R eq = R 1 + R 2 + R 3 = 2Ω + 1Ω + 5Ω = 8Ω. E R eq. I s = = 20V V 1 = IR 1 = (2.5A)(2Ω) = 5V V 3 = IR 3 = (2.5A)(5Ω) = 12.5V

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Απαντήσεις στο 1 0 Homework στην Ανάλυση Κυκλωμάτων Χειμερινό Εξάμηνο Πλέσσας Φώτης 1

2 Πρόβλημα 1 Βρείτε τη συνολική αντίσταση στο κύκλωμα του σχήματος. Υπολογίστε το ρεύμα Ι, και τις τάσεις V 1, V 2, V 3. Υπολογίστε την ισχύ στις R 1, R 2, R 3. Υπολογίστε την ισχύ που δίνει η πηγή και συγκρίνετε με το άθροισμα των ισχύων του προηγούμενου ερωτήματος. 1. R eq = R 1 + R 2 + R 3 = 2Ω + 1Ω + 5Ω = 8Ω I s = E R eq = 20V 8Ω = 2.5A V 1 = IR 1 = (2.5A)(2Ω) = 5V V 2 = IR 2 = (2.5A)(1Ω) = 2.5V V 3 = IR 3 = (2.5A)(5Ω) = 12.5V P 1 = V 1 I 1 = (5V )(2.5A) = 12.5W P 2 = I 2 2 R 2 = (2.5A) 2 (1Ω) = 6.25W P 3 = V 3 2 (12.5V )2 = = 31.25W R 3 5Ω P E = EI = (20V )(2.5A) = 50W P sum = P 1 + P 2 + P 3 = 12.5W W W = 50W Οπως αναμέναμε η συνολική ισχύς που προσφέρει η πηγή ισούται με το άθροισμα των επιμέρους ισχύων, οι οποίες καταναλώνονται στους αντιστάτες(p E = P sum ) 2

3 Πρόβλημα 2 Για το κύκλωμα του σχήματος βρείτε τη V 2, το ρεύμα Ι και τις R 1, R 2 Εφαρμόζοντας το νόμο τάσεων του Kircho ακολουθώντας τη φορά των δεικτών του ρολογιού προκύπτει: E + V 3 + V 2 + V 1 = 0 E = V 1 + V 2 + V 3 V 2 = E V 1 V 3 = 54V 18V 15V = 21V Επίσης για το ρεύμα Ι ισχύει: I = V2 R 2 = 21V 7Ω = 3A Ενώ οι τιμές των αντιστάσεων R 1, R 2 είναι: R 1 = V1 I R 3 = V3 I = 18V 3A = 15V 3A = 6Ω = 5Ω 3

4 Πρόβλημα 3 Στο κύκλωμα του σχήματος βρείτε το Ι και την τάση στα άκρα της 7-Ω αντίστασης R eq = 4Ω + 4Ω + 7Ω = 15Ω I = E R eq = 37.5V 15Ω = 2.5A V 7Ω = IR 7Ω = (2.5A)(7Ω) = 17.5V 4

5 Πρόβλημα 4 Χρησιμοποιώντας διαιρέτη τάσης βρείτε τις τάσεις V 1 και V 3 V 1 = R 1E (2kΩ)(45V ) = R eq 2kΩ + 5kΩ + 8kΩ = (2kΩ)(45V ) 15kΩ = (2 103 Ω)(45V ) Ω = 90V 15 = 6V V 3 = R 3E (8kΩ)(45V ) = R eq 2kΩ + 5kΩ + 8kΩ = (8kΩ)(45V ) 15kΩ = (8 103 Ω)(45V ) Ω = 360V 15 = 24V 5

6 Πρόβλημα 5 Βρείτε τα ρεύματα I 1 και I 2 Αφού καθορίσουμε τις φορές των ρευμάτων των βρόχων 1, 2 όπως φαίνεται στο αριστερό και δεξί υποκύκλωμα της άσκησης, στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε το νόμο τάσεων του Kircho για τον κάθε ένα βρόχο ξεχωριστά Βρόχος 1:(σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού από το σημείο α) E 1 I 1 R 1 E 2 V 2 = 0 6V (2Ω)I 1 4V (4Ω)(I 1 I 2 ) = 0 Βρόχος 2:(σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού από το σημείο b) V 2 + E 2 V 3 E 3 = 0 4Ω(I 2 I 1 ) + 4V (6Ω)I 2 3V = 0 Το σύστημα μπορεί να γραφτεί και πιο απλά ως: { 10 4I 1 2I 1 + 4I 2 = 0 6I 1 + 4I 2 = I 1 4I 2 6I 2 = 0 +4I 1 10I 2 = 1 6

