Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
|
|
- Ζώσιμη Βενιζέλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler. Βασικές Έννοιες και Χαρακτηρισμός
2 Εισαγωγή Γειτονικές: δυο κορυφές που συνδέονται με ακμή Βρόχος: μια ακμή που τα δύο άκρα της ταυτίζονται Δυο ακμές με κοινά άκρα ονομάζονται παράλληλες. Ενα γράφημα ονομάζεται κλίκα (ή πλήρες γράφημα) αν κάθε ζευγάρι κορυφών του συνδέεται με ακμή. Η κλίκα n κορυφών συμβολίζεται με Kn και έχει ακριβώς n(n-1)/2. Διμερές: αν οι κορυφές του μπορούν να διαχωρισθούν σε δυο σύνολα ανεξαρτησίας. Το πλήρες διμερές γράφημα με n κορυφές από τη μια πλευρά και m κορυφές από την άλλη, συμβολίζεται με Κn,m και έχει n.m ακμές
3 Κλίκα Κλίκα: κάθε πλήρες υπογράφημα του G Παράδειγμα:
4 Περίπατος-Μονοπάτι Περίπατος ή δρόμος: μια ακολουθία v o, v 1,, v n από κορυφές έτσι ώστε οποιεσδήποτε δυο διαδοχικές από αυτές να είναι γειτονικές. Εάν v 0 =v n, ο περίπατος καλείται κλειστός. Περίπατος (walk): ακολουθία από κορυφές και ακμές, που αρχίζει και τελειώνει με κορυφή, έτσι ώστε η ακμή e j να προσπίπτει στις κορυφές v j και v j+1, για 1<=j<i Ίχνος (trail): περίπατος που μια ακμή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά. Μονοπάτι (path): ίχνος που μια κορυφή δεν εμφανίζεται πάνω από μία φορά (δεν τέμνεται με τον εαυτό του και δεν περιέχει βρόχους). Αρχή-τέρμα περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού Τερματικές και εσωτερικές κορυφές
5 Παράδειγμα v 1 e 7 e 8 e 1 e 6 v 2 v 5 e 5 e 4 e 2 Περίπατος Ίχνος Μονοπάτι v 4 v 3 e 3
6 Παράδειγμα
7 Μονοκονδυλιά Μια διαδρομή ονομάζεται μονοκονδυλιά (trail) όταν όλες οι ακμές της είναι διαφορετικές και ονομάζεται μονοπάτι (path) όταν όλες οι κορυφές από τις οποίες διέρχεται είναι διαφορετικές. Μονοπάτι για τη μονοκονδυλιά: διαδρομή διαφορετικών ακμών Απλό μονοπάτι: διαδρομή με διαφορετικές κορυφές Κλειστή διαδρομή: όταν η αρχική και η τελική της κορυφή συμπίπτουν
8 Κύκλος Αρχή=τέρμα: κλειστό ίχνος (κύκλωμα), κλειστό μονοπάτι (κύκλος) Αρχή<>τέρμα: ανοικτό ίχνος, μονοπάτι Κάθε κλειστή διαδρομή ονομάζεται κύκλος (ή κύκλωμα) όταν όλες οι ακμές της είναι διαφορετικές. Κάθε κύκλος είναι κύκλωμα, ενώ κάθε κύκλωμα δεν είναι απαραίτητα κύκλος Τα δένδρα είναι άκυκλοι συνδεδεμένοι γράφοι, ενώ δάσος είναι ένας γράφος που έχει ως συνιστώσες δένδρα
9 Παράδειγμα-Κύκλος v 1 e 7 e 8 e 1 e 6 v 2 v 5 e 5 e 4 e 2 v 4 v 3 e 3 Κύκλωμα Κύκλος
10 Συνεκτικό Γράφημα-Συνιστώσα Ενα γράφημα λέγεται συνεκτικό αν για οποιουσδήποτε δύο κόμβους του, υπάρχει μονοπάτι που τους ενώνει. Συνεκτικά Γραφήματα Μη Συνεκτικά Συνιστώσα ονομάζεται κάθε μεγιστικό (maximal) συνεκτικό υπογράφημα του G (δηλ. κάθε συνεκτικό υπογράφημά του που δεν είναι υπογράφημα κάποιου άλλου συνεκτικού υπογραφήματος του G).
