Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)"

Transcript

1 Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

2 Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε ποια σημεία πρέπει να τοποθετηθούν οι κάμερες; Ποιος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός καμερών ώστε να είναι προστατευμένες οι καλλιτεχνικές;

3 Ιστορικό Το 1973, ο Victor Klee ασχολήθηκε με το εξής πρόβλημα: Υποθέτουμε ότι διαθέτουμε μια πινακοθήκη της οποίας ηκάτοψημπορείνααναπαρασταθεί από ένα πολύγωνο με n κορυφές. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στατικών φυλάκων που απαιτούνται για την προστασία της αίθουσας;

4 Το θεώρημα Art Gallery Το 1975, ο Vasek Chvatal έλυσε το πρόβλημα του Klee χρησιμοποιώντας το εξής θεώρημα: Απαιτούνται περιστασιακά [n/3] φύλακες οι οποίοι πάντα είναι αρκετοί για να καλύψουν ένα πολύγωνο με n κορυφές.

5 Αποδείξεις Ο Chvatal έδωσε την πρώτη απόδειξη για το θεώρημά του το 1975 ηοποίαήταν λεπτομερής και χρησιμοποιούσε επαγωγή. Το 1978 ο Steve Fisk έδωσε μια αρκετά απλούστερη απόδειξη - που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια - ηοποία βασιζόταν στη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα με χρήση διαγωνίων.

6 Διαγώνιος ενός απλού πολυγώνου P: Κάθε ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο μη γειτονικών Κορυφών του P που βρίσκεται πλήρως εντός του P. όχι ναι

7 Πιθανά πολύγωνα (art galleries)

8 Διαχωρισμός σε τρίγωνα Αρχικά, διαχωρίζουμε το πολύγωνο σε τρίγωνα και οι κορυφές του πολυγώνου γίνονται κορυφές των τριγώνων. Κάποιες κορυφές ανήκουν σε παραπάνω από ένα τρίγωνα. Προσέχουμε οι ακμές που προσθέτουμε να μην τέμνονται ούτε να βγαίνουν έξω από το περίγραμμα του πολυγώνου. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε με πολλούς τρόπους.

9 Απλό πολύγωνο P

10 Μια τριγωνοποίηση του P

11 3-χρωματισμός Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε ένα θεώρημα που λέει ότι οι κορυφές κάθε τριγωνοποιημένου πολυγώνου μπορούν να χρωματιστούν με 3 χρώματα. Χρησιμοποιώντας μόνο κόκκινο, μπλε και πράσινο μπορούμε να χρωματίσουμε όλες τις κορυφές του πολυγώνου έτσι ώστε γειτονικές κορυφές να μη λαμβάνουν το ίδιο χρώμα. Αν η διαδικασία γίνει σωστά, κάθε τρίγωνο καταλήγει με μία κορυφή από κάθε χρώμα.

12 Τοποθέτηση φυλάκων Διαλέγουμε ένα από τα χρώματα και τοποθετούμε φύλακα σε όσες κορυφές έχουν το χρώμα αυτό. Σε ένα σχήμα με n κορυφές, όπου το n δε διαιρείται ακριβώς με το 3, όλαταχρώματαδε θα έχουν ίδιο πλήθος κορυφών. Μας ενδιαφέρει ο ελάχιστος αριθμός φυλάκων που πρέπει να τοποθετήσουμε, οπότε επιλέγουμε ένα χρώμα με ελάχιστο αριθμό κορυφών.

13 Λύση του προβλήματος Αφού κάθε τρίγωνο έχει κάθε χρώμα στις 3 κορυφές του, γνωρίζουμε ότι οι φύλακες, αν τοποθετηθούν στις κορυφές ενός δοσμένου χρώματος, θα μπορούν να βλέπουν κάθε τρίγωνο, συλλογικά. Αφού κάθε τρίγωνο είναι προστατευμένο, το συνολικό πολύγωνο είναι επίσης προστατευμένο. Άρα, ένα πολύγωνο με n κορυφές μπορεί να προστατευτεί από [n/3] φύλακες.