7 Εναλλακτικά πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με -1, έχουμε το ισοδύναμο σύστημα: { 6I 1 4I 2 = 10 4I 1 10I 2 = 1 Επιλύοντας με χρήση οριζουσών προκύπτει: I 1 = I 2 = = 44 = = = 2.182A = = 0.773A Το ρεύμα στην 4-Ω αντίσταση και 4-V πηγή τάσης για το βρόχο 1 είναι: I 1 I 2 = 2.182A ( 0.773A) = 2.182A A = 1.409A Το αρνητικό πρόσημο στο αποτέλεσμα μας δείχνει πως η πραγματική φορά του ρεύματος είναι αντίθετη από αυτή που αρχικά υποθέσαμε. Δηλαδή, το ρεύμα με τιμή 1.409Α έχει αντίθετη φορά από αυτή του ρεύματος I 1 του βρόχου 1. 7

8 Πρόβλημα 6 Με μέθοδο βρόχων βρείτε την τάση στα άκρα της 4-Ω αντίστασης Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η τάση αναφοράς μας(γείωση - 0V) καθώς επίσης και οι τέσσερις κόμβοι τους οποίους θα χρησιμοποιήσουμε στην ανάλυσή μας. Κοιτώντας προσεκτικά το κύκλωμα παρατηρούμε πως μεταξύ των κόμβων V 1 και V 3, το ρεύμα που θα διαρρέει οποιαδήποτε από τις δύο αντιστάσεις 5-Ω είναι το ίδιο και προφανώς και η πτώση τάση στα άκρα οποιασδήποτε από τις δύο θα είναι ιση(εφόσον έχουν ίδια τιμή). Για τον παραπάνω λόγο, ο κόμβος V 4 μπορεί να παραληφθεί από την ανάλυσή μας. Εύκολα μπορούμε να εφαρμόσουμε διαιρέτη τάσης και να υπολογίσουμε την τάση στο V 4 εφόσον οι τάσεις V 1 και V 3 είναι γνωστές. Θα μπορούσαμε να συμπεριλάβουμε και τον κόμβο V 4 βέβαια αυτό θα έκανε πιο πολύπλοκους τους υπολογισμούς μας χωρίς να μας προσφέρει κάτι παραπάνω. 8

9 Σύμφωνα με τα παραπάνω το αρχικό κύκλωμα της άσκησης μπορεί να μετασχηματιστεί στο ακόλουθο ισοδύναμό του, Στη συνέχεια παίρνουμε τις εξισώσεις των κόμβων για να σχηματίσουμε το σύστημα: V 1 : ( 1 2Ω + 1 2Ω Ω )V 1 ( 1 2Ω )V 1 2 ( 10Ω )V 3 = 0 V 2 : ( 1 2Ω Ω )V 2 ( 1 2Ω )V 1 ( 1 2Ω )V 3 = 3A 1 V 3 : ( 10Ω + 1 2Ω + 1 4Ω )V 3 ( 1 2Ω )V 1 2 ( 10Ω )V 1 = 0 το οποίο μπορούμε να το γράψουμε πιο απλά, 1.1V 1 0.5V 2 0.1V 3 = 0 0.5V 1 + V 2 0.5V 3 = 3 0.1V 1 0.5V V 3 = 0 Στη συνέχεια προχωράμε στην επίλυση με χρήση οριζουσών και βρίσκουμε πως, V 3 = V 4Ω = = 4.645V

10 Πρόβλημα 7 Χρησιμοποιώντας διαιρέτη ρεύματος βρείτε τα I R και I L Χρησιμοποιώντας διαιρέτη ρεύματος υπολογίζουμε, I R = Z LI = (4Ω 90 o )(20A 0 o ) Z R + Z L 3Ω 0 o + 4Ω 90 o = 80A 90 o o = 16A o I L = Z RI = (3Ω 0 o )(20A 0 o ) Z R + Z L 3Ω 0 o + 4Ω 90 o = 60A 0 o o = 12A o 10