11 Σημείο κοπής Σημείο κοπής ενός συνεκτικού γραφήματος G λέγεται κάθε κορυφή u, τέτοια ώστε G-u: μη συνεκτικό. (Η αφαίρεση της κορυφής αίρει τη συνεκτικότητα του γραφήματος).
12 Γέφυρα Γέφυρα ενός συνεκτικού γραφήματος λέγεται κάθε ακμή e τέτοια ώστε G-e: μη συνεκτικό. (Η αφαίρεση της γέφυρας αίρει τη συνεκτικότητα του γραφήματος). Ο {υ3,υ4} είναι γέφυρα αφού το γράφημα είναι μη συνεκτικό
13 Μονοπάτια ξένα ως προς τις ακμές Δύο μονοπάτια λέγονται ξένα ως προς τις ακμές, αν δεν έχουν καμία κοινή ακμή (παρότι μπορεί να τέμνονται). Δύο κορυφές ονομάζονται συνδεδεμένες αν υπάρχει κάποιο μονοπάτι από τη μια κορυφή στην άλλη. Δεχόμαστε ότι κάθε κορυφή είναι συνδεδεμένη με τον εαυτό της. v 1 e 7 e 8 e 1 e 6 v 2 v 5 e 5 e 4 e 2 v 4 v 3 e 3 Μονοπάτια ξένα ως προς τις ακμές και
14 Αποστάσεις (Ι) Απόσταση dist(u,v): είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού που ενώνει τις δυο κορυφές Μη αρνητικότητα: dist(u,v)>0 (dist(u,v)=0, αν u=v) Συμμετρική: dist(u,v)=dist(v,u) Ανισοϊσότητα τριγώνου: dist(u,v)+dist(v,z)>=dist(u,z) Μήκος περιπάτου, ίχνους, μονοπατιού: αριθμός ακμών που περιέχονται Μονοπάτι μήκους n: P n Ένας κύκλος μήκους k λέγεται άρτιος ή περιττός αν το k είναι άρτιο ή περιττό αντίστοιχα
15 Αποστάσεις (ΙΙ) Εκκεντρικότητα (eccentricity) μιας κορυφής v: η απόσταση από την κορυφή v προς την πλέον απομακρυσμένη κορυφή του γράφου Κέντρο ενός συνδεδεμένου γράφου G ονομάζεται ο υπογράφος που επηρεάζεται από το σύνολο των κορυφών του G με την ελάχιστη εκκεντρικότητα
16 Αποστάσεις (ΙΙΙ) Θεώρημα: κάθε γράφος είναι κέντρο ενός συνδεδεμένου γράφου u 1 v 1 v 2 u 2 Δοθέντος γράφου Η, κατασκευάζουμε υπεργράφο G, όπου οι v1 και v2 ενώνονται προς όλες τις κορυφές του H. Στο γράφο G, η εκκεντρικότητα κάθε κορυφής v είναι Ε(v)=2, ενώ ακόμη ισχύει Ε(v1)=Ε(v2)=3 και Ε(u1)=Ε(u2)=4. Συνεπώς ο υπογράφος H είναι κέντρο του γράφου G.
17 Αποστάσεις (ΙV) Ακτίνα: η εκκεντρικότητα των κορυφών του κέντρου (rad(g)=min(e(v))) Διάμετρος: η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο κορυφών (diam(g)=max(e(v))) Ποια η διάμετρος των K n, K m,n?
