1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC

Transcript

1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρθρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων ystems and omputer rchitecture a

2 Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές Σήματος Στην ηλεκτρονική μας ενδιαφέρουν πηγές που παράγουν χρονικά εξαρτημένες τάσεις και ρεύματα. Μια σημαντική κατηγορία είναι οι πηγές περιοδικών σημάτων και πιο ειδικά οι ημιτονοειδής πηγές. Τα ημιτονοειδή σήματα χαρακτηρίζονται από την περίοδο Τ (ή ισοδύναμα τη συχνότητα f), το πλάτος Α και τη φάση φ. x(t) cosωt φ f = φυσική συχνότητα = /Τ σε Hertz (Hz) ω = κυκλική συχνότητα = πf σε rad/sec φ = φάση =π Δt/Τ σε rad φ = 36 Δt/Τ σε deg υ(t) i(t) υ(t) ~ συνημίτονο αναφοράς Σύμβολα Χρονικά Εξαρτημένων Πηγών Ημιτονοειδής Πηγή 3 Μέση και M Τιμή Με στόχο την έκφραση της ισχύος μιας χρονικά εξαρτώμενης πηγής σήματοςεισάγουμετιςακόλουθεςέννοιες: Μέση ή D τιμή (averagevalue) x(t) x(t)dt o Ημέσητιμήημιτονικούσήματοςx(t)=cos(ωt) είναι μηδέν. Τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής του τετραγώνου (root mean square M value) xm x (t) dt o Η M τιμή ημιτονικού σήματος x(t)=cos(ωt) είναι Α/=,77Α. 4

3 Φυσική Σημασία της M Τιμής ΗέννοιατηςM τιμήςμιαςχρονικάεξαρτώμενης() πηγής μας βοηθάει να απαντήσουμε στο ερώτημα: Πόση πρέπει να είναι η τιμή του ρεύματος (ενεργός τιμή eff ) μιας D πηγής ώστε η μέση τιμή της ισχύος που καταναλώνεται σε μια αντίσταση να είναι ίση με τη μέση ισχύ η οποία καταναλώνεται στην ίδια αντίσταση από την χρονικά εξαρτώμενη πηγή; P(t) i ac (t)dt eff eff iac (t)dt Η M ή ενεργός τιμή μιας χρονικά εξαρτώμενης () πηγής είναι η σταθερή (D) τιμή που προκαλεί την ίδια μέση κατανάλωση ισχύος σε μια αντίσταση μεαυτή που προκαλεί η πηγή. M eff eff υ ac (t) ~ i ac (t) 5 Μιγαδική Άλγεβρα Ι Για τη διαχείριση των φανταστικών αριθμών χρησιμοποιείται το στοιχείο j με την ακόλουθη ιδιότητα: j ή j Ισχύει: j j, j, j j κ.λ.π. Ένας μιγαδικός αριθμός είναι μια έκφραση της μορφής Α = αjβ και αποτελείται από το πραγματικό μέρος α και το φανταστικό μέρος β. jβ m α jβ rθ r θ e α α e e(α jβ) και β m m(α jβ) Από την αναπαράσταση στο μιγαδικό επίπεδο διαπιστώνουμε ότι: r α β και α r cosθ και θ tan β α β r sinθ 6 3

4 Μιγαδική Άλγεβρα ΙΙ Με βάση την προηγούμενη ανάλυση, ισχύει: α jβ r cosθ jr sinθ r cosθ jsinθ rθ πολική μορφή Οαριθμός r καλείται λί μέτρο (ή πλάτος) ) και ο αριθμός θ καλείται λί γωνία (ή όρισμα) και συμβολίζονται ως: r α jβ και θ arg α jβ jβ m α jβ rθ r θ e α Ο συζυγήςμιγαδικός του Α = αjβ είναι: Α * α jβ * Ισχύει: Α α jβ α jβ α β 7 Ταυτότητα του Euler Η ταυτότητα του Euler ορίζει το μιγαδικό εκθετικό ως ακολούθως: sinθi θ m j e jθ cosθ jsinθ Το πλάτος (μέτρο) για το μιγαδικό εκθετικό είναι: jθ e θ cosθ j e e jθ cosθ jsinθ cos θ sin θ Η γωνία (όρισμα) για το μιγαδικό εκθετικό είναι: jθ jθ e arg e θ Συνεπώς ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως: jθ α jβ rcosθ jsinθ r e rθ 8 4

