Εξέταση Φεβρουαρίου Λύσεις

Transcript

1 ΕΜ2- Διακριτά Μαθηματικά 2 Φεβρουαρίου 2 Εξέταση Φεβρουαρίου Λύσεις Διάρκεια: 2 2 ώρες Πρόβλημα [2 μονάδες] Δεδομένου ενός συνόλου σημείων στο επίπεδο, μία τριγωνοποίηση είναι ένα επίπεδο γράφημα του οποίου οι κόμβοι είναι τα σημεία, οι ακμές είναι ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα σημεία, και με τηνιδιότηταότιδενείναιδυνατόνναπροσθέσουμεστογράφημαέστωκαιμίαακμή,χωρίςαυτήνατμήσειτοεσωτερικό μίας τουλάχιστον από τις υπάρχουσες ακμές της τριγωνοποίησης. Σε μία τριγωνοποίηση κάθε χωρίο, εκτός από το άπειρο χωρίο, είναι τρίγωνο. (αʹ)[5 μονάδες] Κατασκευάστε μία τριγωνοποίηση με 6 κόμβους που να έχει κύκλωμα Eulr. (βʹ)[5 μονάδες] Κατασκευάστε μία τριγωνοποίηση με 6 κόμβους που να έχει μονοπάτι, αλλά όχι κύκλωμα Eulr. (γʹ)[5 μονάδες] Κατασκευάστε μία τριγωνοποίηση με 2 κόμβους που να έχει κύκλωμα Eulr. (δʹ)[5 μονάδες] Κατασκευάστε μία τριγωνοποίηση με 2 κόμβους που να έχει μονοπάτι, αλλά όχι κύκλωμα Eulr. (αʹ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δύο τέτοιες τριγωνοποιήσεις. (βʹ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δύο τέτοιες τριγωνοποιήσεις. (γʹ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δύο τέτοιες τριγωνοποιήσεις. (δʹ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δύο τέτοιες τριγωνοποιήσεις.

2 ΕΜ2- Διακριτά Μαθηματικά 2 Φεβρουαρίου 2 Πρόβλημα2[2μονάδες] Εστωτοσύνολο A = {, b, c, d, },καιμίαδιμελήςσχέση Rεπίτου A,ηοποίαορίζεται από τον παρακάτω πίνακα. Οι γραμμές δηλώνουν το πρώτο στοιχείο των διατεταγμένων ζευγών στην R, ενώ οι στήλες δηλώνουντοδεύτεροστοιχείοτωνδιατεταγμένωνζευγώνστην R(κατάσυνέπεια, (, c) R,αλλά (c, ) R). b c d b c d (αʹ)[5μονάδες] Κατασκευάστετονπίνακατηςμεταβατικήςθήκης R της R.ΔείξτεότιηR είναισχέσημερικής διάταξης. (βʹ)[5μονάδες] Κατασκευάστετοδιάγραμμα Hssτης R. (γʹ)[5μονάδες] Βρείτεδιαμέρισητου Aστονελάχιστοαριθμόαντιαλυσίδωντης R. (δʹ)[5μονάδες] Ποιάείναιταελάχιστακαιμέγισταστοιχείατης R ; (αʹ) Στονπαρακάτωπίνακαφαίνεταιημεταβατικήθήκη R της R. Ταστοιχείατης R πουδενανήκουνστην R εμφανίζονταιμεμπλεχρώμα,καιπρόκειταιγιαταστοιχεία (,), (b, )και (d, c). (βʹ) Το διάγραμμα Hss φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. b c d b c d c b d (γʹ) Ο ελάχιστος αριθμός αντιαλυσίδων είναι 4. Δύο διαμερίσεις του A σε 4 αντιαλυσίδες είναι οι παρακάτω: {{, d}, {b}, {c}, {}} {{d}, {, b}, {c}, {}} (δʹ) Ταελάχισταστοιχείατης R είναιτα και d,ενώηr έχειέναμέγιστο,το. Πρόβλημα 3[2 μονάδες] Υπολογίστε τη λύση της παρακάτω αναδρομικής σχέσης, βρίσκοντας πρώτα την ομογενή καιτηνειδικήτηςλύση: n + n 6 n 2 = ( 2) n n+2 n 2, n 2, μεσυνοριακέςσυνθήκες = 2και =. Τοχαρακτηριστικόπολυώνυμοτηςαναδρομικήςσχέσηςείναι λ 2 +λ 6 =,τοοποίοέχειλύσεις λ,2 = 3,2. Συνεπώς, η ομογενής λύση της αναδρομικής σχέσης είναι η: (h) n = A( 3) n + B2 n, όπου A και B σταθερές που θα προσδιοριστούν παρακάτω από τις συνοριακές συνθήκες. Γιατηνεύρεσητηςειδικήςλύσηςχωρίζουμετοδεξίμέλοςσετρίακομμάτιακαιβρίσκουμεγιακαθένααπόαυτάτην ειδικήλύση. Τατρίααυτάκομμάτιαείναιτα f (n) = ( 2) n+2, f 2(n) = 2 n+2 και f 3(n) = n 2. Ηειδικήλύσηπου