18 Αποστάσεις (V) Κέντρο Γράφου: 2 κορυφές Ακτίνα: 2 Διάμετρος: 3 3 3
19 Αποστάσεις (VΙΙ) Θεώρημα: rad(g) <= diam(g) <= 2rad(G) Η αριστερή ανισοϊσότητα είναι προφανής από τους ορισμούς της ακτίνας και της διαμέτρου. Για να αποδείξουμε τη δεξιά ανισοϊσότητα ας θεωρήσουμε δύο κορυφές έτσι ώστε Επιπλέον, έστω ότι z είναι μία κορυφή έτσι ώστε το μεγαλύτερο γεωδεσικό μονοπάτι από την z να έχει ακτίνα rad(g). Με βάση την ανισοϊσότητα τριγώνου
20 Αποστάσεις (VΙΙΙ) Εφαρμογή: Από το κεντρικό ταχυδρομείο μιας πόλης η αλληλογραφία μεταφέρεται στα περιφερειακά γραφεία με ένα όχημα, ενώ από εκεί μεταφέρεται με τους διανομείς στις κατοικίες. Το όχημα μπορεί να μεταφέρει την αλληλογραφία ενός μόνο περιφερειακού γραφείου κάθε φορά. Στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των αποστάσεων που το όχημα πρέπει να καλύψει από το κεντρικό προς το σύνολο των περιφερειακών ταχυδρομείων. Απόσταση μιας κορυφής v, dist(v), ζυγισμένου γράφου G ονομάζουμε το άθροισμα των αποστάσεων της κορυφής v από όλες τις υπόλοιπες κορυφές του G. Μέσο ενός γράφου είναι ο υπογράφος που επηρεάζεται από το σύνολο των κορυφών με ελάχιστη απόσταση.
21 Αποστάσεις Η n-οστή δύναμη ενός γράφου G(V,E) είναι ένας γράφος που συμβολίζεται με και αποτελείται από το ίδιο σύνολο κορυφών V, ενώ δύο κορυφές u και v ενώνονται με μία ακμή στον, αν για τις κορυφές αυτές στο γράφο G ισχύει η σχέση:
22 Γράφοι Euler Leonard Euler, πατέρας Θεωρίας Γράφων, 1736 πρόβλημα γεφυρών Koenigsburg Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφο να βρεθεί κύκλωμα (=κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές? Γράφος Euler: περιέχει γραμμή Euler Γράφος ημι-euler: περιέχει ανοικτό ίχνος Euler
23 Γράφοι Euler όχι γράφος Euler ημι-euler γράφος Euler ή ημι-euler
24 Γράφοι Euler Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος απλός γράφος G(V,E) είναι γράφος Euler αν και μόνο αν δεν έχει κορυφές περιττού βαθμού. Είναι γράφος ημι-euler αν και μόνο αν έχει ακριβώς δύο κορυφές περιττού βαθμού. Οι συνθήκες είναι αναγκαίες γιατί προφανώς αν υπάρχει ένα ίχνος Euler, τότε ο γράφος πρέπει να είναι συνδεδεμένος και ο αριθμός των κορυφών περιττού βαθμού να είναι 0 (αντίστοιχα 2). Σε διαφορετική περίπτωση δε θα υπήρχε δυνατότητα να περάσει ένα ίχνος από όλες τις ακμές (από μία τουλάχιστο θα περνούσε δύο φορές, οπότε δε θα ήταν ίχνος).
25 Γράφοι Euler Οι συνθήκες είναι και ικανές γιατί: Ισχύουν προφανώς για Ε =2 Έστω ότι ισχύουν και για Ε >2 Ας θεωρήσουμε έναν περίπατο W ξεκινώντας από μία κορυφή v i. Έστω ότι ο περίπατος W θέλουμε να περνά από διάφορες κορυφές, έως ότου φτάσει σε μία κορυφή v j χωρίς αχρησιμοποιήτες ακμές (θεωρούμε v i = v j αν δεν υπάρχει κορυφή περιττού βαθμού). Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν αχρησιμοποίητες ακμές. Αν οι χρησιμοποιημένες ακμές αγνοηθούν, τότε απομένει ένας υπογράφος G που δεν είναι απαραίτητα συνδεδεμένος. Συνάγεται ότι ο υπογράφος G περιέχει μόνο κορυφές άρτιου βαθμού και σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής κάθε συνιστώσα του περιέχει ένα ίχνος Euler. Εφόσον ο γράφος G είναι συνδεδεμένος πρέπει ο περίπατος W να περνά τουλάχιστον από μία κορυφή κάθε συνιστώσας του G. Συνεπώς, μπορεί να κατασκευασθεί ένα ίχνος Euler για το γράφο G εισάγοντας στον περίπατο και τα ίχνη των συνιστωσών του υπογράφου.
