ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι V 86

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 86

2 ΑΣΚΗΣΗ. Ένα κύκλωµα RC αποτελείται από µια αντίσταση R 5Ω και έναν πυκνωτή χωρητικότητας C σε σειρά. Αν το ρεύµα προηγείται της τάσης κατά 6 ο και η κυκλική συχνότητα της πηγής είναι ω rad/s να βρεθεί η τιµή C. R 5Ω C -Xc Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος είναι φ. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι η φάση της σύνθετης αντίστασης ισούται µε τη διαφορά των φάσεων των διανυσµάτων τάσης και ρεύµατος. Υπολογίζουµε στη συνέχεια τη φάση της σύνθετης αντίστασης. R ωc tanφ ωc R R ωc ωrc tan ( 6 ), 7 Το πρόσηµο (-) σηµαίνει ότι το ρεύµα προηγείται της τάσης. Λύνοντας ως προς τη χωρητικότητα έχουµε C 8,5 F.,7xω R µ 87

3 ΑΣΚΗΣΗ. Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος τόσο σε πολική όσο και σε ορθογώνια µορφή. L H R Ω C,5F Η σύνθετη αντίσταση εισόδου µπορεί να γραφεί µε απλή επισκόπηση του κυκλώµατος. in R ωl ωc R ωl //( R ωl). ω C ( R ωl ω LC) ω RC ωc Αντικαθιστώντας τις τιµές των στοιχείων in ( 5 )(,5,5) (,5) (,5) 5,5,69Ω.,5,5 Η παραπάνω µορφή είναι η ορθογώνια µορφή. Η πολική µορφή βρίσκεται υπολογίζοντας το µέτρο και τη φάση. in φ tan (,5) (,69),69 8,5,9Ω Εποµένως η πολική µορφή της αντίστασης είναι in,9 8 Ω. 88

4 ΑΣΚΗΣΗ. Να επιλυθεί το παρακάτω κύκλωµα µε τη µέθοδο των απλών βρόχων. Οι πηγές τάσης έχουν την έκφραση: και. R Ω C - Ι Ι L 5 R Ω R 5Ω R Ω C - Ι R5 Ω Ορίζουµε ρεύµατα σε κάθε απλό βρόχο µε δεξιόστροφη φορά. Οι εξισώσεις βρόχων γράφονται. ( ) 5( ) 5( ) 5( ) ( )( ) 5( ) ( )( ) Κάνοντας αναγωγή όµοιων όρων ( 8 ) ( ) ( ) 5 ( ) ( 8 ) Οι εξισώσεις βρόχων γράφονται στη συνέχεια µε τη µορφή πινάκων Ο πίνακας είναι φυσικά συµµετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο. Για να υπολογίσουµε τα διανύσµατα των ρευµάτων χρειάζεται να υπολογίσουµε 89

5 πρώτα τις ορίζουσες ο,,, και. Στην περίπτωση αυτή οι πηγές και είναι προτιµότερο να αντικατασταθούν µε την ορθογώνια έκφραση τους. 8, , , , Τα ρεύµατα των βρόχων δίνονται από τις σχέσεις ,,7 7,6 A. A. A. Τέλος οι εκφράσεις των ρευµάτων στο πεδίο του χρόνου είναι i i i { },88cs( ωt ) { },5cs( ωt 7 ) { },6 cs( ωt ) ( t) Re, ( ωt e ) ( t) Re,7 ( ωt 7 e ) ( t) Re,6 ( ωt e ) όπου πολλαπλασιάσαµε µε πλάτος. για να πάµε από την ενεργό τιµή στο 9

6 ΑΣΚΗΣΗ. Για το παρακάτω κύκλωµα να γραφούν οι εξισώσεις κόµβων. Στη συνέχεια να επιλυθούν ως προς τα δυναµικά των κόµβων και να υπολογιστεί το ρεύµα στο πηνίο. Ι C / R Ω Ι Ι R Ω Ι Ι 5 Ι 6 R Ω L R Ω deg s Αριθµούµε τους κόµβους του κυκλώµατος και ορίζουµε ένα κόµβο αναφοράς (κόµβος ). Γράφουµε τις εξισώσεις όλων των κόµβων εκτός του κόµβου αναφοράς. Ας σηµειωθεί ότι η αρίθµηση των ρευµάτων κλάδων και η φορά τους εκλέγεται αυθαίρετα. Αντικαθιστούµε κάθε ρεύµα ως συνάρτηση των δυναµικών των κόµβων. / / Κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων 5 6 9

7 9 ( ) ( ) ( ) / Γράφουµε τις εξισώσεις κόµβων µε τη µορφή πινάκων.,5 Υπολογίζουµε τις ορίζουσες ο,,, και ,7 8, 8,5,5 5 8, ,5 5 8,7 58,5,5 Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τα δυναµικά κόµβων. lt lt lt 55,, 6, Το ρεύµα στο πηνίο είναι.,5 9, 5 A

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9

9 ΑΣΚΗΣΗ 5. Για το παρακάτω κύκλωµα να υπολογιστούν η µιγαδική, η φαινόµενη, η ενεργός και άεργος ισχύς, καθώς και ο συντελεστής ισχύος. R Ω deg s Ι L 5Ω Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος ισούται µε 5 5 5,Ω, φ tan 6,6 Μετατρέπουµε την αντίσταση στην πολική µορφή Ζ, 6,6 ο. Το ρεύµα Ι θα είναι., 6,6,896,6 A. Η µιγαδική ισχύς µπορεί να υπολογιστεί ως S,89 6,6 8,9 6,6 A. Η φαινόµενη ισχύς είναι το µέτρο της µιγαδικής ισχύος, δηλαδή είναι S 8,9A. Μετατρέπω τη µιγαδική ισχύ σε ορθογώνια µορφή. S 7,96,99 P Q. Είναι φανερό ότι η ενεργός ισχύς ισούται µε P 7,96W, ενώ η άεργος ισχύς µε Q,99AR. Τέλος ο συντελεστής ισχύς θα είναι P 7,96 cs φ,89. S 8,96 Ο συντελεστής ισχύος είναι επαγωγικός. 9

10 ΑΣΚΗΣΗ 5. Η ενεργός ισχύς στο φορτίο είναι 5kW και ο συντελεστής ισχύος,77 επαγωγικός. Προσδιορίστε την τιµή της χωρητικότητας C ώστε ο συντελεστής ισχύος να είναι α),866 επαγωγικός, β) ίσος µε, γ),866 χωρητικός (ω fad/s). C deg s L α) Είναι csφ,77 φ cs α csφ,866 φ cs τ α τ (,77) 5 tanϕα. (,866) tanϕ,577. Με απευθείας αντικατάσταση στη σχέση διόρθωσης του csφ έχουµε P tan 5x C α τ µ ω x ( φ tanϕ ) (,577) 678. F τ β) Είναι Εποµένως csφ φ cs τ τ ( ) tanϕ τ P tan 5x C α τ µ ω x ( φ tanϕ ) ( ) F γ) Στην περίπτωση που ο συντελεστής ισχύος είναι χωρητικός το πρόσηµο (-) στη σχέση διόρθωσης πρέπει να γίνει από (), δηλαδή P tan 5x C τ ω x ( φ α tanϕ ) (,577),6. F 95

11 ΑΣΚΗΣΗ 5. Κάθε µονοφασικό φορτίο του σχήµατος είναι Ω. Να υπολογιστούν τα φασικά ρεύµατα και τα ρεύµατα γραµµής. A Α C C Β B Η πολική έκφραση του φορτίου είναι Ζ 5,66 5 ο Ω. Τα φασικά ρεύµατα είναι AB BC CA 5,66 5 5,66 5 5,66 5 8,87 5 A 8, ,87 85 A A Τα ρεύµατα γραµµής είναι A B C 8,875 67,95 67,5 A A. 67,75 A 96

12 ΑΣΚΗΣΗ 5. Ένα τριφασικό φορτίο σε τρίγωνο έχει σε κάθε φάση του αντίσταση Ω και χωρητικότητα µf. Οι τάση γραµµής είναι L rms και η συχνότητα f 5Hz. Να υπολογιστούν τα ρεύµατα γραµµής, η ενεργός άεργος και φαινόµενη ισχύς. Η αντίδραση του πυκνωτή είναι X C ω C 6Ω. 6 π fc 6,8x5xx Εποµένως η σύνθετη αντίσταση κάθε φάσης θα είναι ίση µε R X C 6 5, Ω. Το ρεύµα φάσης θα έχει µέτρο L p A. οπότε το µέτρο του ρεύµατος γραµµής προκύπτει ως L p 9A. Με βάση τα παραπάνω βρίσκουµε Ενεργός ισχύς: P L L csφ xx9x cs( 5, ) 65W. Άεργος ισχύς: Q sinφ xx9x sin( 5, ) 588AR. L L L L xx9 76A Φαινόµενη ισχύς: S. 97