3 ΕΜ2- Διακριτά Μαθηματικά 2 Φεβρουαρίου 2 αντιστοιχείστην f (n)είναιτηςμορφής C( 2) n. Αντικαθιστώνταςστηναναδρομικήσχέσηβρίσκουμεότι C = 4. Συνεπώςτοπρώτοκομμάτιτηςειδικήςλύσηςείναι (s ) n = 4( 2) n = ( 2) n+2. Ηειδικήλύσηπουαντιστοιχείστην f 2(n)είναιτηςμορφής Dn2 n,καθώςτο2είναιρίζατουχαρακτηριστικούπολυωνύμου πολλαπλότητας. Αντικαθιστώνταςστηναναδρομικήσχέσηβρίσκουμεότι D = 8 5. Συνεπώςτοδεύτεροκομμάτιτης ειδικήςλύσηςείναι (s 2) n = 8 5 n2n. Τέλος,ηειδικήλύσηπουαντιστοιχείστην f 3(n)είναιτηςμορφής En 2 + Fn + G. Αντικαθιστώνταςστηναναδρομική σχέση καταλήγουμε στο γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους: λύνοντας το οποίο προκύπτει ότι: 4E = 4F + 22E = 4G + F 23E = E = 4, F = 8, G = 75 Συνεπώςτοτρίτοκομμάτιτηςειδικήςλύσηςείναι (s 3) n = 4 n2 + 8 n + 75 Η ολική λύση της αναδρομικής σχέσης είναι: n = A( 3) n + B2 n ( 2) n n2n + 4 n2 + 8 n + 75 Χρησιμοποιώνταςτιςσυνοριακέςσυνθήκες = 2και =,προκύπτειαπότηνπαραπάνωέκφρασηότι ήισοδύναμα Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε: A + B = 2 3A + 2B = A + B = A + 2B = A = , B = 2 25, οπότε η λύση της δοσμένης αναδρομικής σχέσης με τις δοσμένες συνοριακές συνθήκες είναι: n = ( 3)n n ( 2) n n2n + 4 n2 + 8 n + 75 Πρόβλημα 4[2 μονάδες] Για καθένα από τα παρακάτω σύνολα βαρών κατασκευάστε έναν βέλτιστο δυαδικό κώδικα προθέματος. Για κάθε βάρος του συνόλου, δώστε την αντίστοιχη κωδική λέξη. (αʹ)[μονάδες] 2,4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,8,8,8,8,8. (βʹ)[μονάδες],4,9,6,25,36,49,64. (αʹ) Το δυαδικό δέντρο για το δοσμένο σύνολο αριθμών είναι το παρακάτω(το κατασκευάζουμε από κάτω προς τα πάνω).

4 ΕΜ2- Διακριτά Μαθηματικά 2 Φεβρουαρίου Οι αντίστοιχες κωδικές λέξεις είναι: (βʹ) Το δυαδικό δέντρο για το δοσμένο σύνολο αριθμών είναι το παρακάτω(το κατασκευάζουμε από κάτω προς τα πάνω) Οι αντίστοιχες κωδικές λέξεις είναι:

5 ΕΜ2- Διακριτά Μαθηματικά 2 Φεβρουαρίου 2 Πρόβλημα 5[2 μονάδες] Προσδιορίστε το ελάχιστο επικαλύπτον δέντρο για το γράφημα του παρακάτω σχήματος. Πιο το βάρος του δέντρου που υπολογίσατε; 9 b 4 c 8 d f 9 g Κοιτάμε τις ακμές του γραφήματος σε σειρά αύξοντος βάρους. Επιλέγουμε μία ακμή αν δεν δημιουργεί κύκλωμα και σταματάμε όταν έχουμε επικαλύπτον δέντρο. Ξεκινάμε από την ακμή bc την οποία και διαλέγουμε. Κοιτάμε μετά την ακμή dg, την οποία επίσης και διαλέγουμε. Μετάκοιτάμεμίαεκτωνακμών cd, cfκαι cg. Δενέχεισημασίαμεποιασειρά.Αςυποθέσουμεότιτιςκοιτάμεμετη σειράπουτιςαναφέραμεπαραπάνω. Τότετηνακμή cdτηνεπιλέγουμε,τηνακμή cfτηνεπιλέγουμεκαιαυτή,ενώτην ακμή cgτηναπορρίπτουμεγιατίδημιουργείκύκλωμα. Στησυνέχειακοιτάμετιςακμές fgκαι,αςπούμεμετησειρά αυτή(η σειρά δεν επηρεάζει την εύρεση του ελαχίστου επικαλύπτοντος δέντρου). Την ακμή fg την απορρίπτουμε γιατί δημιουργείκύκλωμα,ενώτηνακμή τηνεπιλέγουμε.στηνσυνέχειακοιτάμετιςακμές b, bκαι f.καιπάλιησειρά δενπαίζειρόλο.υποθέτουμελοιπόνότιησειράείναιαυτήμετηνοποίατιςαναφέραμεπαραπάνω. Ετσιτηνακμή bθα την επιλέξουμε, και εδώ θα σταματήσουμε γιατί έχουμε ήδη δημιουργήσει ένα επικαλύπτον δέντρο, το οποίο σύμφωνα με τη θεωρία είναι ελάχιστο(βλ. και σχήμα παρακάτω, όπου το ελάχιστο επικαλύπτον δέντρο φαίνεται με παχιές ακμές). Το βάρος W του ελαχίστου επικαλύπτοντος δέντρου είναι: W = = b 4 c 8 d f 9 g Σύνολο μονάδων: