Introduction to gravity field

Transcript

1 ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εξάµηνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας Introduction to gravity field Ακαδηµαϊκό έτος: Πρόγραµµα: Τετάρτη 9:00 13:00 ιδάσκοντες:.n. Αραµπέλος, Γ. Βέργος, Η.Ν. Τζιαβός

2 ιδακτικό βοήθηµα. Ν. Αραµπέλος και Η.Ν. Τζιαβός Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας της Γης ιδακτικό βιβλίο

3 ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ W.A. Heiskanen and H. Moritz (1967): Physical Geodesy. W. Torge (001): Geodesy, 3 rd edition. H. Moritz (1980): Advanced Physical Geodesy. P. Vanicek and E. Karakiwsky (1986): Geodesy H. Wellenhof and H. Moritz (005): Physical Geodesy..Ν. Αραµπέλος (000): Βαρυτηµετρία..Ν. Αραµπέλος (00): Εισαγωγή στη θεωρία του δυναµικού. K. Κατσάµπαλος και H.Ν. Τζιαβός (1991): Φυσική Γεωδαισία.

4 Υποχρεώσεις φοιτητών - εξετάσεις Εκπόνηση θέµατος Βαθµός προαγωγής Γραπτό: 7.5 µονάδες (άριστα) Θέµα:.5 µονάδες (άριστα) Το θέµα ενεργοποιείται εφόσον ο βαθµός του γραπτού είναι µε άριστατο7.5

5 Το Νευτώνειο πεδίο έλξης

6 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Όργανα απόλυτης µέτρησης τιµών της βαρύτητας

7 ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Όργανα µέτρησης σχετικών τιµών βαρύτητας

8 ΘΕΩΡΙΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΤΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑ Νεύτων παγκόσµια έλξη Ηλεκτροµαγνητισµός Ισχυρή & ασθενής πυρηνική δύναµη Αινστάϊν γεωµετρία χωροχρόνου 5η δύναµη ; (αντι-βαρύτητα;)

9 ΝΕΥΤΩΝΕΙΟ ΠΕ ΙΟ ΕΛΞΗΣ Οι ελκτικές δυνάµεις µεταξύ των µαζών είναι η κύρια πηγή του πεδίου βαρύτητας Το 0.3% του πεδίου βαρύτητας οφείλεται στη φυγόκεντρο δύναµη ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ!! Μέτρο, ιεύθυνση, Φορά των ελκτικών δυνάµεων των µαζών Οι παράµετροι (Μέτρο, ιεύθυνση, Φορά) εξαρτώνται από την κατανοµή των µαζών

10 Συστήµατα αναφοράς Ένα σύστηµα αναφοράς (reference system) είναι ο θεµελιώδης ορισµός του τρόπου µε τον οποίο έχει σχηµατιστεί ένα σύστηµα συντεταγµένων. Στο σύστηµα αναφοράς ορίζονται η αρχή, ο προσανατολισµόςτωνκυρίωναξόνωνήεπιπέδων του συστήµατος καθώς και το µαθηµατικό του υπόβαθρο. Ένα συµβατικό σύστηµα αναφοράς (conventional reference system) είναι ένα σύστηµα αναφοράςόπουόλαταµοντέλα, οι αριθµητικές σταθερές και οι αλγόριθµοι ορίζονται ακριβώς. Ένα δίκτυο (πλαίσιο) αναφοράς (reference frame) είναι η πρακτική υλοποίηση ενός συστήµατος αναφοράς, µέσω παρατηρήσεων. Αποτελείται από ένα σύνολο πρότυπων σηµείων στον ουρανό, (π.χ. αστέρες) ή στηγη(π.χ. βασικοί σταθµοί) Και περιγράφεται µε ένα ακριβή κατάλογο θέσεων ή κινήσεων, οι οποίες αναφέρονται σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή.

11 ΤΟ ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Για την προσέγγιση του πεδίου βαρύτητας σε παγκόσµια κλίµακα χρησιµοποιείται το γεωκεντρικό σύστηµα συντεταγµένων ΧΥΖ. Αρχή του συστήµατος αυτού είναι το κέντρο µάζας της γης C, για τον ορισµό του οποίου συνυπολογίζονται η ατµόσφαιρα και η υδρόσφαιρα. Ο άξονας Ζ έχει τη διεύθυνση του συµβατικού µέσου (βόρειου) πόλου της γης. Το µέσο ισηµερινό επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα Ζ και περιέχει τους άξονες Χ και Υ. Το επίπεδο ΧΖ δηµιουργείται από το συµβατικό µέσο µεσηµβρινό επίπεδο του Greenwich, το οποίο ορίζεται από το µέσο άξονα περιστροφής της γης και το µηδενικό µεσηµβρινό του Greenwich, στον οποίο αναφέρεται ο παγκόσµιος χρόνος. Οι άξονες Ζ και Χ υλοποιούνται έµµεσα µε τη βοήθεια των συντεταγµένων σταθερών σταθµών. Ο άξονας Υ ορίζεται σε τρόπο ώστε να συµπληρώνει µετουςχ και Ζ δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστηµα.

12 Οορισµός του µέσου άξονα περιστροφής της γης και του µέσου µεσηµβρινού επιπέδου επιβάλλονται λόγω της µεταβολής της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής της γης συναρτήσει του χρόνου. Η υλοποίησή τους είναι αντικείµενο της ιεθνούς Υπηρεσίας Περιστροφής της Γης και Συστηµάτων Aναφοράς (International Earth Rotation and Reference Systems Service IERS), η οποία αντικατέστησε πρόσφατα (003) τη ιεθνή Υπηρεσία Περιστροφής της Γης (International Earth Rotation Service IERS), διατηρώντας το ίδιο ακρωνύµιο.

13 ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Σφαιρική προσέγγιση Σφαιρικές συντεταγµένες ϕ ϑ 0 = 90 ϕ γεωκεντρικό πλάτος (r, θ, λ) b tanϕ = a tanϕ φ ελλειψοειές γεωγραφικό πλάτος ιανυσµατική ακτίνα θέσης r X sinϑ cos λ = Y = r sinϑ sin λ Z cos λ

14 ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Ακρίβεια: Μέχρι το 1980 µε ανάλυση των τροχιών των δορυφόρων και αστρονοµικό προσδιορισµό της απόκλισης της κατακορύφου ο προσανατολισµός του γεωκεντρικού συστήµατος είχε πραγµατοποιηθεί µε ακρίβεια της τάξης του ±0.5 m για τη θέση του κέντρου µάζας και ±0.03 arcsec για τις διευθύνσεις των αξόνων. Σύγχρονες διαστηµικές τεχνικές και ο προσανατολισµός σε σχέση µε εξωγαλαξιακές ραδιοπηγές έχουν βελτιώσει την ακρίβεια προσδιορισµού του συστήµατος κατά τάξη µεγέθους.

15 ΤΟΠΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Για την περιγραφή της γεωµετρίας του τοπικού πεδίου και για υπολογισµούς σε περιορισµένες περιοχές χρησιµοποιείται το τοπικό σύστηµα αναφοράς Άξονας z συµπίπτει µε διεύθυνση κατακορύφου (κατευθύνεται στο ναδίρ / διεύθυνση διανύσµατος g της βαρύτητας) x, y τοπικό σύστηµα, x κατευθύνεται στο βορρά (αστρονοµικός µεσηµβρινός) και y στην ανατολή Φ αστρονοµικό πλάτος Λ αστρονοµικό µήκος Α αστρονοµικό αζιµούθιο Γεωδαιτικής Αστρονοµίας Ακρίβειες 0.1 1

16 TO ΙΑΝΥΣΜΑ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ g r g X sinϑ cos λ = Y = r sinϑ sin λ Z cos λ cos Φ cos Λ = gn= g cos Φsin Λ sin Φ n το µοναδιαίο διάνυσµα της εξωτερικής καθέτου

17 ΝΕΥΤΩΝΕΙΟ ΠΕ ΙΟ ΕΛΞΗΣ F = G m m 1 l l l l = ( x ξ ) + ( y η) + ( z ζ) Παγκόσµια σταθερά έλξης ( ) ± m kg G= sec ύναµη µεταξύ δύο σηµειακών µαζών 1 g, που απέχουν 1 cm είναι dyn

18 ΝΕΥΤΩΝΕΙΟ ΠΕ ΙΟ ΕΛΞΗΣ Η µία από τις ελκόµενες µάζες µοναδιαία b είναι η δύναµη (επιτάχυνση) που ασκεί η µάζα m στη µονάδα της µάζας που βρίσκεται σε οποιοδήποτε σηµείο απέχει απόσταση l b m l = G l l

19 ΗΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΤΗΣΓΗΣ φυγόκεντρη δύναµη z = ω p p = p = (x + y ) g = b + z Στον ισηµερινό η µέγιστη τιµή: z max = ω R = 3.4 gal g equ = gal Στους πόλους z = 0 g pole = 983. gal

20 ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ F = mg g = g Επιτάχυνση βαρύτητας Επιτάχυνση ελκτικών µαζών g b g = b+ z Φυγόκεντρη επιτάχυνση ύναµη της βαρύτητας Ένταση της βαρύτητας z F= mg g = g (µέτρο διανύσµατος, διεύθυνση της κατακορύφου) )

21 ΜΟΝΑ ΕΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΙΕΘΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ (SYSTEME INTERNATIONALE - SI) ιεθνής Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής (International Association of Geodesy and Geophysics) ms µονάδα µέτρησης της βαρύτητας 1 6 µ ms = 10 ms 1nms 9 = 10 ms 1 Gal = 1cms Galileo mgal = 10 ms SI 1µ Gal = 10 ms

22 ΠΕ ΙΟ ΕΛΚΤΙΚΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ b( r) G υ r r r r = ' 3 ' dm r διανυσµατική ακτίνα θέσης ελκόµενου σηµείου r διανυσµατική ακτίνα θέσης έλκοντος σηµείου µάζες dm = ρdυ

23 ΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΚΤΙΚΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ Πεδίο των ελκτικών δυνάµεων είναι συντηρητικό Ι b = 0 Συνάρτηση δυναµικού V(r) b = V lim V = 0 r όπου δεν υπάρχουν µάζες δεν υπάρχει δυναµικό µονάδα δυναµικού m s

24 ΥΝΑΜΙΚΟ ΦΥΓΟΚΕΝΤΡΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ Ανάλογες σχέσεις για το φυγόκεντρο δυναµικό z = 0 φυγόκεντρο φυγόκεντρο πεδίο, συντηρητικό πεδίο z = Φ φυγόκεντρο δυναµικό limφ = 0 r 0

25 ΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΚΤΙΚΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ V ( r) = G υ ρ( r') dυ r' r Η συνάρτηση της πυκνότητας δεν είναι γνωστή, εποµένως η γνώση του πεδίου βαρύτητας προϋποθέτει µετρήσεις

26 ΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΤΗΣ ΓΗΣ V = GM R για σηµεία επί της σφαιρικής Γης (ακτίνας R) V = GM r για σηµεία εκτός της σφαιρικής Γης (r r > R) GM = m s 1 3 Για R=6371 km V 7 = m s b = 9.8 ms Φ( r ) ω = p φυγόκεντρο δυναµικό

27 ΥΝΑΜΙΚΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ W ( r ) = V( r ) + Φ( W W W g= W = i+ j+ k X Y Z r ) ( W, W W ) T g = X Y, Z W X = W / X, W = W / Y, W = W / Z Y Z g = W = 0 W = W,W = W,W = XY YX XZ ZX YZ W ZY W XY = W / X Y...

28 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ Έννοια της συνοριακής επιφάνειας Θεώρηµα Gauss S V n S ds = υ Vdυ

29 ΙΑΦΟΡΙΚΟΙ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ M S = ρ( r' ) d υ S υ V = 4πGM n Θεωρία δυναµικού V = 4πGρ( r' ) Εξίσωση Poisson, ισχύει για το εσωτερικό των µαζών (εσωτερικό συνοριακής επιφάνειας) V = 0 = V = V X + V Y + V Z Εξίσωση Laplace (για το χώρο εκτός των µαζών)

30 ΓΗΙΝΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΕΛΞΗΣ Εξίσωση Laplace Εξίσωση Poisson Στοχώροέξωαπότιςέλκουσεςµάζες Εξίσωση Laplace: V V V x y z V = V = + + = 0 Μέσα στις έλκουσες µάζες Εξίσωση Poisson: V V V = = + + = x y z V V 4π G ρ

31 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΛΚΤΙΚΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΤΟΥ Στο χώρο εκτός των µαζών το V και οι παράγωγοι 1 ης και ης τάξης είναι πεπερασµένες και συνεχείς συναρτήσεις Το δυναµικό σύµφωνα µε την εξίσωση του Laplace είναι αρµονική συνάρτηση και εποµένως µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά: Μέσα στις µάζες το V καιοιπαράγωγοι1 ης τάξης είναι συνεχείς συναρτήσεις. Κάποιες από τις παραγώγους ης τάξης παρουσιάζουν ασυνέχειες λόγω απότοµων µεταβολών της πυκνότητας λόγωτηςδιαφορικήςεξίσωσηςτουpoisson Επάνω στη συνοριακή επιφάνεια το V και οι παράγωγοι 1ης τάξης είναι συνεχείς και πεπερασµένες συναρτήσεις. Οι παράγωγοι δεύτερης τάξης παρουσιάζουν ασυνέχεια λόγωτηςδιαφορικήςεξίσωσηςτουpoisson