11 Πρόβλημα 8 Στο κύκλωμα του σχήματος, να βρείτε: 1. Την Y T, την Ε και το I L 2. Σχεδιάστε και υπολογίστε τις παραμέτρους ενός ισοδύναμου σειριακού κυκλώματος με δύο μόνο στοιχεία (αντίσταση, πηνίο, πυκνωτή). Υπολογίστε την Ε του ισοδύναμου κυκλώματος και συγκρίνετε με αυτή του πρώτου ερωτήματος 3. Σχεδιάστε και υπολογίστε τις παραμέτρους ενός ισοδύναμου παράλληλου κυκλώματος με δύο μόνο στοιχεία (αντίσταση, πηνίο, πυκνωτή). Υπολογίστε την Y T του ισοδύναμου κυκλώματος και συγκρίνετε με αυτή του πρώτου ερωτήματος 1. Συμπτύσσοντας τα όμοια στοιχεία και υπολογίζοντας την αντίδραση των πυκνωτών και των πηνίων έχουμε: R T = 10Ω 40Ω = 8Ω L T = 6mH 12mH = 4mH C T = 80µF + 20µF = 100µF X L = ωl = (1000rad/s)(4mH) = 4Ω X C = 1 ωc = 1 (1000rad/s)(100µF ) = 10Ω 11

12 Ακολουθεί το ισοδύναμο σχήμα του κυκλώματος όπου έχουμε χρησιμοποιήσει σημειογραφία φάσορων, Η συνολική αγωγιμότητα Y T προκύπτει, Y T = Y R + Y L + Y C = G 0 o + B L 90 o + B C 90 o = 1 8Ω 0 o + 1 4Ω 90 o Ω 90 o = 0.125S 0 o S 90 o + 0.1S 90 o = 0.125S j0.25s + j0.1s = 0.125S j0.15s = 0.195S o Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε τοποθετήσει τις συνιστώσες της συνολικής αγωγιμότητας σε ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων, για να αποκτήσουμε μία καλύτερη αίσθηση για το μέτρο και τη φάση της Y T 12

13 E = IZ T = I Y T = 12A 0 o 0.195S o = V o I L = V L Z L = E Z L = o 4Ω 90 o = A o Με γνωστά όλα τα παραπάνω, προχωρούμε για να υπολογίσουμε τον συντελεστή ισχύος αλλά και την συνολική ισχύ του κυκλώματος, P f = cosθ = G Y T = 0.125S 0.195S = (η τάση προηγείται του ρεύματος) P = EIcosθ = (61.538V )(12A)cos o = W 2. Στη συνέχεια προχωράμε για να υπολογίσουμε τις παραμέτρους ενός ισοδύναμου σειριακού κυκλώματος με δύο μόνο στοιχεία. Θα ξεκινήσουμε από τη συνολική εμπέδηση ενός τέτοιου κυκλώματος η οποία θα πρέπει να είναι ίση με αυτή που υπολογίσαμε και στο πρώτο ερώτημα της άσκησης. Z T = 1 Y T = S o = 5.128Ω o = 3.283Ω + j3.939ω = R + jx L X L = 3.939Ω = ωl L = 3.939Ω ω = 3.939Ω 1000rad/s = 3.939mH Το ισοδύναμο σειριακό κύκλωμα φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα, για το οποίο ισχύουν: E = IZ T = (12A 0 o )(5.128Ω o ) = V o (όπως υπολογίσαμε και στο πρώτο ερώτημα) P = I 2 R = (12A) 2 (3.283Ω) = W (όπως υπολογίσαμε και στο πρώτο ερώτημα) 13

14 3. Στη συνέχεια προχωράμε για να υπολογίσουμε τις παραμέτρους ενός ισοδύναμου παράλληλου κυκλώματος με δύο μόνο στοιχεία. Θα ξεκινήσουμε από τη συνολική εμπέδηση ενός τέτοιου κυκλώματος η οποία θα πρέπει να είναι ίση με αυτή που υπολογίσαμε και στο πρώτο ερώτημα της άσκησης. Πιο αναλυτικά η συνολική εμπέδηση του παράλληλου ισοδύναμου κυκλώματος επιθυμούμε να είναι, Z T = 3.283Ω + j3.939ω = R s + jx s Οπου για τα R p, X p (παράλληλη αντίσταση, παράλληλη αντίδραση) ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις, R p = R2 s +X2 s R s = (3.283Ω)2 +(3.939Ω) Ω = 8Ω X p = R2 s +X2 s X s = (3.283Ω)2 +(3.939Ω) Ω = 6.675Ω Το ισοδύναμο παράλληλο κύκλωμα φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα, Επίσης και για αυτό το κύκλωμα ισχύει πως η συνολική αγωγιμότητα Y T είναι ίση με, Y T = G 0 o + B L 90 o = 1 8Ω 0 o Ω 90 o = 0.125S 0 o S 90 o = 0.125S j0.15s = 0.195S o (όπως υπολογίσαμε και στο πρώτο ερώτημα) 14