Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της ορµής πρέπει:

Transcript

1 Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο διατήρησης της ορµής πρέπει: Να γνωρίζει ποιες δυνάµεις λέγονται εσωτερικές και ποιες εξωτερικές ενός συστήµατος σωµάτων. Να γνωρίζει ποιο σύστηµα λέγεται µονωµένο. Να γνωρίζει τι είναι ορµή σώµατος. Να διατυπώνει την Αρχή διατήρησης της ορµής. Να γνωρίζει τον ο Νόµο Νέυτωνα στην γενικευµένη του µορφή. Να γνωρίζει τι είναι κρούση. Να εφαρµόζει την Α..Ο. στην κίνηση πυραύλων. Να υπολογίζει τις δυνάµεις που αναπτύσσονται κατά την κρούση δύο σωµάτων.

2 9. ιατήρηση της ορµής Τύποι - Βασικές έννοιες Τυπολόγιο 5ου Κεφαλαίου ιατήρηση της ορµής Ορµή υλικού σηµείου: p = υ Α..Ο: Αν εξ = τότε pολ( αρχ) = pολ( τελ) ΣF 0 Η δύναµη και η µεταβολή της ορµής: p p F = = t τελ p t αρχ ιατήρηση της ορµής: Τύποι - Βασικές έννοιες Ποιες δυνάµεις ονοµάζονται εσωτερικές και ποιες εξωτερικές; Να αναφερθούν παραδείγµατα. Σε ένα σύστηµα σωµάτων διακρίνουµε δύο είδη δυνάµεων: υνάµεις που ασκούνται µεταξύ των σωµάτων που αποτελούν το σύστηµα και οι οποίες ονοµάζονται εσωτερικές. υνάµεις που προέρχονται από το περιβάλλον, δρουν στα σώµατα του συστή- µατος και οι οποίες ονοµάζονται εξωτερικές. Παράδειγµα 1: ύο σώµατα 1 και που βρίσκονται σε επαφή, αποτελούν ένα σύστηµα. Εσωτερικές: F : δύναµη που ασκεί το σώµα 1 στο σώµα (δράση). F' : δύναµη που ασκεί το σώµα στο σώµα 1 (αντίδραση). Λόγω 3ου Ν. Νεύτωνα: F= F' Εξωτερικές: Τα βάρη B 1, B που ασκεί η Γη στα σώµατα. Οι κάθετες αντιδράσεις N 1, N που ασκεί το έδαφος.

3 Τύποι - Βασικές έννοιες ιατήρηση της ορµής 93. Παράδειγµα : Μαγνήτης έλκει σφαίρα µάζας (εκκρεµές). Για το σύστηµα µαγνήτης - σφαίρα είναι οι δυνάµεις: Εσωτερικές: Για το µαγνήτη, εσωτερική δύναµη είναι η ελκτική δύναµη F που ασκεί η σφαίρα στο µαγνήτη. Για τη σφαίρα, εσωτερική δύναµη είναι η ελκτική δύναµη F' από το µαγνήτη. Εξωτερικές: Η τάση του νήµατος T, τα βάρη των σωµάτων και η αντίδραση που ισορροπεί τον µαγνήτη. Στην ερώτηση αν το βάρος του σώµατος σας είναι δύναµη εσωτερική ή εξωτερική απαντάµε µε µια ερώτηση. - Για ποιο σύστηµα; Ποιο σύστηµα λέγεται µονωµένο; Ένα σύστηµα ονοµάζεται µονωµένο όταν οι εξωτερικές δυνάµεις που δρουν πάνω του έχουν συνισταµένη µηδέν ή αν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις. ώστε τον ορισµός της ορµής p σώµατος. Ορµή p σώµατος: όταν ένα σώµα µάζας κινείται µε ταχύτητα υ λέµε ότι έχει ορµή p. Η ορµή p ενός σώµατος είναι το διανυσµατικό µέγεθος που έχει µέτρο ίσο µε το γινόµενο της µάζας του σώµατος επι το µέτρο της ταχύτητα του υ. p = υ Κατεύθυνση: είναι ίδια µε την κατεύθυνση της ταχύτητας του σώµατος. Μονάδα µέτρησης στο S.I.: 1kg s (ισοδύναµη µε 1N s ) ιατυπώστε την αρχή διατήρησης της ορµής Α..Ο. Αρχή ιατήρησης ορµής: Σε ένα σύστηµα σωµάτων στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις ή αν ασκούνται, έχουν συνισταµένη µηδέν (µονωµένο σύστηµα), η ορµή του διατηρείται σταθερή: p oλ = σταθ. p αρχ = p τελ

4 94. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο ÂÞìá 1 Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Απόδειξη 1 Από το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής να αποδειχτεί ότι η συντισταµένη δύναµη είναι ίση µε το ρυθµό µεταβολής της ορµής. Οι δυνάµεις που ασκούνται στα σώµατα προκαλούν την αλλαγή στην ταχύτητα και στην ορµή τους. Σύµφωνα µε το θεµελιώδη Ν. Μηχανικής: υ ΣF = α ΣF = t υτελ υαρχ υτελ υαρχ ΣF = = t t pτελ p αρχ p ΣF = ΣF = t t Συνεπώς για να αλλάξει η ορµή ενός σώµατος απαιτείται η άσκηση δύναµης. Απόδειξη Ποια είναι η αρχή της κίνησης των πυραύλων; Θεωρούµε τον πύραυλο και τα αέρια που φεύγουν ως µονωµένο σύστηµα. Αρχικά το σύστηµα είναι ακίνητο. Όταν µία µάζα αερίων φεύγει µε ταχύτητα υ α, η ορµή της είναι: p = υ α α α και ο πύραυλος αποκτά ταχύτητα υ π, οπότε η ορµή του είναι: pπ = π υπ αλλά για το µονωµένο σύστηµα πύραυλος - αέρια ισχύει: α pολ = σταθ. pαρχ = pτελ 0 = pα + pπ 0 = α υα + π υπ υπ = υ π α

5 Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 95. Όταν λοιπόν µια µάζα αερίων βγαίνει από τον πύραυλο µε ταχύτητα υ α, o πύραυλος κινείται αντίρροπα µε ταχύτητα που δίνεται από την παραπάνω σχέση. Το αρνητικό πρόσηµο στην ταχύτητα του πυραύλου δείχνει ότι έχει φορά αντίθετη εκείνης της ταχύτητας των αερίων. Απόδειξη 3 Τι γνωρίζετε για την Κρούση δύο σωµάτων; Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής (Α..Ο) γιατί οι δυνάµεις που αναπτύσσονται κατά την διάρκειά της είναι πολύ µεγάλες σε σχέση µε τις δυνάµεις που είχαν ασκηθεί στα σώµατα. Αν δύο σφαίρες µικρών διαστάσεων που κινούνται στην ίδια διεύθυνση, έχουν µάζες 1, και συγκρουστούν τότε θα ασκηθούν πάνω τους δύο αντίθετες δυνά- µεις: υ1 υ F1 = F 1 = t t 1 υ1 = υ p1 = p pτ1 pα1 = ( pτ pα ) pτ1 + pτ = pα1 + pα p = p ολ() τ ολ() α ηλαδή η ορµή του συστήµατος είναι σταθερή. Απόδειξη 4 Να αποδειχθεί ότι η συνολική ορµή ενός µονωµένου συστήµατος σωµάτων διατηρείται σταθερή. Σε δύο σώµατα που αλληλεπιδρούν ασκούνται αντίθετες δυνάµεις άρα: υ1 υ F1 = F 1 = t t 1 υ1 = υ p1 = p pτ1 pα1 = ( pτ pα ) pτ1 + pτ = pα1 + pα p = p ολ() τ ολ() α ηλαδή η ορµή του συστήµατος είναι σταθερή.

6 96. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα ο ÂÞìá ÂÞìá 1 Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. σ.σ : Ερωτήσεις 4, 8, 11, 13, 17, 18, 19 σ.σ : Ασκήσεις 4, 5, 8, 9, 11, 1, 15, 16, 17 Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ σ. 160: Παράδειγµα σ.σ : Ερωτήσεις 1,, 3, 4, 5 σ.σ : Ασκήσεις 4, 6, 8, 9, 10, 11, 1

7 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 97. ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá 1 Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 1. Σε µία πίστα πάγου δύο χορευτές µε µάζες 1 = 60kg και = 50kg, κινούνται µε ταχύτητες υ1 = 3/s και υ η συνολική ορµή τους αν: α. κινούνται µε οµόρροπα β. κινούνται αντίρροπα γ. κινούνται κάθετα = 3,6/s. Να βρεθεί Λύση: α. poλ = p1+ p p1+ p = 1 υ1+ υ = ,6 = 360kg / s p = p + p p = p p = υ υ = ,6 = 0kg / s β. oλ 1 oλ γ. p = p + p p = p p = 180 kg / s oλ 1 oλ 1. Βλήµα µάζας κινείται µε ταχύτητα υ= 5/s και διασπάται σε δύο ίσα κοµµάτια που κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις. Να βρεθούν οι ταχύτητες των δύο κοµµατιών αν η ταχύτητα του ενός κοµµατιού ειναι η µισή της ταχύτητας του άλλου. Λύση: υ1 Γνωρίζουµε ότι υ = () 1 επειδή τα δύο κοµµάτια θα κινηθούν σε κάθετες διευθύνσεις, θα έχουµε: oλ 1 ( ) ( 1 1) ( ) p = p + p υ = υ + υ υ = υ + υ