5 Πράξεις Μιγαδικών Αριθμών Πρόσθεση και αφαίρεση μιγαδικών αριθμών Α και Α : α α jβ ( α jβ) (α jβ) β α α jβ ( α jβ) (α jβ) β Πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών Α και Α : jθ jφ j θφ r e r e r r e r r θ φ ( α jβ) (α jβ) Διαίρεση μιγαδικών αριθμών Α και Α : r r (α jβ) e r r e jφ (α jβ ) e r r jθ jθφ θ φ 9 Φάσορες Ι Χρησιμοποιούμε την αναπαράσταση των ημιτονοειδών σημάτων με μιγαδικούς αριθμούς, ώστε στην ανάλυση κυκλωμάτων με πυκνωτές και πηνία να μην απαιτείται η επίλυση διαφορικών εξισώσεων! Με βάση την ταυτότητα του Euler ένα ημιτονοειδές σήμα μπορεί να γραφεί ως ακολούθως: cos(ωt θ) e j ωtθ jωt jθ e ee e καθώς ισχύει: e jωtθ e ecos(ωt θ) jsin(ωt θ) cos(ωt θ) Ο μιγαδικός φάσορας (complex phasor) που αντιστοιχεί στο ημιτονοειδές σήμα ορίζεται ως ο μιγαδικός αριθμός e jθ, δηλ.: e jθ cos(ωt θ) θ 5

6 Φάσορες ΙΙ Συνεπώς, ένα ημιτονοειδές σήμα παριστάνεται με δύο τρόπους: στη μορφή της αναπαράστασης χρόνου (time domain form) π.χ. υ(t) cos(ωt θ) e j ωtθ jωt jθ e e e e στη μορφή της περιοχής συχνοτήτων (frequency domain) π.χ. (jω) e θ Προσοχή: στην αναπαράσταση στη μορφή της περιοχής συχνοτήτων (ή φασόρων) ) οόρος e jωt υπονοείται! jθ e jθ cos(ωt θ) θ Υπέρθεση Σημάτων Στο κύκλωμα του σχήματος, δύο ημιτονοειδείς πηγές ρεύματος σε παράλληλη συνδεσμολογία οδηγούν ένα φορτίο. Ισχύει στο πεδίο του χρόνου: i(t) cos(ωt θ) i(t) cos(ωt θ) και στο πεδίο των συχνοτήτων: K i (t) i (t) i (t) cos(ω t θ ) cos(ω t θ ) i jθ jω t j θ e e jθ jω t j e e θ (jω) e e (jω) e e (jω) (jω) (jω) e i (t) e jθ jθ i (t) i (t) Φορτίο 6

7 Σύνθετη Αντίσταση Εμπέδηση Οι αντιστάσεις, οι πυκνωτές και τα πηνία στα κυκλώματα μπορούν να περιγραφούν κάτω από το πρίσμα των φασόρων ως μια μιγαδική αντίσταση που ονομάζεται σύνθετη αντίσταση ή εμπέδηση (impedance). Ηέννοιατης σύνθετης αντίστασης δηλώνει τη συμπεριφορά ρ των πυκνωτών και των πηνίων ως αντιστάσεις των οποίων η τιμή εξαρτάται από τη συχνότητα της ημιτονοειδούς διέγερσης. Η σύνθετη αντίσταση δεν είναι φάσορας είναι ένας απλός μιγαδικός αριθμός. Υπό αυτή την θεώρηση, τα θεωρήματα και οι τεχνικές που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη ενότητα για δίκτυα αντιστάσεων επεκτείνονται και στα δίκτυα. i (t) () υ (t) cos(ωt) (jω) υ (t) ~ υ (t) ή υ (t) ή υ (t) (jω) ~ (jω) 3 Αντίσταση m Αντίσταση Πυκνωτής Πηνίο υ(t) i(t) cos(ωt) e (jω) (jω) (jω) (jω) (jω) Σύνθετη Αντίσταση Ωμικής Αντίστασης Πυκνωτής m π/ dυ(t) d i (t) cos(ωt) dt dt π ωsin(ωt) ωcosωt e (jω) π (jω) ω (jω) (jω) (jω) jω Σύνθετη Αντίσταση Πυκνωτή Πηνίο m di (t) υ (t) i(t) υ (t)dt dt i (t) cos(ωt)dt sin(ωt) ω π/ e ω π cosωt (jω) (jω) ω π (jω) (jω) jω (jω) Σύνθετη Αντίσταση Πηνίου Ισχύει: j j 4 7