14 Παραλλαγές Το 1980, οι Kahn, Klawe, και Kleitman απέδειξανότιοαριθμόςτωνφυλάκων που απαιτούνται και επαρκούν για την προστασία ενός παραλληλόγραμμου πολυγώνου με n κορυφές είναι [n/4].

15 Παραλλαγές Το 1982, ο Shermer εξέτασε μια πιο ρεαλιστική κάτοψη πινακοθήκης. Η αίθουσα περιείχε εμπόδια, τα οποία αναπαράστησε με οπές. Έλυσε το πρόβλημα για n κορυφές και h οπές.

16 Εφαρμογές Οι λύσεις που έχουν προταθεί για το Πρόβλημα της Πινακοθήκης έχουν αποτελέσει στρατηγικές για τη βελτίωση πολλών προβλημάτων (φυσικής) ασφάλειας. Για παράδειγμα, σε ποια σημεία, σε μια πανεπιστημιούπολη, είναι καλύτερο να τοποθετηθούν αστυνομικοί και πόσοι απαιτούνται;

17 Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης κάμερα Πόσες κάμερες απαιτούνται για την εποπτεία της gallery και Πώς πρέπει να τοποθετηθούν;

18 Απλό μοντέλο πολυγώνου Αναπαριστούμε την πινακοθήκη σαν περιοχή περιορισμένη από κάποιο απλό πολύγωνο (όχι self-crossing). Δεν επιτρέπονται περιοχές με ασυνέχειες (τρύπες). κυρτό πολύγωνο μία κάμερα Αυθαίρετο πολύγωνο με n-γωνο Πρόβλημα: η εύρεση του ελάχιστου αριθμού καμερών για δοσμένο πολύγωνο είναι NP-hard (εκθετικός χρόνος).

19 Τριγωνοποίηση (Triangulation) Αποσυνθέτουμε το πολύγωνο σε κομμάτια που είναι εύκολο να τα εποπτεύσουμε. Προσθέτουμε διαγωνίους μεταξύ ζευγών κορυφών. Ανοιχτό ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο κορυφές και κείται στο εσωτερικό του πολυγώνου Εποπτεύουμε το πολύγωνο τοποθετώντας μία κάμερα σε κάθε τρίγωνο Τριγωνοποίηση: διαχωρισμός ενός πολυγώνου σε τρίγωνα μέσω μέγιστου συνόλου μη τεμνόμενων διαγωνίων.

20 # Τριγώνων v Θεώρημα 1 Κάθε απλό πολύγωνο έχει μια τριγωνοποίηση. Κάθε τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου με n κορυφές περιέχει ακριβώς n 2 τρίγωνα. Απόδειξη Με επαγωγή. Είναι τετριμμένη η περίπτωση n = 3. Έστω ότι η δήλωση είναι αληθής για κάθε m < n. Επαγωγικό βήμα Έστω v η αριστερότερη κορυφή και u, w οι δύο γειτονικές της. w u P uw είναι εντός του P είναι διαγώνιος. Διαφορετικά, το τρίγωνο που ορίζεται από τις u, v, w περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή. Έστω v η πλησιέστερη στη v. w Τότε vv είναι διαγώνιος. v Η διαγώνιος χωρίζει το πολύγωνο σε δύο (που τριγωνοποιούνται λόγω της επαγωγής). v u

21 Απόδειξη (συνέχεια) # τριγώνων = n 2 Κάθε διαγώνιος χωρίζει το P σε δύο απλά πολύγωνα με k και m κορυφές, αντίστοιχα. Λόγω επαγωγής, τα δύο αυτά πολύγωνα τριγωνοποιούνται. Αποσυντίθενται σε k 2 και m 2 τρίγωνα, αντίστοιχα. Οι κορυφές που ορίζουν τη διαγώνιο εμφανίζονται μία φορά σε κάθε πολύγωνο. Οι υπόλοιπες κορυφές του P εμφανίζονται η κάθε μία ακριβώς σε ένα υπο-πολύγωνο. Επομένως k + m = n + 2. Από επαγωγή, η τριγωνοποίηση του P έχει (k 2) + (m 2) = n 2 τρίγωνα.