32 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Ισοδυναµικές γραµµές και κατακόρυφοι dw = g dr = gdr cos( g, dr) W ( r) = σταθερό ισοδυναµικές ή χωροσταθµικές επιφάνειες dw = g dr = gdr cos( g, dr) dw = 0 µεταβολή θέσης και δυναµικό παραγωγή έργου επιφάνεια ισορροπίας µηδενικό έργο

33 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Οι κατακόρυφες τέµνουν κάθετα τις ισοδυναµικές γραµµές Όταν dr συµπίπτει µε την κατακόρυφο (εξωτερική κάθετος n της επιφάνειας) cos(g,dr)= )=-1 και εποµένως dw=-gdn Αύξηση της τιµής της βαρύτητας σύγκλιση ισοδυναµικών γραµµών (οι ισοδυναµικές γραµµές δεν είναι παράλληλες) Η ισοδυναµική επιφάνεια που προσεγγίζει βέλτιστα τη µέση στάθµη της θάλασσας καλείται γεωειδές

34 ΒΑΘΜΙ ΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Βαθµίδες βαρύτητας WXX WXY WXZ g = ( W) = WYX WYY WYZ WZX WZY W ZZ ( W, W W ) T T g = gn = X Y, W X = W / X... Z WXX WXY WXZ g = ( W) = WYX WYY WYZ WZX WZY W ZZ τανυστής βαθµίδων βαρύτητας (τανυστής Εotvos) ) W XX + W + W = 4πGρ + ω YY ZZ

35 ΒΑΘΜΙ ΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Βαθµίδες της βαρύτητας (gravity gradients) W ZS g = b+ z T ( g ) = ( W, W, W ) ZX ZY ZZ Οριζόντια βαθµίδα (οριζόντιο επίπδο) ZS ( W W ) 1/ W = + ZX ZY διεύθυνση µεταβολής της βαρύτητας προσδιορίζει την καµπυλότητα της κατακορύφου που διέρχεται από το Ρ A ( W ) ZS = W arctan W ZY ZX

36 ΒΑΘΜΙ ΕΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ W ZS W ZZ κάθετη συνιστώσα χρήσιµη για την αναγωγή και ερµηνεία των δεδοµένων βαρύτητας W g = = = G XX YY Z Z ( W + W ) 4π ρ + ω µέση καµπυλότητα των ισοδυναµικών επιφανειών 1 J = ( W XX + W YY ) g

37 ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Βέλτιστες προσεγγίσεις του πραγµατικού πεδίου βαρύτητας Τοπικά µοντέλα επίπεδες προσεγγίσεις Παγκόσµια ή σφαιρικά µοντέλα αναπτύγµατα σφαιρικών αρµονικών συναρτήσεων βαθµού m. H χωροσταθµική επιφάνεια χωροσταθµικό σφαιροειδές (level spheroid) βαθµού m. Εφαρµογέςφαρµογές στη γεωδαισία, γεωδυναµική, γεωεπιστήµες γενικότερα, πλοήγηση, ) Το κανονικό πεδίο πρέπει να προσεγγίζει το πραγµατικό µε τέτοιο τρόπο ώστε οι διαφορές να ερµηνεύονται µε γραµµικές σχέσεις Το κανονικό πεδίο (µοντέλο) πρέπει να είναι συµβατό µε ένα µοντέλο κατανοµής πυκνοτήτων στο εσωτερικό της Γης (γεωφυσικές ερµηνείες)

38 ΤΟ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΙΚΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΕΣ Ελλειψοειδές εκ περιστροφής, µάζα Μ (µοντέλο Γης) γωνιακή ταχύτητα ω (ισοδυναµική επιφάνεια πεδίου βαρύτητας, συµµετρία ως προς άξονα Ζ) Επιπλάτυνση f = a b a Εξωτερικό πεδίο βαρύτητας ορίζεται µε 4 γραµµικά ανεξάρτητες παραµέτρους π.χ. a, f, M, ω (δύο γεωµετρικές και δύο φυσικές ) και περιγράφεται µε το κανονικό δυναµικό U(r)

39 ΤΟ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΙΚΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΕΣ ΣΦΑΙΡΟ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Σφαιροδυναµικές επιφάνειες κανονική βαρύτητα Σφαιροδυναµικές επιφάνειες U(r) ) = σταθερό Είναι αντίστοιχες µε τις ισοδυναµικές (δεν είναι ελλειψοειδή) Ελλειψοειδές είναι µόνο το χωροσταθµικό ελλειψοειδές Για το ελλειψοειδές µόνη αναγκαία υπόθεση η κατανοµή κατά στρώµατα της πυκνότητας (αύξηση από την επιφάνεια προς το κέντρο) U(r) ) = Uo γεωφυσική ερµηνεία

40 ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ φ = ελλειψοειδές γεωγραφικό πλάτος λ = ελλειψοειδές γεωγραφικό µήκος h= ελλειψοειδές ύψος b tanϕ = a tanϕ

41 ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΟΥΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Κύριες ακτίνες καµπυλότητας Μεσηµβρινή M = a( 1 e ) ( 1 e sin ϕ) 3 / Της πρώτης κάθετης τοµής N = a ( 1 e sin ϕ ) 1/ γραµµική εκκεντρότητα e = a b a

42 ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΕΛΛΕΙΨΟΕΙ ΟΥΣ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ επαναλήψεις h<<n r X ( N + h)cosϕ cosλ = Y ( N h)cosϕ sinλ = + Z ( 1 e ) N + h sinϕ Z N ϕ = arctan 1 e X + Y N + h λ = arctan Y X X + Y h= N cosϕ 1 επί του ελλειψοειδούς (h=0) ( 1 sin ) r = a f ϕ

43 ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ κανονική βαρύτητα (µοντέλο) γ βαρύτητα ( πραγµατική ) = U g = W κανονική βαρύτητα επί ελλειψοειδούς τύπος Somigliana γ 0 = aγ e cos a cos ϕ + bγ P sin ϕ + bsin ϕ ϕ γ e = a GM me 1 m ' 0 ( 1 f ) 6 q0 ' q ' ' GM me q γ = + 0 P 1 a 3 q0

44 q 0 = m = ω ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ άλλες σχέσεις a e 3 3 ' arctan e 1 f GM ' 3 e ' ' 1 1 ' q arctan 1 ' = + ' e e e γ a γ b 3GM + = ω a b a b Θεώρηµα Pizzeti ω a 3(1 + e )(1 e arctan e) f + β = + e + e γ ' ' 1 ' 1 ' 1/ ' (1 ) 1 ' ' ' 1 a (1 + 3 e ) arctan e 3e Θεώρηµα Clairaut

45 ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕ ΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ άλλες σχέσεις ε = a b γραµµική εκκεντρότητα e' = ε b δεύτερη αριθµητική εκκεντρότητα f = a b a γεωµετρική πλάτυνση β = γ p γ γ e e βαρυτική πλάτυνση

46 ΤΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ U ω = n GM a 1 J npn r r n= r J = n άρτιος n C n,0 ( cosϑ) + sin θ συγκλίνει γρήγορα, όροι για n>6 παραλείπονται στο ανάπτυγµα n= P ( cos θ) n= 3 cos = θ 1 U = GM r a 3 1 ω 1 J cos θ + r r GM 3 sin θ J δυναµικός συντελεστής µορφής της Γης

47 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ γ T T = γ n = ( U, U, U ) X Y Z U U U XX XY XZ γ = ( U) = U U U YX YY YZ U U U ZX ZY ZZ κάθετη συνιστώσα της βαθµίδας της κανονικής βαρύτητας γ 0 γβ e U = = sin ϕ, U = 0. ZX ZY X M γ0 γ0 U =, U =, U = 0 XX YY XY M N 1 1 U = γ0 ω ZZ + M N

48 ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΝΩ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ h γ h 1 γ γ ϕ h (, ) = γ h 0 h 0 σε ύψος h γ 0 από τύπο Somigliana γ = γj0 ω, J0 = h M N µέση καµπυλότητα του ελλειψοειδούς

49 ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ιεθνής Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής ιεθνής τύπος βαρύτητας του Cassinis 1930 (Στοκχόλµη( Στοκχόλµη) Ελλειψοειδές Hayford α = m f=1/97.0f Tύπος κανονικής βαρύτητας του Cassinis 1930 γ ( sin ϕ sin ϕ) ms 0 = a, f, γ e, ω ιεθνές σύστηµα αναφοράς 1930

50 ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς 1967 Geodetic Reference System 1967 GRS67 (Λουκέρνη) a 9 3 = m, GM = m s, J = ω = rads 1 γ ( sin ϕ sin ϕ) ms 0 =

51 ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς 1980 Geodetic Reference System 1980 GRS80 (Καµπέρα) a = m, GM = m s, J = , ω = rad s γ 0 = sin ( sin ϕ) ϕ 1/ ms