8 m jω π/ π/ j ω e Άεργη Αντίσταση jω j π ω ω Η έννοια της σύνθετης αντίστασης καθίσταται χρήσιμη στην επίλυση προβλημάτων σε κυκλώματα καθώς διευκολύνει την εφαρμογή των θεωρημάτων (τεχνικών) που παρουσιάστηκαν για κυκλώματα D με τη διαχείριση των κυκλωματικών στοιχείων ως σύνθετες αντιστάσεις. Στη γενική μορφή η σύνθετη αντίσταση ενός στοιχείου κυκλώματος εκφράζεται ως το άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού μέρους: Ισχύει : π jω ω j j (jω) (ωt) jx(ωt) Η ποσότητα ονομάζεται αντίσταση ενώ η Χ ονομάζεται άεργη αντίσταση (reactance). 5 Παράδειγμα: Σύνθετη Αντίσταση Ι Πρόβλημα: Να βρεθούν οι σύνθετες αντιστάσεις μη ιδανικού πυκνωτή και πηνίου. Λύση: jω (jω) // jω jω jω Μη ιδανικός πυκνωτής (jω) jω Μη ιδανικό πηνίο end 6 8

9 Παράδειγμα: Σύνθετη Αντίσταση ΙΙ Πρόβλημα: Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του σύνθετου κυκλώματος, όταν ω= 4 rad/s, =Ω,=μF και =mh. Λύση: j = jω jω (jω) // jω jω jω jω ω oλ (jω) jω jω (jω) jω ω oλ (jω).9 j9.38 Επαγωγική σύνθετη αντίσταση end 7 Σύνθετη Αγωγιμότητα Η σύνθετη αγωγιμότητα (admittance) Υ ορίζεται ως το αντίστροφο της σύνθετης αντίστασης. Όταν Ζ= τότε η σύνθετη αγωγιμότητα ισούται με την αγωγιμότητα G(Y=G). Στη γενική περίπτωση ισχύει: Y = G jb όπου ποσότητα Β ονομάζεται επιδεκτικότητα (susceptance). jx Y jx jx jx Y jx jx X Y Συνεπώς: G X X j X X και B X X 8 9

10 Παράδειγμα: Σύνθετη Αγωγιμότητα Πρόβλημα: Να βρεθούν οι σύνθετες αγωγιμότητες μη ιδανικού πυκνωτή και πηνίου. Λύση: (jω) jω Y (jω) jω jω Μη ιδανικός πυκνωτής Μη ιδανικό πηνίο (jω) jω jω Y(jω) jω ω end 9 Ισοδύναμα Κυκλώματα Ζ Εν σειρά σύνθετες αντιστάσεις Εν σειρά σύνθετες αγωγιμότητες Εν παραλλήλω σύνθετες αντιστάσεις Υ Υ Y Y Εν παραλλήλω σύνθετες αγωγιμότητες Υ Υ Υ Υ

11 Ανάλυση Κυκλωμάτων Η αναπαράσταση των κυκλωμάτων (που περιλαμβάνουν παθητικά στοιχεία,, και διεγείρονται από ημιτονοειδή σήματα) με τη μορφή των φασόρων και της σύνθετης αντίστασης μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε ρ άγνωστες τάσεις και άγνωστα ρεύματα στην περιοχή των συχνοτήτων (ανάλυση ). Στην ανάλυση οι πηγές μετατρέπονται στη μορφή φάσορα και κάθε κυκλωματικό στοιχείο,, σε σύνθετη αντίσταση. Κατά την ανάλυση χρησιμοποιούμε τους νόμους των Ohm και Kirchhoff, τις μεθόδους των κομβικών τάσεων ήτωνρευμάτων απλών βρόχων και τα θεωρήματα hevenin και Norton. Παράδειγμα: Ανάλυση Κόμβων Πρόβλημα: Εκφράστε το ρεύμα της πηγής Ι ως συνάρτηση της συχνότητας με εφαρμογή της μεθόδου ανάλυσης φασόρων στο κύκλωμα, αν τα μεγέθη της πηγής τάσης, των αντιστάσεων και του πυκνωτή είναι γνωστά. i (t) Λύση: Αναπαριστούμε το κύκλωμα με τη μορφή των φασόρων. Εν συνεχεία, εφαρμόζουμε την ανάλυση κομβικών τάσεων. Υπάρχουν τρεις κόμβοι. ~ υ (t) //3 //3 ~ = = 3 jω κόμβος αναφοράς jω jω jω jω