22 # καμερών για την πινακοθήκη Θεώρημα 1 n 2 κάμερες μπορούν να εποπτεύσουν ένα απλό πολύγωνο. Μια κάμερα σε διαγώνιο εποπτεύει δύο τρίγωνα. # καμερών μπορεί να μειωθεί σε περίπου n/2. Μια κορυφή ανήκει σε πολλά τρίγωνα. Οπότε η τοποθέτηση καμερών σε κορυφές δίνει ακόμα καλύτερα αποτελέσματα

23 3-χρωματισμός Ιδέα: Διαλέγουμε ένα σύνολο κορυφών, έτσι ώστε κάθε τρίγωνο να έχει τουλάχιστον μία κορυφή του στο σύνολο αυτό. Αναθέτουμε σε κάθε κορυφή ένα χρώμα: ροζ, πράσινο, ή κίτρινο. Κορυφές που συνδέονται με ακμή ή με διαγώνιο πρέπει να λάβουν διαφορετικά χρώματα. Επομένως οι κορυφές κάθε τριγώνου θα έχουν 3 διαφορετικά χρώματα. Αν υπάρχει 3-χρωματισμός, τοποθετούμε κάμερες σε όλες τις κορυφές ίδιου χρώματος. Επιλέγουμε τη μικρότερη χρωματική κλάση για την τοποθέτηση καμερών. n/3 κάμερες.

24 Το δυικό γράφημα

25 Το δυικό γράφημα Το δυικό γράφημα G έχει μία κορυφή μέσα σε κάθε τρίγωνο και ακμή μεταξύ ζεύγους κορυφών των οποίων τα αντίστοιχα τρίγωνα έχουν κοινή κάποια διαγώνιο. Το G είναι συνεκτικό. Κάθε διαγώνιος κόβει το πολύγωνο σε δύο. Κάθε διαγώνιος αντιστοιχεί σε ακμή στο δυικό γράφημα. Απομάκρυνση οποιασδήποτε ακμής από το δυικό γράφημα το κάνει μη συνεκτικό. Επομένως το δυικό γράφημα είναι δέντρο.

26 Ένας αλγόριθμος 3-χρωματισμού Βρίσκουμε έναν 3-χρωματισμό διασχίζοντας το γράφημα (π.χ., με DFS). Κατά το DFS, πρέπει: u Όλες οι κορυφές του πολυγώνου σε τρίγωνα που έχουμε ήδη συναντήσει χρωματίζονται ώστε γειτονικές κορυφές να μην έχουν το ίδιο χρώμα. v Ξεκινάμε DFS σε κάποια κορυφή του G. Χρωματίζουμε τις 3 κορυφές του αντίστοιχου τριγώνου. Έστω ότι πάμε στη v από τη u. Τα τρίγωνά τους T(v) και T(u) είναι γειτονικά. Μόνο μια κορυφή του T(v) δεν χρωματίζεται. Το χρώμα της καθορίζεται μονοσήμαντα. Αφού το G είναι δέντρο, δεν έχουμε επισκεφθεί ακόμα τις άλλες γειτονικές κορυφές της v. Αλλιώς υπάρχει κύκλος (αντίφαση αφού το G είναι δέντρο.) Δίνουμε το χρώμα στην v.

27 Μια χειρότερη περίπτωση Ένα τριγωνοποιημένο πολύγωνο είναι πάντα 3-χρωματίσιμο. Κάθε απλό πολύγωνο μπορεί να φυλαχθεί με n/3 κάμερες. n/3 ακίδες Δεν υπάρχει θέση που να μπορεί μια κάμερα να εποπτεύσει δύο ακίδες. n/3 κάμερες είναι αναγκαίες. Η προσέγγιση του 3-χρωματισμού είναι βέλτιστη στη χειρότερη περίπτωση.