8 98. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο υ1 υ1 υ υ 1 υ1 υ1 5υ1 υ = + υ = + υ = + υ = υ 16υ υ = υ = υ = /s υ = 4 5/s υ1 Άρα υ = = 5/s. 3. Βλήµα µάζας = 50g κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ= 50/s και σφηνώνεται σε ακίνητο κιβώτιο µάζας M = 950g. α. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά τη κρούση. β. Αν ο συντελεστής της τριβής ολισθήσεως µεταξύ του εδάφους και του κιβωτίου ειναι µ = 0,5 να υπολογίσεται το συνολικό διάστηµα που διανύει το κιβώτιο µετά τη κρούση ώσπου να σταµατήσει. Λύση: α. Ισχύει η Αρχή ιατήρησης της Ορµής οπότε έχουµε: υ υ= ( Μ+ ) V V= V=,5/s Μ+ β. Το σώµα θα εκτελέσει ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µέχρι να σταµατήσει οπότε ισχύον οι σχέσεις: υ= υ αt () 1 1 x = υ0 t αt ( ) Η επιβραδύνουσα δύναµη είναι η Τριβή εποµένως βρίσκουµε την επιβράδυνση T = ( M+ ) α µν= ( Μ+ α ) µμ ( + g ) = ( M+ α ) α = µg α= 5/s Για τη στιγµή που το σώµα σταµατάει η (1) θα γίνει: υ0 0 = υ0 α t t = t = 0,5s α Άρα το συνολικό διάστηµα θα βρεθεί από τη σχέση () αντικαθιστώντας: 1 x =,5/s 0,5s 5/s 0,5 s x = 0,65 0

9 Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Σε σώµα µάζας = 5kg ασκείται οριζόντια δύναµη F. Αν η µεταβολή της ορµής µεταβάλλεται σύµφωνα µε το παρακάτω σχήµα, να βρεθούν: α. Ποιά η ελάχιστη και ποιά η µέγιστη ταχύτητα του σώµατος; β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις υ(t), F(t) και να βρεθεί η συνολική µετατόπιση του σώµατος. Λύση: pin 0kg/s α. υin = 0/s = 5kg = pax 00kg / s υax = 40/s = 5kg = β. Για να κάνουµε τη γραφική παράσταση υ(t) θα πρέπει να υπολογίσουµε τις τιµές των ταχυτήτων τις χρονικές στιγµές 0, 5, 10, 1s. p0 p5 υ0 = 0/s, υ5 40/s = = =, p10 p1 υ10 = = 40/s, υ1 = = 0/s Για την F(t) έχουµε: p 100kg / s Από 0-5s: F = 0N t = 5s = Aπό 5-10s: Από 10-1s: p 0kg / s F = 0N t = 5s = p 00kg / s F= = = 100N t s 5. Πυροβόλο µάζας M = 50kg που ηρεµεί, εκσφενδονίζει βλήµα µάζας = 5kg που εξέρχεται από την κάνη µε οριζόντια ταχύτητα υβ = 500 / s. Να βρεθούν: α. η ταχύτητα ανάκρουσης υ π του πυροβόλου β. τα µέτρα των ορµών του βλήµατος και του πυροβόλου κατά την έξοδο του βλήµατος από το πυροβόλο, και να δικαιολογηθεί η ισότητά τους γ. η µεταβολή του µέτρου της ορµής του βλήµατος κατά την κίνησή του µέσα στην κάνη.