26 Γράφοι Euler
27 Γράφοι Euler Για να ελέγξουμε αν ένας γράφος είναι γράφος Euler ελέγχουμε πρώτα αν είναι συνδεδεμένος (με μία αναζήτηση προτεραιότητας πλάτους) και μετά αν όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό (Ο( Ε )). Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος απλός γράφος G(V,E) είναι γράφος Euler αν και μόνο αν κάθε ακμή ανήκει σε περιττό αριθμό κύκλων.
28 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (1) Απλοϊκή μέθοδος: Ξεκινάμε από οποιαδήποτε κορυφή και προχωράμε λαμβάνοντας οποιαδήποτε ακμή δεν έχει ακόμη εξετασθεί. Δεν υπάρχει εγγύηση ότι με τη μέθοδο αυτή μπορούμε πάντα να βρούμε ένα ίχνος Euler. Ένας γράφος ονομάζεται αυθαίρετα εξιχνιάσιμος από την κορυφή v αν είναι βέβαιο ότι μπορούμε να σχηματίσουμε ένα ίχνος Euler από την κορυφή αυτή.
29 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (2) Αυθαίρετα αυθαίρετα δεν είναι αυθαίρετα εξιχνιάσιμος εξιχνιάσιμος εξιχνιάσιμος από μόνο από την από κάθε κορυφή κάθε κορυφή κεντρική κορυφή
30 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (3) Αλγόριθμοι: Fleury (<1921): με σταδιακή επέκταση του ίχνους Τ αποφεύγοντας τις γέφυρες (αποκόπτουσες ακμές) στον υπογράφο G-T, εκτός αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή Hierholtzer (1873): με συγκόλληση από επιμέρους ίχνη Tucker (1976): με διάσπαση κορυφών ώστε να σχηματιστούν ξένοι επιμέρους κύκλοι, και συγκόλληση κύκλων
31 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (4) Αλγόριθμος Fleury 1. Επιλέγουμε μία κορυφή ως πρώτη κορυφή του ίχνους. Θέτουμε και 2. Έστω το ίχνος Από την κορυφή v i επιλέγεται τυχαία μία ακμή που δεν είναι αποκόπτουσα στον υπογράφο εκτός αν δεν υπάρχει άλλη επιλογή. Ορίζεται το ίχνος Θέτουμε 3. Αν i= E, τότε C=T i, είναι ένα ίχνος Euler, αλλιώς πήγαινε στο βήμα 2.