28 Θεώρημα για το Πρόβλημα της Πινακοθήκης Για απλό πολύγωνο με n κορυφές, n/3 κάμερες αρκούν ώστε κάθε εσωτερικό σημείο να είναι ορατό από τουλάχιστον μία από τις κάμερες αυτές. Λύση στο Art Gallery Problem 1. Τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου με έναν γρήγορο αλγόριθμο. DCEL αναπαράσταση για το απλό πολύγωνο ώστε να επισκεπτόμαστε γειτονικά τρίγωνα σε σταθερό χρόνο. 2. Παραγωγή ενός 3-χρωματισμού με DFS. 3. Τοποθέτηση καμερών σύμφωνα με τη μικρότερη χρωματική κλάση.

29 [Chvătal 1975, Fisk 1978]: n/3 φύλακες είναι πάντα επαρκείς και μερικές φορές αναγκαίοι για την παρακολούθηση ενός απλού πολυγώνου με n κορυφές. Απόδειξη: Αναγκαιότητα: Επάρκεια: 1. T = τριγωνοποίηση του πολυγώνου χρωματισμός των κορυφών του T (ώστε οι κορυφές κάθε τριγώνου να λαμβάνουν 3 διαφορετικά χρώματα). Αυτό γίνεται αν διασχίσουμε με DFS το δυικό δέντρο του T. 3. Επιλογή του λιγότερο χρησιμοποιούμενου χρώματος (αυθαίρετη επιλογή σε περίπτωση ισοπαλίας). 4. Τοποθέτηση φύλακα στις κορυφές με το επιλεγμένο χρώμα. (Κάθε τρίγωνο έχει φύλακα.)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 9: Το πρόβλημα της Πινακοθήκης (The art gallery problem) Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος

Διαβάστε περισσότερα

Ορατότητα σε απλά πολύγωνα

Ορατότητα σε απλά πολύγωνα Ορατότητα σε απλά πολύγωνα Πολύγωνο, απλό πολύγωνο, πολύγωνο με τρύπες: Το σημείο a βλέπει τα σημεία b και c, όχι όμως το d: d c R d b R1 R2 a R3 a b R c Το πρόβλημα φύλαξης της αίθουσας τέχνης Victor

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Φροντιστήριο 11 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1

Π(n) : 1 + a + + a n = an+1 1 a 1. a 1. + a k+1 = ak+2 1 Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2018 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0

y(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya Ι 1 / 21 Οι έξι όψεις ενός κύβου θα χρωματιστούν με 6 διαφορετικά χρώματα, κάθε όψη με ένα διαφορετικό χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό

Διαβάστε περισσότερα

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2

z 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2 Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

χ(k n ) = n χ(c 5 ) = 3

χ(k n ) = n χ(c 5 ) = 3 Διάλεξη 20: 16.12.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 20.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 20.1 Για ένα πλέγμα Γ r r, ισχύει ότι bn(γ r r ) r + 1. Απόδειξη: Κατασκευάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης. Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που

Διαβάστε περισσότερα

Π(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1

Π(n) : 1 + a + + a n = αν+1 1 Διακριτά Μαθηματικά [Rosen, κεφ. 5] Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2017 Επαγωγή και Αναδρομή [Rosen, κεφ. 5] Μαθηματική επαγωγή [Rosen 5.1] Μέθοδος απόδειξης μιας μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές Βασικές Εννοιές (1) Πρόβλημα του χρωματισμού των κορυφών ετσι ώστε κανένα ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος ΙΙ)

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος ΙΙ) Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙΙ) Ανάθεση συχνοτήτων Ο αλγόριθμος σταθερών αναθέσεων FA (Fixed Allocation) Ο άπληστος (Greedy) αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματισμός γραφημάτων

Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο 1.1 ΠΡΟΒΛΗ ΜΑ Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν απόσταση 1. Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκινα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙIΙ) Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Οάπληστος(Greedy) αλγόριθμος ελέγχου αποδοχής κλήσεων Ο αλγόριθμος ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος Ι)

Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα. (μέρος Ι) Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος Ι) Online vs offline Φανταστείτε ότι καλείστε σε συνέντευξη και γνωρίζετε εκ των προτέρων τις ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί οι παίκτες να συμμετείχαν σε: 6,5,4,4,4,3,1,1 αγώνες αντίστοιχα;

1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί οι παίκτες να συμμετείχαν σε: 6,5,4,4,4,3,1,1 αγώνες αντίστοιχα; Ασκήσεις υποδειγματικές για το θεωρητικό μέρος του μαθήματος Α1. Εξετάστε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις. Εξηγείστε την απάντησή σας. 1. Σε ένα τουρνουά με 8 παίκτες μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Outline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3

Outline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Ιανουάριος 2019 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3η σειρά ασκήσεων Ιανουάριος 2019 1 / 54 Outline 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα του σταθερού γάμου

Το πρόβλημα του σταθερού γάμου Το πρόβλημα του σταθερού γάμου Γάμος και Θεωρία Γραφημάτων Γάμος πρόβλημα ταιριάσματος Θα δούμε έναν αλγόριθμο ταιριάσματος (matching algorithm) που χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές Γνωριμίες (γραφεία,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 2012 7 Απριλίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 2012 7 Απριλίου 2012 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Προκριματικός διαγωνισμός 0 7 Απριλίου 0 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες p n όπου p πρώτος και αρνητικοί ακέραιοι που είναι λύσεις της εξίσωσης: p n Λύση Η δεδομένη εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Εύρεση ελάχιστων μονοπατιών Αλγόριθμος του ijkstra Θέματα μελέτης Πρόβλημα εύρεσης ελάχιστων μονοπατιών σε γραφήματα (shortest path problem) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

jτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.

jτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διάλεξη #07 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #07 Γραμμές και Πολύγωνα: Εισαγωγή Αναπαράσταση 2D και 3D Χρωματισμός πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι; Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

... a b c d. b d a c

... a b c d. b d a c ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Εργοστάσιο Ανακύκλωσης

Εργοστάσιο Ανακύκλωσης World Robot Olympiad 2016 Κατηγορία Regular (Κανονική) Λύκειο Περιγραφή πρόκλησης, κανονισμοί και βαθμολόγηση Εργοστάσιο Ανακύκλωσης Έκδοση: 15 Ιανουαρίου 2016 Επιμέλεια: Κλαδογένης Δημήτρης & Δανελλάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 8.1 Εισαγωγή 8.2 Χρωματισμός Κόμβων 8.3 Χρωματισμός Ακμών 8.4 Χρωματισμός Επιπέδων Γραφημάτων και Χαρτών 8.5 Χρωματικά Πολυώνυμα 8.6 Σειριακός και άλλοι Αλγόριθμοι Χρωματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή

Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1)

P G = 1 2 (x x 3 2 ) 2 [(y 1 + y y n ) 6 + (y y y 2 n ) 3 ] 2 (n6 + n 3 ) = n3 (n 3 + 1) Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya ΙΙ 1 / 15 Ενας κύλινδρος, που έχει διαιρεθεί σε 6 τμήματα θα χρωματιστεί με 1 ή περισσότερα από διαφορετικά χρώματα. Με πόσους τρόπους επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 3 η Σειρά Ασκήσεων 1. Ένα σωματίδιο με μάζα m=4 βρίσκεται αρχικά (t=0) στη θέση x=(2,2)

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Νοέμβριος

Διακριτά Μαθηματικά. Γιάννης Εμίρης. Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ. Νοέμβριος ΔιακριτάΜαθηματικά Γιάννης Εμίρης http://eclass.uoa.gr/ Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών ΕΚΠΑ Νοέμβριος 2016 Διακριτά Μαθηματικά ΕπαγωγήκαιΑναδρομή [Rosen,κεφ. 5] Διακριτά Μαθηματικά Μαθηματικήεπαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ Α ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ 7 Ιουνίου 008 ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Να απαντήσετε σε 3 θέματα από την ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων

Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων 1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Σχεδίαση γραμμών (Bresenham), Σχεδίασης Κύκλων, Γέμισμα Πολυγώνων Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΓΩΝΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΠΙΠΕ Α ΣΧΗΜΑΤΑ

1.2 ΓΩΝΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΠΙΠΕ Α ΣΧΗΜΑΤΑ 1 2 ΩΝΙ ΣΙΚ ΠΙΠ ΣΧΗΜΤ ΘΩΡΙ ωνία : ίναι κάθε µία από τις χρωµατισµένες περιοχές του διπλνού σχήµατος µαζί µε τις ηµιευθείες Οx και Οy Τεθλασµένη γραµµή : ίναι µία πολυγωνική γραµµή που αποτελείται από διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταπτυχιακή εργασία ειδίκευσης

Μεταπτυχιακή εργασία ειδίκευσης V Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής 3 ΐ θ 3 Μεταπτυχιακή εργασία ειδίκευσης Το πρόβλημα της διαμέρισης απλού πολυγώνου σε περιοχές δοθέντων εμβαδών και το αντίστοιχο πρόβλημα στις τρεις διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017

Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Σημειωματάριο Δευτέρας 4 Δεκ. 2017 Ο αλγόριθμος Floyd-Warshall για την έυρεση όλων των αποστάσεων σε ένα γράφημα με βάρη στις ακμές Συνεχίσαμε σήμερα το θέμα της προηγούμενης Τετάρτης. Έχουμε ένα γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

A) στην 2 Β) στην 3 Γ) στην 4 Δ) στην 8 E) στην 16

A) στην 2 Β) στην 3 Γ) στην 4 Δ) στην 8 E) στην 16 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο 1) Για να πάρουμε τον αριθμό 8 8, σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσουμε τον 4 4 ; A) στην Β) στην Γ) στην 4 Δ) στην 8 E) στην 16 (Μονάδες 8) ) Nα βρείτε έναν αριθμό μεταξύ 1,705080756

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο

ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο ΥΣ02 Τεχνητή Νοημοσύνη Χειμερινό Εξάμηνο 2010-2011 Πρώτη Σειρά Ασκήσεων (20% του συνολικού βαθμού στο μάθημα, Άριστα = 390 μονάδες) Ημερομηνία Ανακοίνωσης: 6/10/2010 Ημερομηνία Παράδοσης: 15/11/2010 σύμφωνα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ CAD

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ CAD ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟΥΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ CAD Δρ. Αικατερίνη Μανιά Δρ. Βασίλειος Σαμολαδάς Δρ. Αριστομένης Αντωνιάδης Άγγελος Μαρινάκης

Διαβάστε περισσότερα

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n

Σ 1, Σ 2... Σ N p 1, p 2,... p N k 1, k 2... k n Υπολογιστική Γεωμετρία (σημειώσεις διαλέξεων ) Διδάσκων: Ι.Εμίρης Πέμπτη, 7 Απριλίου 2016 1 Ζητήματα πολυπλοκότητας 1. ΚΠ2 Τομή ημιεπιπέδων 2. ΚΠ3, ΚΠd n [d/2+1] (worst case) - Αλλά!! Αν έχουμε σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης.

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης. Ανάλογα με το αν ένας αλγόριθμος αναζήτησης χρησιμοποιεί πληροφορία σχετική με το πρόβλημα για να επιλέξει την επόμενη κατάσταση στην οποία θα μεταβεί, οι αλγόριθμοι αναζήτησης χωρίζονται σε μεγάλες κατηγορίες,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST)

Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Γεννητικό δέντρο (Spanning Tree) Ένα γεννητικό δέντρο για ένα γράφημα G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο (δηλ., είναι συνεκτικό και δεν

Διαβάστε περισσότερα