10 100. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο Λύση: α. Ισχύει η Αρχή ιατήρησης της Ορµής υ p = p 0= υ υ υ = υ = 10/s β β αρχ τελ β β π π π π π β. Για το βλήµα: pβ = β υβ = 5kg 500 / s = 500kg / s Για το πυροβόλο: pπ = π υπ = 50kg 10 / s = 500kg / s Όπως καταλαβαίνουµε τα µέτρα των τελικών ορµών είναι ίσα λόγω της αρχής διατήρησης της ορµής. Η αρχική ορµή είναι 0 εποµένως θα πρέπει και η τελική να είναι µηδέν δηλαδή θα πρέπει pπ = pβ. γ. p = pτελ pαρχ = β υβ 0 = 5kg 500 / s = 500kg / s 6. Ένα σώµα µάζας = 0kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ0 = 10/s. Κάποια στιγµή ασκείται στο σώµα σταθερή δύναµη µέτρου F= 0N κατά τη διεύθυνση και φορά της ταχύτητας, για χρονικό διάστηµα t = 8s. Να βρεθούν: α. η µετατόπιση του σώµατος για το χρονικό διάστηµα t β. η µεταβολή της ορµής του σώµατος στο χρονικό διάστηµα t γ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής κατά το χρονικό διάστηµα από 0 έως 8s δ. ο ρυθµός µεταβολής της ορµής της χρονική στιγµή t = 0. Λύση: α. Το σώµα θα εκτελέσει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε αρχική ταχύτητα υ 0 οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις: υ= υ + α t () 1 και 1 F 0N x = υ0 t+ α t ( ) όπου α 1/s = = 0kg =. 1 Άρα η () γίνεται: x = 10/s 8s+ 1/s 8 s x = 11. β. Τη χρονική στιγµή t = 8s η ταχύτητα του σώµατος θα είναι: υ = υ0 + α t = = 18 / s και p = pτελ pαρχ p = υ υ = 0kg 18 / s 0kg 10 / s p = 160kg / s τελ αρχ γ. Το µέτρο της µεταβολής της ορµής θα βρεθεί διανυσµατικά. 0

11 Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 101. ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá 1 Λύνουµε µόνοι µας 1. Κιβώτιο µάζας Μ = 0,5kg τοποθετείται σε τραχεία οριζόντια επιφάνεια. Ο συντελεστής τριβής κιβωτίου - επιφάνειας είναι µ = 0,4. Βλήµα µάζας = 0g εκτοξεύεται µε ταχύτητα υ= 150/s προς το κιβώτιο και ενσω- µατώνεται σ αυτό. Να υπολογιστούν: α. η ταχύτητα µε την οποία θα κινηθεί το κιβώτιο µετά την κρούση β. το διάστηµα που θα διατρέξει το κιβώτιο µέχρι να σταµατήσει.. Ένα βλήµα µάζας 1 = 0,1kg κινείται µε οριζόντια ταχύτητα υ1 = 400/s και διαπερνά ένα κιβώτιο µάζας = kg που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Αν το βλήµα βγαίνει από το κιβώτιο µε ταχύτητα υ = 100/s σε χρόνο t1 = 0,1s. Να βρείτε: ' 1 α. την ταχύτητα που αποκτά το κιβώτιο β. τη µέση οριζόντια δύναµη που ασκεί το βλήµα στο κιβώτιο. 3. Μια βάρκα µήκους l = 6 και µάζας Μ = 10kg είναι ακίνητη στην ήρε- µη επιφάνεια µιας λίµνης. Ένας άνθρωπος µάζας = 60kg, που είναι αρχικά ακίνητος, µετακινείται από το ένα άκρο της βάρκας στο άλλο. Κατά πόσο θα µετακινηθεί η βάρκα κατά τη διάρκεια της µετακίνησης του ανθρώπου; Η αντίσταση του νερού θεωρείται αµελητέα.

12 10. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5 ο ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá 1 Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Θέµα 1 ο 1. Τι έχει µεγαλύτερη ορµή, ένα ακίνητο φορτηγό ή ένα παιδί που τρέχει; ικαιολογήστε την απάντηση σας.. Η ορµή ενός σώµατος είναι µέγεθος..., το µέτρο της υπολογίζεται από την σχέση... και η µονάδα της στο S.I. είναι.... Θέµα ο α. Να διατυπώσετε την αρχή διατήρησης της ορµής. Ισχύει για όλα τα συστή- µατα σωµάτων; β. Επιβεβαιώστε την Α..Ο για δύο σφαίρες την στιγµή που συγκρούονται. Θέµα 3 ο Ένα µπαλάκι του τένις µάζας = 100g που κινείται οριζόντια µε ταχύτητα µέτρου υ 1 = 10/s συγκρούεται µε κατακόρυφο τοίχο και ανακλάται µε οριζόντια ταχύτητα υ = 8/s. α. Να βρείτε τη µεταβολή της ορµής του, λόγω της σύγκρουσης µε τον τοίχο. β. Αν η κρούση διαρκεί t = 0,09s να υπολογίσετε την µέση δύναµη που δέχεται το µπαλάκι από τον τοίχο. (Να την θεωρήσετε σταθερή κατά την διάρκεια της κρούσης). Θέµα 4 ο Ένα σώµα µάζας Μ = 5kg είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήµα µάζας = 50g κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ 1 = 400 / s, διαπερνάει το σώµα και εξέρχεται από αυτό µε ταχύτητα υ = 100 / s. Μετά την κρούση το σώµα ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο και σταµατάει αφού διανύσει διάστηµα s= 4,5. Να υπολογιστούν: α. η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά την κρούση β. ο συντελεστής τριβής µεταξύ σώµατος - επιπέδου. ίνεται g= 10/s