12 ~ Παράδειγμα: Ανάλυση Κόμβων = jω jω jω ω jω jω jω ω = 3 jω κόμβος αναφοράς Ισχύει: (jω) jω ω (jω) end 3 Παράδειγμα: Ανάλυση Απλών Βρόχων Πρόβλημα: Εκφράστε τα ρεύματα Ι (jω) και Ι (jω) ως συνάρτηση της συχνότητας με εφαρμογή της μεθόδου ανάλυσης φασόρων στο κύκλωμα, αν τα μεγέθη της πηγής τάσης, των αντιστάσεων, του πηνίου και του πυκνωτή είναι γνωστά. Λύση: Αναπαριστούμε το κύκλωμα με τη μορφή των φασόρων. Εν συνεχεία, εφαρμόζουμε την ανάλυση απλών βρόχων. Υπάρχουν δύο απλοί βρόχοι. ~ i (t) i (t) υ (t) βρόχος (jω) (jω) (jω) (jω) βρόχος (jω) (jω) (jω) (jω) ~ Ι (jω) (jω) Ι (jω) (jω) (jω) (jω) 4

13 Παράδειγμα: Ανάλυση Απλών Βρόχων Μέθοδος ramer (jω) (jω) (jω) (jω) (jω) (jω) jω ~ Ι (jω) Ι (jω) (jω) jω 5 Παράδειγμα: Ανάλυση Απλών Βρόχων Συνεπώς, με αντικατάσταση των τιμών των σύνθετων αντιστάσεων προκύπτει: jω jω (jω) jω jω jω jω (jω) (jω) jω jω jω jω jω (jω) jω ~ Ι (jω) Ι (jω) (jω) jω end 6 3

14 Θεωρήματα hevenin Norton Τα θεωρήματα hevenin και Norton εφαρμόζονταικαι στα δικτυώματα. Για τον υπολογισμό της ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης κατά hevenin ή Norton σε ένα δίκτυο πραγματοποιούμε τις ίδιες ενέργειες με εκείνες για τα δικτυώματα απλών αντιστάσεων. Συνεπώς, αφαιρούμε το φόρτο, θέτουμε όλες της πηγές του κυκλώματος ίσες με μηδέν και υπολογίζουμε ακολούθως την ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση στα τερματικά άκρα του δικτύου. Οι πηγές τάσης μηδενίζονται βραχυκυκλώνοντας τα άκρα τους (αντικαθίστανται από βραχυκύκλωμα), ενώ οι πηγές ρεύματος μηδενίζονται ανοικτοκυκλώνοντας ένα άκρο τους (αντικαθίστανται από ανοικτοκύκλωμα). Ισχύει ότι Ζ =Ζ N. N 3 // 4 a Αφαιρούμε τη σύνθετη a 3 αντίσταση του 3 φορτίου ~ = N 4 και μηδενίζουμε την πηγή τάσης 4 7 Θεωρήματα hevenin Norton Για τον υπολογισμό του ισοδύναμου κυκλώματος κατά hevenin, ηπηγήτάσης hevenin έχει τιμή ίση με την τάση ανοικτού κυκλώματος στα άκρα όπου συνδέεται το φορτίο (όταν δηλ. το φορτίο έχει αφαιρεθεί). Για τον υπολογισμό του ισοδύναμου κυκλώματος κατά Norton, ηπηγήρεύματος Norton έχει τιμή ίση με το ρεύμα βραχυκυκλώματος μεταξύ των άκρων όπου συνδέεται το φορτίο (όταν δηλ. το φορτίο έχει αντικατασταθεί από ένα βραχυκύκλωμα). //( 3 4 ) //( 3 4 ) O N ( ) ( ) a 3 a ~ O = ~ = N 4 κόμβος αναφοράς 4 8 4

15 Παράδειγμα: Ισοδύναμο hevenin Πρόβλημα: Να βρεθεί το ισοδύναμο κύκλωμα κατά hevenin για το κύκλωμα αριστερά των ακροδεκτών a,, με δεδομένες τις τιμές των μεγεθών υ,,και. Λύση: Εμφανίζουμε μ το κύκλωμα με τη χρήση σύνθετων αντιστάσεων. Αφαιρούμε το φορτίο Ζ και μηδενίζουμε την πηγή τάσης. Ηαντίστασηhevenin θα είναι: // jω jω ω j jω jω ω a a υ ~ ~ κόμβος αναφοράς κόμβος αναφοράς 9 Παράδειγμα: Ισοδύναμο hevenin Για την εύρεση της τάσης hevenin αφαιρούμε το φορτίο Ζ. Το κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα και συνεπώς: Τ = Ισοδύναμο κύκλωμα κατά hevenin a a ~ ~ κόμβος αναφοράς κόμβος αναφοράς end 3 5