32 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (5) Παράδειγμα Αλγόριθμου Fleury Βήμα 1ο: 1 Βήμα 2ο: επιλέγεται τυχαία η 2. Ίχνος 1, 2 Βήμα 3ο: επιλέγεται τυχαία η 6. Ίχνος 1, 2, 6 Βήμα 4ο-5ο: δεν μπορεί να επιλεγεί η 1 γιατί στον υπογράφο G-(1,2)-(2,6) είναι αποκόπτουσα Ίχνος 1, 2, 6, 5, 3 Βήμα 6ο-9ο: δεν μπορεί να επιλεγεί η 6 γιατί στον υπογράφο G-(1,2)-(2,6)-(6,5)-(5,3) η (3,6) είναι αποκόπτουσα Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3 Βήμα 10ο: επιλέγεται αναγκαστικά η 6 Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3,6 Βήμα 11ο: επιλέγεται η 1 αναγκαστικά. Ίχνος 1,2,6,5,3,4,5,2,3,6,1
33 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (6) Αλγόριθμος Hierholtzer 1. Επιλέγουμε μία κορυφή και δημιουργείται ένα ίχνος C 0 λαμβάνοντας κάθε φορά οποιαδήποτε ακμή Θέτουμε 2. Αν, τότε είναι ένα ίχνος Euler αλλιώς επιλέγεται μία κορυφή v i του C i που είναι προσκείμενη σε ακμή και η διαδικασία προχωρεί κτίζοντας ένα άλλο ίχνος C i με αρχή την κορυφή v i και μέσα στον υπογράφο 3. Από τα ίχνη C i, C i δημιουργείται ένα υπερ-ίχνος C i+1 ξεκινώντας από την κορυφή v i-1, διασχίζοντας το ίχνος C i, συνεχίζοντας στο ίχνος C i και τελειώνοντας στην κορυφή v i Θέτουμε Πηγαίνουμε στο βήμα 2.
34 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (7) Παράδειγμα αλγορίθμου Hierholtzer Αρχικά: Ενώνουμε διαδοχικά 2 πρωτα: Τελικά:
35 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (8) Αλγόριθμος Tucker 1. Διασπούμε τις κορυφές του G μέχρι να υπάρξουν κορυφές βαθμού 2 Ο γράφος που προκύπτει ονομάζεται G 1. Θέτουμε Έστω ότι c i είναι ο αριθμός των συνιστωσών του γράφου G i. 2. Αν c i =1, τότε C=G i είναι ένα ίχνος Euler, αλλιώς αναζητώνται δύο συνιστώσες Τ και T του G i με κοινή την κορυφή v i. Σχηματίζεται το ίχνος C i+1 αρχίζοντας από την κορυφή v i, διασχίζοντας τις συνιστώσες Τ και Τ και καταλήγοντας πάλι στην v i. 1. Ορίζεται ο γράφος Θεωρείται ότι το ίχνος C i+1 είναι συνιστώσα του υπογράφου G i+1 Θέτουμε Τ=C i+1 και Έστω ότι c i είναι ο αριθμός των συνιστωσών του υπογράφου G i Πηγαίνουμε στο Βήμα 2
36 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (9) Παράδειγμα για τον αλγόριθμό Tucker
37 Αλγόριθμοι εύρεσης ίχνους Euler (10) Αρχικά: Τελικά:
38 Πρόβλημα Κινέζου Ταχυδρόμου (1) Τέθηκε από κινέζο μαθηματικό (1962) Πρόβλημα: ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το γραφείο του, επισκέπτεται όλους τους δρόμους και επιστρέφει στο γραφείο του. Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή? Θεωρούμε απλό γράφο και αναζητούμε ένα ίχνος Euler. Αν ο γράφος δεν είναι Euler, τότε πρέπει κάποιες γραμμές να διασχισθούν περισσότερο από μία φορές. Πόσες? Το μήκος l της βέλτιστης λύσης είναι Ε <= l <= 2 Ε
39 Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι αν ένα γράφημα έχει κ κορυφές με περιττό βαθμό, το σύνολο των ακμών του μπορεί να διαμεριστεί σε k/2 μονοπάτια (k άρτιος). Λύση: Υπάρχει μια λύση με μαθηματική επάγωγή. Μια δεύτερη λύση είναι να ζευγαρώσετε τις κορυφές περιττού βαθμού χρησιμοποιώντας k/2 νέες ακμές. Τώρα όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό και το γράφημα έχει κύκλο Euler. Αφαιρώντας τις ακμές που προσθέσαμε σπάμε τον κύκλο σε k/2 μονοπάτια. Σημείωση: Για να υπάρχει κύκλος Euler, πρέπει όλες οι κορυφές να έχουν άρτιο βαθμό.
40 Ασκηση 2η Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ακμών ενός απλού μηκατευθυνόμενου γραφήματος με n κορυφές που έχει κύκλο Euler? Λύση:αν n περιττός το n-1 είναι άρτιο. Σε αυτή την περίπτωση, το πλήρες γράφημα Kn έχει κύκλο Euler και ο μέγιστος αριθμός ακμών είναι n(n-1)/2. Αν το n είναι άρτιος, το γράφημα όπου όλες οι ακμές έχουν βαθμό n-2 υπάρχει, είναι συνεκτικό, και έχει κύκλο Euler. (αφαιρούμε την ακμή που συνδέει κάθε ζευγάρι κορυφών). Το γράφημα αυτό έχει n(n-2)/2 ακμές. Κάθε γράφημα με n κορυφές και περισσότερες ακμές, θα πρέπει να έχει μια τουλάχιστον κορυφή με βαθμό n-1 (περιττός) και συνεπώς δεν θα έχει κύκλο Euler. Αν το n είναι άρτιος ο μέγιστος αριθμός ακμών είναι n(n-2)/2. Σημείωση: Ενα συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα έχει κύκλο Euler αν σε κάθε κορυφή, ο βαθμός εισόδου είναι ίσος με το βαθμό εξόδου. Ο βαθμός εισόδου και ο βαθμός εξόδου κάθε κορυφής στο κατευθυνόμενο γράφημα είναι ίσος με το βαθμό της κορυφής στο αρχικό (μη-κατευθυνόμενο γράφημα).
41 Ασκηση 3η Να αποδείξετε ότι κάθε απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με 11 κορυφές και 53 ακμές δεν έχει κύκλο Euler αλλά έχει κύκλο Hamilton. Λύση: Το πλήρες γράφημα με 11 κορυφές έχει 55 ακμές. Κάθε απλό γράφημα με 11 κορυφές έχει 53 ακμές προκύπτει από το Κ11 με την αφαίρεση 2 ακμών. Για να αποκλείσουμε την ύπαρξη του Κύκλου Euler θα πρέπει να διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: 1 η περίπτωση:οι δυο ακμές που αφαιρέθηκαν από το Κ11 προσπίπτουν στην ίδια κορυφή. Επειδή το γράφημα είναι απλό, οι δυο ακμές μπορούν να έχουν μόνο το ένα άκρο τους κοινό. Το γράφημα έχει μια κορυφή βαθμού 8, δυο κορυφές βαθμού 9 και 8 κορυφές με βαθμό 10. συνεπώς δε μπορεί να έχει κύκλο Euler, αφού περιέχει κάποιες κορυφές με περιττό βαθμό. 2 η περίπτωση: αν οι δυο ακμές που αφαιρέθηκαν από το Κ11 προσπίπτουν σε 4 διαφορετικές κορυφές, το γράφημα με 11 κορυφές έχει 53 ακμές πρέπει να έχει 4 κορυφές βαθμού 9 και 7 κορυφές βαθμού 10. και σε αυτή την περίπτωση το γράφημα δεν μπορεί να έχει κύκλο Euler. Σημείωση: Η ύπαρξη κύκλου Η προκύπτει από το θεώρημα του Ore, αφού το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών είναι τουλάχιστον 17>11.
42 Ασκηση 4η Να χαρακτηρίσετε την κλάση των γραφημάτων στα οποία κάθε κύκλος Euler είναι και κύκλος Hamilton. Λύση: κάθε κύκλος ο οποίος είναι Euler και Η. πρέπει να διέρχεται από κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μια φορά (επειδή είναι κύκλος Hamilton) και απο κάθε ακμή ακριβώς μια φορά (επειδή είναι κύκλος Euler). Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το γράφημα είναι ένας απλός κύκλος Cn, με n κορυφές και n ακμές (n>=3). Αν το γράφημα περιείχε n+1 ή περισσότερες ακμές, ο κύκλος Euler δεν θα ήταν κύκλος Hamilton ( θα περιέιχε περισσότερες από n ακμές και θα διερχόταν από κάποια κορυφή περισσότερες από n φορές) Αν το γράφημα περιείχε n-1 ή λιγότερες ακμές, είτε δεν θα περιείχε κανένα κύκλο είτε δεν θα ήταν συνεκτικό, και δεν θα είχε ούτε κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton.
43 Ασκηση 5η Μια ακμή ονομάζεται γέφυρα αν δεν υπάρχει κύκλος που την περιέχει. Δείξετ ότι αν ένα απλό γράφημα έχει κύκλο Hamilton, τότε δεν μπορεί να περιέχει γέφυρα. Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα, εάν αντί για κύκλο Hamilton υποθέσουμε ότι έχει κύκλο Euler? Λύση: Μια ακμή περιέχεται σε κύκλο αν είναι απλός κύκλος. Αν ο κύκλος δεν είναι απλός αποτελείται από την ένωση απλών κύκλων. Ετσι μπορούμε να κρατήσουμε τον απλό κύκλο που περιέχει τη γέφυρα που μας ενδιαφέρει. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο κύκλος Hamilton διέρχεται από κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μια φορά. Ο κύκλος Euler διέρχεται από κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μια φορά και κάθε κορυφή του γραφήματος τουλάχιστον μια φορά. Εστω G(V,E) ένα οποιδήποτε γράφημα με κύκλο Η. Αφού το γράφημα έχει κύκλο Η, υπάρχει μονοπάτι π μεταξύ των μεταξύ των u και v που δεν διέρχεται από την ακμή {u,v}. Το μονοπάτι π μαζί με την ακμή {u,v} σχηματίζει κύκλο. Συνεπώς, καμιά ακμή του γραφήματος G δεν μπορεί να είναι γέφυρα. Σημείωση: με το ίδιο σκεπτικό, μια ακμή {u,v} δε μπορεί να είναι γέφυρα ακόμη και στην περίπτωση που απλός υπάρχει κάποιος κύκλος που διέρχεται από τις u και v. Οσο για τον κύκλο Euler αυτός διέρχεται από όλες τις ακμές του γραφήματος. Συνεπώς κάθε γράφημα με κύκλο Euler δεν μπορεί να περιέχει γέφυρα.
Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 4: Μονοπάτια και Κύκλοι Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 4 η Διάλεξη Κύκλοι και μονοπάτια Hamilton Ικανές ή αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλων Αλγόριθμος κατασκευής μονοπατιών Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα ΔΕΝΔΡΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ένα γράφημα G είναι δένδρο αν: 1. Είναι συνδεδεμένο και δεν έχει κύκλους.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραjτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 8 η Διάλεξη Επιπεδότητα (ή επιπεδικότητα γράφων) Βασικές εννοιες και ιδιότητες Θεώρημα Kuratowski Δυαδικότητα (Δυϊκότητα) επίπεδων γράφων Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΜονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.
Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;
Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα
Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 10/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 10-May-18 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 10-May-18 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δομώνκαι
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότερα(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς
Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Γραφηµάτων
Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων
Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότερα... a b c d. b d a c
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότεραE(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 3 ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ & ΚΥΚΛΟΙ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Περίπατος Ίχνος - Διαδρομή Περίπατος (walk) Ίχνος (trail) Διαδρομή
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST)
Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Γεννητικό δέντρο (Spanning Tree) Ένα γεννητικό δέντρο για ένα γράφημα G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο (δηλ., είναι συνεκτικό και δεν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.
ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;
ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1
ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που
Διαβάστε περισσότεραS A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 12-May-17 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 12-May-17 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Υπογράφημα Συμπληρωματικά
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω
Διαβάστε περισσότεραΑπαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης
Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των
Διαβάστε περισσότεραΔοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)
Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΔιμερή γραφήματα και ταιριάσματα
Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018
Φροντιστήριο #9 Ασκήσεις σε Γράφους 18/5/2018 Άσκηση 9.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα (planar graphs)
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρμογές των γράφων. 23-Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων / γραφήματα Πέμπτη, 10/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 10-May-18 1 1 10-May-18 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δομών και
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 12: Αντιστοιχίσεις και καλύμματα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα