο πιο αργά οι ουρές της κατανομής συγκλίνουν στις αντίστοιχες ασύμπτωτους y µ=0, s=1 µ=0, s=2 µ=0, s=1/ x
38 Μεγιστη Εκτροπη (Maximum Deviation) Ανισοτητα Samuelson-Laguerre Η Εκτροπη εκαστης Μετρησης χ κ του Δειγματος χ 1,, χ Μ είναι το πολυ σ Μ 1: χ κ m σ Μ 1 σ Μ 1 χ κ m σ Μ 1 Για καθε κ = 1,2,,Μ, οπου: m = χ χ Μ η Μεση Τιμη του Δειγματος σ = Μ χ 2 κ=1 κ x Μ η Τυπικη Αποκλιση του Δειγματος Ισοτης: σ Μ 1 = χ κ m οι Μ 1 μικροτερες μετρησεις είναι ισες χ κ x = σ Μ 1 οι Μ 1 μεγαλυτερες μετρησεις είναι ισες Samuelson P. 1968, How Deviant Can You Be?, Journal of the American Statistical Association 63, 324,
39 Πως συγκρινουμε τα σφαλματα διαφορετικων Μεταβλητων? Σχετικο η Ποσοστιαιο Σφαλμα (από την Μεση Τιμη) ή Συντελεστης Μεταβλητοτητος (από την Μεση Τιμη) Relative Deviation σ m = vaa[x] Ε[Χ] ΣΧΟΛΙΟ σ μικρο οι τιμες της X είναι πλησιον της μεσης τιμης m με μεγαλη πιθανοτητα m σ m μεγαλο οι τιμες της X είναι μακραν της μεσης τιμης m με μεγαλη πιθανοτητα Ο Συντελεστής Μεταβλητοτητος εκφράζεται επί τοις εκατό και είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης. Εκφράζει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών της μεταβλητής. Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θεωρείται ομοιογενές όταν ο Συντελεστής Μεταβλητοτητος είναι μικρότερος ή ίσος του 10%. Παραδειγμα: X = Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων σ m = vvv[x] Ε[Χ] = = 0.319
40 Κεντρικες Ροπες Εκτιμηση από το Δειγμα Εμπειρικες Κεντρικες Ροπες: c ν = x 1 m ν ρ x n m ν ρ n Εμπειρικη Διασπορα: σ 2 = (χ 1 m ) 2 + +(χ Μ m ) 2 Μ = (χ 1 m ) 2 ρ (χ n m ) 2 ρ n Εμπειρικη Τυπικη Αποκλιση: σ = (χ 1 m ) 2 + +(χ Μ m ) 2 Μ = (χ 1 m ) 2 ρ (χ n m ) 2 ρ n Η Εμπειρικες Κεντρικες Ροπες δεν είναι Αμεροληπτες Εκτιμητριες
41 Αμεροληπτη Τυπικη Αποκλιση: s = (χ 1 m ) 2 + +(χ Μ m ) 2 Μ 1 m = η Εμπειρικη Μεση Τιμη Η διoρθωση (Μ 1 αντι Μ) Bessel 1830 lim Μ s(m) σ = 0
42 Oρισμος Σχετικό Σφάλμα Δειγματος σ m Oρισμος Αμεροληπτο Σχετικό Σφάλμα (relative error) Δειγματος s m Oρισμος Τυπικό Σφάλμα Μεσης Τιμης Δειγματος (Standard Error of the Mean) SE= s N = (χ 1 m ) 2 + +(χ Μ m ) 2 Μ(Μ 1)
43 Αποστασεις Ποσοστημοριων =Ενδοποσοστημοριακό Ευρος (interquantile range). x α x 1 α Η απόσταση των συμπληρωματικών α-ποσοστημορίων x α και x 1 α Το Ενδοποσοστημοριακό Ευρος αποτελει εκτιμηση της εξαπλωσης-εκτασης των τιμών της μεταβλητης Χ. x 0.75 x 0.25 το ενδοτεταρτημοριακό ευρος (interquartile range). x 0.90 x 0.10 το ενδοδεκατημοριακό ευρος (interdecile range).
44 Δεικτες Σχηματος Κατανομης (Shape Parameters) Λοξότητα (skewness). Κύρτωση (kurtosis).
45 Λοξότητα (skewness) λ = c 3 σ 3 = Ε Χ m σ 3 c 3 = E[(Χ m) ν ] η Κεντρικη Poπη 3ης -ταξεως,
46 Κύρτωση (Kurtosis) k = c 4 σ4 3 k > 0 Λεπτοκυρτη κατανομη k = 0 Μεσοκυρτη κατανομη, προσεγγιζεται από την κανονικη Κατανομη k < 0 Πλατυκυρτη κατανομη
47 Ευρος Τιμων Δεικτων (Ανισοτητες) Εκτιμησεις Διαστηματων Τιμων Πιθανοτητων Όταν ο αμεσος υπολογισμος είναι δυσκολος Θεωρημα. Ανισοτητα Chebychev P[ X α ] = Ε φ(x) φ(α), α>0 υπο τις παραδοχες: φ: R (0, ) φ x Αποδειξις > φ(α), αν x > α Ε φ(x) <
48 Θεωρημα. Ανισοτητα Chebychev P[ Χ α ] = σ2 α2, α>0 P[ X m α ] = σ2 α2, α>0 σ 2 α 2, α>0 είναι το ποσοστο τιμων της Μεταβλητης Χ με αποσταση από τη μεση τιμη τουλαχιστον α Αποδ. P[ Χ α ] = Ε φ(χ) φ(α) = σ2 α2, με φ Χ = Χ2 Για Ζ=Χ α προκυπτει η δευτερη ανισοτης Παραδειγμα: X = Το Αθροισμα των ενδειξεων 2 Ζαριων P[ X 7 5 ] = =
49 Εφαρμογες Νομοι Μεγαλων Αριθμων Παραδειγμα Εστω η Μεταβλητη Χ με Πιθανοτητα
50 Παραδειγμα: Εστω η Μεταβλητη Χ με Ομοιομορφη Κατανομη Μπορουμε να υπολογισουμε απ' ευθειας την Πιθανοτητα (0 α 1 2 ) Ενώ η Ανισοτητα Chebychev δινει:
51 Παραδειγμα: Για καθε Μεταβλητη Χ με πεπερασμενη μεση τιμη και μηδενικη διασπορα: P[X=μ]=1
52 Παραδειγμα: Κάθε Μεταβλητη με πεπερασμενη Μεση Τιμη και Τυπικη Αποκλιση απεχει 2 Τυπικες Αποκλισεις από την Μεση Τιμη με Πιθανοτητα τουλαχιστον 75%
53 Ανισοτητα Jensen Για κάθε Κυρτη Πραγματικη Συναρτηση και κάθε Μεταβλητη με πεπερασμενη Μεση Τιμη: E[φ Χ ] φ(ε Χ )
54 Ανισοτητα Jensen Εφαρμογες Ανισοτητα Ροπων Ανισοτητα Αριθμητικου Γεωμετρικου Μεσου Εντροπια θεωρια Πληροφοριας Ασκησεις Ολυμπιαδων
55 Σχεση Ροπων και Κατανομης (Προβλημα Ροπων) Το Πρόβλημα ροπών Ευρεση της Κατανομης από τις Ροπες Αν είναι γνωστή η κατανομή της Μεταβλητης Χ, δηλ. είναι γνωστή η f(x) ή η F(x), τότε μπορούμε καταρχήν να υπολογίσουμε τις ροπές m ν, εφόσον υπάρχουν και χαρακτηριζουμε καποιες ιδιοτητες της κατανομης. Ισχυει το αντιστροφο? Αν είναι γνωστές οι ροπές m 1, m 2, μιας τ.μ. Χ, μπορεί να προσδιοριστεί η κατανομή της μονοσήμαντα; υπο προυποθεσεις (moment problem). Η απάντηση είναι εν γένει αρνητική, διότι υπάρχουν διαφορετικές κατανομές με όλες τις ροπές ίσες Συνηθως στην πραξη αρκουν οι 4 πρωτες ροπες για προσεγγιση της κατανομης
56 Το Πρόβλημα ροπών Ευρεση της Κατανομης από τις Ροπες ΘΕΩΡΗΜΑ Αν m 1, m 2,, είναι οι ροπές μιας τ.μ., τότε υπάρχει μία μόνο σ.κ. με αυτές τις ροπές, αν μία από τις παρακάτω συνθήκες ικανοποιείται: Akhiezer N. 1965, The classical moment problem and some related questions in analysis, Hafner, New York
57 Υπολογισμοι Προσεγγιστικοι Μπορουμε να υπολογισουμε την Μεση Τιμη και την διασπορα της φ(χ) από την Μεση Τιμη μ και την Διασπορα σ 2 της Χ Τυπος Taylor σ 2 μικρη
58 Εφαρμογη Εστω Υ = lnχ
59 Συναρτησιακα Πιθανοτητος: Πιθανογεννητριες, Ροπογεννητριες Mπορουμε να υπολογισουμε Παραμετρους από Συναρτησιακα της Πιθανοτητος Γνωριζοντας το Συναρτησιακο Καθοριζεται μονοσημαντως η Πιθανοτητα Πιθανογεννητρια Probability Generating Function Π z = E z x = p(x)z x x=0 Ροπογεννητρια Moment Generating Function Laplace Transform of the DF Χαρακτηριστικη Συναρτηση Characteristic Functional Fourier Transform of the DF M k = E e tx = p(x)e tx x=0 = ddρ x e tx C(k) = ddρ x e iii
60 Πιθανογεννήτριες Π X ( z ) =Π ( z ) = Ez ( ), z Χρησιμοποιείται κυρίως όταν Χ είναι απαριθμητή, με τιμές 0, 1, 2,. και πιθανότητες p x = P X = x, x = 0, 1, 2,.. οπότε γράφεται ως δυναμοσειρά: Επειδή p(x)=π(1)=ε(1)=1 η δυναμοσειρά συγκλίνει απόλυτα τουλάχιστον στο x=0 [ 1,1] και επομένως στο διάστημα αυτό η παράγωγός της όρον-προς-όρον είναι δυναμοσειρά συγκλίνουσα (απόλυτα) στο [-1,1]. Το ίδιο ισχύει για το ολοκλήρωμα. Προκύπτουν εύκολα οι σχέσεις: x σ =Π (1) +Π (1) ( Π (1)) X ( X x Π ( z) = Ez ( ) = ( ) Π ) (0) «γεννά» pxz pk ( ) = k! x= 0 EX ( ) =Π (1) = pxxz ( ) = xpx ( ) = xpx ( ) x= 1 z= 1 x= 1 x= 0 ( k ) Παραγοντική ροπή k τάξης EX ( X 1) ( X k + 1) = Π (1) k πιθανότητες
61 Πιθανογεννητρια Αθροισματος Ανεξαρτητων Μεταβλητων Θεωρημα Η Πιθανογεννητρια του Αθροισματος Χ 1 + Χ 2 δυο Ανεξαρτητων Μεταβλητων Χ 1, Χ 2 Είναι το Γινομενο των αντιστοιχων Πιθανογεννητριων Π z = Π 1 (z) Π 2 (z)
62 Ροπογεννητριες M k = E e tt = p(x)e tt x=0 = ddρ x e tt
63 Η Ροπογεννητρια καθοριζει μονοσημαντως την Κατανομη
64 Ροπογεννητρια Αθροισματος Ανεξαρτητων Μεταβλητων Θεωρημα Η Ροπογεννητρια του Αθροισματος Χ 1 + Χ 2 δυο Ανεξαρτητων Μεταβλητων Χ 1, Χ 2 Είναι το Γινομενο των αντιστοιχων Ροπογεννητριων M t = M 1 (t) M 2 (t) Αποδειξις Όπως το αντιστοιχο Θεωρημα στις Πιθανογεννητριες
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν
Διαβάστε περισσότερα7. Εκτιμήσεις Τιμων Δεικτων
Μαθηματικά και Στατιστικη στην Βιολογια ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1 ο ) Τμημα Βιολογιας Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Mathematics and Statistics in Biology WINTER SEMESTER (1 st ) School of Biology Aristotle
Διαβάστε περισσότερα5. Δεικτες Παραμετροι
Μαθηματικά και Στατιστικη στην Βιολογια ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1 ο ) Τμημα Βιολογιας Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Mathematics and Statistics in Biology WINTER SEMESTER (1 st ) School of Biology Aristotle
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΔιερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis
Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 4 : Περιγραφική Στατιστική Ι. Αντωνίου, Χ. Μπράτσας Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Στατιστική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1
Διαβάστε περισσότερα3 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων. Εφαρμογές
ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Εφαρμογές 2 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Εφαρμογή 1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Παρακάτω βλέπουμε τα ιστογράμματα και τα πολύγωνα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών
Διαβάστε περισσότερα4 Περιγραφικη Στατιστικη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ στη ΒΙΟΛΟΓΙΑ 4 Περιγραφικη Στατιστικη Ι. Αντωνιου Κ. Κρικωνης Τμημα Μαθηματικων Aριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Χειμερινο Εξαμηνο Συλλογή Δεδομένων από τις Παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΔιερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis
Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραE [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 5 : Εκτιμήσεις Ι. Αντωνίου, Χ. Μπράτσας Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ε Ω Ν ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα Τα αριθμητικά περιγραφικά μέτρα (numerical descriptive measures) είναι αριθμοί που συμβάλουν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΔρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική
Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραΈστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς
Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr
Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί
Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣτην περίπτωση της συνεχούς Τ.Μ. η μάζα πιθανότητας σε κάθε σημείο είναι μηδέν.
ΚΥΡΙΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΜΙΑΣ Τ.Μ. Μπορούμε να διευρύνουμε την ερμηνεία των κατανομών με τη βοήθεια της έννοιας της μάζας. Έτσι οι τιμές που παίρνει μια Τ.Μ. περιγράφουν τη μάζα πιθανότητας στο συγκεκριμένο
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι
Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική
ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα
Διαβάστε περισσότερα1 x-μ - 2 σ. e σ 2π. f(x) =
Κανονική κατανομή Η πιο σημαντική κατανομή πιθανοτήτων της στατιστικής είναι η κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι συνεχής κατανομή, σε αντίθεση με την διωνυμική που είναι διακριτή κατανομή. Τα
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ (0-6-005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και ένα δείγμα x, x,, x n. Θεωρούμε την τιμή k = n i= ( x && x) i.να διευκρινιστεί
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σκοπός Οι δειγματικοί χώροι, ανάλογα με τη φύση και τον τρόπο έκφρασης των ενδεχομένων τους κατατάσσονται σε ποσοτικούς και ποιοτικούς. Προφανώς ο υπολογισμός πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής
Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,
Διαβάστε περισσότεραHMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Στοχαστικές Τυχαίες Μεταβλητές/ Στοχαστικά Σήματα Πειραματικά δεδομένα >Επιλογή τύπου μοντέλου >Επιλογή κριτηρίου >Υπολογισμός >Επικύρωση Προσαρμογή καμπύλης (Curve
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική
Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΔείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή
ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 4ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δείγμα από κανονική κατανομή Έστω Χ= Χ Χ Χ τ.δ. από Ν µσ τότε ( 1,,..., n) (, ) Τ Χ Χ Ν Τ Χ σ σ Χ Τ Χ n Χ S µ S µ 1( ) = (0,1), ( ) = ( n 1)
Διαβάστε περισσότερα8. Ελεγχος Υποθεσεων. Μαθηματικά και Στατιστικη στην Βιολογια ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1 ο ) Τμημα Βιολογιας Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης
Μαθηματικά και Στατιστικη στην Βιολογια ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1 ο ) Τμημα Βιολογιας Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Mathematics and Statistics in Biology WINTER SEMESTER (1 st ) School of Biology Aristotle
Διαβάστε περισσότεραΜέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)
Μέρος V. Στατιστική Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Σημαντικές κατανομές δειγματοληψίας (Sampling distributions) Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Confidence
Διαβάστε περισσότεραΜέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr
Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Οι δείκτες διασποράς
Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 017-018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 71035468 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠοιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραwww.oleclassroom.gr Α. Τα δεδομένα της άσκησης είναι αταξινόμητα δηλαδή δεν είναι τοποθετημένα σε τάξεις εύρους δ όπως θα δούμε στο υποερώτημα (β). www.oleclassroom.gr Πριν τους υπολογισμούς κατασκευάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4
(ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,
Διαβάστε περισσότεραΠοιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η
Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΔείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη
Δείκτες Κεντρικής Τάσης και Διασποράς Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που γεννιούνται κατά την σύγκριση
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, και έστω ότι το P(X=x)=p Χ καθορίζει ένα τυχαίο πείραμα. Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά είναι το εξής: Τί θα συμβεί μακροπρόθεσμα
Διαβάστε περισσότεραΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών
ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική. Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων"
Περιγραφική Στατιστική Παράδειγμα Γίνεται μια μελέτη για τους τραυματισμούς στο μάτι (σοβαροί ή όχι τόσο σοβαροί) κατά τη διάρκεια αγώνων τέννις, squash, badminton και ρακέτας. Σοβαρός Τραυματισμός Επιπόλαιος
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού
Διαβάστε περισσότεραX = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε
Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Ασκηση Περιγραφικής Στατιστικής Κουτσουμανής Κ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Σχολή Γεωπονίας, Α.Π.Θ Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Στέλνουμε την άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα4. Μεταβλητες. Probability Theory Ι. Θεωρια Πιθανοτητων Ι. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) WINTER SEMESTER (3 st ) Iωαννης Αντωνιου
Θεωρια Πιθανοτητων Ι ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) Τμημα Μαθηματικων Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Probability Theory Ι WINTER SEMESTER (3 st ) School of Mathematics Aristotle University of Thessaloniki
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 206-207 2. Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραI2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα
I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:
Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η MBA I
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η MBA I Τι κάνει η Στατιστική Στατιστική (Statistics) Μετατρέπει αριθμητικά δεδομένα σε χρήσιμη πληροφορία. Εξάγει συμπεράσματα για έναν πληθυσμό. Τις περισσότερες φορές, με την χρήση και
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.
ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου
Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Διαβάστε περισσότεραΧ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικές εξετάσεις Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου. Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων. Θέµα Β. (α) ϑεωρία. (ϐ) i, ii) ϑεωρία.
Πανελλαδικές εξετάσεις 09 Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων Θέµα Α Α α) ϑεωρία ϐ) i, ii) ϑεωρία Α ϑεωρία Α3 ϑεωρία Α4 α) Λάθος {, x < 0 διότι για τη συνάρτηση fx) = ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50
Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα